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小升初数学培优讲义全46讲—第40讲容斥原理

第40讲容斥原理

考点解读

1、考察范围：AB、ABC类型。

2、考察重点：求三者公共区域数，总数。

3、命题趋势：一般出现在填空题后面几道，大题选考。

知识梳理

容斥问题：有重复包含关系的问题。

容斥原理是奥数的四大原理之一，是考生们绕不过去的知识点。容斥原理在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算

出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。容斥原理听上去很高深的一个“玩意”，其实通俗点理解就

是在求解一个问题时，发现有部分被重复加了，那么就把重复部分减去，如果少加了，那么就把那部分补上。

1、两种量的容斥原理问题

如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

即A∪B = A+B - A∩B

2、三种量的容斥原理问题

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C

典例剖析

【例1】在1-30的自然数中，是2的倍数或者3的倍数的数共有多少个？

【变式练习】

1、在1-200的自然数中能被3或5整除的数有多少个？

【例2】三年级同学有56人参加科技和美术两个课外兴趣小组。其中参加科技组的有36人，参加美术组的有28人，两个小组都参加的有多少人？

【变式练习】

1、某区100个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的有75人，既懂英语又懂俄语的有20人，那么懂俄语的教师有多少人？

2、一个班有36个学生，在一次测验中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人，那么两题都不对的有多少人？

【例3】有一根180厘米长的绳子，从一端开始，每3厘米作一个记号，每4厘米也做一个记号，然后将有记号的地方剪断，问：绳子被剪成多少段？

【变式练习】

1、有一根120厘米长的绳子，从一端开始，每5厘米作一个记号，每6厘米也做一个记号，然后将有记号的地方剪断，问：绳子被剪成多少段？

2、在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少

段？

【例4】一次数学测验中只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二踢有18人做错，那么两题都做错的有多少人？

【变式练习】

1、某班在一次测验中有28人语文获优，30人数学获优，其中语文、数学双优的有1人，另外还有1人语文、数学均未获优，这个共有多少学生？

2、有两块一样长的木板，钉在一起，如果每块木板长25厘米，中间钉在一起的长5厘米，现在木板有多长？

【例5】100个学生中只有1人没有学过外语。学过英语的有39人，学过法语的有49人，学过俄语的有41人。既学过英语也学过法语的有14人，既学过英语也学过俄语的有13人，既学过法语也学过俄语的有9人。问：三种语言都学过的有多少人？

【变式练习】

1、某校共100名学生参加运动会，其中39人参加游泳比赛，49人参加田径比赛，41

人参加球类比赛，既参加游泳又参加田径比赛的有14人，既参加田径又参加球类比赛的有

13人，既参加游泳又参加球类比赛的有9人，还有1人这三项比赛都不参加，求这三项比

赛都参加的有多少人？

2、某学校五年级共有110人，参加语文、数学、英语三科活动小组，每人至少参加一组。

已知参加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人。那么三组都参加的有多少人？

课后精练

A、温故知新

1、一个班有45个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书。借

语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人。语文、数学两种课外书都借的有多少人？

2、三年级同学参加科技和美术两个课外兴趣小组，参加科技组的有36人，参加美术组的有28人，两个小组都参加的有8人，三年级一共有多少人参加课外兴趣小组？

3、某班学生中参加语文小组的有20人，参加数学小组的有22人。既参加语文又参加数学

小组的有10人，既未参加语文又未参加数学的有15人。问该班学生共有多少人？

4、有两块木板，一块长72厘米，另一块长56厘米，如果把两块木板重叠后钉成一块，重

叠部分是20厘米。求钉成后的木板长多少厘米？

5、某班学生参加数、理、化三科考试：数、理、化优秀的学生分别是30人、28人、25人。数+理、理+化、数+化都优秀的学生分别有20人、16人、17人，三科全优秀的有10人。问：数、理、化三科至少有一科优秀的有多少人？

