巧用向量法研究空间几何体
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习题转化
◆
山东省微山县韩庄一中
谢广忠
陈红侠
巧用向量法
研究空间几何体
在人教社高中数学（必修）高二（下Ｂ）第６２页
例１中，通过向量方法巧妙地证明了棱柱中的线线垂直，而随着新课改的深入，向量作为一种工具越发显得重要．下面结合这一例题探究用向量法巧解涉及空间几何体的高考题．
课本例题如图所示，已知正三棱柱ＡＢＣ－Ａ′Ｂ′Ｃ′的各棱长都为１，Ｍ是底面上ＢＣ边的中点，Ｎ是侧棱ＣＣ′上的点，且ＣＮ＝１４
ＣＣ′，求证ＡＢ′⊥ＭＮ．
证明
设Ａ%&Ｂ＝ａ’，Ａ%&Ｃ＝ｂ(，ＡＡ%&′＝ｃ
’，则由已知条件和正三棱柱的性质，得ａ
’＝ｂ(＝ｃ’＝１，ａ’?ａ’＝１，ａ’?ｃ’＝ｂ(?ｃ’＝０，ＡＢ%&′＝ａ
’＋ｃ’，Ａ%&Ｍ＝１２（ａ’＋ｂ(），Ａ%&Ｎ＝ｂ(＋１４
ｃ’，Ｍ%&Ｎ＝Ａ%&Ｎ－Ａ%&Ｍ＝－１２ａ’＋１２ｂ(＋１４ｃ’，ＡＢ%&′?Ｍ%&Ｎ＝
（ａ’＋ｃ’）（－１２ａ’＋１２ｂ(＋１４
ｃ’）＝－１２＋１２ｃｏｓ６０°＋１４
＝０，
所以ＡＢ′⊥ＭＮ．点评
本例通过向量方法简洁地证明了棱柱中
的线线垂直问题，而对于涉及空间几何体如棱柱、棱锥中的线线、线面问题，以及距离、角的问题，如果使用向量的方法解决有时也会非常巧妙．
平行问题
一、用向量法处理几何体中的空间几何体中的平行关系包括直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行，利用向量的共线与共面方法可以解决以上问题．
例１（２００６年?四川）如图，在长方体ＡＢＣＤ－
Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｅ、Ｐ分别是ＢＣ，Ａ１Ｄ１的中点，Ｍ、Ｎ分别
是ＡＥ，ＣＤ１的中点，ＡＤ＝ＡＡ１＝ａ，ＡＢ＝２ａ．
（１）求证：ＭＮ∥平面ＡＤＤ１Ａ１．解析
以Ｄ为原
点，ＤＡ，ＤＣ，ＤＤ１所在直线分别为ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴，建立直角坐
标系，则Ａ（ａ，０，０），Ｂ（ａ，２ａ，０），Ｃ（０，２ａ，０），Ａ１（ａ，０，ａ），Ｄ１（０，０，ａ）
因为Ｅ，Ｐ，Ｍ，Ｎ分别是ＢＣ，Ａ１Ｄ１，ＡＥ，ＣＤ１的中点所以Ｅ
ａ２，２ａ，*+０，Ｐａ２，０，*+ａ，Ｍ３ａ
４
，ａ，*+０，Ｎ０，ａ，
ａ
２
*+
，（１）Ｍ%&Ｎ＝－３４
ａ，０，
ａ２
*+
取ｎ(＝（０，１，０），显然ｎ(⊥平面ＡＤＤ１Ａ１，Ｍ%&Ｎ?ｎ(＝０，所以Ｍ%&Ｎ⊥ｎ
(．又ＭＮ,平面ＡＤＤ１Ａ１，所以ＭＮ∥平面ＡＤＤ１Ａ１．点评
本小题主要考察长方体的概念、直线和
平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力，借助向量方法使问题的解决得以简化．
二、用向量法处理几何体中的垂直问题
空间几何体中的线线、线面、面面垂直关系，都可以转化为空间两个向量垂直问题来解决．
例２（２００６年?浙江）如图，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，底面为直角梯形，ＡＤ∥ＢＣ，∠ＢＡＤ＝９０°，ＰＡ⊥底
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｍ
ＮＡ′
Ｂ′Ｃ′
Ａ
ＢＣＤ
ＥＦＨ
Ｍ
ＰＮ
Ａ１
Ｂ１Ｃ１
Ｄ１
ｘｙｚ................................................./
.........../
.............................
