三角函数题目
1.2 ·1 任意的三角函数
一、选择题 1．有下列命题：
①终边相同的角的三角函数值相同； ②同名三角函数的值相同的角也相同；
③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同； ④不相等的角，同名三角函数值也不相同． 其中正确的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．若角α、β的终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是( )
A ．sin α=sin β
B ．cos α=cos β
C ．tan α=tan β
D ．cot α=cot β
3．角α的终边上有一点P （a ，a ），a ∈R ，a ≠0，则sin α的值是( )
A ．2
2
B ．－2
2 C ． 2
2或－2
2 D ．1
4．若
x
x sin |sin |+
|
cos |cos x x +
x
x tan |tan |=－1，则角x 一定不是( ) A ．第四象限角 B ．第三象限角 C ．第二象限角
D ．第一象限角
5．sin2·cos3·tan4的值( )
A ．小于0
B ．大于0
C ．等于0
D ．不存在
6．若θ是第二象限角，则( )
A ．sin
2
θ＞0
B ．cos
2
θ＜0
C ．tan
2
θ＞0 D ．cot
2
θ＜0
二、填空题
7．若角α的终边经过P （－3，b ），且cos α=－
5
3，则b =_________，sin α=_________．
8．在（0，2π）内满足x 2cos =－cos x 的x 的取值范围是_________． 9．已知角α的终边在直线y =－3x 上，则10sin α+3sec α=_________．
10．已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第_________象限． 三、解答题
11．已知tan x ＞0，且sin x +cos x ＞0，求角x 的集合．
12．已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的非负半轴．若角α的终边过点P （－3，y ），且sin α=
4
3y （y ≠0），判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值．
13．证明：sin20°＜20
7．
14． 根据下列三角函数值，求作角α的终边，然后求角α的取值集合． （1）sin α=2
1；（2）cos α=
2
1；（3）tan α=－1；（4）sin α＞
2
1．
15．求函数y =x sin +lg （2cos x －1）的定义域．
1.2·2 任意的三角函数
一、选择题
1．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边( )
A ．在x 轴上
B ．在y 轴上
C ．在直线y ＝x 上
D ．在直线y ＝－x 上
2．如果
4
π＜θ＜
2
π，那么下列各式中正确的是( )
A ．cos θ＜tan θ＜sin θ
B ．sin θ＜cos θ＜tan θ
C ．tan θ＜sin θ＜cos θ
D ．cos θ＜sin θ＜tan θ 3．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．若sin αtan α＞0，则α的终边在( )
A ．第一象限
B ．第四象限
C ．第二或第三象限
D ．第一或第四象限
5．若角α的终边与直线y =3x 重合且sin α＜0，又P （m ，n ）是角α终边上一点，且|OP |=10，则m －n 等于( )
A ．2
B ．－2
C ．4
D ．－4
二、填空题
6．若0≤θ＜2π，则使tan θ≤1成立的角θ的取值范围是_________． 7．在（0，2π）内使sin x ＞|cos x |的x 的取值范围是_________． 三、解答题
8．比较下列各组数的大小： （1）sin 1和sin 3
π；
（2）cos
7
π4和cos 7
π5；
（3）tan 8π9和tan
7
π9；
（4）sin
5
π和tan 5
π．
9．已知α是第三象限角，试判断sin （cos α）·cos （sin α）的符号．
10．求下列函数的定义域： （1）y =)lg(cos x ； （2）y =lgsin2x +29x -． 11． 当α∈（0，2
π）时，求证：sin α＜α＜tan α．
12． 已知θ为正锐角，求证： （1）sin θ＋cos θ＜
2
π；
（2）sin 3
θ+cos 3
θ＜1．
13．已知角α的终边经过点P （－3cos θ，4cos θ），其中θ∈（2k π+2
π，2k π+π）（k ∈Z ），
求角α的各三角函数值．
14．（1）已知角α的终边经过点P （3，4），求角α的六个三角函数值； （2）已知角α的终边经过点P （3t ，4t ），t ≠0，求角α的六个三角函数值．
15．已知角α终边上的一点P ，P 与x 轴的距离和它与y 轴的距离之比为3 ：4，且0
s i n <α求：cosα和tanα的值．