6、六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺、科学三项中的一项。其中：爱好体育的

55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人；只爱好体育和科学的4

人，只爱好体育和文艺的17人。问只爱好体育的有多少人？有多少人只爱好科学和文艺两

项？

7、某班语文、数学、外语三门课程，期中成绩统计如下：至少有一门课程得满分的学生只

有18人，语文得满分的有9人，数学得满分的有11人，外语得满分的有8人，语文数学都得满分的有5人，数学外语都得满分的有3人，语文外语都得满分的有4人。问：语文、数学两门课程中至少有一门得满分的有多少人？语文、数学、外语都得满分的有多少人？

B、拓展提升

1、某班有学生46人，其中28人学钢琴，35人学电脑，37人学美术，40人学奥数，那么这个班至少有多少人四项都学？

2、在迎新联欢晚会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出，如果只参加跳

舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参

加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么同时参加了演奏、合唱但没

有参加跳舞的有多少人？

3、图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名，已知这100本书中有甲、乙、丙签名

的分别有33、44和55本，其中同时由甲、乙签名的是29本，同时由甲、丙签名的是25本，同时由乙、丙签名的是36本。问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何

一个人借阅过？

人教版九年级上册数学培优体系讲义

第二十一章一元二次方程 1．一元二次方程预习归纳 1．等号两边都是整式，只含有一个，并且未知数的最高次数是的方程，叫一元二次方程． 2．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的． 3．一元二次方程的一般形式是．例题讲解【例】把方程(3x －2)(2x －3)＝x 2－5化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项，一次项及常数项和二次项系数，一次项系数．基础训练 1．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．21 10x x =＋＋ B ．2110x x =＋＋ C ．210xy －＝ D ．22 0x xy y =－＋ 2．方程()45x x －＝化为一般形式为( ) A ．2450x x =－＋ B ．2450x x =＋＋ C ．2450x x =－－ D ．2 450x x =＋－ 3．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( ) A ．3、7、4 B ．3、7、﹣4 C ．3、﹣7、4 D ．3、﹣7、﹣4 4．(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2 ＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为 ( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2 5．(2014哈尔滨)若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为． 6．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是． 7．下列数中－1，2，－3，－2，3是一元二次方程x 2－2x ＝3的根是． 8．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是－1，求m 的值． 9．(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，求2013－a －b 的值．

九年级数学培优材料10

B A B E D A M N 九年级数学培优材料（10） -----元月调考模拟测试一、选择题 1、二次根式2x-3有意义，x 的取值范围为( ) A 、x ≥0 B 、x ≥32 C 、x ≥23 D 、x ≥-3 2 2、下列各式中为最简二次根式的是( ) A 、12 B 、 12 C 、13 D 、 5 3、将一元二次方程x 2+3=x 化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（） A 、0、3 B 、0、1 C 、1、3 D 、 1、-1 4、如图，在△OAB 绕点O 逆时针旋转70°得到△OCD,若∠A=100°，∠D=50°，则∠AOD 的度数是（） A 、20° B 、30° C 、40° D 、50° 5、如图，已知AB 为⊙O 直径，AB=20cm,弦AB=20cm,弦CD ⊥AB 于M,若OM ：OB=3：5，则CD 的长为（） A 、8cm B 、10cm C 、14cm D 、16cm 6、下列格式中计算正确的是( ) A 、5 3=315 B 、4=±2 C 、a 4b=a 2 b D 、a 2-b 2=a-b 7、在一个不透明的口袋中，装有3个红球和a 个黄球，它们除了颜色不同外其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为2 3,则口袋中球的总数为（） A 、2个 B 、6个 C 、9个 D 、12个 8、如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 上一点，将△BCE 沿着CE 折叠至△FCE ，若CF 、CE 恰好与正方形ABCD 的中心为圆心的⊙O 相切，则折痕CE=( ) A 、5 3 B 、5 C 、8 3 3 D 、以上都不对 9、如图，MN 是⊙O 的直径，MN=2，点A 在⊙O 上，∠AMN=30°，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值是（） A 、2 2 B 、 2 C 、2 D 、1

人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)

九年级讲义目录

专题01 二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数）例题与求解【例1】当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题）【例2】化简（1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题）（2 （五城市联赛试题）

（3 （北京市竞赛试题）（4 （陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.

