以画法为主线对抛物线综合复习

以画法为主线对抛物线综合复习

安徽砀山

在高三数学的一节复习课中，笔者组织学生动手，以在几何画板中画抛物线为主线，对抛物线的定义，性质，方程和画法进行综合复习。这节课容量大，探究性突出，学生参与程度高，直观形象，效果很好。下面以抛物线)0(22>=p px y 为例，并设抛物线的准线为2:p x l -

=，焦点为)2

,0(p

F ，及坐标原点为0，侧重介绍在几何画板中画抛物线的常见思路和方法，其中对抛物线的定义，性质和方程等内容予以综合复习，欢迎同行指正。

一 抛物线定义与画法：如果一动点

到一定点的距离和该动点到一定直线的距离相等，那么这个动点的轨迹叫抛物线.

画法1：①打开几何画板，左键单击“绘

图”——“定义坐标系”，并作点)2

,0(p

F ，直线2

:p x l -

=. ②在直线l 上任取点A , 连接线段AF ，选取线段AF 的中点C ；

③过A 点作直线l l ⊥1，过C 点作直线

AF l ⊥2，设直线1l 与2l 的交点为M ；

④选中点A ，M ，左键单击“构造”——“轨迹”，即得动点M 的轨迹是抛物线

)0(22>=p px y ；或者选中点A ，左键单

击“编辑”——“操作类按钮”——“动画”，再选中M 点，左键单击“显示”——“跟踪交点”，这时左键单击“动画点”按钮，可以看出动点A 在准线l 上作上下运动，而动点

M 的轨迹即是抛物线)0(22>=p px y .

画法2：①同画法1①；

②设准线l 与x 轴交于点C ，在x 轴正半轴上任取点A ，过A 点作直线x l ⊥1轴

③连接线段CA ，并度量CA 的长度，以焦点F 为圆心，以线段CA 的长为半径画圆，设该圆与直线1l 交于21,M M 两点；

④选中点A ，21,M M ，左键单击“构造”——“轨迹”即得动点21,M M 的轨迹是抛物线)0(22>=p px y ；或者选中A 点，左键单击“编辑”——“操作类按钮”——“动画”得“动画点”按钮，再选中点

21,M M ，左键单击“显示”——“跟踪交

点”.这时左键单击“动画点”按钮，可以看到点A 在x 轴正半轴上左右运动，而动点

2

1,M M 的轨迹就是抛物线

)0(22>=p px y .

画法3：①同画法1①；

②在准线l 上任取点A ,过点A 作直线

l l ⊥1，再作直线AF ;

③选中直线AF ，左键单击“变换”——“标记镜面“，使直线AF 可以作为对称轴.

④在x 轴上任取点C （异于点F ），作点C 关于直线AF 的对称点'

C ：选中C 点，左键单击“变换”——“反射”，即得点C 关于直线AF 的对称点'C ，再作直线F C '

，设直线F C '

与直线1l 交点为M ;

⑤同画法1④

二 抛物线焦点弦性质及其推广与画法

性质：过抛物线)0(22>=p px y 的

焦点)2

,

0(p

F 任作一直线，交抛物线于21,M M 两点，线段21M M 叫做抛物线的“焦

点弦”；分别过点21,M M 作直线21,l l ，使

l l ⊥1，l l ⊥2，并设1l 与l 交于点A ，2l 与

l 交于点B 。设线段AB 的中点为C 。则抛

物线有如下性质：

①直线BF AF ⊥; ②直线C M C M 21⊥; ③直线21M M CF ⊥;

④直线1CM 垂直并且平分线段AF ，直

线2CM 垂直并且平分线段BF ；

⑤2,,M O A 三点共线，1,,M O B 三点共线；

⑥直线1CM 是抛物线的切线，并以点

1M 为切点；直线2CM 也是抛物线的切线，

并以2M 为切点。（以上性质文字证明此处省咯）

画法4：①同画法1①

②在准线l 上任取点A ，作直线AF ，过点F 作垂直于AF 的直线BF ，设该直线与准线l 交于点B ；

③分别过点A 、B 作平行于x 轴的直线1l 和2l ，

再作直线BO AO ,，设直线AO 与2l 交于2M 点，直线BO 与1l 交于1M 点；

④选中点A 、1M ，2M ，左键单击“构造”——“轨迹”，即得点1M 和2M 的轨迹就是抛物线)0(22>=p px y ；或者选中点

A ，左键单击“编辑”——“操作类按钮”

——“动画”，得“动画点”按钮，再选中1M 和2M 点，左键单击“显示”——“跟踪交点”，这时左键单击“动画点”按钮，可以看出点A 在准线l 上作上下运动，而动点1M 和