1.3·1 三角函数的诱导公式
一、选择题
1．如果|cos x |=cos （x +π），则x 的取值集合是（ ）
A ．－
2
π+2k π≤x ≤2
π+2k π B ．－2
π+2k π≤x ≤
2
π3+2k π
C ．
2
π+2k π≤x ≤
2
π3+2k π D ．（2k +1）π≤x ≤2（k +1）π（以上k ∈Z ）
2．sin （－
6
π19）的值是（ ） A ．
2
1
B ．－
2
1 C ．
2
3 D ．－
2
3
3．下列三角函数：
①sin （n π+
3
π4）；②cos （2n π+
6
π）；③sin （2n π+
3
π）；④cos ［（2n +1）π－
6
π］；
⑤sin ［（2n +1）π－3
π］（n ∈Z ）．
其中函数值与sin 3
π的值相同的是（ ） A ．①② B ．①③④
C ．②③⑤
D ．①③⑤
4．若cos （π+α）=－
5
10，且α∈（－2
π，0），则tan （
2
π3+α）的值为（ ）
A ．－36
B ．
3
6
C ．－
2
6
D ．
2
6
5．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（ ）
A ．cos （A +
B ）=cos
C B ．sin （A +B ）=sin C C ．tan （A +B ）=tan C
D ．sin
2
B A +=sin
2
C
6．函数f （x ）=cos
3
πx （x ∈Z ）的值域为（ ）
A ．{－1，－2
1，0，
2
1，1}
B ．{－1，－2
1，
2
1，1}
C ．{－1，－2
3
，0，2
3，1}
D ．{－1，－
2
3，2
3，1}
二、填空题 7．sin 2
（
3
π－x ）+sin 2
（
6
π+x ）=_________．
8．若α是第三象限角，则)πcos()πsin(21αα---=_________． 9．sin 2
1°+sin 2
2°+sin 2
3°+…+sin 2
89°=_________．
三、解答题
10．求值：sin （－660°）cos420°－tan330°cot （－690°）．
11．证明：1
)πtan(1)π9tan(sin 211
cos )πsin(22
++-+=
--?+θθθ
θθ．
12．已知cos α=3
1
，cos （α+β）=1，求证：cos （2α+β）=3
1
．
13． 化简：?
+???+790cos 250sin 430cos 290sin 21．
14、求证：)
π5sin()πcos()
π6cos()π2sin()π2tan(θθθθθ+-----=tan θ．
15． 求证：（1）sin （2
π3－α）=－cos α；
（2）cos （2
π3+α）=sin α．
1.3·2 三角函数的诱导公式
一、选择题： 1．已知sin(
4
π+α)=
23，则sin(
4
3π-α)值为（ ）
A.
2
1 B. —
2
1 C.
2
3 D. —
2
3
2．cos(π+α)= —
2
1，
2
3π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ）
A. 2
3 B. 2
1 C. 2
3± D. —2
3
3．化简：)2cos()2sin(21-?-+ππ得（ ）
A.sin2+cos2
B.cos2-sin2
C.sin2-cos2
D.± (cos2-sin2) 4．已知α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是（ ）
A.sinα=sinβ
B. sin(α-π2) =sinβ
C.cosα=cosβ
D. cos(π2-α) =-cosβ 5．设tanθ=-2, 2
π-
<θ<π2，那么sin
2
θ+cos(θ-π2)的值等于（ ），
A.
5
1（4+5） B. 5
1（4-5） C. 5
1（4±5） D.
5
1（5-4）
二、填空题： 6．sin （-3
17π）= .
7．cos(π-x)= 2
3，x ∈（-π，π），则x 的值为 ．
8．tanα=m ，则
=+-+++)
cos(-sin()cos(3sin(απα）απ）απ ．
9．|sinα|=sin （-π+α），则α的取值范围是 ． 10．若α为锐角，则2|log secαcos （π2-α）= ． 三、解答题： 11．
)
cos(·3sin()
cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi ．
12．已知：sin （x+6
π）=
4
1，求sin （
)6
7x +π+cos 2
（
6
5π-x ）的值．
13． 求下列三角函数值： （1）sin 3
π7；（2）cos
4
π17；（3）tan （－
6
π23）；（4）sin （－765°）.
14． 求下列三角函数值： （1）sin
3
π4·cos 6
π25·tan
4
π5；
（2）sin ［（2n +1）π－3
π2］.
15．设f （θ）=
)
cos()π(2cos 23)2
π
sin(
)π2(sin cos 22
2
3
θθθθθ-+++-++-+，求f （
3
π）的值.