初中数学九年级培优教程整理全

初中数学九年级培优目录第1讲二次根式的性质和运算(P2----7) 第2讲二次根式的化简与求值(P7----12) 第3讲一元二次方程的解法(P13----16) 第4讲根的判别式及根与系数的关系(P16----22) 第5讲一元二次方程的应用(P23----26) 第6讲一元二次方程的整数根(P27----30) 第7讲旋转和旋转变换（一）(P30----38) 第8讲旋转和旋转变换（二）(P38----46) 第9讲圆的基本性质(P47----51) 第10讲圆心角和圆周角(P52----61) 第11讲直线与圆的位置关系（P62----69）第12讲圆等积证明及变换((P70----76) 第13讲弧长和扇形面积(P76----78) 第14讲概率初步(P78----85) 第15讲二次函数的图像和性质(P85----91) 第16讲二次函数的解析式和综合应用(P92----98) 第17讲二次函数的应用(P99----108) 第18讲相似三角形的性质(P109----117) 第19讲相似三角形的判定(P118-----124) 第20讲相似三角形的综合应用(P124-----130) 每天进步一点点！坚持就是胜利！

第1讲二次根式的性质和运算考点·方法·破译 1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简； 3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值围）. 经典·考题·赏析【例１】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（） A. 【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C 、D 含开方数4、9，故选A. 【变式题组】 1．⑴（）下列根式中不是最简二次根式的是（） A. 【例２】(黔东南)方程480x -=，当y ＞0时，m 的取值围是（） A ．0＜m ＜1 B ．m ≥2 C ．m ＜2 D ．m ≤2 【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x －8＝0，x －y －m ＝0.化为y ＝2－m ，则2－m ＞0，故选C. 【变式题组】 2．（）若实数x 、y 2 (0y -=，则xy 的值是__________. 3．2()x y =+，则x －y 的值为（） A ．－ 1 B ．1 C ．2 D ．3 4．（）使代数式4 x -有意义的x 的取值围是（） A ．x ＞3 B ．x ≥3 C ．x ＞4 D ．x ≥3且x ≠4 5.（）2 2(4)0a c --=，则a －b －c ＝________. 是同类二次根式的是（） A B C D

九年级数学培优材料10.docx

九年级数学培优材料（10） -----元月调考模拟测试一、选择题 1、二次根式越有意义，x的取值范围为（） 3 2 3 A、x20 B、x三二 C、 D、 2、下列各式中为最简二次根式的是（） A、y/12 B、 C、± D、y/5 3、将一元二次方程x?+3=x化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（） A、0、3 B、0、1 C、1、3 D、1、-1 4、如图，在ZXOAB绕点O逆时针旋转70°得到△ OCD,若ZA=100° , ZD=50°,贝iJZAOD 的度数是（） A、20° B、30° C、40° D、50° 5、如图，已知AB 为（DO 直径，AB=20cm,弦AB=20cm,弦CD丄AB 于M,若OM： 0B=3：5, 则CD的长为（） A、8cm B、10cm C、14cm D、16cm 6、下列格式中计算正确的是（） A、^J|=3V15 B、辰±2 C、V^b=a2Vb D、 7、在一个不透明的口袋中，装有3个红球和a个黄球，它们除了颜色不同外其余均相同，若 2 从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为予则口袋中球的总数为（） A、2 个 B、6 个 C、9 个 D、12 个 8、如图，正方形ABCD的边长为4,点E是AB上一点，将ZXBCE沿着CE折叠至Z\FCE, 若CF、CE恰好与正方形ABCD的中心为圆心的（DO相切，则折痕CE=（） A、5羽 B、5 C、 D、以上都不对 9、如图，MN是00的直径，MN=2,点A在OO上，ZAMN=30° , B为弧AN的中点，P 是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值是（） A、2^2 B、迄 C、2 D、1 10、已知四边形ABCD是矩形，AB是的直径，E是00 ±一点，过点E作EF丄DC于

