分式及分式方程解法讲义.
分式及分式方程
一、知识讲解 1．分式
用A ，B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成A B 的形式，若B 中含有字母，式子A
B
就叫做分式．
2，当x____时，分式无意义；当x_____时，分式的值为0. 3．分式的基本性质
A B =,A M A A M
B M B B M ?÷=?÷（其中M 是不等于零的整式）
4．分式的符号法则
a b =a a a
b b b
--=-=---．
5．分式的运算
（1）加减法：
,a b a b a c ad bc
c c c b
d bd ±±±=±=． （2）乘除法：a b ·,c ac a c a d ad
d bd b d b c bc
=÷==
（3）乘方（a b ）n =n
n a b
（n 为正整数）
6．约分
根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中公因式约分，叫做约分． 7．通分
根据分式的基本性质，?把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的分式，叫做通分．
易混,易错点分析:
1,在分式通分时最简公分母的确定方法(1)系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.
2,取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.(3)如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.2,在分式约分时分子分母公因式的判断方法(1)系数取分子,分母系数的最大公约数作为公因式的系数.(2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.(3)如果分子,分母是多项式,则应先把分子,分母分解因式,然后判断公因式.
3,分式计算的最后结果必须是最简形式.
重点,难点:1,繁杂形式的分式通分及整式与分式结合形式的通分.2,约分化简. 二、例题解析 例1 填空题：
（1）若分式224
2
x x x ---的值为零，则x 的值为________；
（2）若a ，b 都是正数，且
1a －1b =22
2,ab
a b a b +-则，则=______．
【解答】解题要点:分式的分子为零,且分母不为0.（1）由x 2
=4，得x=±2，把x=2代入分母，得x 2
－x －2=4－2－2=0，
把x=－2?代入分母，得x 2
－x －2=4+2－2=4≠0，故答案为－2． （2）由整体代换法：把
1a －1b =22b a a b ab a b
-=++化为，b 2－a 2
=2ab ，
即a 2－b 2
=－2ab ，代入22
22
2ab
ab ab
a b
a b ab =
---中得=
12
，故答案为1
2．
例2 选择题：
（1）已知两个分式：A=
2
411
,422B x x x
=+-+-，其中x ≠±2， 那么A 与B 的关系是（ ）
A ．相等
B ．互为倒数
C ．互为相反数
D ．A 大于B （2）已知23,2
3
4
3a b c a b c a b c
+-=
=
-+则
的值为（ ）
A ．－
57 B ．57 C ．97 D ．－9
7
【解答】（1）B=22112(2)42244
x x x x x x --+-==-+---， ∴A+B=0，A ，B 互为相反数，选C ． （2）设234
a b c
===k ，则a=2k ，b=3k ，c=4k ， 代入
232399,3377
a b c a b c k a b c
a b c
k +-+-==-+-+中可得
，选C ．
例3先化简再求值：222
1412211
a a a a a a --÷+-+-，其中a 满足a 2
－a=0． 【解答】原式=
2
1(2)(2)(1)(1)2(1)1
a a a a a a a -+--++-=（a －2）（a+1）=a 2
－a －2
由a 2
－a=0得原式=－2
（2011四川南充市，15，6分）先化简，再求值：2
1x x -(x
x 1
-－2),其中x =2. 【答案】解：方法一：21(2)1x x x x ---=2212
11
x x x
x x x -?-?--=12(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x -?-+-+- =121(1)(1)x x x x -++-=12(1)(1)(1)(1)x x x x x x --+-+-=12(1)(1)x x x x --+-=121(1)(1)(1)(1)x x x
x x x x ----=+-+- =
(1)(1)(1)x x x -++-=1
1
x --
当x =2时，1
1
x --=121--=-1 方法二：21(2)1x x x x ---=212()1x x x x x x ---=2
121
x x x
x x --?-=1(1)(1)x x x x x --?+- =
(1)(1)(1)x x x x x -+?+-=1
1
x --
当x =2时，1
1
x -
-=121--=-1. 分式方程
一、知识点.
