《信号与线性系统》试题与答案6

如图离散因果系统框图 ，为使系统稳定，求常量a 的取值围

解：设加法器输出信号X(z) X(z)=F(z)+a/Z*X(z)

Y(z)=(2+1/z)X(z)= (2+1/z)/(1-a/z)F(z) H(z)= (2+1/z)/(1-a/z)=(2z+1)/(z-a)

为使系统稳定，H(z)的极点必须在单位园， 故|a|<1

周期信号 f (t ) =

试求该周期信号的基波周期T ，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图，并求f (t ) 的平均功率。 解 首先应用三角公式改写f (t )的表达式，即

显然1是该信号的直流分量。 的周期T1 = 8 的周期T2 = 6

所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T = π/12，根据帕斯瓦尔等式，其功率为

P=

是f(t)的[π/4]/[π/12 ]=3次谐波分量；

是f(t)的[π/3]/[π/12 ]=4次谐波分量； 画出f (t )的单边振幅频谱图、相位频谱图如图

??? ??-+??? ??--63sin 41324cos 211ππππt t ??? ??--+??? ??+-+=263cos 41324cos 211)(πππ

πππt t t f ?

?

? ??+34cos 2

1ππt ??

? ??-323cos 4

1ππ 32

37

41212121122=??? ??+??? ??+??? ??+34

cos 21ππt ?

?

? ??-323cos 41ππ (a)

(b)

12

6

4

3

ω

o

二、计算题（共15分）已知信号)()(t t t f ε=

1、分别画出

01)(t t t f -=、)()()(02t t t t f ε-=、)()(03t t t t f -=ε和

)()()(004t t t t t f --=ε的波形,其中 00>t 。（5分）

2、指出)(1t f 、)(2t f 、)(3t f 和)(4t f 这4个信号中，哪个是信号)(t f 的延时0t 后的波形。

并指出哪些信号的拉普拉斯变换表达式一样。（4分）

3、求)(2t f 和)(4t f 分别对应的拉普拉斯变换)(2s F 和)(4s F 。（6分）

1、（4分）

2、)(4t f 信号)(t f 的延时0t 后的波形。（2分）

3、s

t s s F s F 0

2121)()(-=

=（2分） 0

2

41)(st e s

s F -=。（2分）

三、计算题（共10分）如下图所示的周期为π2秒、幅值为1伏的方波)(t u s 作用于RL

电路，已知Ω=1R ，H L 1=。 1、 写出以回路电路)(t i 为输出

的电路的微分方程。 2、 求出电流)(t i 的前3次谐波。

解“

1、??

???

<<-<<-<<=π

π

ππππ

t t t t u s 2,2,022,1)(。（2分）

2、∑=+=5

1

0)cos(21

)(n n s nt a a t u

)5cos(52)3cos(32)cos(221)cos()2sin(22151t t t nt n n n π

ππππ+-+=+=∑= （3分）

3、)()()(t u t i t i s =+'（2分）

4、)3sin(51)3cos(151)sin(1)cos(121)(t t t t t i π

πππ--++=

（3分） 四、计算题（共10分）已知有一个信号处理系统，输入信号)(t f 的最高频率为

m m f ωπ2=，抽样信号)(t s 为幅值为1，脉宽为τ，周期为S T （τ>S T ）的矩形脉冲序

列，经过抽样后的信号为)(t f S ，抽样信号经过一个理想低通滤波器后的输出信号为)(t y 。)(t f 和)(t s 的波形分别如图所示。

1、试画出采样信号)(t f S 的波形；（4分）

2、若要使系统的输出)(t y 不失真地还原输入信号)(t f ，问该理想滤波器的截止频率c ω和抽样信号)(t s 的频率s f ，分

别应该满足什么条件？（6分）

解：

1、（4分）

2、理想滤波器的截止频率m c ωω=,抽样信号)(t s 的频率m s f f 2≥。（6分）

五、计算题（共15分）某LTI 系统的微分方程为：)(6)(2)(6)(5)(t f t f t y t y t y +'=+'+''。

已知)()(t t f ε=，2)0(=-y ，1)0(='-y 。

求分别求出系统的零输入响应、零状态响应和全响应)(t y zi 、)(t y zs 和)(t y 。

解：

1、s

e s dt e dt e t s F st st st

1|1)()(0

00=-===∞-∞

-∞

-??ε。（2分） 2、)(6)0(2)(2)(6)0(5)(5)0()()(2s F f s sF s Y y s sY y s sy s Y s +-=+-+'-----（3分）