2M 的轨迹就是抛物线)0(22>=p px y 。

画法5：①②同画法4①②；

③取线段AB 的中点C ，作直线CF 。再过点F 作直线3l ⊥直线CF ；

④分别过A 点，B 点作平行于x 轴的直线1l 和2l ，设直线1l 与3l 交于1M 点，直线2l 与3l 交于点2M ;

⑤同画法4④

画法6：①同画法1①

②在准线l 上任取一点C ，连接线段

CF 。以C 为圆心，以线段CF 的长为半径

画圆，与准线交于A 、B 两点；

③过点F 作直线CF l ⊥3，再分别过点

A 、

B 作平行于x 轴的直线1l 和2l ，设直线

1l 与3l 交于1M 点，直线2l 与3l 交于点2M ;

④同画法4④，其中要把画法4④中的字母A 改为字母C 。

推广：设坐标原点为O ，直线

'l :p x 2-=，点)2,0(p H ，过点H 任作一

直线交抛物线)0(22>=p px y 于1M 和

2M 两点，分别过点1M 、2M 作平行于x 轴

的直线1l 和2l ，设直线1l 与'

l 交于A 点，直线2l 与'

l 交于B 点。则有如下结论：

①直线21OM OM ⊥;

②A 、O 、2M 三点共线，B 、O 、1M 三点共线。（请读者自己给出该性质的文字证

明）。

画法7：①同画法1①

②在直线'l :p x 2-=上任取点A ，作直线AO 。过坐标原点O 作直线OA OB ⊥，且直线OB 与直线'l 交于B 点；

③分别过点A 、B 作平行于x 轴的直线

1l 和2l ，设直线1l 与直线OB 交于点1M ，直

线2l 与直线AO 交于点2M ；

④同画法4④，其中要把画法4④中的字母l 改为字母'l 。

三 抛物线方程与画法 已知抛物

线方程)0(22>=p px y ，给定纵（横）坐标)(x y 的值，通过方程)0(22>=p px y ，可以求出横（纵）坐标)(y x 的值，从而确定抛物线上点),(y x M 。

画法8：①同画法1①；

②在准线上2

:p

x l -

=上任取A 点，选中A 点，左键单击“度量”——“纵坐标”，得A 点的纵坐标值A y 。

③左键单击“数据”——“计算”——

A y ——∧——2——÷——p 2得p

y x A

A 22

=

的值。再左键单击“绘图”——“绘制点”——A x ——A y ，得点),(A A y x M

④同画法1④

画法9：①同画法1①

②在x 轴正半轴上任取点A ，选中A 点，左键单击“度量”——“横坐标”，得A 点的横坐标A x 的值；

③左键单击“数据”——“计算”——“函数”——“Sqrt （二次根号）”——A px 2,得值A px 2，同理可得值A px 2-；

④左键单击“绘图”——“绘制点”—— A x ——-

A

px 2，得点

)2,(1A A px x M ，同理可得点)2,(2A A px x M -.

⑤同画法2④.

从画法的角度对抛物线进行综合复习是一个很好的尝试，而且效果很好，有兴趣的读者不妨一试。上述关于在几何画板中画抛物线的操作步骤，清晰，简洁，只要在几何画板界面按上述步骤操作即可得到相应图形，故本文未给出图形说明，以免枉占篇幅，请谅解。

中考复习二次函数抛物线综合大题

中考复习二次函数抛物线综合大题 1..如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点 B（﹣3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？ 若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

2.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C （3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．（1）求抛物线的解析式； （2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值； （3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

3.已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上 的两点A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C． （1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式． （2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D， 使得S △DAC ＝2S △DCM ？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．

