2021中考数学 尖子生专项复习：多边形与平行四边形(含答案)

2021中考数学尖子生专项复习：多边形与平行四边形（含答案）

一、选择题（本大题共10道小题）

1. 如图，将?ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为()

A. 66°

B. 104°

C. 114°

D. 124°

2. 一个正六边形共有n条对角线，则n的值为()

A．6 B．7 C．8 D．9

3. 如图，?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若?ABCD的周长为28，则△ABE的周长为()

A.28

B.24

C.21

D.14

4. 如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，

=AB·AC，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE.有下列结论:①∠CAD=30°，②S

?ABCD

③OB=AB，④OE=BC，其中正确的有()

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

5. 将一个n边形变成(n＋2)边形，内角和将()

A．减少180°B．增加180°

C．减少360°D．增加360°

6. 若多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形，则经过这

一点的对角线的条数是( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11

7. （2020·泰安）如图，四边形

ABCD 是一张平行四边形纸片，其高AG ﹦2cm ，底边BC ﹦6cm ，∠B ﹦45°，沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形．若∠BEF ﹦30°，则AF 的长为（

）

A ．1cm

B ．6

3 cm C ．（2 3 —3）cm D ．（2— 3 ）cm

A B

C

D

E

F

G

8. （2020·海南）如图，在□ABCD 中，AB ＝10，AD ＝15，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE 于点G ，若BG ＝8，则△CEF 的周长为( )

A ．16

B ．17

C ．24

D ．25

9. 如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD=7，BD=4，CD=3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，则四边形EFGH 的周长为

A ．12

B ．14

C ．24

D ．21

10. (2020·潍坊)如图，点

E 是□ABCD 的边AD 上的一点，且

1

2

DE AE =，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，若3,4DE DF ==，则□ABCD 的周长为（ ）

F

E

D

C

B

A

A.21

B. 28

C. 34

D. 42 二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图，王明想从一块边长为60 cm的等边三角形纸片上剪下一个最大的正六边形，写上“祝福祖国”的字样来表达自己的喜悦之情，则此正六边形的边长是________ cm. 12. 如图，?ABCD中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是________．13. 若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是__________．14. （2020·牡丹江）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__________________，使四边形ABCD是平行四边形（填一个即可）.

15. 将平行四边形OABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点.若点A的坐标为(3，0)，点C的坐标为(1，2)，则点B的坐标为.

16. 一个正五边形和一个正六边形按如图所示的方式摆放，它们都有一边在直线

A B

C

l 上，且有一个公共顶点O ，则∠AOB 的度数是________．

17. （2020·天津）如图，

ABCD 的顶点C 在等边BEF 的边BF 上，点E 在AB

的延长线上，G 为DE 的中点，连接CG ．若3AD =，2AB CF ==，则CG 的长为_______．

18. 如图，有一个边长不定的正方形

ABCD ，它的两个相对的顶点A ，C 分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B ，D 在正六边形内部(包括边界)，则正方形边长a 的取值范围是________．

三、解答题（本大题共5道小题） 19. （2020·黄冈）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠C ．E 使边BC 上一点，且DE ＝DC ． 求证：AD ＝BE ．

O

C

D

A

20. 如图，在四边形

ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，∠B=45°，延长CD 到点E ，

使DE=DA ，连接AE. (1)求证:AE=BC ;

(2)若AB=3，CD=1，求四边形ABCE 的面积.

21. （2020·鄂州）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点

O ，点M ，N 分别为OA 、OC 的中点，延长BM 至点E ，使EM BM =，连接DE ．

（1）求证：AMB CND △≌△；

（2）若2BD AB =，且5AB =，4DN =，求四边形DEMN 的面积．

22. 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ?和BCE ?都是等边三角形，

AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行

四边形且PQ PN =．

Q

E

P N

M

D

C

B

A

23. 如图，在平面直角坐标系中，四边形

OABC 是平行四边形．直线l 经过O 、

C 两点，点A 的坐标为(8，0)，点B 的坐标为(11，4)，动点P 在线段OA 上从O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O —C —B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒（t ＞0），△MPQ 的面积为S ． （1）点C 的坐标为____________，直线l 的解析式为____________；

（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．

（3）试求题（2）中当t 为何值时，S 的值最大？最大值是多少？

2021中考数学 尖子生专项复习：多边形与平行

四边形-答案

一、选择题（本大题共10道小题）

1. 【答案】C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组???x ＋y ＋44°

＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.

2. 【答案】D

[解析] 六边形的对角线的条数为

6×（6－3）

2

＝9.

3. 【答案】D

[解析]因为平行四边形的对角线互相平分，OE ⊥BD ，所以OE 垂

直平分BD ，所以BE=DE ，从而△ABE 的周长等于AB +AD ，即?ABCD 的周长的一半，所以△ABE 的周长为14，故选D .