1.4·1 三角函数的图像与性质
一、选择题
1．若cos x =0，则角x 等于( )
A ．k π（k ∈Z ）
B ．2
π+k π（k ∈Z ）
C ．
2
π+2k π（k ∈Z ）
D ．－2
π+2k π（k ∈Z ）
2．使cos x =m
m -+11有意义的m 的值为( ) A ．m ≥0
B ．m ≤0
C ．－1＜m ＜1
D ．m ＜－1或m ＞1
3．函数y =3cos （
5
2x －6
π）的最小正周期是( ) A ．
5
π2
B ．
2
π5 C ．2π D ．5π
4．函数y =
x
x cos 2cos 2-+（x ∈R ）的最大值是( ) A ．
3
5
B ．
2
5 C ．3 D ．5
5．函数y =2sin 2x +2cos x －3的最大值是( )
A ．－1
B ．
2
1 C ．－
2
1 D ．－5
6．函数y =tan
a
x 的最小正周期是( ) A ．a π
B ．|a |π
C ．
a
π D ．
|
|a π
7．函数y =tan （
4
π－x ）的定义域是( )
A ．{x |x ≠
4
π，x ∈R }
B ．{x |x ≠－
4
π，x ∈R }
C ．{x |x ≠k π+4
π，k ∈Z ，x ∈R }
D ．{x |x ≠k π+4
π3，k ∈Z ，x ∈R }
8．函数y =tan x （－
4
π≤x ≤4
π且x ≠0）的值域是( ) A ．［－1，1］ B ．［－1，0）∪（0，1］
C ．（－∞，1］
D ．［－1，+∞）
9．下列函数中，同时满足①在（0，2
π）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周
期的函数是( )
A ．y =tan x
B ．y =cos x
C ．y =tan
2
x D ．y =|sin x |
10．函数y =2tan （3x －
4
π）的一个对称中心是( ) A ．（
3
π，0） B ．（
6
π，0） C ．（－
4
π，0） D ．（－
2
π，0）
二、解答题
11．比较下列各数大小： （1）tan2与tan9； （2）tan1与cot4．
12．已知α、β∈（2
π，π），且tan α＜cot β，求证：α+β＜
2
π3．
13．求函数y =tan 2
x +tan x +1（x ∈R 且x ≠2
π+k π，k ∈Z ）的值域．
14．求函数y =－2tan （3x +3
π）的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性．
15求函数y =1cos 3cos 22-+-x x +lg （36－x 2）的定义域．
1.4·2 三角函数的图像与性质
一、选择题：
1．满足tanα≥cotα的角的一个取值区间是（ ）
A.(0, π4 )
B. [0,π4 ]
C. [π4 ,π2 ]
D. [π4 ,π
2 ]
2．函数的定义域是（ ）
A.{x|x≠π4 , x ∈R}
B. {x|x≠3π
4 ,x ∈R}
C. {x|x≠kπ +π4 ,x ∈R}
D. {x|x≠kπ +3π
4 ,x ∈R}
3．下列函数中周期为的奇函数是（ ）
A.y=cos(2x+3π2 )
B.y=tan x 2
C.y=sin(2x+π2 )
D.y= - |cotx π
2 |
4．若sinα>tanα>cotα(-π2 2 )，则α的取值范围是（ ） A.(- π2 ,π4 ) B. (-π4 ,0) C.(0, π4 ) D.( π4 ,π 2 ) 二、填空题 5．比较大小：tan222°_________tan223°. 6．函数y=tan(2x+π 4 )的单调递增区间是__________． 7．函数 y=sinx 与 y=tanx 的图象在区间[0，2π]上交点的个数是________． 8．函数 y=f(x) 的图象右移π 4 ，横坐标缩小到原来的一半，得到y=tan2x 的图象， 则y=f(x)解析式是_______________． 9．函数y=lg tanx+1 tanx-1 的奇偶性是__________． 10．函数的y=|tan(2x-π 3 )|周期是___________． 三、解答题 11．作函数y =cot x sin x 的图象. 12．作出函数y =|tan x |的图象，并根据图象求其单调区间 13． 求函数y = ) 6πtan(1tan + -x x 的定义域. 14． 求下列函数的值域： （1）y =2cos 2x +2cos x －1； （2）y =1 cos 21cos 2-+x x . 15．求函数y =3tan （6 π－4 x ）的周期和单调区间. 1.5·1 函数 y=Asin(ωx+ψ) 一、选择题： 1．函数y=sin(2x+π 6 )的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象做以下平移得到（ ） A.向右平移π6 B. 向左平移 π12 C. 向右平移 π12 D. 向左平移π 6 2．函数y=sin(π 4 -2x)的单调增区间是（ ） A. [kπ-3π8 , kπ+3π8 ] (k ∈Z) B. [kπ+π8 , kπ+5π 8 ] (k ∈Z) C. [kπ-π8 , kπ+3π8 ] (k ∈Z) D. [kπ+3π8 , kπ+7π 8 ] (k ∈Z) 3．函数y=sin(x+3π 2 )的图象是（ ） A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于x=-3 2 π对称 4．函数f （x ）=cos （3x+φ）的图像关于原点中心对称的充要条件是（ ） A. φ=π 2 B. φ= kπ(k ∈Z) C. φ= kπ+π2 (k ∈Z) D. φ= 2kπ-π 2 (k ∈Z) 5．函数 y=1 5 sin2x 图象的一条对称轴是（ ） A.x= - π2 B. x= - π4 C. x = π8 D. x= - 5π 4 二、填空题： 6．函数 y=15 sin(3x-π 3 ) 的定义域是__________，值域是________，周期是________，振 幅是________，频率是________，初相是_________． 7．如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π 8 对称，那么a=_________． 8．函数y=sin2x 的图象向左平移 π 6 ，所得的曲线对应的函数解析式是__________． 9．要得到 y=sin2x-cos2x 的图象，只需将函数 y=sin2x+cos2x 的图象沿x 轴向____移___________个单位． 10．关于函数f(x)=4sin(2x+π 3 ) (x ∈R)，有下列命题： （1）y=f(x )的表达式可改写为y=4cos(2x-π 6 ); （2）y=f(x )是以2π为最小正周期的周期函数； （3）y=f(x ) 的图象关于点(-π 6 ,0)对称; （4）y=f(x ) 的图象关于直线x=-π 6 对称; 其中正确的命题序号是___________． 