(完整)高二文科数学——抛物线练习题

高二文科数学——抛物线练习题 【知识回顾】 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。 （1）设00(,)P x y 是抛物线上的一点，则当焦点F 在x 轴上时，02 p PF x = +；当焦点F 在y 轴上时，02 p PF y = +。此公式叫做焦半径公式。 （2）设AB 是过抛物线2 2y px =的焦点F 的一条弦，则12||AB x x p =++。 一、选择题（每小题4分，共40分。答案填在答题表里） 1．经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（ ） A ．y 2=4x B ．x 2= 21y C . y 2=4x 或x 2=2 1 y D . y 2=4x 或x 2=4y 2．抛物线y = -2x 2的准线方程是( ) A .x = - 21 B .x =21 C . y =81 D . y = -8 1 3．动圆M 经过点A (3，0)且与直线l ：x = -3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是 A . x y 122= B . x y 62= C . x y 32= D .x y 242= 4．动点M 到定点(4,0)F 的距离比它到定直线x +5=0的距离小1，则点M 的轨迹是( ) A ．y 2=4x B ．y 2=16x C ．x 2=4y D ．x 2=16y 5．已知抛物线的焦点在直线240x y --=上，则此抛物线的标准方程是 A .x y 162= B .y x 82-= C . x y 162=或y x 82-= D . x y 162=或y x 82= 6．抛物线y 2+4x =0关于直线x +y =0对称的曲线的方程为（ ） A ．x 2= -4y B ．x 2=4y C ．y 2=4x D ．y 2= -4x 7．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点(,2)M m -到焦点P 的距离为4，则m 的值为 ( ) A .4± B .2- C . 2-或4- D .2± 8．设AB 是抛物线py x 22 =的焦点弦，B A 、在准线上的射影分别为11B A 、，则11FB A ∠等于（ ） A . ?45 B . ?60 C . ?90 D .?120 9．抛物线y =x 2上的点到直线2x -y =4的距离最短的点的坐标是（ ） A ．(41, 21) B ．(1,1) C ．(4 9 ,23) D ．(2,4) 10．设F 为抛物线y x 42 =的焦点，点P 在抛物线上运动，点)3,2(A 为定点，使||||PA PF +为最小值时点P 的坐标是 ( ) A .?? ? ??41,1 B .)1,2(- C .)1,2( D .)0,0( 二、填空题（每小题4分，共16分。答案填在试卷指定的横线上） 11．抛物线y 2= -8x 的焦点到准线的距离是 12．抛物线)0(12 <=m x m y 的焦点坐标是 13．过抛物线x y 42 =的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，若621=+x x ，则 ||AB 的值是 14．设AB 是抛物线x y 22 -=的过焦点的弦，4=AB ，则线段AB 中点C 到直线1x =的距离为 【附加题】 （12广东文）（12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22 122:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦 点1(10)F -，，且在(01)P ，在1C 上。 （1）求1C 的方程； （2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2 2:4C y x =相切，求直线l 的方程

椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分） 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 （ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ） A ． 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3．双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A C. 185 D 165 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 4 5．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。 （ ） A ． 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ） A ． 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2 ＝±4 B ．y 2 ＝±8x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝8x 8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线

抛物线单元测试题

抛物线期末复习单元测试题 一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共６0分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1 抛物线x y 102 =的焦点到准线的距离是( ) A 25 B 5 C 215 D 10 ２.以抛物线2 2(0)y px p =>的焦半径||PF 为直径的圆与y 轴位置关系是( ） ?Ａ 相交 ?B 相切 C ．相离 ?D.以上三种均有可能 3 设AB 为过抛物线)0(22 >=p px y 的焦点的弦,则AB 的最小值为（ ) A 2 p B p C p 2 D 无法确定 4 若抛物线x y =2 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为 ( ) A 1(,44± B 1(,)84± C 1(,44 D 1(,84 ５．若双曲线22 21613x y p -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上,则p 的值为（ ) Ａ.2 B ．３???Ｃ.4 6．已知点P 在抛物线2 4y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ） A ．( 41，－1) ?B ．（4 1,1） ?C.（１，2） Ｄ．（１，-2) 7.已知点P 是抛物线2 2y x =上的一个动点,则点P 到点（０，2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） ?B.3? ?D ． 92 8.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点11 1222()()P x y P x y ，，，, 333()P x y ，在抛物线上，且123,,x x x 成等差数列, 则有（ ）

抛物线练习题(新)

抛物线练习题 一、选择题 1. （2014·重庆高考文科·Ｔ8）设12,F F 分别为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，双曲线 上存在一点P 使得() 2 212 3,PF PF b ab -=- 则该双曲线的离心率为 （） 4 【解题提示】直接根据双曲线的定义得到关于,a b 的等式，进而求出离心率的值. 【解析】选D.由双曲线的定义知，() 2 2124,PF PF a -=又() 2 2123,PF PF b ab -=- 所以2 2 43a b ab =- 等号两边同除2 a ，化简得2 340b b a a ??-?-= ??? ，解得4,b a =或1b a =-（舍去） 故离心率c e a ===== 2. （2014·天津高考文科·Ｔ6同2014·天津高考理科·Ｔ5））已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的 一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A. 120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.125 310032 2=-y x 【解析】选 A.因为双曲线的一个焦点在直线l 上，所以0210,c =+即5,c =又因为渐近线平行于直线 ,102:+=x y l 故有2,b a =结合222,c a b =+得22 5,20,a b ==所以双曲线的标准方程为120 522=-y x 3. （2014·湖北高考理科·Ｔ9）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123 F PF π ∠= ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）

