数学可视化3D打印

` 数学可视化3D打印

亨利史蒂芬塞格曼

这个专栏是在群体中人与人之间传递一点数学的地方，因为他们是如此优雅，令人惊讶，呼吁人对其有一种强烈的欲望，欢迎大家投稿。

请提交所有的邮件给数学娱乐编辑，斯坦福大学的拉维?瓦基勒，地址斯坦福数学系建筑楼380，邮编94305-2125 CA，USA，电子邮件：

vakil@https://www.wendangku.net/doc/f06322106.html,。

3D 打印很快将成为了我们可负担的生产物体的方式。术语"3D打印"覆盖一些密切相关的技术,所有的这些根据电脑模型逐层打印三维物体。这些技术主要开发用于工业设计快速成型，相比于以前可行的技术，允许设计者将他们的计算机模型的原型转换成物体更快。此外,还有很多其它的优点让3D打印可以创造出有吸引力的数学模型。

1.可以生成大量自由的几何物体,根据消减制造技术，必须把某些材料从最初的实体中移除（例如用机床加工、钻头、雕刻），而具有复杂内部结构的对象难以生产。但3D打印增材制造能大大缓解这些问题。

2.最后的对象非常接近理想的数学模型。工作步骤数学概念→计算机模型→3D打印对象。第一个箭头可能涉及用一个三维计算机辅助设计程序手工建设或使用一个由用户编写的程序（例如Python script）建造几何体。在任何情况下，该几何体的计算机模型可以和它的数学概念非常相似。第二个箭头由3D打印机完成，它们甚至可以精确到毫米级。

3.三维打印没有昂贵的初始安装成本（相比于例如根据模型铸造的过程，谁首先要被生产出来的花费极大）。

关于负担能力，现在有一些基于网络的公司将以非常合理的价格三维打印您的模型，所以拥有或有能力三维打印是没有必要的。据说，许多高校已经购买了三维打印机运用在其建筑或设计部门。直接运用三维打印机的主要优点是周转时间取决于对象的大小，印刷一般需要几个小时。然而，基于网络的公司可能需要一两周的时间，首先设计是上传到他们的网站，直到处理三维打印的对象。

这篇文章是分2个部分。第一部分显示最近的一些打印工作由数学家和数学能手完成。希望这能鼓舞读者尝试第二部分，这是一个产生明确参数化表面的3D设计教程。在软件方面，本教程只需要使用算法[ 15 ]。为了和这篇文章一起说明，我也写了一个详细的使用三维打印其中之一的服务的介绍来完成你的设计，我还写了包括进一步使用3D打印生产对象的一些说明。这些说明可以在HTTP：/ / https://www.wendangku.net/doc/f06322106.html,/3d_printing_notes.html上看。