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程． 2．解分式方程的基本思想方法
分式方程???→去分母
换元
整式方程． 3．解分式方程时可能产生增根，因此，求得的结果必须检验 4．列分式方程解应用题的步骤和注意事项 列分式方程解应用题的一般步骤为：
①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数；
②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系；
③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程； ④解方程并检验； ⑤写出答案．
注意：由于列方程解应用题是对实际问题的解答，所以检验时除从数学方面进行检验外，
还应考虑题目中的实际情况，凡不符合条件的一律舍去． 二、例题解析 例1 解方程：
2x x ++2
2x x +-=284
x -． 【分析】由分式方程的概念可知，此方程是分式方程，因此根据其特点应选择其方法是──去分母法，并且在解此方程时必须验根． 【解答】去分母，得x （x －2）+（x+2）=8． x 2
－2x+x 2
+4x+4=8 整理，得x 2
+x －2=0． 解得x 1=－2，x 2=1．
经检验，x 1=1为原方程的根，x 2=－2是增根． ∴原方程的根是x=1．
【点评】去分母法解分式方程的具体做法是：把方程的分母分解因式后，找出分母的最简公分母；然后将方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化成整式方程．注意去分母时，不要漏乘；最后还要注意解分式方程必须验根，并掌握验根的方法． 例2 已知关于x 的方程2x 2
－kx+1=0的一个解与方程21
1x x
+-=4的解相同． （1）求k 的值；
（2）求方程2x 2
－kx+1=0的另一个解． 【分析】解分式方程必验根． 【解答】（1）∵
21
1x x
+-=4， ∴2x+1=4－4x ，
∴x=
12
． 经检验x=12是原方程的解．把x=12
代入方程2x 2
－kx+1=0，解得k=3．
（2）解2x 2
－3x+1=0，得x 1=12
，x 2=1．
∴方程2x 2
－kx+1=0的另一个解为x=1．
【点评】分式方程与一元二次方程“珠联壁合”，旨在通过分式方程的解来确定一元二次方程的待定系数，起到通过一题考查多个知识点的目的．
课后作业
一 选择（36分）
1 下列运算正确的是（ ） A -40
=1 B （-3）-1
=
3
1 C （-2m-n ）2=4m-n D （a+b ）-1=a -1+b -1
2 分式
2
8,9,12z
y
x xy z x x z y -+-的最简公分母是（ ） A 72xyz 2
B 108xyz
C 72xyz
D 96xyz 2
3 用科学计数法表示的树-3.6×10-4
写成小数是（ ）
A 0.00036
B -0.0036
C -0.00036
D -36000 4 如果把分式
y
x x
232-中的x,y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A 扩大3倍
B 不变
C 缩小3倍
D 扩大2倍 5 若分式
6
522+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ）
A 2
B -2
C 2或-2
D 2或3 6 计算??
?
??-+÷??? ??-+
1111112
x x 的结果是（ ） A 1 B x+1 C
x x 1+ D 1
1
-x 7 工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x 人挖土，其它的人运土，列方程 ①
3172=-x x ②72-x=3x ③x+3x=72 ④372=-x
x
上述所列方程，正确的有（ ）个
A 1
B 2
C 3
D 4
8 在m
a y x xy x x 1
,3,3,21,21,12+++π中，分式的个数是（ ）
A 2
B 3
C 4
D 5 9 若分式方程
x
a x
a x +-=+-321有增根，则a 的值是（ ） A -1 B 0 C 1 D 2 10 若
3,111--+=-b
a a
b b a b a 则的值是（ ） A -2 B 2 C 3 D -3
11 把分式方程
12121=----x
x
x ，的两边同时乘以x-2，约去分母，得（ ） A 1-(1-x)=1 B 1+(1-x)=1 c 1-(1-x)=x-2 D 1+(1-x)=x-2 12 已知
k b
a c
c a b c b a =+=+=+，则直线y=kx+2k 一定经过（ ） A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限 二 填空（21分）
1 写出一个分母至少含有两项且能够约分的分式
2 ()a b
ab ab a 233222
2=++ 3 7m
=3,7n
=5,则7
2m-n
=
4 一组按规律排列的式子：()0,,,,4
11
38252≠--
ab a b a b a b a b ，其中第7个式子是 第n 个式子是
5 ()231200841
-+??
