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大学物理上册答案

第1章 质点运动学和牛顿运动定律

习题答案

1-1 已知质点的运动学方程为x = R cos ωt , y = R sin ωt , z = hωt /(2π),其中R 、ω、h 为常量.求:

(1)质点的运动方程的矢量形式; (2)任一时刻质点的速度和加速度. 解:k j i r )2/(sin cos πωωωt h t R t R ++=

k j i r

υ)πωωωωω2/(cos sin h t R t R dt

d -+-== )sin (cos sin cos 222j i j i υ

a t t R t R t R dt

d ωωωωωωω+-=--==

1-2 站台上的人在火车开动时站在第一节车厢的最前面.火车开动后经过24 s 第一节车厢的末尾从此人的面前通过.问第5节车厢驶过他面前需要多长时间?

解:以火车开动时为计时起点,设火车一节车厢长度为l ,加速度为a 则第一节车厢经过观察者时:a a at l 288242

1

2122=?==

(1) 第四节车厢的末尾经过观察者时:2

42

14at l = (2) 第五节车厢的末尾经过观察者时:2

52

15at l =

(3) 联立(1)(2)(3)得: 7.5487.5345=-=-=t t t s

1-3半径为R 的轮子沿y = 0的直线作无滑滚动时,轮边缘质点的轨迹为

)sin (θθ-=R x )cos 1(θ-=R y

求质点的速度;当d θ / d t = ω为常量时,求速度为0的点.

解:)cos (dt d dt d R dt dx x θθθυ-==

, dt

d R dt dy y θ

θυsin == 即 ()d 1cos sin d R t θ

θθ=-????υi +j

ωθ

=dt

d 为常数时,

)cos 1(θωυ-==

R dt dx x , θωυsin R dt dy y ==,速度为0 即 0)cos 1(=-==

θωυR dt dx x , 0sin ===θωυR dt

dy

y 故 Λ,2,1,0,

2==k k πθ

1-5一质点沿半径为R 的圆周按规律2

012

S t bt υ=-运动,其中0υ、b 都是常量. (1)求t 时刻质点的总加速度; (2)t 为何值时总加速度数值上等于b ?

(3)当加速度达到b 时,质点已沿圆周运行了多少圈?

解:⑴ bt dt dS -==0υυ, b dt

d a -==υ

τ, R bt R a n 202)(-==υυ ()2

4

02

2

2

R

bt b a a a n

-+

=+=υτ

(2)a = b

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b t b

υ==

,,

(3) a = b 时, b

b b b bt t S 2

2

00020212121υυυυυ=

??? ??-?=-= 转动圈数 bR

R S

n πυπ4220== 1-7 在图1-16所示的装置中,两物体的质量为m 1和m 2,物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都是μ,求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力,不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦,绳不可伸长.

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解:分两种情况:(1)m 1与m 2之间没有相对滑动.以两个物体组成的整体为研究对象,受力如图:由于不计绳和滑轮的质量,故绳内张力T = 2F

图1-16习题1-7用图

ma f T =-

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即:

a m m g m m F )()(22121+=+-μ 212121)

()(2a a m m g m m F a ==++-=μ

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(2)如果发生相对滑动,则m 1受力如图: 绳内张力还是T = 2F

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111a m f T =- 1112a m g m F =-μ 1

112m g m F a μ-=

m 2 受力如图所示,由于f 1 < f 2 ,m 2

则02=a .

1-12 在图1-20所示的滑轮系统中,123m m m >>,如果滑轮和绳的质量和转轴处的摩擦略去不计,且绳不可伸长,求m 1的加速度a 1及两绳的张力T 1和T 2.

解:设 a 1,a 2,a 3分别是m 1,m 2,m 3的加速度,

1111a m g m T =-, 2222a

m g m T =-, 2323a m T g m =-, 212T T =

解得 g m m m m T 323214+=

, g m m m m m m m m m a 1

323

121321)(4+--=

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习题参考答案:

2-2 F 均匀地由0

增加到20N 0. ⑴ 画出F - t 图;

⑵ ⑶ 0时,

物体的速度为多大?