三、解答题： 11．函数 y=sin(2x+π 3 ) 的图象，可由函数 y=sinx 的图象怎样变换得到？ 12．已知函数f(x)=log a cos(2x-π 3 )（其中a>0,且a≠1）． （1）求它的定义域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性； （4）判断它的周期性，如果是周期函数，求它的最小正周期． 13.已知正弦波图形如下： 108642O -2-4-6-8-10 00.10.20.30.40.50.60.70.80.9 ππ-36 5x y 此图可以视为函数y =A sin （ωx +?）（A ＞0，ω＞0，|?|＜2 π）图象的一部分，试求出其 解析式. 14． 已知函数y =3sin （ 2 1x －4 π）. （1）用“五点法”作函数的图象； （2）说出此图象是由y =sin x 的图象经过怎样的变化得到的； （ 3）求此函数的周期、振幅、初相； （4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间. 15．如图，某地一天从6时到11时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(?ω (1) 求这段时间最大温差； (2) 写出这段曲线的函数解析式． 1.5·2 函数 y=Asin(ωx+ψ) 一、选择题： 1、若f(x) cos 2 x π 是周期为2的奇函数,则f(x)可以是 （ ） A ．sin 2 x π B ．cos 2 x π C ．sinπx D ．cosπx 2、把函数y=cos(x +3 4π )的图象向右平移φ个单位,所得到的图象正好是关于y 轴对称, 则φ的最小正值是 （ ） A ． 3 2π B ． 3 π C ． 3 4π D ． 3 5π 3、函数y=sin(2x + 3 π )的一条对称轴为 （ ） A ．x= 2 π B ．x= 0 C ．x=－ 6 π D ．x = 12 π 4、方程sinx = lgx 的实根有 （ ） A ．1个 B ．3个 C ．2个 D ． 无穷多个 5、函数y = sin2x+acos2x 的图象关于直线x=－ 8 π 对称,则a 的值为 （ ） A ．1 B ．－ 2 C ．－1 D ．2 6、已知函数y=f(x),将f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,然 后把所得到的图象沿x 轴向左平移4 π 个单位,这样得到的曲线与y=3sinx 的图象相同, 那 么y=f(x)的解析式为 （ ） A ．f(x)=3sin(4 2π -x ) B ．f(x)=3sin(2x+4 π ) C ．f(x)=3sin( 4 2π + x ) D ．f(x)=3sin(2x －4 π ) 7、y= log 2 1sin(2x + 4 π )的单调递减区间是 （ ） A ．[kπ－4π ,kπ](k ∈Z) B ．(kπ－ 8 π ,kπ+ 8 π )(k ∈Z) C ．[kπ－ 8 3π ,kπ+ 8 π ] (k ∈Z) D ． (kπ－ 8 π , kπ+83π)(k ∈Z) 8、已知y=Asin(ωx+φ)在同一周期内,x=9 π 时有最大值 2 1, x =9 4π 时有最小值－ 2 1 ,则函 数的解析式为 （ ） A ．y=2sin(6 3π - x ) B ．y=2 1sin(3x+ 6 π ) C ．y= 2 1sin (3x —6 π ) D ．y= 2 1sin(3x －6 π ) 二、填空题： 9、已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的两个相邻最值点为(6 π ,2), ( 3 2π,－2),则这 个函数的解析式为y =____________. 10、设a= log 2 1tan70°, b=log 2 1sin25°,c=( 2 1) cos25° ,则它们的大小关系为_________. 11、已知函数y ＝2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则其面积为＿＿＿ 12、下列说法正确的是（填上你认为正确的所有命题的代号）＿＿＿＿。 ①函数y ＝－sin(kπ＋x)(k ∈Z)的奇函数； ②函数y ＝sin(2x ＋ 3 π )关于点( 12 π ,0)对称； ③函数y ＝2sin(2x ＋ 3 π )＋sin(2x －3 π )的最小正周期是π； ④△ABC 中，cosA ＞cosB 的充要条件是A ＜B ； ⑤函数＝cos 2x ＋sinx 的最小值是－1 三、解答题： 13、已知函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,|φ|<π,b 为常数)的 一段图 象(如图)所示. ①求函数的解析式； ②求这个函数的单调区间. 14、已知a>0,函数y=－acos2x －3asin2x+2a+b,x ∈[0,2 π ].若函数的值域为[－5,1], 求常 数a,b 的值. 15、己知一条正弦函数的图象,如图所示. ①求此函数的解析式； ②求与f 1(x)图象关于直线x=8对称的函数解析式f 2(x)； ③作出y=f 1(x)+f 2(x)的简图. 1.6·1 三角函数模型简单应用 一、选择题 1．函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为（ ） A ．2 B ．0 C ．4 1- D ．6 2．2sin 5cos )(+-?=x x x x f ，若a f =)2(，则)2(-f 的值为（ ）． A ．－a B ．2＋a C ．2－a D ．4－a 3．设A 、B 都是锐角，且cosA ＞sinB 则A+B 的取值是 （ ） A ．??? ??ππ ,2 B ．()π,0 C ．?? ? ??2,0π D ．??? ? ?2,4ππ 4．若函数)(x f 是奇函数，且当0 A ．x x 2sin 3cos + B ．x x 2sin 3cos +- C ．x x 2sin 3cos - D ．x x 2sin 3cos -- 5．下列函数中是奇函数的为( ) A ．y= x x x x cos cos 22 -+ B ．y= x x x x cos sin cos sin -+ C ．y=2cosx D ．y=lg(sinx+x 2 sin 1+) 二、填空题 6．在满足 x x 4πtan 1πsin +＝0的x 中，在数轴上求离点6最近的那个整数值是 ． 7．已知()3sin 4f x a x b x =++（其中a 、b 为常数），若()52=f ，则()2f -=__________． 8．若?>30cos cos θ，则锐角θ的取值范围是_________ ． 9．由函数?? ? ??≤ ≤=656 3sin 2ππx x y 与函数y ＝2的图象围成一个封闭图形， 这个封闭图形的面积是_________． 