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第五讲效用理论与效用函数

本次课教学重点

效用的概念及其测定、冯诺曼—摩根斯坦期望效用模型、理性期望效用理论的不足之处。本次课教学难点

理性期望效用理论在描述模型和规范模型中的应用

本次课教学内容

效用理论与效用函数

期望效用值理论是第二次世界大战后决策理论研究的热点，它以规范模型（prescriptive or normative model）的形式应用于管理科学特别是管理决策分析中；以预测模型（predictive or positivistic model）的形式应用于金融和经济领域中，以描述性模型（descriptive model）的形式应用于心理学中。由于期望效用值理论的发展，决策（特别是理性决策）理论才得以形成一门独立的学科，综合运用概率论、心理学、思维科学、经济学等跨学科的理论来研究决策和判断问题。本章着重阐述理性期望效用理论在决策中应用的理论和方法。

5.1 效用理论

……决策者对结果的偏好次序

效用的引入

?效用及其效用函数是随机决策分析的基础。本章将在讨论理性行为公理的基础上，给出效用及效用函数的概念，并介绍效用函数的构造方法。

效用的概念

效用(Utility)是指商品或劳务满足人的欲望或需要的能力。商务或劳务是否具有效用，有多大的效用，取决于它能否满足或在多大程度上满足人的欲望或需要。

效用因人、因地、因时不相同。主要用于消费者行为的理论分析。

在决策理论中：可行方案的各种结果值满足决策者愿望，实现决策者偏好程度的度量指标。

效用的定义

?反映结果值o对决策者价值和作用大小的量值称为效用。

?记作：u=u(o)

感受效用：效用，反映了对风险的态度

理性行为公理

z管理决策理论中，常用事态体（Prospect,又称展望）表示在随机性状态空间中的行动方案，方案的比较即为事态体的比较。

z人们共同遵循的决策行为准则就是理性行为公理。

5.2 效用函数：效用和风险的关系

?在进行一次性(或重复性不大)的风险决策时，需要先求出各决策后果的效用值。由于效用函数视决策者对风险态度的不同而有所不同，即使同一决策者，在不同时期其效用函数也往往不一样，因此在作决策之前应先求出效用函数。由于决策者对风险态度的不同，效用函数也有不同类型。

?中立型效用函数

设有效用函数u=u（x），若结果值x1

则此效用函数称为中立型效用函数。

该效用函数表明效用与结果值呈线性关系，说明决策主体对风险持中立态度，或是认为该决策的后果对大局没有重大影响，或是认为该决策可以重复进行从而获得平均意义上的成果，因此，不必对决策的某项不利后果特别关注。

?保守型效用函数

设有效用函数u=u（x），若结果值x1

则此效用函数称为保守型效用函数。

该效用函数表明随着结果值的增加效用值也递增，但递增速度随着结果值的增加而下降，说明决策主体对亏损十分敏感，大额收益对其吸引力不大，即宁可不赚大钱，也不愿意承担较大风险。

?冒险型效用函数

设有效用函数u=u（x），若结果值x1

则此效用函数称为冒险型效用函数。

该效用函数表明随着结果值的增加效用值也递增，但递增速度随着结果值的增加越来越大，说明决策主体对收益十分关注，而不太顾及风险，敢冒风险，为追求高收益而“孤注一掷”。

尽管决策主体的效用函数各不相同，但都可归属于凹、凸和线性效用函数。从各后果线性组合的效用值和相应效用函数值的线性组合相互比较，可分辨出效用函数的类型。应用期望值算子表达有如下关系：

这意味着一个具有凹效用函数特性的决策主体愿用分布效用值去交换一个非随机性的分布后果的效用值。从而推论，决策主体总能找到一个后果值，其效用值和分布效用值相等，该后果值即等价确定值CE为：

则后果期望值和等价确定值之差即为风险的主观价值 n(X).

表示决策主体接受此补偿费后，愿意视两者等价，或者表示决策主体愿意付出此价值而不承担风险。因而可用风险的主观价值的性质来表示决策者对风险的态度：

5.3 效用决策模式

?由于在某些情况下，利用收益期望值作为标准的决策无法完全反映决策的结果，因此，我们可以改用效用作为标准进行决策，此时只要将原来的损益值改为相应的效用值即可。

下面举例来说明效用决策模式。

例:某公司准备引进某新设备进行生产，这种新设备具有一定的先进性，但该公司尚未试用过，预测应用时成功的概率为0.8，失败的概率为0.2。现有三种方案可供选择：方案I，应用老设备，可稳获4万元收益；方案II，先在某一车间试用新设备如果成功，可获7万元收益，如果失败则将亏损2万元；方案III，全面推广使用新设备，如果成功，可获12万元收益，如果失败则亏损l0万元，试问该公司应采取哪种方案?