2019-2010九年级数学培优讲义：旋转综合之角含半角模型

旋转综合之角含半角模型初三中考复习在即，在数学中考中，几何变换往往是中考中最令人头痛的题型，其辅助线的添加非常灵活，和其他几何知识的综合性也非常强。在几何变换中，旋转是最为常见、也是最为重要的变换，本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型，这部分是本期内容的第三讲：旋转综合之角含半角模型，希望各位同学能从中收益。基本图形 1、如图所示，在等腰Rt ABC △中，点D ,E 在斜边上，45DAE ∠=?，将ABD △旋转至ACF △，连接EF ．则ADE △≌AFE △，222DE BD CE =+ 2、如图所示，在正方形ABCD 中，点E ,F 分别在边BC ,CD 上，45EAF ∠=?，将ABE △旋转至ADG △，则AEF △≌AGF △，EF BE DF =+ 角含半角模型的解题步骤 1、找旋转点（含半角的角的顶点），构造旋转； 2、证全等； 3、利用全等、相似得到边角的关系．例1 如图，已知等边ABC △的边长为1，D 是ABC △外一点且120BDC ∠=?，BD CD =，60MDN ∠=?．求AMN △的周长．

解延长AC 到E ，使CE BM =，连接DE ．易证 BMD △≌(SAS).CED △ 所以 ,.BDM CDE DM DE ∠=∠= 可得 60,NDE NDM ∠∠=?= 所以 MDN △≌(SAS).EDN △ 从而 ,MN EN CN CE CN BM ==+=+ 所以AMN △周长为 2.AMN C AB AC =+=△ 例 2 如图，正方形ABCD 的边长为a ，BM ,DN 分别平分正方形的两个外角，且满足45MAN ∠=?，连接MC ,NC ,MN ．（1）填空：与ABM △相似的三角形是_______，_______；（用含a 的代数式表示）（2）求MCN ∠的度数；（3）猜想线段BM ,DN 和MN 之间的等量关系并证明你的结论．

【2021版九年级数学培优讲义】专题16 相似三角形的性质

专题16 相似三角形的性质阅读与思考相似三角形的性质有： 1. 对应角相等； 2. 对应边成比例； 3. 对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比； 4. 周长之比等于相似比； 5. 面积之比等于相似比的平方. 性质3主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质5进一步丰富了面积的有关知识，拓展了我们研究面积问题的视角. 如图，正方形EFGH 内接于△ABC ，AD ⊥BC ，设BC a =，AD h =，试用a 、h 的代数式表示正方形的边长. H G E F D C B A 例题与求解【例1】如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC ，AD 及CD 的延长线相交于E ，F ，G ，若5BE =，2EF =，则FG 的长是 . （“弘晟杯”上海市竞赛试题）解题思路：由相似三角形建立含FG 的关系式，注意中间比的代换. G E F D C B A

【例2】如图，已知△ABC 中，DE ∥GF ∥BC ，且::1:2:3AD DF FB =，则:ADE DFGE S S △四边形:FBCG S =四边形（）（黑龙江省中考试题） A.1:9:36 B.1:4:9 C.1:8:27 D. 1:8:36 解题思路：△ADE ，△AFG 都与△ABC 相似，用△ABC 面积的代数式分别表示△ADE 、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积. G E F D C B A 【例3】如图，在△ABC 的内部选取一点P ，过P 点作三条分别与△ABC 的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t 1，t 2，t 3的面积分别为4，9和49，求△ABC 的面积. （第二届美国数学邀请赛试题）解题思路：由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑应用相似三角形的性质. t 1 t 2 t 3 I P H G E F D C B A 如图所示，经过三角形内一点向各边作平行线（也称剖分三角形），我们可以得到： ① △FDP ∽△IPE ∽△PHG ∽△ABC ； ② 1HG IE DF BC AC AB ++=； ③ 2DE FG HI BC AC AB ++=； ④ 2ABC S =△. 上述性质，叙述简捷，形式优美，巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题，简明而迅速，奇特而匠心独