10．函数1sin(2)2 y x θ=+的图象关于y 轴对称的充要条件是 三、解答题 11．如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式),0,0)(sin(>>+=ω?ωA t A I 在一个周期内的图象. ①试根据图象写出)sin(?ω+=t A I 的解析式 ②为了使)sin(?ω+=t A I 中t 在任意一段 1100 秒的时间内I 能同时取最大值|A|和最小值－|A|， 那么正整数ω的最小值为多少？ 12．讨论函数y=lgcos2x 的的定义域、值域、奇偶性、周期性和单调性等函数的基本性质 13．函数2()122cos 2sin f x a a x x =---的最小值为()()g a a R ∈， （1）求ga ()的表达式；（2）若1()2 g a =，求a 及此时()f x 的最大值 14．已知f(x)是定义在R 上的函数，且1()(2)1() f x f x f x ++= - (1)试证f(x)是周期函数. (2)若f(3)=3-，求f(2005)的值. 15．已知函数)0,0)(sin()(π?ω?ω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点 ?? ??????? ??2π0，对称，且在,043πM 上是单调函数，求?ω和的值． 1.6·2 三角函数模型简单应用 1．你能利用函数sin y x =的奇偶性画出图象吗？它与函数sin y x = 的图象有什么联系？ 2．已知：1sin 2 α=- ，若(1),22ππα∈- ? ? ?? ? ； (2)(0,2)απ∈； (3)α是第三象限角；(4)α∈R ．分别求角α。 3．已知[]0,2θπ∈, s in ,c o s θθ分别是方程210x kx k -++=的两个根，求角θ． 4．设A 、B 、C 、D 是圆内接四边形ABCD 的四个内角，求证： （1）sin A ＝sin C ； （2）cos （A ＋B ）＝cos （C ＋D ）； （3）tan （A ＋B ＋C ）＝－tan D ． 5．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商品m 件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大? 6．把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈．用剪刀斜着．．将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线，试一试动手操作一下.它是正弦曲线吗？ 7．如图，铁匠师傅在打制烟筒弯脖时，为确保对接成直角，在铁板上的下剪线正好是余弦曲线：cos x y a a =的一 个周期的图象，问弯脖的直径为12 cm 时，a 应是多少cm ? y 1 -2 π 2 π 8．已知函数f (x )=x 2cos 12-，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶性、周期性以及区间[0， 2 π ]上的单调性。 9、（14分）如图，扇形AOB 的半径为2，扇形的圆心角为 4 π ，PQRS 是扇形的内接矩 形，设∠AOP=θ， （1） 试用θ表示矩形PQRS 的面积y ； （2）利用正、余弦的和（差）与倍角公式化简矩形面积表达式y. 10.某人用绳拉车沿直线方向前进100米,若绳与行进方向的夹角为30°,人的拉力为20牛,则人对车所做的功为多少焦. 11．某港口水的深度y （米）是时间t ，单位：时）（24t 0≤≤，记作y=f(x),下面是某日水深的数 据： 经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数b t Asin y +=?的图象。 12．已知△ABC 的两边a, b ，它们的夹角为C 1?试写出△ABC 面积的表达式； t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y （米） 10 13 9.9 7 10 13 10 7 10 A B P O R S Q 2?当∠C 变化时，求△AABC 面积的最大值。 13．已知定义在区间2[,]3 π π-上的函数) (x f y =的图象关于直线6 π - =x 对称，当 2[, ]6 3 x ππ∈- 时，函数()sin()(0,0,)2 2 f x A x A π π ω?ω?=+>>- << ， 其图象如图所示. 求函数() y f x =在2[, ]3 π π-的表达式； 14．绳子绕在半径为50cm 的轮圈上，绳子的下端B 处悬挂着物体W ，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W 的位置向上提升100cm? 15．如图，是正弦函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的一个周期的图像. (1)写出f(x)的解析式； (2)若g(x)与f(x)的图像关于直线x=2对称，写出g(x)的解析式. （1）试根据以上数据，求出函数y=f(t)的近似表达式； （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间？（忽略进出港所需的时间） x y o ? ? ? -π 1 6 π - =x 3 2π 6 π 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A =2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = - 2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)] 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2(tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 高中常用三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 高考三角函数真题 2018： 7．已知函数sin(2)()22y x ??ππ=+-<<的图象关于直线3 x π=对称，则?的值是 ▲ ． 16．（本小题满分14分） 已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=． （1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值． 17．（本小题满分14分） 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚， 大棚Ⅰ的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ的地块形状 为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧 上．