.
.
................../
.........../
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２００７?２面ＡＢＣＤ，且ＰＡ＝ＡＤ＝ＡＢ＝２ＢＣ，Ｍ、Ｎ分别为ＰＣ、ＰＢ的中点．
（１）求证：ＰＢ⊥ＤＭ；（２）求ＣＤ与平面ＡＤＭＮ所成的角
解
如图，以Ａ为坐标
原点建立空间直角坐标系ｘｙｚ，设ＢＣ＝１，则Ａ
（０，０，０），Ｐ（０，０，２），Ｂ（２，０，０），Ｃ（２，１，０），Ｍ（１，１２
，１），Ｄ（０，２，０）．
（
１）因为Ｐ"
#Ｂ?Ｄ"$Ｍ＝（２，０，－２）?（１，－３２
，１）＝０，所以ＰＢ⊥ＤＭ．
（２）因为Ｐ"$Ｂ?Ａ"$Ｄ＝
（２，０，－２）?（０，２，０）＝０，所以ＰＢ⊥ＡＤ，
又因为ＰＢ⊥ＤＭ，所以ＰＢ⊥平面ＡＤＭＮ．
因此〈Ｐ"$Ｂ，Ｄ"$Ｃ〉
的余角即是ＣＤ与平面ＡＤＭＮ所成的角．
因为ｃｏｓ〈Ｐ"$Ｂ，Ｄ"$Ｃ〉＝
Ｐ"$Ｂ?Ｄ"$ＣＰ"$Ｂ?Ｄ"$Ｃ
＝１０
&５，
所以ＣＤ与平面ＡＤＭＮ所成的角为ａｒｃｓｉｎ１０&５
．
点评本题主要考查空间线线、线面关系、空间
向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力．
例３
（２００６年?全国Ⅰ）如
图，ｌ１、ｌ２是互相垂直的异面直线，
ＭＮ是它们的公垂线段．点Ａ、Ｂ在ｌ１上，Ｃ在ｌ２上，ＡＭ＝ＭＢ＝ＭＮ．
（１）证明ＡＢ⊥ＮＢ；
（２）若∠ＡＣＢ＝６０°，求ＮＢ与平面ＡＢＣ所成角的余弦值．
解析
如图，建立空间直
角坐标系Ｍ－ｘｙｚ．令ＭＮ＝１，则有Ａ（－１，０，０），Ｂ（１，０，０），Ｎ（０，１，０），
（１）因为ＭＮ是ｌ１、ｌ２的公垂线，ｌ１⊥ｌ２，所以ｌ２⊥平面ＡＢＮ．ｌ２平行于ｚ轴．故可设Ｃ（０，１，ｍ）．
于是Ａ"$Ｃ＝（１，１，ｍ），Ｎ"$Ｂ＝
（１，－１，０）．所以Ａ"$Ｃ?Ｎ"$Ｂ＝０，所以ＡＣ⊥ＮＢ．（２）因为Ａ"$Ｃ＝（１，１，ｍ），Ｂ$Ｃ＝（－１，１，ｍ），所以Ａ"$Ｃ＝Ｂ$Ｃ，又已知∠ＡＣＢ＝６０°
，所以△ＡＢＣ为正三角形，ＡＣ＝ＢＣ＝ＡＢ＝２．在Ｒｔ△ＣＮＢ中，ＮＢ＝２&，可得ＮＣ＝２&，故Ｃ（０，１，２&）．连结ＭＣ，作ＮＨ⊥ＭＣ于Ｈ，设Ｈ（０，λ，２&λ）（λ＞０）．
所以Ｈ"$Ｎ＝（０，１－λ，－２&λ），Ｍ"$Ｃ＝
（０，１，２&）．Ｈ"$Ｎ?Ｍ"$Ｃ＝１－λ－２λ＝０，所以λ＝１３
，
所以Ｈ（０，１３，２&３
），
可得Ｈ"$Ｎ＝
（０，２３
，－２&３
），连结ＢＨ，则Ｂ"$Ｈ＝
（－１，１３
，２&３
），因为Ｈ"$Ｎ?Ｂ"$Ｈ＝０＋２９
－２９
＝０，
所以Ｈ"$Ｎ⊥Ｂ"$Ｈ，又ＭＣ∩ＢＨ＝Ｈ，
所以ＨＮ⊥平面ＡＢＣ，∠ＮＢＨ为ＮＢ与平面
ＡＢＣ所成的角．又Ｂ
"$Ｎ＝（－１，１，０），所以ｃｏｓ∠ＮＢＨ＝
Ｂ"$Ｈ?Ｂ"$Ｎ
Ｂ"$Ｈ?Ｂ
"$Ｎ＝
４
３２３
&×２
&＝６&３
，
点评本例通过建立空间坐标系，用空间向量
加以解决，使较为抽象的垂直问题得以解决．
三、用向量法处理几何体中的距离问题
立体几何体中涉及的距离问题较多，如两点距离，点、
线的距离，点、线与面的距离，两异面直线的距离等．若用向量来处理这类问题，则思路简单、解法固定．
例５（２００６年?福建）如图，四面体ＡＢＣＤ中，
Ｏ、Ｅ分别ＢＤ、ＢＣ的中点，ＣＡ＝ＣＢ＝ＣＤ＝ＢＤ＝２，ＡＢ＝ＡＤ＝２&．
（１）求证：ＡＯ⊥平面
ＢＣＤ；
（２）求异面直线ＡＢＡ
Ｂ
ＣＤＭ
ＮＰｘｙ
ｚ
ＡＢ
Ｃ
Ｍ
Ｎｌ１ｌ２
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｍ
ＮＨ
ｌ１
ｌ２ｘｙ
ｚ
Ａ
Ｂ
Ｃ
ＤＥ
Ｏ
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与ＣＤ所成角的大小；
（３）求点Ｅ到平面ＡＣＤ的距离．解析（１）证明：连结ＯＣ，
因为ＢＯ＝ＤＯ，ＡＢ＝ＡＤ，所以ＡＯ⊥ＢＤ．因为ＢＯ＝ＤＯ，ＢＣ＝ＣＤ，所以ＣＯ⊥ＢＤ．在△ＡＯＣ中，由已知可得ＡＯ＝１，ＣＯ＝３#．而ＣＡ＝２，且ＡＯ２＋ＣＯ２＝ＡＣ２，所以∠ＡＯＣ＝９０°，即ＡＯ⊥ＯＣ．因为ＢＤ∩ＯＣ＝Ｏ，所以ＡＯ⊥平面ＢＣＤ．（２）以Ｏ为原点，如图建立空间直角坐标系，则Ｂ
（１，０，０），Ｄ（－１，０，０），Ｃ（０，３#，０），Ａ（０，０，１），Ｅ
（１２
，３#２
，０），Ｂ&’Ａ＝
（－１，０，１），Ｃ’Ｄ＝
（－１，－３#，０）所以ｃｏｓ〈Ｂ&’Ａ，Ｃ&’Ｄ〉＝
Ｂ&’Ａ?Ｃ&’ＤＢ&’Ａ?Ｃ
&’Ｄ＝２
#４，
所以异面直线ＡＢ与ＣＤ所成角的大小为２#４
．
（３）解：设平面ＡＣＤ的法向量为ｎ(＝（ｘ，ｙ，ｚ），
则
ｎ(?Ａ&’Ｄ＝（ｘ，ｙ，ｚ）?（－１，０，－１）＝０，ｎ(?Ａ&’Ｃ＝
（ｘ，ｙ，ｚ）?（０，３#，－１）＝０)
，所以
ｘ＋ｚ＝０，３#ｙ－ｚ＝０)
．
令ｙ＝１，得ｎ(＝（－３#，１，３#）是平面ＡＣＤ的
一个法向量．又Ｅ’Ｃ＝－１２
，３#２
，*+
０，
所以点Ｅ到平面ＡＣＤ的距离：
ｈ＝Ｅ&’Ｃ?ｎ(
ｎ
(＝３#７#＝２１#７．
点评
本小题主要考查直线与平面的位置关
系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知
识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力
．
Ａ
Ｂ
ＣＤＥ
Ｏｘｙ
ｚ课间
休息
法国数学家傅立叶有句流传至今的名言：对自然的深入研究是数学发现的最富饶的源泉．黄金比是自然美的反映，蜂房问题也是极有趣的例子．蜂房的结构不仅有条理、有对称性，而且最省材料，这种
“最省”实际上是极值问题．历史上不少学者注意到蜂房的奇妙结构．蜂房上有许多巢，取一个巢来看，它是正六角形的柱体，其上底是由三个全等的菱形组成（如图所示）．早在公元３００年前后，亚历山大的巴普士就研究过蜂房的形状，他认为六棱柱的巢的结构是最经济的结
构．开普勒曾说过这种充满空间的对称的蜂房的角应该和菱形十二面体