采用收益期望值标准

收益期望值决策标准的不足

求决策者的效用曲线

5.4 效用决策评价

用效用值来作为决策的标准有其方便之处，它可以把决策者对风险的态度反映进去，从而使所作出的选择更能符合决策者的需要。但它也有不足之处，即在于它不能准确地测定。因为用标准测定法对决策者作心理测验时，决策者往往感到难于回答，尤其需要反复提问得出多点之后才能绘出效用函数曲线，更是不胜其烦。书上绘制效用函数的方法虽然可减少对决策者的提问次数，但都是建立在某些前提之上(如边际效用递减原理或效用一致使原理)，而实际上这些前提往往并不见得都能满足。因此，我们往往需要同时采用上面介绍过的几种办法，再把所选结果作综合判断，才能最后作出决择。

函数与方程思想简单应用

数学思想方法的简单应用（1）一、函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还需要函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：y=f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解决问题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题、集合问题、数列问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 1.证明：若则为整数．解析：若x＋y＋z＋t＝0，则由题设条件可得，于是此时(1)式的值等于－4．若x＋y＋z＋t≠0，则由此可得x＝y＝z＝t．于是(1)式的值等于4． 2.已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f（x）=．（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；（2）若不等式f（2x）﹣k?2x≥0在x∈[﹣1，1]时恒成立，求实数k的取值范围；

几种特殊函数的图象及应用

几种特殊函数的图象及应用函数学习中，除了二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等常见函数外，还有一类分式函数、绝对值函数也常常出现．这类函数问题，虽说借助于导数等工具也能解决，但如果能够掌握这类函数的基本图象特征，便能起到事半功倍的效果．本文介绍四个最常见的函数模型及其图象特征，并在实际问题中借助于换元、分离变量等手段将函数表达式转化为这几个函数模型之一，根据函数图象，迅速找到解决问题的切入点和解题思路．先了解这四个基本函数： ①函数y = 1 (图1)；②函数y = x + 1 (图2)； xx 从函数的图象很容易看出函数的对称性、单调性、值域等性质，下面看它们各自的应用． c 1 1 一、形如y =a + c (c 0)的函数可利用函数y = 1 (或y = - 1 )的性质．当c 0时，函 x -b x x cc 数y =a +c 的图象可看成由函数y = c 的图象左右、上下平移得到，在区间(-,b )、(b ,+)上 x -b x cc 分别递减；当c 0时，函数y = a + c 的图象可看成由函数y = c 的图象左右、上下平移得到， x -b x 在区间(- ,b )、(b ,+)上分别递增．例1 函数 f (x )= lg kx -1(k 0)在 10,+ )上单调递增，求实数k 的取值范围． x -1 kx - 1 kx - 1 解析：令f (x )=lg t ,t = kx -1 ，由复合函数单调性及题意可得:t = kx -1 需满足两个条件：① x - 1 x - 1 t 在 x 10,+ )上单调递增；②t 0在 x 10,+ )上恒成立． kx - 1 k - 1 考虑t = = k + (x 1) x - 1 x - 1 当 k = 1 时， f (x ) = 0 不合题意，舍去；当k 1时，t 在(- ,1),(1,+)上均递减，不合题意，舍去；当0 k 1时，t 在(-,1),(1,+ )上均递增， t 也在 10,+ )上递增，且当x =10时，图 4 )．

平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)

平新乔《微观经济学十八讲》第 2讲间接效用函数与支出函数 1 ?设一个消费者的直接效用函数为 u =? Inq 。求该消费者的间接效用函数。并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。解：（1）①当y-P 2 .0时，消费者的效用最大化问题为：构造拉格朗日函数: L = : Inq 72 川'；? j y -pq -P 2C 2 L 对q 、C 2和，分别求偏导得: 从而解得马歇尔需求函数为: y P 2 q 2 二 P 2 由⑤式可知：当y_「p 2?0时，0，消费者同时消费商品 i 和商品2。将商品i 和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数: v p , P 2, y ；=u q ”,q2 = In p y -： P i P 2 ②当y -：巾2 _0时，消费者只消费商品 i ，为角点解的情况。从而解得马歇尔需求函数为： P i 将商品i 和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数: v P i , P 2, y 二 u q ；, q 2 = > In 工 P i (2)①当y_「p 2?0时，此时的间接效用函数为： v p,P 2,y ；=u q ",q ^.M n 匹 - P i P 2 将间接效用函数分别对 p i 、P 2和y 求偏导得: P t = 0 -:C i C i p 2 = 0 池 y ~ p i q i _ p 2q ^ = 0 OK 从①式和②式中消去后得: :、沱 P 2 q p 再把④式代入③式中得： C 2 y P 2 P 2 ① ② ③ ④ ⑤