人教版九年级数学上培优讲义精编

一元二次方程概念、解法、根的判别式（讲义）一、知识点睛 1. 只含有___________________的整式方程，并且都可以化成 _______________（____________________）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．思考次序：______________、__________、_______________． 2. 我们把____________________（____________________）称为一元二次方程的_______形式，其中____，____，____分别称为二次项、一次项和常数项，_____，_____分别称为二次项系数和一次项系数． 3. 解一元二次方程的思路是设法将其转化成________________来处理．主要解法有：________________，________________，_____________，_____________等． 4. 配方法是配成_______公式；公式法的公式是_____________；分解因式法是先把方程化为___________________________的形式，然后把方程左边进行____________________，根据_________________________，解出方程的根． 5. 通过分析求根公式，我们发现___________决定了根的个数，因此 _________被称作根的判别式，用符号记作_________；当__________时，方程有两个不相等的实数根（有两个解）；当__________时，方程有两个相等的实数根（有一个解）；当__________时，方程没有实数根（无根或无解）．二、精讲精练 1. 下列方程：①3157x x +=+；② 21 10x x +-=； ③2 5ax bx -=（a ，b 为常数）；④322 =-m m ；⑤2 02 y =；⑥2(1)3x x x +=-；⑦22250x xy y -+=．其中为一元二次方程的是____________． 2. 方程221x =-的二次项是________，一次项系数是____，常数项是 ______． 3. 若关于x 的方程2 1(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为 ___________．

初二数学上册培优辅导讲义(人教版)

第12讲与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、同旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝2 1 ∠BOC ，∠FOC ＝ 21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋2 1∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE . 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° 02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ . 【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（） A B C D E F A B C D E F P Q R A B C E F O E A B C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图） l 2

八年级上数学培优试题及标准答案

八年级上数学培优试题及答案

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第十一章三角形 11.1与三角形有关的线段专题一三角形个数的确定 1．如图，图中三角形的个数为（） A．2 B．18 C．19 D．20 2．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形__________个． 3．阅读材料，并填表：在△ABC中，有一点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？完成下表： △ABC内点的个数 1 2 3 (1007) 构成不重叠的小三角形的个数 3 5 … 专题二根据三角形的三边不等关系确定未知字母的范围 4．三角形的三边分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是（） A．－6＜a＜－3 B．－5＜a＜－2 C．2＜a＜5 D．a＜－5或a＞－2 5. 在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，如果b=4，则这样的三角形共有______个． 6．若三角形的三边长分别是2、x、8，且x是不等式 2 2 x+ ＞ 12 3 x - -的正整数解，试求第三边x的长．

状元笔记【知识要点】 1．三角形的三边关系三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边． 2．三角形三条重要线段 (1)高：从三角形的顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高． (2)中线：连接三角形的顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线． (3)角平分线：三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 3．三角形的稳定性三角形具有稳定性．【温馨提示】 1．以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形．而不是分为三类：三边都不相等的三角形、等腰三角形、等边三角形，等边三角形是等腰三角形的一种． 2．三角形的高、中线、角平分线都是线段，而不是直线或射线．【方法技巧】 1．根据三角形的三边关系判定三条线段能否组成三角形时，要看两条较短边之和是否大于最长边． 2．三角形的中线将三角形分成两个同底等高的三角形，这两个三角形面积相等．参考答案: 1．D 解析：线段AB上有5个点，线段AB与点C组成5×（5－1）÷2=10个三角形；同样，线段DE上也有5个点，线段DE与点C组成5×（5－1）÷2=10个三角形，图中三角形的个数为20个．故选D． 2．21 解析：根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：后边的总比前边多4，若把第一个图形中三角形的个数看作是1=4－3，则第n个图形中，三角形的个数是4n－3．所以当n=6时，原式=21． 3．解：填表如下： △ABC内点的个数 1 2 3 (1007) 构成不重叠的小三角形的个数 3 5 7 (2015) 解析：当△ABC内有1个点时，构成不重叠的三角形的个数是3=1×2＋1；当△ABC内有2个点时，构成不重叠的三角形的个数是5=2×2＋1；参考上面数据可知，三角形的个数与点的个数之间的关系是：三角形内有n个点时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1，故当有3个点时，三角形的个数是3×2＋1=7；当有1007个点时，三角形的个数是1007×2＋1=2015． 4．B 解析：根据题意，得8－3＜1－2a＜8＋3，即5＜1－2a＜11，解得－5＜a＜－2．故选B． 5．10 解析：∵在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，∴c＜a+b．∵b=4，