（各个面都是菱形的十二面体）的角一样．１８世纪法国天文学家马拉尔弟经过实际测量后指出蜂巢顶部菱形的两角分别是１０９°２８′和７０°３２′．法国自然哲学家列俄木作出一个猜想，他认为用这样的角度来建造蜂房，在相同的容积下最节省材料．于是他请教瑞士数学家克尼希，克尼希证实了列俄木的猜想．但他通过数值计算推得：根据蜂房的结构法要使表面积最省料，其上底中菱形的两个角应为１０９°２６′和７０°３４′
，和马拉尔弟实际测量的数值有２′之差！当时人们认为：蜜蜂毕竟不懂科学，它们解决这样一个复杂的极值问题只有２′的误差，是不足为奇的．可是事情还没有完结．后来，在调查一艘轮船失事原因的过程中，发现船上使用的对
数表有错误，而当时数学家尼克希进行蜂房计算时，所使用的也是同类对数表．于是人们又开始怀疑克尼希计算数据的准确性．１７４３年，美国数学
家马克劳林重新从理论上研究蜂巢中的极
值问题，得到更惊人的结果．他完全用初等数学方法得到菱形的钝角是１０９°２８′１６″，锐角是７０°３１′４４″，与实际测量的值一致．这２′之差，不是蜜蜂不准，而是数学家克尼希算错了，他所用的对数表印错了．
马克思说得好：“蜜蜂建筑蜂房的本领使人间许多建筑师感到惭愧．但是，最蹩脚的建筑师从一开始就比最灵巧的蜜蜂高明的地方，是他在用‘蜂蜡’建筑‘蜂房’以前，已经在自己的头脑中把它建成了．”
生物现象常常给人们很大启发，数学美是自然美的客观反映．
高明的建筑师———蜜蜂
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用向量方法解立体几何题(老师用)
用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n （３）求二面角 法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b
法二、设12,,n n 是二面角l αβ --的两个半平面的法向量， 其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l α β --的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设A O α ⊥于O,利用A O α ⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||A O ． （２）求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β ，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别 为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥ ，n b ⊥ ），则 异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== （此方法移植 于点面距离的求法）．
利用空间向量求空间角教案设计
利用空间向量求空间角 一、高考考纲要求： 能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用． 二、命题趋势： 在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多. 三、教学目标 知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用； 过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力； 情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力. 四、教学重难点 重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角； 难点：将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程 （一）空间角公式 1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l ，m 的方向向量分别为a r ,b r ,异面直线l ，m
2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a r 为l 的方向向量，n r 为平面α的法向量，θ为 l 与α所成的角，则sin cos ,a n θ==r r a n a n ?r r r r . 3、面面角公式：设1n r ，2n r 分别为平面α、β的法向量，二面角为θ，则12,n n θ=r r 或 12,n n θπ=-r r （需要根据具体情况判断相等或互补） ，其中121212 cos ,n n n n n n ?=r r r r r r . α θ O n r a
（二）典例分析 如图，已知：在直角梯形OABC 中，//OA BC ，90AOC ∠=o ，SO ⊥面OABC ，且 1,2OS OC BC OA ====.求： （1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值； （2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值； （3）二面角B AS O --的余弦值. 解：如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ， (2,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)S ， 于是我们有(2,0,1)SA =-u u r ，(1,1,0)AB =-u u u r ，(1,1,0)OB =u u u r ，(0,0,1)OS =u u u r ， （1）cos ,5SA OB SA OB SA OB ?== =u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r ， 所以异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值为5 . （2）设平面SAB 的法向量(,,)n x y z =r ， 则0,0, n AB n SA ??