3、3

5

276511265)0(5)0()0()(22+-+=+++=+++'+=

---s s s s s s s y y sy s Y zi

21

112216532)(2

+-=?+=?+++=

s s s s s s s s s Y zs ）（ s

s s s s s s s Y zi 1

653265112)(22?+++++++=（5分）

4、)()57()(32t e e t y t t zi ε---=

)()1()(2t e t y t zs ε--=

)()561()(32t e e t y t t ε---+=（5分）

六、计算题（共10分）如下图所示的RC 低通滤波器网络。已知电容C 的初始电压为

V u C 1)0(=-。（共10分）

1、 写出该电路的s 域电路方程，并画出对应的电路图。（2分）

2、 写出以电容电压)(s U C 为输出的电路的系统函数)

())(s U s U S H S C （=的表达式。（2分）

3、 求出)(s H 的极点，判断该RC 网络的稳定性。（2分）

4、 求出该RC 网络的频率特性)(ωj H 。（2分）

5、 求出该RC 网络的幅频特性|)(|ωj H 和相频特性)(ω?j 的表达式，并画出频率特性图。

（2分）

解：

1、s

u s I sC R s U c

S S )0()()1

()(-++= 或 )()]0()([)(s U u s sCU R s U C c C S +--= （2分）

2、sC

s RC sC R sC

S H 11

11)(+

=+=

（2分） 3、)(s H 的极点RC

s 1

1-=，该RC 网络是稳定的。（2分）

已知象函数)

2)(1()(2

-+=z z z z F 求逆z 变换。

其收敛域分别为：（1）?z ?>2 (2) ?z ?<1 (3) 1

2

32

131)2)(1()(-++=-+=z z z z z

z z F 2

32131)(-+

+=

z z

z z z F (1)当?z ?>2，故f(k)为因果序列

k k f k k (])2(3

2

)1(31[)(ε+-=

(2) 当?z ?<1，故f(k)为反因果序列

)1(])2(3

2

)1(31[)(-----=k k f k k ε

(3)当1

)1()2(3

2

)()1(31)(----=k k k f k k εε

已知象函数)

3)(2)(1)(2

1

()1294()(23----++

-=

z z z z z

z z z z z F 求逆z 变换。

其收敛域分别为：（1）?z ?>3 (2) 1

2125.0)(-+--+-+--=

z z

z z z z z z z F

（1）?z ?>3 由收敛域可知，上式四项的收敛域满足?z ?>3，

k k k k k f k k k ()3()()2()(2)()2

1

()(εεεε+-+-=

(2) 11，后两项满足?z ?<2。

)1()3()1()2()(2)()2

1

()(-----++-=k k k k k f k k k εεεε

1． 系统的激励是)t (e ，响应为)t (r ，若满足dt

)

t (de )t (r =，则该系统为 线性、时不变、因果。（是否线性、时不变、因果？） 2． 求积分dt )t ()t (212-+?∞

∞-δ的值为 5 。

3． 当信号是脉冲信号f(t)时，其 低频分量 主要影响脉冲的顶部，其 高频分量 主要影响脉冲的跳变沿。

4． 若信号f(t)的最高频率是2kHz ，则t)f(2的乃奎斯特抽样频率为 8kHz 。 5． 信号在通过线性系统不产生失真，必须在信号的全部频带，要求系统幅频特性为 一常

数相频特性为_一过原点的直线（群时延）。

6． 系统阶跃响应的上升时间和系统的 截止频率 成反比。 7． 若信号的3s F(s)=

(s+4)(s+2)，求该信号的=)j (F ωj 3(j +4)(j +2)

ω

ωω。

8． 为使LTI 连续系统是稳定的，其系统函数)s (H 的极点必须在S 平面的 左半平面 。

9． 已知信号的频谱函数是））00(()j (F ωωδωωδω--+=，则其时间信号f(t)为

01

sin()t j ωπ

。 10． 若信号f(t)的2

11

)

s (s )s (F +-=，则其初始值=+)(f 0 1 。

二、判断下列说法的正误，正确请在括号里打“√”，错误请打“×”。（每小题2分，共10分）

1.单位冲激函数总是满足)()(t t -=δδ （ √ ）

2.满足绝对可积条件∞

∞

∞

-dt t f )(的信号一定存在傅立叶变换，不满足这一条

件的信号一定不存在傅立叶变换。 （ × ） 3.非周期信号的脉冲宽度越小，其频带宽度越宽。 （ √ ）

4.连续LTI 系统的冲激响应的形式取决于系统的特征根，于系统的零点无关。 （ √ ）

5.所有周期信号的频谱都是离散谱，并且随频率的增高，幅度谱总是渐小的。 （ × ）

三、计算分析题（1、3、4、5题每题10分，2题5分， 6题15分，共60分）

1.信号)t (u e )t (f t

-=21，信号?