4. 【答案】C

[解析]∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°. ∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠EAD=60°， ∴△ABE 是等边三角形，∴AE=AB=BE. ∵AB=BC ，

∴AE=BC ，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°， 故①正确;

∵AC ⊥AB ，∴S ?ABCD =AB ·AC ， 故②正确;

∵AB=BC ，OB=BD ，BD>BC ，

∴AB ≠OB ，故③错误; ∵CE=BE ，CO=OA ， ∴OE=AB=BC ， 故④正确.

5. 【答案】D

[解析] (n ＋2)边形的内角和比n 边形的内角和大n·180°－(n －2)·180°

＝360°.

6. 【答案】C

[解析] 设多边形有n 条边，

则n －2＝11，解得n ＝13. 故这个多边形是十三边形．

故经过这一点的对角线的条数是13－3＝10.

7. 【答案】

D

【解析】本题考查了图形全等的概念、平行四边形的性质以及解直角三角形，过点F 作FH ⊥BC ，垂足为H.

E C

F

H

A B D

G

设AF=x ，因为四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，所以AD=BC.因为沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形，所以BE=DF ，所以AF=EC=x ．因为AG 是BC 边上的高，FH ⊥BC ，所以GH=AF=x .因为∠B=45°，AG=2，所以BG=2，则

HE=6-2-2x =4-2x . 因为tan ∠BEF=HF HE ，所以HE=tan HF BEF ∠3

=2 3 ，则

4-2x =2 3 ，解得x =2- 3 ，因此本题选D ．

8. 【答案】A 【解析】 在R t △ABG 中，AG 22AB BG -22108-＝6.∵四边形ABCD 是平行四边形，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠ADE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ，则CE ＝BC －BE ＝15－10＝5.又∵BG ⊥AE ，∴AE ＝2AG ＝12，则△ABE 的周长为32.∵AB ∥DF ，∴△ABE ∽△CFE ，∴△ABE 的周长：△CEF 的周长＝BE ：CE ＝2：1，∴△CEF 的周长为16.

9. 【答案】A

【解析】∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，

∴BC=2222

=43

BD CD

++=5，

∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，

∴EH=FG=1

2

BC，EF=GH=

1

2

AD，

∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，又∵AD=7，

∴四边形EFGH的周长=7+5=12．故选A．

10. 【答案】B

【解析】利用平行四边形、相似的有关性质解决问题.∵

1

2

DE

AE

=，DE=3，∴AE=6.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC,AB=CD,AB∥CD,∴△DEF∽△AEB,

∴DE DF

AE AB

=,又DF=4，∵AB=8，∴□ABCD的周长为28.故选B.

二、填空题（本大题共8道小题）

11. 【答案】20

12. 【答案】1＜a＜7【解析】如解图，对角线AC，BD相交于点O，则OA＝1 2

AC＝4，OD＝1

2BD＝3，在△OAD中，OA－OD＜AD＜OA＋OD，即1＜a＜7.

13. 【答案】5

【解析】∵多边形的内角和与外角和的总和为900°，多边形的外角和是360°，∴多边形的内角和是900﹣360=540°，

∴多边形的边数是：540°÷180°+2=3+2=5．

故答案为：5．

14. 【答案】AD=BC

【解析】当添加条件AD=BC时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD是平行四边形.

15. 【答案】(4，2) [解析]因为四边形OABC 是平行四边形，

所以BC=OA=3. 所以点B (4，2).

16. 【答案】84°

[解析] 由题意，得∠AOE ＝108°，∠BOF ＝120°，∠OEF ＝72°，

∠OFE ＝60°，

∴∠EOF ＝180°－72°－60°＝48°.

∴∠AOB ＝360°－108°－48°－120°＝84°.

17. 【答案】

3

2

【解析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，

延长DC 交EF 于点M ，利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出CG 是DEM △的中位线是解题的关键．延长DC 交EF 于点M （图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM 是等边三角形，

BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C 、

G 是DM 和DE 的中点，根据中位线的性质，可得出CG=1

2EM ，代入数值即可得出答案．如下图所示，

延长DC 交EF 于点M ，3AD =，2AB CF ==， 平行四边形ABCD 的顶点C 在等边BEF 的边BF 上，

//DM AE ∴，

CMF ∴是等边三角形， 2AB CF CM MF =∴===．

在平行四边形ABCD 中，2AB CD ==，3AD BC ==， 又

BEF 是等边三角形，

325BF BE EF BC CF ===+=+=∴， 523EM EF MF =∴=--=． G 为DE 的中点，2CD CM ==，

C ∴是DM 的中点，且CG 是DEM △的中位线，

1322

CG EM =

∴=．

故答案为：

3

2

．

18. 【答案】

6

2≤

a≤3－3【解析】∵ABCD是正方形，∴AB＝a＝

2

2AC，∴a 的取值范围与AC的长度直接相关．如解图①，当A，C两点恰好是正六边形一组对边中点时，a的值最小，∵正六边形的边长为1，∴AC＝3，∴AB＝a＝

2

2 AC＝

6

2；如解图②，连接MN，延长AE，BF交于点G，∵正六边形和正方形ABCD，∴△MNG、△ABG、△EFG为正三角形，设AE＝BF＝x，则AM＝BN ＝1－x，AG＝BG＝AB＝1＋x＝a，∵GM＝MN＝2，∠BNM＝60°，

∴sin∠BNM＝sin60°＝

BC

2

BN＝

a

2

1－x

，∴3()

1－x＝a，∴3()

2－a＝a，解得，a ＝

23

3＋1

＝3－ 3.∴正方形边长a的取值范围是

6

2≤a≤3－ 3.