?
??--+-=
6 方程
04142=----x
x
x 的解是 7 若2
22
2,2b
a b ab a b a ++-=则= 三 化简（12分）
1 ()d cd b a c
ab 23
4322222-?-÷
2 1
1
1122----÷-a a a a a a
3 ??
?
??---÷--225262x x x x
四 解下列各题（8分）
1 已知b
ab a b
ab a b a ---+=-2232,311求 的值 2 若0 五 （5）先化简代数式()()n m n m mn n m n m n m n m -+÷??? ? ??+---+222222，然后在取一组m,n 的值代 入求值 六 解方程（12分） 1 12332-=-x x 2 1 4 12112-=-++x x x 七 （7）2008年5月12日，四川省发生8.0级地震，我校师生积极捐款，已知第一天捐款 4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？ 参考答案 一 CACBB CCBCA DB 二 1 如112-+x x ，2 3b ， 3 59 ， 4 -()n n n a b a b 1 37201,--， 5 2， 6 3，7 53 三 1 ac 1 ， 2 1-a a ， 3 32 +-x 四 1 提示：将所求式子的分子、分母同时除以ab 。值为53 2 241,01,10,241,324112 2-=-∴<-∴<<±=-=-??? ? ? +=??? ??-x x x x x x x x x x x 五 化简得m+n ，当m=2,n=1时m+n=3 六 1 x=-7 ,2 x=1是增根，原方程无解 七 设第一天捐款x 人，由题意得方程 50 6000 4800+=x x 解得 x=200，经检验x=200是符合题意的解，所以两天捐款人数为x+(x+50)=450 人均捐款4800÷x=24。答 （略） 分式及分式方程 教学目标： 1 ?掌握分式概念、性质及运算. 2 ?掌握分式方程的概念、解法、及增根问题. 一、知识回顾 知识点1:分式及分式概念 分式：分母还字母的代数式：易辨错的分式有: 分式方程：分母含 字母的方程叫分式方程. 知识点2:分式性质 易错点1约分，找 公因式，同时约去分子分母的公因式?用的是分式的除法性质 易错点2通分，找 最简公分母，化异分母为同分母，用的是分式的乘法性质. 知识点3:解分式方程 1 ?思路：去分母，变分式方程为整式方程求解，记得验根. 2 .易淆点 (1) 把分子分母中的分数，小数变成整数时，是分子分母同时扩大多少倍，用的是分式的性质； (2) 去分母，方程的每项同乘分母的最简公分母，用的是等式性质； 3.增根问题 增根的概念：是 整式方程的根，同时又使最简公分母为 0的根叫增根，必须满足这两个条件. 常考题型：求含参数的增根问题. ?课前热身 1. 下列式子中，哪些是分式？哪些是整式? 分式： ______________________ ；整式 _____________________ ； 2. 当x ___________ 时，分式 土N 有意义；当x _____________ 时，分式 ：_2无意义. x —3 x 一4 2x — 4 3. 若分式 ------- 的值为0,那么 _______________ . X +1 -1等. x ①x '②:’③為’④写’⑤亡’⑥ 2 x 2x1 x 2 -2x 1 2 ⑦c" a-b ，⑧—，⑨(x-1)， x 2 a 1 = 2a 1 a 1 a 1 ； 2 a -4 a — 2 8.下列关于x 的方程，是分式方程的是（ ） 2 x c 3 x x-1 c x a b x (x-1)2 彳 A. _3 一 B. --- =3—X C. =— —— D. 1 5 6 7 a a b a b X -1 x - a 3 9. 若关于x 的分式方程 ----- - 一=1有增根，则a= ______________ x -1 x x 5 10. 解下列分式方程： 1 ； 2x —5 5—2x 分式部分 二、例题辨析 的值为正数，则x 的取值范围是（） x A. x >0 B. x >-4 C. x M0 D. x >-4 且 x M0 如果把分式 中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ x+y A .不变 B .变大3倍 C .缩小3倍 D .无法确定 (1 )当 x _____________ 时，分式 的值为负 数. 12 —6x 4.填空（1） 3x 2 x 2 2x () x 2 (2) （—）； （x y ） 2 ； (3) a 2 - a b a - b ab ( _______ ) 5.化简: 3a 2b 3 -12ab 2 3a 2 b(m -1) 2 9ab (1 - (3) 2 m - 2m 1 1 -m 2 6.计算: 6a 2y 2 8y 3a 7 a 2 1 _ a —2 a 2 2a 【知识要点】 1. 分式方程的概念以及解法 ; 2. 分式方程产生增根的原因 3. 分式方程的应用题 【主要方法】 2. 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数 ; 解分式方程的关健是化分式方程为整式方程 ; 方程两边同乘以最简公分 母. 3. 解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数 . 2019-2020 年八年级数学下册《分式第二讲 分式方程》知识点和典型例习题 题型一：用常规方法解分式方程 【例 1】解下列分式方程 （ 1） 1 3 ；（ 2） 2 1 0 ；（ 3） x 1 4 1 ；（ 4） 5 x x 5 x 1 x x 3 x x 1 x 2 1 x 3 4 x 提示易出错的几个问题： ①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根； ④忘 记验根 . 题型二：特殊方法解分式方程 【例 2】解下列方程 （ 1） x 4 x 4 4 ； （ 2） x 7 x 9 x 10 x 6 x 1x x 6 x 8 x 9 x 5 提示：（ 1）换元法，设 x y ；（ 2）裂项法， x 7 1 1 . x 1 x 6 x 6 【例 3】解下列方程组 1 1 1 (1) x y 2 1 1 1 (2) y z 3 1 1 1 (3) z x 4 题型三：求待定字母的值 【例 4】若关于 x 的分式方程 2 1 m 有增根，求 m 的值 . x 3 x 3 【例 5】若分式方程 2 x a 1的解是正数，求 a 的取值范围 . x 2 提示： 2 a 0 且 x 2 ， a 2 且 a 4 . x 3 题型四：解含有字母系数的方程 【例 6】解关于 x 的方程 x a c b x d (c d 0) 提示：（ 1） a, b, c, d 是已知数；（ 2） c d 0 . 