九年级数学培优讲义与测试

第一讲一次函数和反比例函数知识点、重点、难点函数(0)y kx b k =+≠称为一次函数，其函数图像是一条直线。若0b =时，则称函数y kx =为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。当0k >时，函数y kx b =+是单调递增函数，即函数值y 随x 增大（减小）而增大（减小）；当0k <，y kx b =+是递减函数，即函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）。函数(0)k y k x =≠称为反比例函数，其函数图像是双曲线。当0k >且0x >时，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）；当0k >且0x <，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大），也就是说：当0k >时，反比例函数k y x =分别在第一或第三象限内是单调递减函数；当0k <时，函数k y x =分别在第二或第四象限内是单调递增函数。若111222(0),(0).y k x b k y k x b k =+≠=+≠ 当12k k =时，12b b ≠时，两面直线平行。当12k k =时，12b b =时，两面直线重合。当12k k ≠时，两直线相交。当121k k =-时，两直线互相垂直。求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。例题精讲例1：在直角坐标平面上有点(1,2)A --、(4,2)B 、(1,)C c ，求c 为何值时AC BC +取最小值。解显然，当点C 在线段AB 内时，AC BC +最短。设直线AB 方程为y kx b =+，代入(1,2)A --、(4,2)B 得242,k b k b -+=-??+=?解得456,5k b ?=????=-?? 所以线段AB 为46(14),55 y x x =--≤≤ 代入(1,)C c ，得4621.555 c =?-=- 例2：求证：一次函数211022 k k y x k k --=-++的图像对一切有意义的k 恒过一定点，并求这个定点。解由一次函数得(2)(21)(10),k y k x k +=---整理得 (21)2100x y k x y ----+=。因为等式对一切有意义的k 成立，所以得 2102100,x y x y --=??+-=?解得12519,5x y ?=????=??当125x =，195y =时，一次函数解析式变为恒等式，所以函数图像过定点1219,55?? ??? .

八年级数学上册培优讲义(人教版)

2016年最新人教版八年级上册数学培优讲义第一讲认识三角形考点·方法·破译 1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线. 2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．了解与三角形有关的角(内角、外角) . 4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题. 6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法. 经典·考题·赏析【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________；当周长为奇数时，x＝______________. 【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12，【变式题组】 01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________. 02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，则以a，b，c 为边的三角形，共有______________个. 03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是() A．1 B．2 C．3 D．4 【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长. 【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为 58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为5818 2 ＝20，则三边为20， 20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边. 解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm. 【变式题组】 01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是() A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm 02．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是() A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm 03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________. 【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC 的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________.

八年级数学培优讲义下册

第十六章分式测试1 从分数到分式学习要求掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为0、为1的条件．课堂学习检测一、填空题 1．用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成的形式，如果除式B 中，该分式的分式． 2．把下列各式写成分式的形式：（1）5÷为. （2）（3x ＋2y ）÷（x －3y ）为. 3．甲每小时做x 个零件，做90个零件所用的时间，可用式子表示成小时． 4．n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷的产量可用式子表示成吨． 5．轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米／时，轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成小时． 6．当x ＝时，分式 1 3-x x 没有意义． 7．当x ＝时，分式1 1 2--x x 的值为0． 8．分式 y x ，当字母x 、y 满足时，值为1；当字母x ，y 满足时值为－1．二、选择题 9．使得分式 1 +a a 有意义的a 的取值范围是（） A ．a ≠0 B ．a ≠1 C ．a ≠－1 D ．a ＋1＞0 10．下列判断错误．．的是（） A ．当32 =/x 时，分式2 31-+x x 有意义 B ．当a ≠b 时，分式2 2b a ab -有意义 C ．当2 1- =x 时，分式x x 41 2+值为0 D ．当x ≠y 时，分式x y y x --2 2有意义 11．使分式 5 +x x 值为0的x 值是（） A ．0 B ．5 C ．－5 D ．x ≠－5 12．当x ＜0时， x x | |的值为（） A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．不确定 13．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ ) A ．x x 12+ B ． 1 1 2--x x C ． 1 1 +-x x D ． 1 1 2+-x x