抛物线练习题

抛物线练习题

抛物线练习题 一、选择题 1. （2014·重庆高考文科·Ｔ8）设1 2 ,F F 分别为双曲线 22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得() 2 21 2 3, PF PF b ab -=- 则该双曲线的离心率为 （） 215 417 【解题提示】直接根据双曲线的定义得到关于,a b 的等式，进而求出离心率的值. 【解析】选 D.由双曲线的定义知，() 2 21 2 4, PF PF a -=又 ()2 2 1 2 3,PF PF b ab -=- 所以2 243a b ab =- 等号两边同除2 a ，化简得2 340b b a a ?? -?-= ??? ，解得4,b a =或1b a =-（舍去） 故离心率 2 22222 117.c c a b b e a a a a +?? ====+= ??? 2. （2014·天津高考文科·Ｔ6同2014·天津高考理科·Ｔ5））已知双曲线 )0,0(12 2 22>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线 , 102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A. 120 52 2=-y x B. 15 202 2=-y x C. 1100 32532 2=-y x D. 125 310032 2=-y x

【解析】选 A.因为双曲线的一个焦点在直线l 上，所以 0210, c =+即5,c =又因为渐近线平行于直线,102:+=x y l 故有 2,b a =结合2 2 2 , c a b =+得2 2 5,20, a b ==所以双曲线的标准方程为 120 52 2=-y x 3. （2014·湖北高考理科·Ｔ9）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123 F PF π ∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A. 433 B.23 3 C.3 D.2 【解题提示】 椭圆、双曲线的定义与性质，余弦定理及用基本不等式求最值 【解析】选A. 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为1a （1a a >），半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得a PF PF 2||||21=+，121||||2PF PF a -=，所以11||a a PF +=， 12||a a PF -=， 因为 123F PF π ∠= ，由余弦定理得 22211114()()2()()cos 3c a a a a a a a a π =++--+-， 所以2 1 2 2 34a a c +=，即2 122122221)(2124c a c a c a c a c a +≥+=-， 所以21 214 8)11(e e e -≤+， 利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 43 . 4.(2014·广东高考理科)若实数k 满足0

抛物线专题复习讲义及练习

抛物线专题复习讲义及练习 ★知识梳理★ 1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (0>p )： ①)0(22≠=p px y 的焦半径PF )0(22≠=p py x 的焦半径PF ② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p. ③ AB 为抛物线px y 22 =的焦点弦，则=B A x x 4 2p ，=B A y y 2 p -，||AB =p x x B A ++ ★重难点突破★ 重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质 难点: 与焦点有关的计算与论证 重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质 1.要有用定义的意识 问题1：抛物线y=42 x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A. 1617 B. 16 15 C.87 D. 0 点拨：抛物线的标准方程为y x 412 = ，准线方程为16 1 -=y ,由定义知，点M 到准线的距离

为1，所以点M 的纵坐标是 16 15 2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向 问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有 点拨：抛物线的类型一共有4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有2条 3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路” 问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 点拨：设AB 为抛物线的焦点弦，F 为抛物线的焦点，点''、B A 分别是点B A 、在准线上的射影，弦AB 的中点为M ，则''BB AA BF AF AB +=+=，点M 到准线的距离为 AB BB AA 2 1 )''(21=+，∴以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切 ★热点考点题型探析★ 考点1 抛物线的定义 题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 [例1 ]已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 【解题思路】将点P 到焦点的距离转化为点P 到准线的距离 [解析]过点P 作准线的垂线l 交准线于点R ，由抛物线的定义知，PR PQ PF PQ +=+，当P 点为抛物线与垂线l 的交点时，PR PQ +取得最小值，最小值为点Q 到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3 【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关 【新题导练】 1.已知抛物线2 2(0)y px p =>的焦点为F ，点11 1222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列， 则有 （ ） A ．321x x x =+ B ． 3 21y y y =+ C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+ ［解析］C 由抛物线定义，2132()()(),222 p p p x x x + =+++即：2312x x x =+． 2. 已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82 =的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时, M 点坐标是 ( ) A. )0,0( B. )62,3( C. )4,2( D. )62,3(-

最新中考抛物线典型试题分类综合精讲精练

最新中考抛物线典型试题分类综合精讲精练 1如图，抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D。（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标； （2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？ （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 2如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3如图，一次函数y=- 二分之一x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点． （1）求这个抛物线的解析式； （2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？

最大值是多少？ （3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标． 4已知直线y=二分之一x+1与y轴交与点A，与x轴交与点D，抛物线y=二分之一x2+bx+c与直线交与A,E两点，与x轴交与B,C两点，且点B的坐标为【1,0】 【1】求抛物线的解析式； 【2】动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标； 【3】请你在抛物线的对称轴上找一点M，使丨AM-MC丨的值最大，求出点M的坐标。 5如图，直线y= 分别与x轴、y轴交于点C和点D，一组抛物线的顶点A1，A2，A3，…，A n，依次是直线CD上的点，这组抛物线与x轴的交点依次是B1，B2，B3，…，B n-1，B n，且OB1=B1B2=B2B3 =…=B n-1B n，点A1坐标（1，1），则点A n坐标为（2n-1，n）． 6已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，如图矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：