题型五：列分式方程解应用题 练习： 1．解下列方程： （ 1） x 1 2x 0 ； （2） x 2 4 ； x 1 1 2x x 3 x 3 （ 3） 2x 3 2 ； （4） 7 3 1 7 x 2 x 2 x 2 x 2 x x x 2 x 2 1 （ 5） 5x 4 2x 5 1 （6） 1 1 1 1 2x 4 3x 2 2 x 1 x 5 x 2 x 4 （ 7） x x 9 x 1 x 8 x 2 x 7 x 1 x 6 2．解关于 x 的方程： （ 1） 1 1 2 (b 2a) ；（ 2） 1 a 1 b (a b) . a x b a x b x 3．如果解关于 x 的方程 k 2 x 会产生增根，求 k 的值 . x 2 x 2 4．当 k 为何值时，关于 x 的方程 x 3 (x k 2) 1 的解为非负数 . x 2 1)( x 5．已知关于 x 的分式方程 2a 1 a 无解，试求 a 的值 . x 1 （二）分式方程的特殊解法 解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验， 但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法 例 1．解方程： 1 x 3 x 2 二、化归法 例 2．解方程： 1 2 0 1 x 2 x 1 分式方程的解法及应用（提高） 责编：杜少波 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 【高清课堂分式方程的解法及应用知识要点】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数 的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方 程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方 程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中 没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； 代数方程2---分式方程 无理方程 板块一、分式方程 1、用“去分母”的方法解分式方程 例题1. 解分式方程 12244212=-+-++x x x x 例题2、解分式方程 2123x x x ++- + 2226x x x -+-＝2632 x x x --+ 限时训练： 1、已知方程（1）11=+x x （2）6323=+x x （3）11182=+x （4）1=x x 中， 分式方程的个数是（ ） （A ） 1 （B ） 2 （c ）3 （D ）4 2、分式226232 x x x x +---的值等于零，则x 的值应是________________ 3、分式方程1 214--=+x x x 的根是______________ 4、分式方程14 1212=-++x x 的最简公分母是________________ 5、分式方程21 32=+-x x 去分母后化为整式方程是___________________ 压轴题： 1、已知方程 24k 2-x 12x 2x -=-+有增根，求k 的值。 2、已知关于x 的分式方程 () 02222=-++-+-x x k x x x x x 只有一个解，求k 的值。 2、用“换元法”解分式方程： 例1、解分式方程 012 1863222=+-+-+-x x x x 例2：解下列分式方程： 2 122112122=+++-+x x x x 限时训练： 1、 分式方程0101712=+?? ? ??--??? ??-x x x x ，若设y x x =??? ??-1，则原方程可化为关于y 的整式方程为___________________________ 2、 在分式方程41 331122=+++++x x x x 中，可设____________=y ，则原方程化为关于y 的整式方程为__________________________ 3、 解分式方程12 222422=+-+ -x x x x ，宜用_______法来解，并且设____________=y 较合适。 4、 解分式方程组???????=++=-+871033y y x y y x 时，可设m=______________，n=_______________， 原方程组可化为整式方程组_________________ 压轴题： 1、已知：622122=+++ x x x x ，求x x 1+的值 2、解方程：22 356635620x x x x -+- += 16.3《分式方程解法》说课稿 《课标》指出：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。”从教师的教学角度上看：教师是进行数学活动的组织者、引领者，是教学活动的主导；从学生的学习角度上看：数学活动是学生经历数学化过程的活动，是学生自己建构数学知识的活动，是学习活动的主体；从师生的合作角度上看：数学活动过程是教师和学生之间互动的过程，是师生共同发展的过程，即要促进学生发展，也要促进教师成长。教师作为数学教学主导，在设计数学活动时要遵循以下原则：一、根据学生的年龄特征和认知特点组织教学。二、重视培养学生的应用意识和实践能力。1、让学生在现实情境和已有的生活和知识经验中体验和理解数学。2、培养学生应用数学的意识和提高解决问题的能力。三、重视引导学生自主探索，培养学生的创新精神。1、引导学生动手实践、自主探索和合作交流。2、鼓励学生解决问题策略的多样化。 四、教师对教学目标，难点，重点把握要恰当、具体。 数的计算非常重要，计算是帮助我们解决问题的工具，只有在具体的情境中才能让学生真正认识计算的作用。首先应当让学生理解的是面对具体的情境，确定是否需要计算，然后再确定需要什么样的计算方法。口算、笔算、估算、计算器和计算机都是供学生选择的方式，都可以达到算出结果的目的。 一、设计思想： 数学来源于生活，数学教学应走进生活，生活也应走进数学，数学与生活的结合，会使问题变得具体、生动，学生就会产生亲近感、探究欲，从而诱发内在学习潜能，主动动手、动口、动脑。因此，在教学中，我们应自觉地把生活作为课堂，让数学回归生活，服务生活。培养学生的动手能力和创新能力，丰富 和发展学生的数学活动经历，并使学生充分体会到数学之趣、数学之用、数学之美。 