设OC 与MN 所成的角为θ． （1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确 定sin θ的取值围； （2）若大棚Ⅰ种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 2017：5.若tan 1- =46 πα?? ???,则tan α= 16. （本小题满分14分） 已知向量a =（cos x ,sin x ）,,. （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记,求的最大值和最小值以及对应的x 的值 18. （本小题满分16分） 如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，E 1G 1的长分别为14cm 和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为 【最新】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1．设函数())cos(2)f x x x ??=+++(||)2 π ?<，且其图像关于直线0x =对 称，则（ ） A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2 π 上为增函数 B ．()y f x =的最小正周期为 2π，且在(0,)4 π 上为增函数 C ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2 π 上为减函数 D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4 π 上为减函数 【答案】C 【解析】 试题分析：())cos(2)f x x x ??=+++2sin(2)6 x π ?=++，∵函数图像关于直 线0x =对称， ∴函数()f x 为偶函数，∴3 π ?=，∴()2cos 2f x x =，∴22 T π π= =， ∵02 x π << ，∴02x π<<，∴函数()f x 在(0, )2 π 上为减函数. 考点：1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性. 2．已知函数sin(),0 ()cos(),0 x a x f x x b x +≤?=?+>?的图像关于y 轴对称，则sin y x =的图像向左平移 （ ）个单位，可以得到cos()y x a b =++的图像（ ）. A ． 4 π B ． 3 π C ． 2 π D ．π 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件确定,a b 关系，再化简()cos y x a b =++，最后根据诱导公式确定选项. 【详解】 因为函数()()(),0 ,0 sin x a x f x cos x b x ?+≤?=?+>??的图像关于y 轴对称，所以 三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α 原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 【立方计算公式，不是体积计算公式】 完全立方和公式 (a+b)^3 =(a+b)(a+b)(a+b) = (a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3 + 3(a^2)b + 3a(b^2)+ b^3 完全立方差公式 (a-b)^3 = (a-b)(a-b)(a-b)= (a^2-2ab+b^2)(a-b) = a^3 - 3(a^2)b + 3a(b^2)-b^3 立方和公式： a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2） 立方差公式： a^3-b^3=(a-b) (a^2+ab+b^2) 3项立方和公式： a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 第三讲 历年高考三角函数真题 典型题型真题突破 【例1】(2007年江西)若πtan 34α?? -= ??? ，则cot α等于（ ） A ．2- B ．1 2 - C ． 12 D ．2 【例2】(2007年陕西)已知sin 5 α=，则44 sin cos αα-的值为（ ） A ．15 - B ．35 - C ． 15 D ． 35 【例3】(2005年湖北) 若)2 0(tan cos sin π αααα< <=+，则∈α( ) A ．（0， 6π） B ．（6π，4π） C ．（4π，3π） D ．（3π，2 π ） 【例4】(2007年浙江)已知11sin 225θ+=，且324θππ ≤≤，则cos2θ的值是____． 【例5】(2007年江苏)若1cos()5αβ+=，3 cos()5 αβ-=，则tan tan αβ?=_____ 【例6】(2006年重庆)已知()33,,,sin ,45παβπαβ?? ∈+=- ??? 12sin()413πβ-=，则 cos()4 π α+=____. 【例7】（2005年重庆）已知α、β均为锐角，且αβαβαtan ),sin()cos(则-=+= 【例8】(1996年全国)tan 20tan 4020tan 40++?。。。。 的值是_______ 【例9】(2007年四川)已知0,14 13 )cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(Ⅰ)求α2tan 的值. （Ⅱ）求β. 【例10】(2005年浙江)已知函数f(x)＝－3sin 2 x ＋sinxcosx ． (Ⅰ) 求f( 256 π )的 值;(Ⅱ) 设α∈(0，π)，f( 2 α)＝41 －2，求sin α的值． 1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离 是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα== ， ()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2 222 1 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成 απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin( 5.