高中数学《抛物线》练习题

高中数学《抛物线》练习题 一、选择题： 1. (浙江)函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) (A) 18 (B)41 (C) 2 1 (D)1 2. （上海）过抛物线x y 42 =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条 D ．不存在 3. 抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 4. （辽宁卷）已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42 =的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42 =的交点到原点的距离是 （ ） A ．23+6 B ．21 C ．21218+ D ．21 5 .（江苏卷）抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) ( A ) 1617 ( B ) 1615 ( C ) 8 7 ( D ) 0 6. （湖北卷）双曲线)0(12 2≠=-mn n y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为 （ ） A ． 163 B ． 8 3 C ． 3 16 D ． 3 8 二、填空题： 7．顶点在原点，焦点在x 轴上且通径长为6的抛物线方程是 . 8．若抛物线m x x y +-= 22 12 的焦点在x 轴上，则m 的值是 . 9．过（－1，2）作直线与抛物线x y 42 =只有一个公共点，则该直线的斜率为 . 10．抛物线2 2x y =为一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是 . 三、解答题： 11. （江西卷）如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. （1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值； （2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹 12. （上海）本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.

高中数学抛物线压轴题答案

综合题答案 1.如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方 程的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2 （1）求A、C两点的坐标； （2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 1答案：

2.如图，二次函数y=ax2+x+c的图象与x轴交于点A、B两点，且A点坐标为（-2，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求出这个二次函数的解析式；（2）直接写出点B的坐标为______； （3）在x轴是否存在一点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；（4）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大？若存在，请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由． 解答：解：（1）∵y=ax2+x+c的图象经过A（-2，0），C（0，3）， ∴c=3，a=-， ∴所求解析式为：y=-x2+x+3； （2）（6，0）； （3）在Rt△AOC中， ∵AO=2，OC=3， ∴AC=， ①当P1A=AC时（P1在x轴的负半轴），P1（-2-，0）； ②当P2A=AC时（P2在x轴的正半轴），P2（-2，0）； ③当P3C=AC时（P3在x轴的正半轴），P3（2，0）； ④当P4C=P4A时（P4在x轴的正半轴）， 在Rt△P4OC中，设P4O=x，则（x+2）2=x2+32 解得：x=， ∴P4（，0）；

(完整版)高二抛物线基础测试题

高二抛物线基础测试题 一、 选择题： 1．顶点在原点，焦点是F (0,5)的抛物线方程是( ) A ．y 2＝20x B ．x 2 ＝20y C ．y 2＝120x D ．x 2 ＝120 y 2．抛物线y ＝－x 2 的焦点坐标为( ) A.? ????0，14 B.? ????0，－14 C.? ????14，0 D.? ?? ??－14，0 3．抛物线y ＝ax 2 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为( ) A.18 B ．－18 C ．8 D ．－8 4．(2010年高考陕西卷)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2 －6x －7＝0相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4 5．(2010年高考湖南卷)设抛物线y 2 ＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 6．若点P 到定点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点P 的轨迹方程是( ) A ．y 2＝－16x B ．y 2 ＝－32x C ．y 2＝16x D ．y 2 ＝16x 或y ＝0(x <0) 7．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2 ＝－8x C ．y 2＝8x 或y 2＝－8x D ．x 2＝8y 或x 2 ＝－8y 8．已知抛物线y 2 ＝2px (p >0)的焦点F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( ) A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3| B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2 C ．|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2| D ．|FP 1|·|FP 3|＝|FP 2|2 9．抛物线y 2 ＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于( ) A.15 B ．215 C.152 D ．15. 10．以抛物线y 2 ＝2px (p >0)的焦半径|PF |为直径的圆与y 轴的位置关系为( ) A ．相交 B ．相离 C ．相切 D ．不确定 11．过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦是AB ，抛物线的准线交x 轴于点M ，则∠AMB 是( ) A ．锐角 B ．直角

抛物线综合题——线段的几何最值

抛物线综合题突破——线段的几何最值 例1：抛物线y=-x2+2x+3的图像如图所示，交x轴于点A、B，交y轴于点C，顶点为D。（1）求A、B、C、D的坐标； （2）若点P是y轴上的一个动点，当PA+PD最小时，求点P的坐标及最小值； （3）若点P是抛物线对称轴上的一个动点，当PA+PC最小时，求点P的坐标及最小值；（4）若点P是y轴上的一个动点，当△DBP的周长最小时， 求点P的坐标及周长的最小值； （5）在抛物线上有一点M（2,3）是否存在点Q、P是x轴、 y轴上的动点，使四边形MDPQ的周长最小？若存在， 请求出P、Q的坐标及周长的最小值；若不存在，请说 明理由。 （6）若H（2.5，a）是抛物线上的点，Q从点H出发，先沿 着适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿 垂直于对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适 当的路径运动到点A处停止，当点Q的运动路径最短时， 求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长； （7）在抛物线对称轴上是否存在点M（1，a），N（1，a+2）， 使得四边形AMNC的周长最小？若存在，请求出M的坐 标及周长的最小值；若不存在，请说明理由。 跟踪训练(一) 1.如图，B（4,1），点A（3，m）在抛物线y=(x-1)2+1上，点P 是x轴上的一个动点，点Q是抛物线对称轴上的一个动 点。 （1）求m的值， （2）求四边形ABPQ周长最小值及点P的坐标。 跟踪训练(二)

