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人教新课标版数学高二-人教A版数学必修5【作业】1 正弦定理

课时作业1 正弦定理

时间： 45分钟分值：100分

一、选择题(每小题6分，共计36分)

1．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( )

A ．2 6

B ．2＋2 3 C.3＋1 D ．23＋1

解析：由正弦定理，有a sin A ＝b

sin B ，

∴b ＝a sin B sin A ＝4×sin60°sin45°＝2 6.

答案：A

2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c ，则C 的值为( )

A ．30°

B ．45°

C ． 60°

D ．90°

解析：由正弦定理a sin A ＝c sin C 得sin A a ＝sin C c .

又sin A a ＝cos C c ，

∴sin C ＝cos C ，即tan C ＝1.

又C ∈(0°，180°)，所以C ＝45°.

答案：B

3．在△ABC 中，a :b :c ＝1:5:6，则sin A :sin B :sin C 等于(

)

A ．1:5:6

B ．6:5:1

C ．6:1:5

D ．不确定

解析：由正弦定理，知sin A :sin B :sin C ＝a :b :c ＝1:5:6.

答案：A

4．在△ABC 中，A ＝45°，AB ＝2，则AC 边上的高等于( )

A ．2 B. 2 C ．2 2 D ．不确定

解析：AC 边上的高等于AB sin A ＝2sin45°＝ 2.

答案：B

5．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( )

A ．－223 B.223 C ．－63 D.63

解析：根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得15sin60°＝10sin B ，解得sin B ＝

3，又因为b

所以cos B ＝

1－sin 2B ＝63.

答案：D

6．(2012·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )

A.725

B ．－725

C ．±725 D.2425 解析：由b sin B ＝c sin C ，且8b ＝5c ，C ＝2B ，所以5c sin2B ＝8c sin B ，

所以cos B ＝45.所以cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725.

答案：A

二、填空题(每小题8分，共计24分)

7．在△ABC 中，若B ＝60°，sin A ＝13，BC ＝2，则AC ＝________.

解析：根据正弦定理得AC ＝sin B sin A ·BC ＝3 3.

答案：3 3

8．(2012·重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，

c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.

解析：在△ABC 中，∵cos A ＝35＞0，∴sin A ＝45.

∵cos B ＝513＞0，∴sin B ＝1213.

∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )

＝sin A cos B ＋cos A sin B

＝45×513＋35×1213＝5665.

由正弦定理知b sin B ＝c sin C ，

∴c ＝b sin C sin B ＝3×56651213

＝145.

答案：145

9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足

a ＋

b ＋

c ＝2＋1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，则c ＝________.

解析：由sin A ＋sin B ＝2sin C ，得sin A sin C ＋sin B sin C ＝ 2.由正弦定理，

得a c ＋b c ＝2，所以a ＋b ＝2c .所以a ＋b ＋c ＝2c ＋c ＝2＋1，所以c ＝1.

答案：1

三、解答题(共计40分)

10．(10分)已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，求b 的值．

解：sin A ＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝6＋24，

由a ＝c ＝6＋2，可知C ＝75°，

所以B ＝30°，sin B ＝12.

由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝6＋26＋2

×42＝2. 11．(15分)在△ABC 中，若AB ＝3，B ＝30°，AC ＝1, 则 △ABC 有几个解？

解：∵AB sin C ＝AC sin B ，∴sin C ＝AB sin B AC ＝3×121＝32.

又∵AB >AC ，∴C >B ，

∴C ＝60°或120°，故△ABC 有两个解．

12．(15分)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c .a ＝4，A ＝30°，b ＝x (x >0)，判断三角形解的情况.

解：a ＝4，b ＝x ，A ＝30°.

当x ≤4时，由大边对大角知B 为锐角，

sin B ＝x sin A a ≤12，

当x ＝8时，sin B ＝1，∴B ＝90°，

此时△ABC 有一解．

当x >8时，

sin B ＝x sin A a >1，B 无解，△ABC 无解．

综上，当0

当x >8时，无解．