沪科版九年级数学综合培优讲义(含答案)

九年级数学综合培优讲义 1．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=（） A．B．C．D．【解答】解：依题意得（a+b）2=b（b+a+b），而a=1， ∴b2﹣b﹣1=0， ∴b=，而b不能为负， ∴b=．故选B． 2．如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是弧AD上任意一点，则∠BEC 的度数为（） A．30°B．45°C．60°D．90° 【解答】解：连接OB，OC， ∵⊙O是正方形ABCD的外接圆， ∴∠BOC=90°， ∴∠BEC=∠BOC=45°．故选B．

3．已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连接DE，DE=．（1）求证：AM?MB=EM?MC；（2）求EM的长．【解答】证明：（1）∵AB、CE是⊙O内的两条相交弦， ∴AM?MB=EM?MC；（2）∵M是OB中点，圆半径R=4， ∴OM=MB=2， ∴AM=6， ∵CD是直径， ∴∠CED=90°， ∴CE2=CD2﹣DE2， ∴CE==7，设EM=x，6×2=x?（7﹣x），解得x=3或x=4， ∵EM＞MC， ∴EM=4．

4．农民购买农机设备政府会给予一定额度的补贴，其中购买Ⅰ、Ⅱ型农机设备的金额与政府补贴的金额存在表所示的函数对应关系：（1）分别求出y 1和y 2的函数解析式；（2）张大伯打算共用10万元购买Ⅰ、Ⅱ两型农机设备．请你帮助张大伯设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．【解答】解：（1）由题意可得， 0.4=1×k ，得k=0.4，即y 1与x 的函数关系式为y 1=0.4x ，，解得，，即y 2 与x 的函数关系式为y 2=；（2）设购买Ⅱ型农机设备投资t 万元，购买Ⅰ型农机设备投资（10﹣t ）万元，共获补贴Q 万元， Q=y 1+y 2=0.4（10﹣t ）﹣=， ∴当t=3时，Q 取得最大值，此时Q= ，10﹣t=10﹣3=7，答：投资7万元购买Ⅰ型农机设备，投资3万元购买Ⅱ型农机设备，共获最大补贴万元． 5、如图，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处603米的点D(点D 与楼底C 在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i ＝1∶3的斜坡DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度．(参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°

初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题10 最优化

专题10 最优化阅读与思考数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之为最值问题，解最值问题的常见方法有： 1．配方法由非负数性质得()02 ≥±b a ． 2．不等分析法通过解不等式（组），在约束条件下求最值． 3．运用函数性质对二次函数()02 ≠++=a c bx ax y ，若自变量为任意实数值，则取值情况为：（1）当0>a ，a b x 2-=时，a b ac y 442-=最小值；（2）当0

【例3】()2 13 22+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ). 解题思路:本题通过讨论a ，b 与对称轴0=x 的关系得出结论．【例4】（1）已知2 11- + -=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求2 2b a +的值．（“《数学周报》杯”竞赛试题）（2）求使()168422 +-+ +x x 取得最小值的实数x 的值．（全国初中数学联赛试题）（3）求使2016414129492222+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值．（“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题）解题思路：解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等．【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？（河南省竞赛试题）解题思路：设铁路与公路的交点为C ，AC ＝x 千米，BC ＝y 千米，AD ＝n 千米，BD ＝m 千米，又设铁路每千米的运费为a 元，则从A 到B 的运费( ) ay m y n a S 222+--=，通过有理化，将式子整理为关于y 的方程．