??<<=其他，01

012t )t (f ，试求)t (f *)t (f 21。（10分）

解法一：当0t ≤时，)t (f *)t (f 21=0

当10t >>时，()120()*()222t

t t f t f t e d e ττ---==-?

当1t >时，1

()120

()*()22(1)t t f t f t e d e e ττ---==-?

解法二：

122(1)22L[()*()]2(2)(2)

2222()22s s

s

e e

f t f t s s s s s s e s s s s ----==-

+++=---++

112()*()2()2()2(1)2(1)t t f t f t u t e u t u t e u t --=---+-

2.已知)

2)(1(10)(--=z z z

z X ，2>z ，求)(n x 。（5分）

解：

()101010

(1)(2)21

X z z z z z z z ==-----，收敛域为2>z 由1010()21

z z

X z z z =

---，可以得到()10(21)()n x n u n =-

3.若连续信号)t (f 的波形和频谱如下图所示，抽样脉冲为冲激抽样

)nT

t ()t (n s

T ∑∞

-∞

=-=

δδ。

（1）求抽样脉冲的频谱；（3分）

（2）求连续信号)t (f 经过冲激抽样后)t (f s 的频谱)(F s ω；（5分）

（3）画出)(F s ω的示意图，说明若从)t (f s 无失真还原)t (f ，冲激抽样的s T 应该满足什么条件？（2分）

(t)

f t

O

)

(F ωω

O m ω-m

ω1

解：（1）)nT

t ()t (n s

T ∑∞

-∞

=-=

δδ，所以抽样脉冲的频谱

[()]2()T n

s

n F t F n δπ

δωω∞

=-∞

=-∑ 1

n

s

F

T =

。 （2）因为()()()s T f t f t t δ=，由频域抽样定理得到：

1

[()][()()]()*()

21

()

s T s s n s

n s

F f t F f t t F n F n T δωωδωωπωω∞

=-∞

∞

=-∞

==-=-∑∑

（3）)(F s ω的示意图如下

)(F s ω的频谱是()F ω的频谱以s ω为周期重复，重复过程中被

1

s

T 所加权，若从)t (f s 无失真还原)t (f ，冲激抽样的s T 应该满足若2,s m s m

T π

ωωω≥≤

。 4.已知三角脉冲信号)t (f 1的波形如图所示 （1）求其傅立叶变换)(F ω1；（5分） （2）试用有关性质求信号)t cos()t (f )t (f 0122

ωτ

-

=的傅立叶变换)(F ω2。

（5分） 解：（1）对三角脉冲信号求导可得：1()22[()()][()()]22

df t E E u t u t u t u t dt ττ

ττ=+----

21()18[

][sin ()]4df t E F dt j ωτωτ=-，可以得到21()()24

E F Sa τωτ

ω=。 （2）因为)t cos()t (

f )t (f 0122

ωτ

-

=

22

[()]()2

24

j E F f t e

Sa τω

τ

τωτ--=

00()()2200220()()

11[()cos()]2224224

j j E E F f t t e Sa e Sa ττωωωωωωωωτ

ττωττ---+-+-=+

5.电路如图所示，若激励信号)t (u )e e ()t (e t t 3223--+=，求响应)t (v 2并指出响应中的强迫分量、自由分量、瞬态分量与稳态分量。（10分）