数学中的极限思想及其应用

摘要：本文对数学极限思想在解题中的应用进行了诠释，详细介绍了数学极限思想在几类数学问题中的应用，如在数列中的应用、在立体几何中的应用、在函数中的应用、在三角函数中的应用、在不等式中的应用和在平面几何中的应用，并在例题中比较了数学极限思想与一般解法在解题中的不同。灵活地运用极限思想解题，可以避开抽象、复杂的运算，优化解题过程、降低解题难度。极限思想有利于培养学生从运动、变化的观点看待并解决问题。：极限思想，应用关键词Abstract: In this paper, the application of in solving problems is the limit idea explained. What's more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce difficulty of solving problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change.

2015高考数学(理)一轮题组训练：2-7函数的图象及其应用

第7讲函数的图象及其应用基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是________．解析把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位长度，得y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3. 答案 y ＝(x －1)2＋3 2．函数f (x )＝x ＋1 x 的图象的对称中心为________．解析 f (x )＝x ＋1x ＝1＋1 x ，故f (x )的对称中心为(0,1)．答案 (0,1) 3．已知f (x )＝? ???? 13x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析在函数g (x )的图象上任取一点(x ，y )，这一点关于x ＝1的对称点为(x 0，y 0)，则??? x 0＝2－x ， y 0＝y . ∴y ＝? ???? 132－x ＝3x －2. 答案 g (x )＝3x －2 4．函数y ＝(x －1)3＋1的图象的对称中心是________．解析 y ＝x 3的图象的对称中心是(0,0)，将y ＝x 3的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，即得y ＝(x －1)3＋1的图象，所以对称中心为(1,1)．答案 (1,1)

5. 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )＜0的解集是________．解析利用函数f (x )的图象关于原点对称．∴f (x )＜0的解集为(－2,0)∪(2,5)．答案 (－2,0)∪(2,5) 6．若函数f (x )在区间[－2,3]上是增函数，则函数f (x ＋5)的单调递增区间是________．解析 ∵f (x ＋5)的图象是f (x )的图象向左平移5个单位得到的． ∴f (x ＋5)的递增区间就是[－2,3]向左平移5个单位得到的区间[－7，－2] 答案 [－7，－2] 7．若方程|ax |＝x ＋a (a >0)有两个解，则a 的取值范围是________．解析画出y ＝|ax |与y ＝x ＋a 的图象，如图．只需a >1. 答案 (1，＋∞) 8．(2013·泰州模拟)已知函数f (x )＝??? log 2x (x ＞0)，2x (x ≤0)，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的范围是________．解析当x ≤0时，0＜2x ≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实