（a）格子结构的一块4×4×4，2008获得（b）两个一样的格子互相连接复制，2012 著作使用权，乔治哈特获得著作使用权，乔治哈特

图一乔治哈特设计打印的结晶结构（10，3）-a

（a）五角三八面体,艾伦舍恩发明的三倍周(b)塞弗特表面，边界是博罗米恩环，2007 期最低限度表面，2005获得著作使用权，获得著作使用权，拔示巴格罗斯曼

拔示巴格罗斯曼

图二由拔示巴格罗斯曼设计

（a）3D希尔伯特超平行体，充满空间（b）对称中途点翻转的圆环，

弯曲的结构，2005获得著作使用权，2011获得著作使用权，

卡洛斯瑟奎恩卡洛斯瑟奎恩

图三由卡洛斯瑟奎恩设计

（a）双曲抛物面，显示x和y轴分割（b）双曲抛物面，显示等级曲线，表面，2010获得著作使用权，2010获得著作使用权，戴维巴赫曼戴维巴赫曼

图四由戴维巴赫曼设计

（a）勒洛三角形围绕对称轴创造不变宽度（b）最小有限投影空间，2009获得著实体，2009获得著作使用权，作使用权，伯卡德波尔斯特

伯卡德波尔斯特

图五由伯卡德波尔斯特设计

（a）参数化的莫比乌斯环，2012获得著（b）双半球120到160，2012获得著作作使用权，亨利史蒂芬塞格曼使用权，亨利史蒂芬塞格曼

图六由作者和撒乌耳施莱默合作设计

3D打印可视化的例子

乔治哈特以前在数学能力期刊写了关于3D打印数学可视化[ 9 ]，覆盖谢尔宾斯基四面体和孟杰海绵的模型，以及各种多面体设计四维多面体投影。图1显示两个他最近的作品，基于晶体结构的（10,3）-a这是由化学家A. F.威尔斯描述。可看到[ 8 ]更多细节，拔示巴格罗斯曼是一个艺术家，大部分工作在三维印刷金属。这2个例子图2显示了她开发的一种代表穿孔的表面的技术。孔的大小与表面曲率有关。[ 7 ]卡洛斯瑟奎恩是计算机科学教授，他经常教授涉及计算机建模和三维印刷的课程。最近的作品如图3所示，还有更多的可以在[ 14 ]。一些三维打印机可以直接打印的颜色，如图1B、3B。戴维巴赫曼（图4）和伯卡德波尔斯特（图5，也见[ 12 ]）都是三维设计上传在https://www.wendangku.net/doc/f06322106.html,的数学家，其中之一的3D印刷服务基于网络。我还包括2个自己与撒乌耳施莱默图6合作的设计。这些对象是本地的三维球体，并被规划为三维立体图形来打印。详情见[ 13 ]。由此产生的3D打印在图1B和6B的对象包括一脉相通的两部分。这种对象与其他意义上的3D打印将是非常不同地被制造。还有一些其他数学艺术家从事3D打印。比如弗拉迪米尔布拉托夫[ 4 ]，其设计涉及到多面体的对称性或三维双曲几何，和'紧急系统”[ 11 ]利用计算机模拟自然过程，例如扩散反应。

亨利史蒂芬塞格曼是澳大利亚墨尔本大学数学系研究员和统计学家。他在三维几何与拓扑的数学研究，特别是涉及3流形的理想三角形。他也是一个数学艺术家，主要工作于3D打印，经常复制拓扑与几何对象。其他艺术兴趣包括生成程序，分形、自参考、对称字，和智力测验。

墨尔本大学数理统计系

帕克威尔区，维多利亚省邮政编码3010 澳大利亚

电子邮件：segerman@https://www.wendangku.net/doc/f06322106.html,.au

三维打印入门

软件

有更多或更少的全功能的三维设计程序。这些非常昂贵的程序使用在电影和电脑游戏（如3ds max Maya [ 2 ]，[ 3 ]）范围内，通过免费和开放源代码软件（例如，Blender[ 6 ]，MeshLab [ 5 ]）。许多商业计划包括大型可咨询的折扣，虽然如此，他们仍然比较贵。自由软件中Blender是非常全功能，但（至少目前）有点非标准用户界面和陡峭的学习曲线。Meshlab虽然优点少得多，但它是用于查看和做一些小小的改变对网格文件（即数据发送到一个三维打印机）做一些小小的改变。Blender和MeshLab有Windows，OS X和Linux版本。我大多使用称为Rhinoceros [1]（或只是Rhino）商业程序，它可用于Windows，与OS X的目前公开测试版。和许多软件包一样，Rhinoceros有一个语言脚本（包括基于Python的版本），它是有可能生成几何程序。这也很容易生成“规则和罗盘”状3D结构，它可以从Adobe Illustrator上输入二维图形。在将任何网状文件发送到打印机之前我用MeshLab完整性检查它们。熟悉程序是一个进一步的好主意，但离可以使用Mathematica还很远。因为本文的读者很有可能熟识Mathematica，我们将用它生成一个可视化的实例。

例子：用Mathematica生成一个参数曲面

由巴赫曼的模型在图4中的启发，我们将产生类似明确参数表面的表现，例如双曲抛物面。数学编码是在下一节所示。模型如这个可能是一个有用的多变量积分的演算类教学工具，例如。图形输出代码在图7a所示。