=???=??r u u u r r u u r ，即0,20.x y x z -+=??-=? 取1x =，则1y =，2z =，所以(1,1,2)n =r ， sin cos ,3OS n OS n OS n α?∴=== =u u u r r u u u r r u u u r r . （3）由（2）知平面SAB 的法向量1(1,1,2)n =u r ， 又OC ⊥Q 平面AOS ，OC ∴u u u r 是平面AOS 的法向量， 令2(0,1,0)n OC ==u u r u u u r ，则有121212 cos ,n n n n n n ?== =u r u u r u r u u r u r u u r . ∴二面角B AS O --O A B C S
利用空间向量解立体几何 完整版
向量法解立体几何 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离
点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为PQ =u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ u u u r ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ u u u r 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法
利用法向量解立体几何题
利用法向量解立体几何题 一、运用法向量求空间角 向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量 ''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ= '''' AA BB AA BB ??, 不需 要用法向量。 1、运用法向量求直线和平面所成角 设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为 sin θ= cos( 2 π -θ) = |cos
则?ˉ //AA n ，所以∠BAA ＇ =<,BA n >（或其补角） ∴异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA ＇ = || || AB n n ? * 其中，n 的坐标可利用a 、b 上的任一向量,a b （或图中的,AE BF ），及n 的定义得 0n a n a n b n b ??⊥?=?????⊥?=??? ? ① 解方程组可得n 。 2、求点到面的距离 求A 点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在α内任取一点B ，则A 点到平面α的距离为 d = || || AB n n ?，n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY 平面平行，此时可改设 (1,,0)n y =，下同）。 3、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线a 到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在直线a 上任取一点A ， 在平面α内任取一点B ，则直线a 到平面α的距离 d = || || AB n n ? 4、求两平行平面的距离 设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y =，在平面α、β内各任取一点A 、 B ，则平面α到平面β的距离 d = || || AB n n ? 三、证明线面、面面的平行、垂直关系 设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n ，则 1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥? 12////n n αβ? 12n n αβ⊥?⊥
用向量法求二面角的平面角教案
第三讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求二面角的平面角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1．使学生会求平面的法向量； 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点
求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法. 教学难点 求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈） 向量夹角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，
三角法与向量法解平面几何题(正)