分式方程解法的标准 一,内容综述: 1.解分式方程的基本思想 在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程"转化"为整式方程.即 分式方程整式方程 2.解分式方程的基本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根.所以,必须验根. 产生增根的原因: 当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解. 检验根的方法: 将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等. 为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根.必须舍去. 注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公 分母为0. 用去分母法解分式方程的一般步骤: (i)去分母,将分式方程转化为整式方程; (ii)解所得的整式方程; (iii)验根做答 (2)换元法 为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程. 用换元法解分式方程的一般步骤: (i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数 式; (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值; (iii)把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值; (iv)检验做答. 注意:(1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊 分式方程的解法及应用 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ● 分式方程的概念以及解法； ● 分式方程产生增根的原因； ● 分式方程的应用题。 重点难点： ● 重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量 关系． ● 难点：检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析． 学习策略： ● 经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培 养数学的应用意识。 二、学习与应用 （一）什么叫方程？什么叫方程的解？ 答：含有 的 叫做方程． 使方程两边相等的 的值，叫做方程的解． （二）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个 ，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质．用式子表示是： M B M A B A M B M A B A ÷÷=??=,（其中M 是不等于0的整式）． “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？ （三）等式的基本性质：等式的两边都乘（或除以）同一个数或 （除数不能为0），所得的结果仍是等式。 （四）解下列方程：（1）9－3x ＝5x ＋5； （2）5 2221+-=--y y y 知识点一：分式方程的定义 里含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释： （1）分式方程的三个重要特征：①是 ；②含有 ；③分母里含 有 。 （2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有 （不是一般 的字母系数），分母中含有未知数的方程是 ，不含有未知数的方程是 方程，如：关于x 的方程 x x =-21和12723+=-x x 都是 方程，而关于x 的方程x x a =-21和d c b x =+1都是 方程。 知识点二：分式方程的解法 （一）解分式方程的基本思想 把分式方程化为 方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分 母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 （二）解分式方程的一般方法和步骤 （1） ，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 （2）解这个 方程。 （3） ：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是 原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的 。 注：分式方程必须 ；增根一定适合分式方程转化后的整式方程， 知识要点——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补 充填在右栏。详细内容请参看网校资源ID ：#tbjx5#233542 分式方程拔高讲练 一、含有参数方程 1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值围是 2．分式方程=1﹣的根为 3．若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为 二、方程无解 1．若关于x的方程﹣=﹣1无解，则m的值是 2．若=0无解，则m的值是 3．若关于x的分式方程﹣=无解，求a= ． 三、有增根 1、如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为 2、关于x的分式方程有增根，则增根为． 3、若关于x的方程有增根，则m的值是． 4、解关于x的方程+=产生增根，则常数a= 四、整体代入解方程 1．已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y的整式方程是． 2、用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y= ． 3．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是． 四、实际问题 1．