（a）mathmatica图形输出（b）MeshLab打开STL文件

图七生成双曲抛物面模型

除了这个图形输出，编码还输出图形数据作为联系''STL''的文件版本。文件“MathematicaParametricSurface.stl”应该出现在你的当代码运行的根目录。在图7b中，我们看到的这文件作为MeshLab查看文件。 STL的网络文件格式是用于描述三角形网格的标准格式，并且它是一个3D打印机作为输入的格式。文件实质上由一长串三角形组成，每个三角形被给定其三个角3维坐标。三维打印机采用这些三角形集合并解释他们作为一个封闭的集合，嵌入的3维表面从它可决定其中哪个立体像素（三维类似物的像素）是表面内（所以应是实体和充满塑体或任何打印机使用材料）以及哪些是外侧的面（所以应该是空的）。有些程序（例如MeshLab）让你导出的ASCII STL的版本（作为反对通常的二进制版本），造成更大的文件，但也使文件可以阅读任何文本编辑，和三角形坐标可以手动被读取。

在详细了解代码是如何工作的之前（然后如何修改它），有几句话是关于曲面表示的选择。表面是二维，但任何现实世界的代表性，必须具有一定非零厚度。这里所用的思想是在给定的表面上绘制曲线双参数常量。我们增厚这些曲线使用规则的管状社区。相反，我们可能会增厚整个表面，而不是这些曲线，影响填充矩形孔的表面。我倾向于避免这种情况有几个原因。首先，这是使用更多的材料，一般来说，这意味着生产的对象将更昂贵。二、模式相比于空白可以对物体形象提供一种更好的视觉感，平凡的表面，并参数化数学内容。第三，在表面的其他功能背后可以看到有用的部分。

第一行提供的参数的函数f : [-1,1]2→R3确定参数表面区域，这当然可以改变成产生任何所需的参数曲面。第二行的比例因子，即最终放大的几何模型。我们将精确到毫米单位，所以我们的横坐标范围模型将约为1×40至1×40，80毫米，或8厘米。纵坐标范围同样是真实的。

第三行给出了精确到毫米管状区域周围曲线的半径。根据不同材料和打印机的选择，一个直径为1.5毫米一个棍状圆柱形部分的模型似乎是准确，只要它是能支持的（即不是大方面的）。零件的绝对最小厚度大约1毫米，如果我想特别准确，我会取直径为2毫米。

生成三角形的网格是一个近似曲线的管状区域，交叉切成正多边形。第四行的变量明确这个多边形所有的边数。

第五行给出了参数化网格每个方向上的方格的数目方。

第六七行生产一系列u和v的一元函数，这产生矩阵双向曲线。

第八九行生成第六七行曲线方程的管状区域的图形数据。Plotstyle指令告诉mathematica表现曲线作为给定半径管道plotpoints指令告诉这些管道的数量，和plotrange指令确保它不裁剪出几何的任何部分。

(a)管plotstyle指令直接生成多边形网格

（b）在拐角有个难看的缺口

（c）可以在拐角增添球体来修复

图八参数补丁的拐角增添球体

这些线产生的管是嵌入的、封闭的多边形网格，如图8A。这些网格相交在网格交叉点，因此，管的结合未被嵌入。在网格的角落，我们的管道离开一个丑陋的

间隙如图8B，因为每个曲线加厚成管只沿垂直曲线的方向。一个准确的正交邻域曲线还包括一个半球曲线的每个端点。我们通过加入我们自己的领域来修理，如图8c，第10行的代码运行结果。