第27讲 三角法与向量法解平面几何题 相关知识 在ABC ?中,R 为外接圆半径,r 为内切圆半径,2 a b c p ++=,则 1,正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===, 2,余弦定理:2 2 2 2cos a b c bc A =+-,2 2 2 2cos b a c ac B =+-,2 2 2 2cos c a b ab C =+-. 3,射影定理:cos cos a b C c B =+,cos cos b a C c A =+,cos cos c a B b A =+. 4,面积:211sin 2sin sin sin 224a abc S ah ab C rp R A B C R = ==== = (sin sin sin )rR A B C ++ 2 221(cot cot cot )4 a A b B c C = ++. A 类例题 例1．在ΔABC 中，已知b =asinC ,c =asin (900 -B )，试判断ΔABC 的形状。 分析 条件中有边、角关系, 应利用正、余弦定理, 把条件统一转化为边或者是角的关系, 从而判定三角形的形状。 解 由条件c = asin (900 - B ) = acosB = c b c a ac b c a a 222 22222-+=-+ 2 2222c b c a =-+? 是直角A b c a ?+=?2 22 1sin sin sin =?=A A C c A a 是直角?? ?C a c C c a sin sin =?=?. Q C a b sin =?=? c b ΔABC 是等腰直角三角形。 例2．（1）在△ABC 中，已知cosA =13 5，sinB =53 ，则cosC 的值为（ ） A ．6516 B ．6556 C ．65566516或 D ． 65 16- 解 ∵C = π - (A + B ),∴cosC = - cos (A + B ),又∵A ∈(0, π),∴sinA = 13 12,而sinB =53 显然sinA > sinB ,∴A > B , ∵A 为锐角, ∴B 必为锐角, ∴ cosB = 5 4 ∴cosC = - cos (A + B ) = sinAsinB - cosAcosB =65 1654135531312=?-?.选A . 说明 △ABC 中,sinA > sinB ?A > B . 根据这一充要条件可判定B 必为锐角。 （2）在Rt △ABC 中，C ＝90°，A ＝θ，外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，
空间向量及立体几何练习试题和答案解析
. 1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD， 点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． 的中点；PB（1）求证：M为 的大小；A2）求二面角B﹣PD﹣（ 所成角的正弦值．BDP（3）求直线MC与平面 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，
∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， . . ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C （2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，）， ，．
用向量方法解立体几何的的题目
用向量方法求空间角和距离 前言： 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin | ||||| l n l n （３）求二面角 a l ⊥，在β内 b l ⊥，其方向如图，则二 方法一：在α内
面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b 方法二：设12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角 α=12 12arccos |||| n n n n 2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 方法一：设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到 α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ． （２）求异面直线的距离 方法一：找平面β使b β?且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． a 、 b 分别为异面直线a 、b 的方向 法二：在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设 向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则 异面直线a 、b 的距离
向量法求空间角(高二数学,立体几何)
A B C D P Q 向量法求空间角 1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 2 1==． （1）求证：⊥PQ 平面DCQ ； （2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小． 2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为 2 6． （1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小； （2）若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值； （3）问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由． B
3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点. （1）求证:AF//平面BCE; （2）求证:平面BCE⊥平面CDE; （3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小. P-中,PD⊥底面ABCD,且底面4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD ABCD为正方形,G PD =分别为CB PC, ,的中点． = PD F ,2 E AD, , AP平面EFG; （1）求证:// （2）求平面GEF和平面DEF的夹角.