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进 价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（） A．﹣10= B．+10= C．﹣10= D．+10= 2．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（） A．= B．=C．= D．= 3．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 4．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植 树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5 天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（） A．﹣=5 B．﹣=5 C．+5= D．﹣=5 5．市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角的垃圾， 调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据 题意可列出方程为（） 分式方程的解法与技巧 【典型例题】 1. 局部通分法： 例1. 解方程：x x x x x x x x -----=-----34456778 分析：该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1，象这类通常采取局部通分法。 解：方程两边分别通分并化简，得： 145178()()()() x x x x --=-- 去分母得：()()()()x x x x --=--4578 解之得：x ＝6 经检验：x ＝6是原分式方程的根。 点拨：此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁，而采用局部通分法，就有明显的优越性。 但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进行局部通分。 2. 换元法： 例2. 解方程： 7643165469222x x x x x x ----+=--+ 分析：此方程中各分式的分母都是含未知数x 的二次三项式，且前两项完全相同，故可考虑用换元法求解。令或或或k x x k x x k x x =--=-+=-+222646569 k x x =-26均可。 解：设，则原方程可化为：k x x =-+265 793144k k k --=-+ 去分母化简得：20147111602k k --= ∴()()k k -+=1220930 ∴，k k ==-129320 当时，k x x =--=126702 ()()x x -+=710 解之得：，x x 1217=-= 当时，k x x =--+=-93206593202 2012019302x x -+= 解此方程此方程无解。 经检验：，是原分式方程的根。x x 1217=-= 点拨：换元法解分式方程，是针对方程实际，正确而巧妙地设元，达到降次，化简的目的，它是解分式方程的又一重要的方法，本题还有其它的设法，同学们可自己去完成。 3. 拆项裂项法： 例3. 解方程： 12442212x x x x ++-+-= 分析：这道题虽然可用通分去分母的常规解法，但若将第二项拆项、裂项，则更简捷。 解：原方程拆项，变形为： ()()()()12222222221x x x x x x ++++-+---= 裂项为： 122222221x x x x ++-++--= 化简得：321x += 解之得：x =1 经检验：x ＝1是原分式方程的解。 4. 凑合法： 例4. 解方程：x x x x 4143412 +-=--- 分析：观察此方程的两个分式的分母是互为相反数，考虑移项后易于运算合并，能使运算过程简化。 解：部分移项得： x x x x 4143412=--+--- ∴x x x x 4143412=------ ∴x 412= ∴x ＝2 经检验：x ＝2是原分式方程的根。 分式方程的解法及应用（提高） 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ●了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． ●会列出分式方程解简单的应用问题． 学习策略： ●解分式方程去分母是关键； ●解分式方程的应用注意找等量关系，最后要验根. 二、学习与应用 1.一艘轮船在静水中的速度是20km/h,水流速度为v km/h，则轮船顺流航行的速度为，逆流航行的速度为 ，顺流航行100km所用的时间为，逆流航行60km所用的时间为 . 2. 解方程 21101 1 36 x x ++ -=时，去分母，去括号后为 . 3.将方程 11111 24396 x x x x +++=去分母后得到方程________. 要点一、分式方程的概念 分母中含有的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含 有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一 般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有 未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 要点梳理——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID：#45981#405285 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？ 分式和分式方程 专题复习讲义 中考考点知识梳理： 一、分式 1、分式的概念 一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成 B A 的形式，如果B 中含有字母，式子B A 就叫做分式。其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。 2、分式的性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 （2）分式的变号法则： 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3、分式的运算法则 （1） ;;bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? （2）);()(为整数n b a b a n n n = （3） ;c b a c b c a ±=± （4） bd bc ad d c b a ±=± 二、分式方程 1、分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程 的根。 