三、解答题（本大题共5道小题）

19. 【答案】

解：∵□ABCD，∴∠AD＝∠BC，∴∠C＝∠DAO．

∵点O为CD的中点，∴DO＝∠CO．又∵∠AOD=∠EOC，∴△AOD≌△EOC．∴AD＝CE．

20. 【答案】

解:(1)证明:∵AD⊥CD，AB∥CD，

∴∠ADE=∠DAB=90°.

∵AD=DE，∴∠E=∠DAE=45°，

∴∠EAB=135°.

∵∠B=45°，∴∠B+∠EAB=180°，

∴AE ∥BC ，

∴四边形ABCE 是平行四边形， ∴AE=BC.

(2)由(1)知AB=CE ， ∵CD=1，AB=3， ∴DE=2. ∵AD=DE ， ∴AD=2，

∴S 四边形ABCE =3×2=6.

21. 【答案】

解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AB //CD ，OA ＝OC ， ∴∠BAC ＝∠DCA ，

又点M ，N 分别为OA 、OC 的中点，

∴11

22

===AM AO CO CN ，

在AMB ?和CND ?中，

=??

∠=∠??=?

AB CD BAC DCA AM CN ， ∴()△≌△AMB CND SAS ．

(2)BD ＝2BO ，又已知BD ＝2AB ，

∴BO ＝AB ，∴△ABO 为等腰三角形； 又M 为AO 的中点，

∴由等腰三角形的“三线合一”性质可知：BM ⊥AO ，

∴∠BMO ＝∠EMO ＝90°，

同理可证△DOC 也为等腰三角形， 又N 是OC 的中点，

∴由等腰三角形的“三线合一”性质可知：DN ⊥CO ， ∠DNO ＝90°，

∵∠EMO ＋∠DNO ＝90°＋90°＝180°，

∴EM //DN ，

又已知EM ＝BM ，由(1)中知BM ＝DN ， ∴EM ＝DN ，

∴四边形EMND 平行四边形，

又∠EMO ＝90°，∴四边形EMND 为矩形，

在Rt △ABM

中，由勾股定理有：3AM ==， ∴AM ＝CN ＝3，

∴MN ＝MO ＋ON ＝AM ＋CN ＝3＋3＝6， ∴6424EMND S MN ME =?=?=矩形．

22. 【答案】

如图，连结AC 、BD ．

∵PQ 为ABC ?的中位线

∴PQ AC ∥且12

PQ AC =

同理MN AC ∥且12

MN AC =

∴MN PQ ∥且MN PQ =

∴四边形PQMN 为平行四边形． 在AEC ?和DEB ?中

AE DE =，EC EB =,60AED CEB ∠=?=∠ 即AEC DEB ∠=∠ ∴AEC DEB ??≌ ∴AC BD =

∴1122

PQ AC BD PN ===.

Q

E

P N

M

D C

B

A

23. 【答案】

（1）点C 的坐标为(3，4)，直线l 的解析式为43

y x =．

（2）①当M 在OC 上，Q 在AB 上时，502

t ＜≤．

在Rt △OPM 中，OP ＝t ，4tan 3OMP ∠=，所以43

PM t =．

在Rt △AQE 中，AQ ＝2t ，3cos 5QAE ∠=，所以65

AE t =．

于是618855PE t t t =+-=+．因此212162153

S PE PM t t =?=+．

②当M 在OC 上，Q 在BC 上时，532

t ＜≤．

因为25BQ t =-，所以11(25)163PF t t t =---=-． 因此2132223

S PF PM t t =?=-+．

③当M 、Q 相遇时，根据P 、Q 的路程和2115t t +=+，解得163

t =．

因此当M 、Q 都在BC 上，相遇前，1633

t ＜≤，PM ＝4，162163MQ t t t =--=-．

所以16322

S MQ PM t =?=-+．

图2 图3 图4 （3）①当502

t ＜≤时，222162160(20)15

3

15

3

S t t t =+=+-．

因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S 随t 的增大而增大， 所以当52

t =时，S 最大，最大值为856

．

②当532

t ＜≤时，2232812822()3

3

9

S t t t =-+=--+．

因为抛物线开口向下，所以当83

t =时，S 最大，最大值为1289

．

③当1633

t ＜≤时，16322

S MQ PM t =?=-+．

因为S 随t 的增大而减小，所以当3t =时，S 最大，最大值为14． 综上所述，当83

t =时，S 最大，最大值为1289

．

考点伸展

第（2）题中，M 、Q 从相遇到运动结束，S 关于t 的函数关系式是怎样的？ 此时16133

2

t ＜≤， 216316MQ t t t =+-=-．因此16322

S MQ PM t =?=-．

图5