H P G F E D C B 5．如图，在直三棱柱111AB C A B C -中，平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==. （Ⅰ）求证：AB BC ⊥； （Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6 π,求锐二面角1A A C B --的大小. 6．如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ，2AD PD EA ==，F ，G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点． （1）求证：FG 平面PED ； （2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小.
用空间向量解决空间中“夹角”问题
利用空间向量解决空间中的“夹角”问题 学习目标 ： 1.学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法； 2.能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.提高分析与推理能力和空间想象能力。 重点 ： 利用空间向量解决空间中的“夹角” 难点 ： 向量夹角与空间中的“夹角”的关系 一、复习引入 1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） 2．向量的有关知识： （1）两向量数量积的定义：><=?,cos |||| （2）两向量夹角公式：| |||,cos b a >= < （3）平面的法向量：与平面垂直的向量 二、知识讲解与典例分析 知识点1：异面直线所成的角（范围：]2 , 0(π θ∈） （1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a′与b′，那么直线a′与b′ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角 设两异面直线a 、b 的方向向量分别为和， 问题1： 当与的夹角不大于90 的角θ与 和 的夹角的关系？问题 2：a 与b 的夹角大于90°时，，异面直线a θ与a 和b 的夹角的关系？ 结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为| ||||,cos |cos n m = ><=θ a
例1如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和1CB 所成的角. 解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。 解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则 )2,,0(),0,21,23(),2,21,23(),0,0,0(11a a B a a C a a a C A -- ∴ )2,21,23(1a a a AC -=，)2,21 ,23(1a a a CB = 即21 323||||,cos 22 111111==>=<,与θ的关系？ 例2、如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值. 分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量 2. 求出直线的方向向量 3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角 解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则),0,,0(),2,0,0(1a a AA ==)2,21 ,23(1a a a AC -= 设平面B B AA 11的法向量为),,(z y x n = x y
高中数学讲义微专题64 空间向量解立体几何(含综合题习题)
微专题64 利用空间向量解立体几何问题 一、基础知识 （一）刻画直线与平面方向的向量 1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定 例如：()()2,4,6,3,0,2A B ，则直线AB 的方向向量为()1,4,4AB =-- 2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面α垂直的直线称为平面α的法线，法线的方向向量就是平面α的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？ （1）所需条件：平面上的两条不平行的直线 （2）求法：（先设再求）设平面α的法向量为(),,n x y z =，若平面上所选两条直线的方向向量分别为()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则可列出方程组： 1112220 x y z x y x y z x y z z ++=?? ++=? 解出,,x y z 的比值即可 例如：()()1,2,0,2,1,3a b ==，求,a b 所在平面的法向量 解：设(),,n x y z =，则有20230x y x y z +=??++=? ，解得：2x y z y =-??=? ::2:1:1x y z ∴=- ()2,1,1n ∴=- （二）空间向量可解决的立体几何问题（用,a b 表示直线,a b 的方向向量，用,m n 表示平面 ,αβ的法向量） 1、判定类 （1）线面平行：a b a b ?∥∥ （2）线面垂直：a b a b ⊥?⊥ （3）面面平行：m n αβ?∥∥ （4）面面垂直：m n αβ⊥?⊥ 2、计算类： （1）两直线所成角：cos cos ,a b a b a b θ?==
利用向量法求空间角经典教案
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