3、分式方程的特殊解法 换元法： 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。 考点典例 一、分式的值 【例1】当x= 时，分式 x－2 2x＋5的值为0． 【答案】2. 【解析】 试题分析：∵x－2 2x＋5 的值为0，∴x-2=0且2x+5≠0，解得x=2. 考点：分式. 【点睛】使分式的值为零必须满足分子等于0分母不等于零这两个条件. 【举一反三】 1.使分式 1 1 x- 有意义的x的取值范围是（） A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x＜1 D．x＞1 【答案】A． 考点：分式有意义的条件． 2.若分式 21 1 x x - + 的值为0，则x＝ 【答案】1 【解析】 试题分析：根据题意可知这是分式方程， 21 1 x x - + ＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0， 分式方程的概念，解法 知识要点梳理 要点一：分式方程的定义 分母里含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释： 1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。 2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和 都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。 要点二：分式方程的解法 1. 解分式方程的其本思想 把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 2．解分式方程的一般方法和步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 (2)解这个整式方程。 (3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 分母等于零的根是原方程的增根。 注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。 3. 增根的产生的原因： 对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。 规律方法指导 1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解． 经典例题透析： 类型一：分式方程的定义 1、下列各式中，是分式方程的是（） A．B．C．D． 举一反三： 分式方程及其应用（讲义） 课前预习 1.请回顾相关知识，填空： 2.回忆并背诵应用题的处理思路，回答下列问题： （1）理解题意，梳理信息． 梳理信息的主要手段有_______________________________．（2）建立数学模型． 建立数学模型要结合不同特征判断对应模型，如： ①共需、同时、刚好、恰好、相同……，考虑___________； ②不超过、不多于、少于、至少……，考虑_____________． （3）求解验证，回归实际． 主要是看结果是否_________________． 知识点睛 1. 分式方程的定义：__________________的方程叫做分式方程． 2. 解分式方程： 根据________________，把分式方程转化为__________求解，结果必须_______，因为解方程的过程中有可能产生______． 增根产生的原因是方程两边同乘了一个_________________． 3. 列分式方程解应用题，也要进行___________． 精讲精练 1. 下列关于x 的方程是分式方程的有__________．（填写序号） ① 315x -=；②x x π=π；③11123x y -=；④1152 x x +=+； ⑤11 x a b =-． 2. 已知方程2512kx x +=+的解为1x =，则k =_________． 3. 解分式方程： （1）2115225 x x x ++=--； （2）100602020x x =+-； （3）3201(1) x x x x +-=--； （4）2216124x x x ++=---； （5） 2236111 x x x +=+--； 第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如 A B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义 分式方程意义及解法 一、内容综述： 1．解分式方程的基本思想 在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程．即分式方程整式方程 2．解分式方程的基本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。 产生增根的原因： 当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解． 检验根的方法： （1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。 （2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。必须舍去．注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0． 用去分母法解分式方程的一般步骤： (i)去分母，将分式方程转化为整式方程； (ii)解所得的整式方程； (iii)验根做答 (2)换元法 为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决．辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法．换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程． 