解：由S 域模型可以得到系统函数为

221()2()2()22

2V s s s H s E s s s +

+==

=++ 由)t (u )e e ()t (e t t 3223--+=，可以得到

32()23

E s s s =+++ ，在此信号激励下，系统的输出为

21

2323

2()()()()222313

s V s H s E s s s s s s +==+=++++++

2

τ

-

(t)f 12

τ

-

t

O

E

则 ()321

v (2)()2

t t t e e u t --=+

强迫响应分量：31

()2t e u t -

自由响应分量：2()t e u t -

瞬态响应分量：()321

v (2)()2

t t t e e u t --=+

稳态响应分量：0

6.若离散系统的差分方程为

)1(31

)()2(81)1(43)(-+=-+--n x n x n y n y n y

（1）求系统函数和单位样值响应；（4分） （2）讨论此因果系统的收敛域和稳定性；（4分） （3）画出系统的零、极点分布图；（3分）

（4）定性地画出幅频响应特性曲线；（4分）

解：（1）利用Z 变换的性质可得系统函数为：

112111071()3333()3111111()()482424

z z z z z

H z z z z z z z ---++-===+-+---- 12z >，则单位样值响应

为

10171

()[()()]()3234

n n h n u n =-

（2）因果系统z 变换存在的收敛域是1

2

z >

，由于()H z 的两个极点都在z 平面的单位圆，所以该系统是稳定的。

（3）系统的零极点分布图

（4）系统的频率响应为

21()

3()3148j j j j j e e H e e e ωωωωω+=

-+ 13()1124

j j j j e H e e e ωωωω+=--

当0ω=时，32()9j H e ω=

当ωπ=时，16

()45

j H e ω=

四、简答题（1、2二题中任选一题解答，两题都做只计第1题的分数，共10分）

1. 利用已经具备的知识，简述如何由周期信号的傅立叶级数出发，推导出非周期信号的傅立叶变换。（10分）

2. 利用已经具备的知识，简述LTI 连续时间系统卷积积分的物理意义。（10分）

1.解：从周期信号FS 推导非周期信号的FT 11

()().jn t

n f t F n e

ωωω∞

=-

=

∑

对于非周期信号,T1→∞,则重复频率10ω→,谱线间隔1(n )d ωω?→，离散频率变成连续频率ω。

1

2112

111()()..T T jn t F n f t e dt T ωω--=?

在这种极限情况下1()0F n ω→，但112().F n π

ωω可望不趋于零，而趋于一个有限值，且变

成一个连续函数。

111111111

1

22

2()().

().()()lim lim lim T T jn t T T j t F F n F n T f t e dt

f t e dt

ωωωπ

ωωωω→→--→∞∞

--∞

====?

?

考察函数111

1).(或2).

(T n F n F ωωπ

ω,并定义一个新的函数F(w) 傅立叶变换：

()()j t F f t e dt ωω∞

--∞

=?

F(w)称为原函数f(t)的频谱密度函数(简称频谱函数).

傅立叶逆变换 11

()().jn t

n f t F n e

ωωω∞

=-=

∑

1111

()

()..jn t n F n f t e ωωωω∞

=-∞

=

∑

1()()

F n F ωω→n ω

∞

∞

-∞

=-→∑

?

111()..()2jn t

n F e n ωωωωπ

∞

=-∞=

?∑ 1

()().d 2j t f t F e ωωωπ

∞

-∞

=

?

11110

()T n n d ωωω

ωω→∞

→→?→

2.解：线性系统在单位冲激信号的作用下，系统的零状态的响应为单位冲激响应：

()()t h t δ→

利用线性系统的时不变特性：

()()t h t δττ-→-

利用线性系统的均匀性：

()()()()e t e h t τδτττ-→-

利用信号的分解，任意信号可以分解成冲激信号的线性组合：

()()()e t e t d τδττ∞

-∞

=

-?

利用线性系统的叠加定理：

()()()()()()e t e t d r t e h t d τδτττττ∞

∞

-∞

-∞

=

-→=-??

1.

=-?∞

∞

-dt t t )()5cos 2(δ 。

2. ()dt t e t

12-?

+∞

∞

--δ= 。 3.

已知 f (t )的傅里叶变换为F (j ω), 则f (2t -3)的傅里叶变换为 。

4. 已知 6

51

)(2+++=

s s s

s F ，则=+)0(f ; =∞)(f 。

5. 已知 ω

ωπδεj t FT 1

)()]([+=，则=)]([t t FT ε 。 6. 已知周期信号

)4sin()2cos()(t t t f +=，其基波频率为 rad/s ；

周期为 s 。 7. 已知

)5(2)2(3)(-+-=n n k f δδ，其Z 变换

=)(Z F ；收敛域为 。

8. 已知连续系统函数1

342

3)(23+--+=

s s s s s H ，试判断系统的稳定

性： 。 9．已知离散系统函数1

.07.02

)(2

+-+=

z z z z H ，试判断系统的稳定性： 。 10．如图所示是离散系统的Z 域框图，该系统的系统函数H(z)= 。

二．(15分)如下方程和非零起始条件表示的连续时间因果LTI 系统，

?????==+=++--

5

)0(',2)0()