特殊角的三角函数值 倒数关系：tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 商的关系：sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ） 坡度公式我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，即i=h / l, 坡度的一般形式写成l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角），那么i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的 对边二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2 (a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2C os^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)） 三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sin a(3/4-sin2a) =4sina[(√3/2)2-sin2a] =4sina(sin260°-sin2a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos2a-3/4) =4cosa[cos2a-(√3/2)^2] =4cosa(cos2a-cos230°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2] cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasi 高中数学三角函数专题复习(内附类型题以及历年高考真题,含答案 免费) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan == x x x ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得? ??=+=，1cos sin cos 2sin 2 2x x x x 解这个方程组得.55cos 5 5 2sin ,55cos 552sin ??? ????-=-=?? ?????==x x x x 2．求 ) 330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan( ----的值． 解：原式 ) 30360cos()150sin()30720tan() 120360sin()30180cos()180120tan(o --+---++-= .3330 cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---= 3．若 ,2cos sin cos sin =+-x x x x ，求sin x cos x 的值． 解：法一：因为 ,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得 ，，??? ??? ?=-=?? ?????-==1010cos 10 103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?- =103 cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有?- =10 3cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ． 证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证． 专题一 三角函数与解三角形 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1、弧度制的定义与公式： 定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度记作rad. 公式 角的弧度数公式 r =α 角度与弧度的换算 ①rad 180 1π=? ② 弧长公式 扇形面积公式 2、任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 第一定义：设是任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则 第二定义：设 是任意角，它的终边上的任意一点 P(x,y)，则 . 考点1 三角函数定义的应用 例1 .已知角α的终边在直线043=+y x 上，则=++αααtan 4cos 5sin 5 . 变式：（1）已知角α的终边过点)30sin 6,8(? --m P ，且5 4 cos - =α，则m 的值为 . （2）在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________． （3）4tan 3cos 2sin 的值（ ） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 考点2 扇形弧长、面积公式的应用 例 2.已知扇形的半径为10cm,圆心角为? 120，则扇形的弧长为 面积为 . 变式：已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，则弦AB 所对的圆心角α的大小 为 ，α所在的扇形弧长 为 ，弧所在的弓形的面积S 为 . 二、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1、1cos sin 2 2=+αα α αcos tan = 2、三角函数的诱导公式 例1.已知α是三角形的内角，且.5 cos sin =+αα (1)求αtan 的值； (2)把α α22sin cos 1 +用αtan 表示出来，并求其值. 变式：1、已知α是三角函数的内角，且3 1 tan -=α，求ααcos sin +的值. 2、已知.34tan -=α（1）求α αααcos 2sin 5cos 4sin +-的值；（2）求αααcos sin 2sin 2 +的值. 3.若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________. 三角函数公式 三角函数内容规律 三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 1、三角函数本质： 三角函数的本质来源于定义，如右图： 根据右图，有 sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 推导： 首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） [1] 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=2tanA/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) cosα=sin(90-α) 半角公式 三角函数公式大全 三角函数定义 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直 任 角三角形 意角三角函数 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan 或tg） 余切（cot 或ctg） 正割（sec） 余割（csc） 函数关系 倒数关系： 商数关系： 平方关系： ． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终 边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数 值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得 到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终 边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负 值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角 的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要项数要 最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。 三角函数(1985年——20XX 年高考试题集) 一、选择题 1. t an x ＝1是x ＝4 5π 的 。(85(2)3分) A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 函数y ＝2sin2xcos2x 是 。(86(4)3分) A.周期为2 π的奇函数 B.周期为2π 的偶函数 C.周期为4 π 的奇函数 D.周期为4 π 的偶函数 3. 函数y ＝cosx －sin 2x －cos2x ＋ 4 17 的最小值是 。(86广东) A. 4 7 B.2 C.49 D.4 17 E. 4 19 4. 函数y ＝cos 4x －sin 4x 的最小正周期是 。(88(6)，91(3)3分) A.π B.2π C.2 π D.4π 5. 要得到函数y ＝sin(2x － 3 π )的图象，只须将函数y ＝sin2x 的图象 。(87(6)3分) A.向左平移3π B.向右平移3π C.向左平移6π D.向右平移6 π 6. 若α是第四象限的角，则π－α是 。(89上海) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 7. t an 70°＋tan50°－3tan70°tan50°的值是 。(90广东) A.3 B. 3 3 C.－ 3 3 D.－3 8. 要得到函数y ＝cos(2x － 4 π )的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象 。(89上海) A.向左平移8π个单位 B.向右平移8 π 个单位 C.向左平移4π个单位 D.向右平移4π个单位 9. 函数y ＝ cotx | cotx ||tanx |tanx cosx |cosx ||sinx |sinx +++的值域是 。(90(6)3分) A.{－2，4} B.{－2，0，4} C.{－2，0，2，4} D.{－4，－2，0，4} 10. 若函数y ＝sin(ωx)cos(ωx)(ω＞0)的最小正周期是4π，那么常数ω为 。(92(2)3) A.4 B.2 C.2 1 D. 4 1 注:原考题中无条件“ω＞0”，则当ω取负值时也可能满足条件 11. 在直角三角形中两锐角为A 和B ，则sinAsinB 。(93(6)3分) A.有最大值 2 1 和最小值0 B.有最大值 2 1 ，但无最小值 C.既无最大值也无最小值 D.有最大值1，但无最小值 12. 角α属于第二象限，且|cos 2α|＝－cos 2α，则2 α 角属于 。(90上海) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 三角函数与解三角形 一、 y=Asin （ωx+φ）函数的图像与性质重难点突破 二、经验分享 【知识点1 用五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象】 用“五点法”作sin()y A x ω?=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ω?=+，由z 取3 0,,,,222 π πππ来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. 【知识点2 由y=sinx 得图象通过变换得到y=Asin （ωx+φ）的图象】 1.振幅变换： sin y A x x R =∈，(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短 (0 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 高中三角函数公式大全 2009年07月12日 星期日 19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +- 三角函数与反三角函数 第一部分三角函数公式 ·两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) ·半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα cot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα) sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1)) csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A） Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B） ·万能公式 sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) ·降幂公式 sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ -tanγ·tanα) ·和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB常用的三角函数公式大全
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