2.已知如图1，抛物线34 3 832+-- =x x y 与x 轴交于A 和B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，点D 的坐标是（0，-1），连接BC 、AC . （1）求出直线AD 的解析式； （2）如图2，若在直线AC 上方的抛物线上有一点F ，当ADF ?的面积最大时，有一线段5 MN =（点M 在点N 的左侧）在直线BD 上移动，首尾顺次连接点A 、M 、N 、F 构成四边形AMNF ，请求出四边形AMNF 的周长最小时点N 的横坐标； （3）如图3，将DBC ?绕点D 逆时针旋转 α（ 1800<<α），记旋转中的DBC ?为C B D ''?，若直线C B ''与直线AC 交于点P ，直线C B ''与直线DC 交于点Q ，当CPQ ?是等腰三角形时，求CP 的值. 3.如图1，抛物线542 +--=x x y 与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点 D 为抛物线的顶点。 （1）求直线AC 的解析式及顶点D 的坐标； （2）连接CD ，点P 是直线AC 上方抛物线上一动点（不与点A 、C 重合），过P 作P E ∥x 轴交直线AC 于点E ，作P F ∥CD 交直线AC 于点F ，当线段PE+PF 取最大值时，在抛物线对称轴上找一点L ，在y 轴上找一点K ，连接OL ，LK ，PK ，求线段OL+LK+PK 的最小值，并求出此时点L 的坐标。 （3）如图2，点M （-2，-1）为抛物线对称轴上一点，点N （2，7）为直线AC 上一点，点G 为直线AC 与抛物线对称轴的交点，连接MN ，AM 。点H 是线段MN 上的一个动点，连接GH ，将△MGH 沿GH 翻折得到△M ′GH （点M 的对称点为M ′），文是否存在点H ，使得△M ′GH 与△NGH 重合部分的图形为直 角三角形，若存在，请求出NH 的长，若不存在，请说明理由。 4.如图1，已知抛物线34 3 832--=x x y 与x 轴交于A 和B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点 C ，顶点为 D . （1）求出点,,A B D 的坐标； （2）如图1，若线段OB 在x 轴上移动，且点,O B 移动后的对应点为','O B .首尾顺次连接点'O 、'B 、 D 、C 构成四边形''OBDC ，请求出四边形''OBDC 的周长最小值． 图2 图1 图3 （第26题图） ′ ′