第二讲不确定性下的期望效用理论

第二讲不确定性下的期望效用理论确定性条件下的消费与投资尽管考虑了跨时问题，但未来投资收益是完全确定的。未来往往是未知的，现实中更多重要的经济决策是在不确定环境下做出的，很难直接运用第一章阐述的效用理论来研究不确定性环境中的个体选择，必须建立起一整套基于不确定性的专门理论——期望效用理论来那就不确定性下的个体最优决策行为。我们从一个经典的案例开始讲起。圣.彼得堡悖论（St Peterburg Paradox ）关系到经济学理论的一个重要问题：如何对一个含风险的赌局进行评估？200多年前，瑞士数学家丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli ）对该悖论提出了开创性的解，从此创立了效用理论以及期望效用理论。该悖论是丹尼尔.伯努利的表兄尼古拉斯.伯努利于1713年提出来的。1713年9月9日，尼古拉斯.伯努利在写给数学家M. de Montmort 的信中提出了5个问题，其中第5个问题是这样的：彼得掷一枚硬币，如果第一次掷硬币头面朝上，彼得答应给保尔一盾（荷兰盾）；如果第一次掷的结果是背面朝上，则掷第二次; 如果第二次掷硬币头面朝上, 彼得付保尔2个盾；如果第二次掷的结果是背面朝上，则掷第三次……，到第n 次，如结果是头面朝上，彼得付保尔1 2n -个盾。这个博局可以无限期地玩下去。保尔在该博局中所获的价值的期望值是多少？尼古拉斯.伯努利之所以提出这个问题，是由于他发现数学界对这个赌局的期望收益的计算与实际生活中发现的该博局的门票价之间存在着悖论。他发现，如果计算保尔的期望收入，则 2321 1 111()*1()*2()*2...()*2...22221111...... 22 22n n E w -=+++++=++ ++ +=∞ 按这个估算，保尔在该博局中的所获为无穷大，他应该付无穷大来买这个机会。但是，在实际生活中，任何一个理智正常的人若出卖这个机会，其卖价不会超过20盾，因为当时瑞士类似的赌局的门票不超过20盾。如何解释这个悖论？大数学家M. de Montmort (1678-1719) 对此并没有回答，但将尼古拉斯.伯努利的信连同上述问题公开出版了。从而引起了数学界后来者的兴趣。 2.1偏好与效用 2.1.1风险备选项的描述假设C 为代表所有可能的结果所组成的集合。如果集合所有结果数目有限，则可以用 {}12,,n C x x x = 来表示。假设12,,n x x x 状态发生的概率分别为12,,n p p p （任意一种状态i x 发生的概率为i p ，满足0i p ≥，且1 1n i i p ==∑ ），我们称1212(,,;,,)n n L x x x p p p = 表示一个简单博彩。（说明：博彩是描述风险备选项的一个正式工具。简单博彩有时候也写成这种形式：

赏析幂函数的图象特征及应用

一、幂函数图像的分布规律幂函数图像的分布规律可用“一全有、二一偶、三一奇、四全无”来说明。 1.“一全有”：指所有幂函数的图像在第一象限都出现，分布情况如图1所示，其特点如下：①抓住三条特征线：直线x=1，y=x ，y=1把幂函数的图像分为三个区域，这三个区域对应着幂函数y=x α在α<0,0<α<1, α>1时的图像；②第一象限内幂函数y=x α图像的区域分布情况为：在直线x=1的右边，α越大，图像越高，越趋向于直线x=1；在直线x=1的右边，α越小，其图像越低，越趋向于x 轴。 2.“二一偶”：指当幂函数为偶函数时，其图像关于y 轴对称，即幂函数的图像出现在第一、第二象限。 3.“三一奇”：指当幂函数为奇函数时，其图像关于原点对称，即幂函数的图像出现在第一、第三象限。 4.“四必无”：指由定义，知幂函数的图像不可能出现在第四象限。二、幂函数图像的应用 1.识别图像例1.图2中的曲线是幂函数y=x α在第一象限的图像，已知α取±2，±12四个值，则其相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的α依次为（） A.-2，-12，12，2 B.2，12，-12，-2 C.- 12，-2，2，12 D.2，12，-2，-12 解：根据幂函数的图像特点，立即可以断定相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值排序是由大到小，故选B 。 2.用于判断方程的个数例2.方程x 2=2x 的根的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.

解：令f（x）=x2，g（x）=2x，在同一坐标平面内作出这两个函数的图象，如图三所示，由图可知，交点有三个，所以方程x2=2x的根的个数为3，故选C。

平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)

平新乔《微观经济学十八讲》第2讲间接效用函数与支出函数 1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。求该消费者的间接效用函数。并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为： 12 12 2,112m ln ax q q s t q p p y q q q α..+=+ 构造拉格朗日函数： ()121122ln L q q q y p p q αλ--=++ L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得： 111 0L p q q α λ?=-=? ① 22 10L p q λ?=-=? ② 11220q L y p p q λ ?=--=? ③ 从①式和②式中消去λ后得： 2 11 p q p α*= ④ 再把④式代入③式中得： 2 2 2y p p q α*-= ⑤ 从而解得马歇尔需求函数为： 2 11 p q p α*= 2 2 2 y p p q α*-= 由⑤式可知：当20y p α->时，2 0q * >，消费者同时消费商品1和商品2。将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数： ()()21 12122 ,,,ln p v p p y p q q y u p ααα** =+-= ②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。从而解得马歇尔需求函数为： 1 1q y p *= 2 0q * = 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数： ()()12121 ,,,ln v p p y u q p y q α** == （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为： ()()2 1 12122 ,,,ln p v p p y p q q y u p ααα** =+ -= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：

函数思想在中学数学中的应用-(2)