(52)(4522y y t f dt df

t y dt dy dt

y d 已知输入

)()(2t e t f t ε-=时，试用拉普拉斯变换的方法求系统的零状态响应

)(t y zs 和零输入响应)(t y zi ，0≥t 以及系统的全响应),(t y 0≥t 。

三．（14分）

① 已知2

3662)(22++++=s s s s s F ,2]Re[->s ,试求其拉氏逆变换f (t )；

② 已知)

2(2

35)(2>+-=z z z z

z X ，试求其逆Z 变换)(n x 。

四 （10分）计算下列卷积：

1. }1,0,6,4,3{}4,1,2,1{)()(21--*=*k f k f ；

2．)(3)(23t e t e t

t εε--* 。

五．（16分）已知系统的差分方程和初始条件为：

)()2(2)1(3)(n n y n y n y ε=-+-+，5.0)2(,

0)1(=-=-y y

1. 求系统的全响应y (n )；

2. 求系统函数H (z )，并画出其模拟框图；

六．（15分）如图所示图（a ）的系统，带通滤波器的频率响应如图(b)

所示，其相位特性0)(=ω?，若输入信号为:

)

1000

cos(

)(

,

2

) 2

sin(

)(t

t s

t

t

t

f=

=

π

试求其输出信号y(t)，并画出y(t)的频谱图。

参考答案

一填空题（30分，每小题3分）

2. 1 ； 2. e-2 ;

3. )

2

(

2

1

2

3ω

ω

j

F

e j-;

4. 1 ，0 ;

5.

2

1

)

('

ω

ω

πδ-

j； 6. 2 л;

7. 5

22

3

)

(-

-+

=z

z

z

F，|z|>0；8. 不稳定；9. 稳定

10.

2

1

4

1

4

1

1

1

)

(

-

-+

-

=

z

z

z

H

二．（15分）?????==+=++--

5

)0(',2)0()(52)(452

2y y t f dt

df

t y dt dy dt y d 方程两边取拉氏变换：

)

()6

17

21316()()()(;

)()2

121()(4

2/122/111459221)()

()37

313()(;)4

3/713/134592)(4

552214592)(4

55

245)0(5)0(')0()()()(42422422

222

t e e e t y t y t y t e e e t y s s s s s s s s Y t e e t y s s s s s s Y s s s s s s s s F s s s s s y y sy s Y s Y s Y t t t zi zs t t t

zi zs t t zi zi zi zs εεε-------------=+=--=+-

+-+=+++?+=-=+-+=+++=+++?+++++=?++++++++=+= 三．1．（7分）

)0(22)(2)(22

1222

32223662)(2222≥-+=+-+

++=+++=++++=--t e e t t f s s s s s s s s s F t t δ 2．（7分）

)

()12(5)(,2;2

5

15)2)(1(5)(;

2

35)(2k k f z z z z z z z F z z z

z F n ε-=>-+--=--=+-=

为右边序列

四． 1. （5分） {}4,1,22,21,4,11,2,3)(----=k f

2.（5分）

)

()(3|)(36)()(6)(3)(230

220

)(33t e e e

e d e

e d t e e t e t e t

t t t t t

t t t εττ

τετεεετ

τ

ττ---------∞

∞

----=-?==-?=*??

五． 解：（16分）

（1）对原方程两边同时Z 变换有：

1

)]1()2()(

[2)]1()([3)(121-=

-+-++-++---z z

y z y z Y z y z Y z z Y 2

32121161)2)(1)(1()(2+-++-=++-=∴z z

z z z z z z z z z Y

)(])2(3

2

)1(2161[)(n n y n n ε---+=

（2）2

1

2311)

(--++=

z

z z H

六（15分）

)1000cos()(,2)

2sin()(t t s t

t t f ==

π

)

(5.0)(41

2)(2)2sin(4412)2sin()(44ωωππωππg g j F t

t t t t f =??=??==

)1000cos(22sin )()()

()()()(,

01001||999,

1)()

()]}1000()1000([*)(4

1

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工程学院试卷参考答案及评分标准（A卷）专