最后，第11行显示了三套三维图形对象一起在同一个空间，和第12号输出的网格对应于这些我们的STL文件对象。

使用三维打印服务

STL文件我们在以前生成的部分准备要上传到一个三维打印服务。存在一些国际范围的三维印刷服务并有许多其他本地公司。上传公司的网站或电子邮件文件发给他们。在有些点，你需要详细说明文件明确的地方要在我们的例子中精确到毫米，Mathematica代码要与我们的计算结果一致。一些种类的三维打印技术比别的更适用于数学模型。特别的，许多涉及两种材料的沉积材料其实是实际的模型，和一个打印后被手折断的脚手架材料。这一个拥有复杂内部结构的复杂的模型没有很好的工作。其他版本的技术使用可溶性支架材料，或者他们的工作仅仅凝固顶层大量灰尘，使得建造的灰尘在地基开始，。虽然给予这些限制，有大量可用材料，从塑料到金属，玻璃，和陶瓷。然而值得注意的是，建造墙壁不同的材料具有不同的最小安全厚度的要求。所以三维打印服务的一个应用应具有的信息应在其网站上或询问处来帮助选择一个合适的技术和印刷材料。我通常用尼龙塑料，这是3D打印的一个称为“选择性激光烧结”（通常被称为“sls”）的过程。材料是价格便宜，强韧的，灵活的而不是易碎的。在写作的时候，在这篇文章中生成的模型，如图9所示，我花了不到10美元来使用这种材料。

进一步

大量的有趣和美丽的数学模型可以用mathematica软件独自生成。另外，乔治哈特还写了关于使用mathematic来生成三维印刷的几何形状[ 10 ]。然而，对于更多复杂的模型，它可以更合理地使用三维设计的程序，如Rhinoceros，Blender，或其他上市前的程序。这些程序允许一个大3维几何控制量他们的行为在某些方面，如3维版本二维矢量图形程序，如：Adobe Illustrator，Inkscape，或X?G.可以移动的个体模型的一部分，复制和粘贴，和变换各种方式的对象。利用Mathematica的等“plotstyle–>Tube”指令让我们建立管周围给定的曲线，和一个可以建立复杂的网格曲面—通过结合面参数的补丁。为了更多详情https://www.wendangku.net/doc/f06322106.html,/3d_printing_notes。

HTML。好运！

参考文献：

[1]罗伯特麦克尼尔和团队，犀牛，HTTP：//https://www.wendangku.net/doc/f06322106.html, /。

[2]欧特克,3ds Max，https://www.wendangku.net/doc/f06322106.html,/3ds-max/。

[3]欧特克，Maya，https://www.wendangku.net/doc/f06322106.html,/maya/。

[4]弗拉基米尔布拉托夫，布拉托夫抽象创作，https://www.wendangku.net/doc/f06322106.html,/。

[5] ISTI CNR，MeshLab，https://www.wendangku.net/doc/f06322106.html,/。

[6] Blender基金会，Blender，https://www.wendangku.net/doc/f06322106.html,/。

[7]拔示巴格罗斯曼，拔示巴雕塑，HTTP：//https://www.wendangku.net/doc/f06322106.html,。

[8]乔治·W·哈特（10,3）-a网络，HTTP：//https://www.wendangku.net/doc/f06322106.html,/rp/10-3.html。

[9]乔治·W·哈特，创建你的办公桌上的数学博物馆，数学情报员27（2005年），no. 4，14-17。

[10]乔治·W·哈特，程序产生雕塑形式，桥梁会议的开始，也可在http：// WWW。https://www.wendangku.net/doc/f06322106.html,/ProceduralGeneration/Bridges08-Hart10pages.PDF，2008。

[11]杰西·路易斯·罗森伯格和杰西卡罗森克兰茨，神经系统，https://www.wendangku.net/doc/f06322106.html,/。

[12] 伯卡德波尔斯特和罗斯马蒂，打印自己的袜子，时代报专栏，也可在https://www.wendangku.net/doc/f06322106.html,.au/cmspage.PHP？INTID = 147＆intversion = 78，2011年2月。

[13] 撒乌耳施莱默和亨利史蒂芬塞格曼，雕塑S3，桥梁2012会议;也可在

https://www.wendangku.net/doc/f06322106.html,/abs/1204.4952。

[14] 卡洛斯瑟奎恩，https://www.wendangku.net/doc/f06322106.html,/*sequin/。

[15]沃尔夫勒姆研究公司，

Mathematica，https://www.wendangku.net/doc/f06322106.html,/mathmatica/。