抛物线练习题(含答案)-

抛物线练习题 一、选择题 1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( )A ．直线 B ．抛物线 C ．圆 D ．双曲线 2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( ) A. ()32 ，± 62 B.()74，±72 C.()94，±32 D.() 52，±10 2 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－1 8 C ．8 D ．－8 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离 是( )A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 5．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．以上答案都有可能 6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12y D ．x 2＝－12y 7．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )A ．20 B ．8 C ．22 D ．24 8．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 3 B. 3 C.12 3 D.1 4 3 9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( ) A ．4 B ．4或－4 C ．－2 D ．2或－2 10．抛物线y ＝1 m x 2(m <0)的焦点坐标是( ) A.()0，m 4 B.()0，－m 4 C.()0，14m D.() 0，－1 4m 11．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x 12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为 ( )A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 二、填空题 13．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若A 、B 在抛物 线准线上的射影是A 1、B 1，则∠A 1FB 1= 。 14．已知圆x 2＋y 2＋6x ＋8＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________. 15．以双曲线x 216－y 2 9 ＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是 __________． 16．抛物线y 2＝16x 上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是________． 17．抛物线y 2＝4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为________．抛物线练习题（答案） 1、[答案] A [解析] ∵定点(1,1)在直线x ＋2y ＝3上，∴轨迹为直线． 2、[答案] B [解析] 设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋p 2＝x 0＋1 4 ＝2，∴x 0 ＝74，∴y 0＝±72 . 3、[答案] B [解析] ∵y ＝ax 2，∴x 2＝1 a y ，其准线为y ＝2，∴a <0,2 ＝1－4a ，∴a ＝－18. 4、[答案] B [解析] 本题考查抛物线的定义． 5、[答案] C [解析] 由题意，知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离， 故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线． 6、[答案] B [解析] 特值法：取AB 垂直于抛物线对称轴这一情况研究． 由抛物线的定义可知，点P 到抛物线焦点的距离是4＋2＝6. 7、[答案] A [解析] 设P (x 0,12)，则x 0＝18，∴|PF |＝x 0＋p 2 ＝20. 8、[答案] B [解析] p 2＝c ＝3 2 ，∴p ＝ 3. 9、[答案] B [解析] 由题意，设抛物线的标准方程为：x 2＝－2py ， 由题意得，p 2 ＋2＝4，∴p ＝4，x 2＝－8y .又点(k ，－2)在抛物线上，∴k 2＝ 16，k ＝±4. 10、[答案] A [解析] ∵x 2＝my (m <0)，∴2p ＝－m ，p ＝－m 2 ，焦点 坐标为()0，－p 2，即() 0，m 4. 11、[答案] B [解析] 由题意，设抛物线的标准方程为：y 2＝－2px (p >0)， 由题意，得p 2 ＋5＝6，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x . 12、[答案] C [解析] 本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系． 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p 2，由题意知，3＋p 2 ＝4，p ＝2. 13、[答案] 90° [解析] 由抛物线的定义得，|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A 1AF ＋∠B 1BF ＝360°， 且∠A 1AF ＋∠B 1BF ＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2(∠2＋∠4)＝180°， 即∠2＋∠4＝90，故∠A 1FB ＝90°. 14、[答案] 4或8 [解析] 抛物线的准线方程为：x ＝－p 2 ，圆心坐 标为(－3,0)，半径为1， 由题意知3－p 2＝1或p 2－3＝1，∴p ＝4或p ＝8. 15、[答案] y 2＝－20x [解析] ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛 物线方程为y 2＝－2px (p >0)， 又p ＝10，∴y 2＝－20x . 16、[答案] (2，±42) [解析] 设抛物线y 2＝16x 上的点P (x ，y ) 由题意，得(x ＋4)2＝x 2＋y 2＝x 2＋16x ，∴x ＝2，∴y ＝±4 2. 17、[答案]2[解析]由题意，设A 点坐标为(x,23)，则x ＝3，又焦点F (1,0)，∴焦点到AB 的距离为2.

抛物线基础题练习

抛物线基础题练习： 1、准线为x=2的抛物线的标准方程是（ ） A.24y x =- B 、28y x =- C. 24y x = D. 28y x = 2、焦点是（-5，0）的抛物线的标准方程是（ ） A.25y x = B. 210y x =- C 、220y x =- D. 220x y =- 3、抛物线F 是焦点，则p 表示（ ） A. F 到准线的距离 B 、F 到准线距离的 14 C. F 到准线距离的18 D. F 到y 轴距离的 4、动点M （x,y ）到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则点M 的轨迹方程是（ ） A.40x += B. 40x -= C. 28y x = D 、216y x = 5、若抛物线2(1)y a x =+的准线方程是x=-3，那么抛物线的焦点坐标是（ ） A.（3，0） B.（2，0） C 、（1，0） D.（-1，0） 6、抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（ ）A ．25 B ．5 C ．2 15 D ．10 7、动点P 到直线40x +=的距离减去它到()2,0M 的距离之差等于2，则点P 的 轨迹是（ ）A ．直线 B 。椭圆 C 。双曲线 D 、抛物线 8、抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(),3P m -到焦点的距离为5，则抛 物线的准线方程是（ ） A ．4y = B 。4y =- C 、2y = D 。2y =- 9. 在28y x =上有一点P ，它到焦点的距离是20，则P 点的坐标是（ ） A ．()8,12 B.()18,12- C 、()18,12或()18,12- D.()12,18或()12,18- 10、抛物线210y x =的焦点到准线的距离是（ ） A.10 B 、5 C.20 D. 52 11． 抛物线28x y =-的焦点坐标是（ ） A.()4,0- B.()0,4- C.()2,0- D 、()0,2- 12、抛物线2 (0)x ay a =≠上一点(,3)P m -到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程是 ( )A.4y =- B.4y = C.2y =- D. 2y =

抛物线测试题(含答案)