用换元法解分式方程的一般步骤： (i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； (iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值； (iv)检验做答． 注意： （1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。 （2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。 （3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。 分式方程的概念，解法及应用 目标认知 学习目标： 1．使学生理解分式方程的意义，掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法． 2．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一 次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧． 3．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未 知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想． 4．能够利用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系，体会方程与实际问题的联系； 5．通过实际问题的解决，使分析问题和解决问题的能力得到培养和训练，进一步体验“问题情景——建立模型——求解——解释和应用”的过程； 重点： 分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系． 难点： 检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析． 知识要点梳理 要点一：分式方程的定义 分母里含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释： 1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。 2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于 的方程和 都是分式方程，而关于 的方程和 都是整式方程。 要点二：分式方程的解法 1. 解分式方程的其本思想 把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 2．解分式方程的一般方法和步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 (2)解这个整式方程。 分式方程及其应用 一、基本概念 1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程. 2．解分式方程的一般步骤： （1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去. 3. 用换元法解分式方程的一般步骤： ① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答. 4．分式方程的应用： 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验： （1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 . 二、题型分类 考点一：分式方程 题型（一）分式方程去分母 1、解分式方程 时，去分母后变形为（ ）。 A ． ()()1322-=++x x B ．()1322-=+-x x C ．()()x x -=+-1322 D ．()()1322-=+-x x 2、下列方程是分式方程的是（ ） A ．0322 =--x x B ． 13-=x x C ．x x =1 D ．12=-π x 题型（二）解分式方程 用常规方法解下列分式方程：25211 111 332552323 x x x x x x x x x -+=+==+---++（）；（2）；（）； 题型（三）分式方程的解 1.已知方程 26 1=311x ax a x -=+-的解与方程的解相同，则a 等于（ ） A ．3 B ．－3 C. 2 D ．－2 2.方程134 622 32622+++++++x x x x x x -5=0的解是( ) A. 无解 B. 0 , 3 C. -3 D. 0, ±3 22311x x x ++=-- a c=ac,b a c= a p a0=1形如 A 【例1】下列代数式中：x1 x-y ，是分式的有：.π2 x-y,a+b , x+y , （1）x-4 x+4 （2） x2+2 （3） x2-1 （4）|x|-3 （5） a=“ ± . a±ac=bc±da(a≠0,c≠0); 第十六章分式知识点和典型例习题 3.分式的乘法与除法:b ? d bd a÷ c d= b d bd ? ac 【知识网络】 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m●a n=a m+n;a m÷a n=a m－n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m=a m b n,(a m) n= 7.负指数幂:a-p=1 a mn 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:b c b±c(a≠0) a a 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： B(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中A叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 1 a-b x2-y2x+y , 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x有何值时，下列分式有意义 3x26-x1 x-1 x 2.异分母加减法则:b d bc c=ac± da ac题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义分式及分式方程复习讲义汇总
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