函数思想在中学数学中的应用韩伟摘要:函数思想是解决一些中学数学问题的重要思想方法,本文通过列举函数思想在数列、不等式、最值问题中的应用,来体现函数思想在中学数学中的作用. 关键词: 函数思想数列不等式最值一、知识回顾 1.引言在中学代数的学习中,函数起着“纽带”的作用,特别是在近几年全国各地高考中,好多问题如数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法.这就要求我们在平时的学习中更加重视对函数的学习和理解,我们应掌握函数的概念、本质及相关性质.通过此篇文章希望大家可以深刻体会一下函数思想在中学数学中的应用. 2.函数的概念 (1)对应说:在变化过程中,有两个变量x和y.如果给定一个x 值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量. (2)集合说:给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,对于A中任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数() f x与之对应, 那么就把对应关系f叫做定义在A上的函数,记作f:A→B或(), =∈. y f x x A 此时x叫做自变量,集合A叫做函数的定义域,集合{() f x|x A∈}叫作函数的值域,习惯上称y是x的函数. (3)映射说:设A,B是两个非空数集,f是A到B的一个映射,那么映射f:A→B称为A到B的函数. 3.函数的本质

函数的本质是一种对应关系,是从一个非空数集到另一个非空数集的一种对应关系. 4.函数的性质 (1)有界性:如果存在正数M ,对于函数()f x 定义域(或其子集)内的一切x 值,都有|()f x |≤M 成立,那么函数()f x 叫做在定义域(或其子集)上的有界函数,如果适合这个条件的正数M 不存在,那么称这个函数是无界的. (2)单调性:一般地,对于函数()y f x =的定义域内的一个子集A ,如果对于任意的1 x ,2 x ∈A ,当1 x <2 x 时都有1 2 ()()f x f x <(或1 2 ()()f x f x >),就称函数 () y f x =在数集A 上是增加的(或减少的). (3)奇偶性:对于函数()f x 在定义域内的任意一个x 值,如果都有()() f x f x -=-成立,那么函数()f x 叫做奇函数;如果都有()()f x f x -=成立,那么函数()f x 叫做偶函数. (4)周期性:设()f x 是定义在数集M 上的函数,如果存在常数T ≠0,对于任意的x M ∈,都有x ±T ∈M ,且()()f x T f x +=总成立,则函数()f x 叫做周期函数,常数T 称为()f x 的周期. 二. 利用函数思想解决数列的问题数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一,由于数列问题的载体能力强,思维跨度大,知识的综合度高,往往能较好的考查学生在知识,方法和能力上的差异,拉开考生之间的距离.特别是在近几年全国各地高考中,数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法,这就要求我们平时多重视研究数列问题的函数本质.数列是定义在正整数集或其子集上的函数,因此我们应掌握各种基本数列所对应的函数及相关性质,习惯于用函数方法解题是很重要的.下面举两例来看一下:

双曲线函数的图像与性质及应用

一个十分重要的函数的图象与性质应用新课标高一数学在“基本不等式 ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数x x y 1 +=的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习 x b ax y + =（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数x b ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的双曲线．首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与x b 的值比较，当x 很大很大的时候， x b 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b 的值．从而，函数x b ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇函数，它的图象应该关于原点成中心对称．由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论．例1．若函数x x y 3 233+= 是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲线的定义．分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 3 3 = 和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32, 由渐近线与实轴的夹角是30o，则有a b =tan30o, 得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P （x, x x 3233+）满足3421=-PF PF 即可；

函数图像变换及应用

上节课知识检测一、基本内容 1．利用描点法作函数图像其基本步骤是列表、描点、连线，具体为： 2、会画基本函数图像（一次(两点想x 取0，，y 取0（或X 取1）)、反比例（三点（x 取1/2、1,2）对称轴、对称中心）、二次(对称轴\顶点\开口)、幂(四点x 取0,1/2,1,2对称)、指数(三点x 取-1,0,1)、对数(三点Y-1,0,1)、对勾(两部分相等时X 值点)、三角(x 取五点；对称轴、对称中心)） 3.掌握画图像的基本方法：（1）描点法（2）图像变换法．平移、伸缩、翻折（3）讨论分段法 (1)平移变换： y ＝f (x ) ――――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位 y ＝f (x －a )； y ＝f (x ) ―――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位 y ＝f (x )＋b . (2)伸缩变换： y ＝f (x ) 1 011 1ωωωω <<>????????→，伸原的倍，短原的长为来缩为来 y ＝f (ωx )； y ＝f (x ) ――――――――――――→A >1，伸为原来的A 倍0