抛物线测试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．抛物线22x y =的焦点坐标是 （ ） A ．)0,1( B ．)0,4 1( C ．)81 ,0( D ． )41,0( 2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物 线方程为 （ ） A ．y x 82= B ．y x 42= C ．y x 42-= D ．y x 82-= 3．抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于 （ ） A ．15 B ．152 C ．2 15 D ．15 4．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 （ ） A.y x 2 92-=或x y 342= B.x y 29 2-=或y x 342= C.y x 342= D.x y 292-= 5．点)0,1(P 到曲线???==t y t x 22 （其中参数R t ∈）上的点的最短距离为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．2 6．抛物线)0(22>=p px y 上有),,(),,(2211y x B y x A ),(33y x C 三点，F 是它的焦点，若 CF BF AF ,, 成等差数列，则 （ ） A ．321,,x x x 成等差数列 B ．231,,x x x 成等差数列 C ．321,,y y y 成等差数列 D ．231,,y y y 成等差数列 7．若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则 PB PA + 取得最小值时点P 的坐标是 （ ） A ．（0，0） B ．（1，1） C ．（2，2） D ．)1,2 1 ( 8．已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的两端点为),(),,(2211y x B y x A , 则关系式 212 1x x y y 的值一定等于 （ ） A ．4 B ．－4 C ．p 2 D ．－p 9．过抛物线)0(2 >=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长 分别是q p ,，则 q p 1 1+= （ ） A ．a 2 B ．a 21 C ．a 4 D ．a 4 10．若AB 为抛物线y 2 =2p x (p>0)的动弦，且|AB|=a (a >2p)，则AB 的中点M 到y 轴的最近 距离是 （ ） A ． 2 a B ． 2 p C ． 2 p a + D ． 2 p a - 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

抛物线综合题(经典一题突破二次函数)

抛物线综合题 已知，在平面直角坐标系中，抛物线 y = －x 2+2x +3与 x 轴交于A 、B(A 在B 的左侧) 两点，与 y 轴交于点C,点D 是抛物线的顶点。 1、在坐标平面内存在点W,使得以B 、C 、D 、W 为顶点的四边形是平行四边形， 求点W 的坐标。 2、在抛物线上存在点E,使得S △BCE =S △BCD ,求点E 的坐标。 3、在抛物线上恰好存在三个点F,使得S △BCF =k,求k 的值及点F 的坐标。 4、在抛物线上存在点G,使得以B 、C 、D 、G 为顶点的四边形为梯形，求点G 的坐标。 5、点H 为 x 轴上一点，且使△ACH 是等腰三角形，求点H 的坐标。 6、在抛物线上存在点I,使得△ACI 是以AC 为直角边的直角三角形，求点I 的坐标。 7、在线段BC 上是否存在点J,使得以B 、O 、J 为顶点的三角形与△ABC 相似， 求点J 的坐标。 8、点K 在抛物线的对称轴上，且使得| KA －KC |的值最大，点L 在抛物线对称轴上，过点L 任作不与 x 轴平行的直线 l 交抛物线于M 、N 两点，若△KMN 的内心始终在抛物线对称轴上，求点L 的坐标。 9、点P 是抛物线对称轴上一点，若对于抛物线上任意一点Q ，都满足点Q 到直线 4 17=y 的距离等于线段PQ 的长度，求点P 的坐标。 10、在（9）的条件下，过点P 任作一直线 m 与抛物线交于R 、T 两点， 证明： PT PR RT ?的值为定值。 11、设直线CD 交 x 轴于点V,作BS ⊥x 轴交直线CD 于点S,将抛物线沿对称轴上下平移，若平移 后抛物线始终与线段VS 有公共点，求抛物线向上和向下平移的最大单位长度。 12、若点U 在线段OC 上，且使得AU+ 3 1CU 最小，求点U 的坐标。 13、若点Z 是 x 轴下方抛物线上一点，且使得∠CBZ=∠ABD,求点Z 的坐标。 14、设直线y =ax －a +3与抛物线交于A 1、B 1 两点，若抛物线上存在定点C 1,使得 ∠A 1C 1B 1=90°,求C 1 到直线A 1B 1 的最大距离。 15、在抛物线上存在点D 1,使得∠AD 1C= 45°，求点D 1的坐标。 16、点E 1为线段AC 上一动点，过E 1作E 1F 1∥AB 交BC 于点F 1,过F 1作F 1G 1⊥AB 于G 1,求线段E 1G 1 的最小值。 17、一束光线从B 点发出，先经过 y 轴上的H 1点反射，再经过直线BC 上的 I 1点反射后刚经过坐 标原点，求直线H 1I 1的解析式。 18、将抛物线在坐标平面内任意平移，使得平移后的抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，过这三 个点作圆，试证明这些圆都经过同一个定点，并求出定点的坐标。 19、在抛物线对称轴上存在点M 1，使得点M+到直线AC 的距离是点M 1到直线BC 距离的5倍， 求点M 1的坐标。 20、将抛物线向上平移 e 个单位，设平移后的抛物线与 x 轴交于P 1、Q 1两点，点N 1(α，β )是 平移后抛物线上的点，若△P 1N 1Q 1是直角三角形，求β与e 应 满足的关系式。 21、若K 1( t , 0 )是线段BO 上的动点，作等腰三角形CK 1L 1,∠CK 1L 1=90°，点L 1在第一象限，过B 作BR 1⊥x 轴交CL 1于点R 1.试探究△BK 1R 1的周长是否与t 有关，并说明理由。 22、作△ABC 的外接圆，点T 1是劣弧AC 上的动点，求CT 1 + 210OT 1 的最小值。