解:⑴

1

B

3

⑵ 根据定积分的定义,用计算面积的方法,可得这段时间内力的冲量为

01

d (0.20.4)20N s 6N s 2

t

I F t ==+?=?g g

力的平均值为

6

N 15N Δ0.4

I F t =

== ⑶ 根据动量定理,有

0I m υ'm υ=-

所以

0631

m s 3m s 3

I m υυ'm ++?=

== 2-4 一颗子弹由枪口射出时速率为0m s υ,当子弹在枪筒内被加速时,它所受的合力为()N F a bt -=(a ,b 为常数),其中t 的单位为秒(s ).

⑴ 假设子弹运行到枪口处合力刚好为零,试计算子弹走完枪筒全长所需的时间; ⑵ 求子弹所受的冲量; ⑶ 求子弹的质量.

解:⑴ 子弹走完枪筒全长所需的时间t ,由题意,得()0F a bt =-=,所以

a

t b

=

⑵ 子弹所受的冲量

?-=-=t

bt at dt bt a I 022

1

)(

将t=

b

a

代入,得 b

a I 22=

⑶ 由动量定理可求得子弹的质量 2

00

2I a m υb υ==

2-9 质量为M 的人手里拿着一个质量为m 的物体,此人用与水平面成α角的速率0υ向前跳去.当他达到最高点时,他将物体以相对于人为u 的水平速率向后抛出.问:由于人抛出物体,他跳跃的距离增加了多少?(假设人可视为质点)

解:取如图所示坐标.把人与物视为一系统,当人跳跃到最高点处,在向左抛物的过程中.满足动量守恒,故有

()()0cos M m υαM υm υu +=+-

式中υ为人抛物后相对地面的水平速率,υu -为抛出物对地面的水平速率.得

0cos m

υυαu M m =+

+

的水平速率的增量为

0Δcos m

υυυαu M m

=-=

+

而人从最高点到地面的运动时间为

0sin υα

t g

=

所以,人跳跃后增加的距离

()0sin ΔΔm υα

x υt u M m g

==

+g

2-11 如图2-22所示,一质量为m 的滑块在

1

4

圆弧形滑槽中从静止滑下.设圆弧形滑槽的质量为M 、半径为R ,略去所有摩擦力.求当滑块m 滑到槽底时,滑槽M 在水平方向移动的距离.

图2-22 习题2-11用图

解:以m 和M 为研究系统,所受的外力为重力mg 、Mg 与地面对滑槽的支持力N ,如图所示,系统在水平方向不受外力,因此在水平方向动量守恒。设在下滑过程中,m 相对于M 的速度为υ,M 相对地的速度为V 。在水平方向有

()0x m υV MV --=

求解上式,得

x m M

υV m +=

设m 在滑槽上滑行的时间为t ,在水平方向相对于M 移动的距离为R ,即

d d t

t

x m M R υt V t m

+==

??

滑槽在水平方向移动的距离为

m

s R m M

=

+

第3章 功和能

习题参考答案:

3-1 作用在质点上的力为76=-F i j (SI 制),求:

⑴ 当一质点从原点运动到3416=++r i j k 时力F 所做的功; ⑵ 如果质点从原点运动到3416=++r i j k 处需0.6s ,试求平均功率. 解:⑴ 由题知,F 为恒力,

()() 76341645J A ?-++=-g =F r =i j i j k

⑵ 根据平均功率的定义式,得

45

75W Δ0.6

A P t =

== 3-2 质点在外力24y F =i +j 的作用下在一平面内运动(SI 制),求下列情况下,质点从2x =-运动到3x =处该力做的功.

⑴ 质点的运动轨迹为抛物线 2

4x y =; ⑵ 质点的运动轨迹为直线 46y x =+. 解:由 d d d d b

b

x y z a

a

A F x F y F z ?=

++?

?

=F r ,得

(1) 质点的运动轨道为抛物线2

4x y =时该力做的功为

22221

1

1

1

9

2

3

4121

d d 2d 4d d 4d 10.8J 2x y x y x y x y x y x A F x F y y x y x y -+=+=+=????

??=

(2) 质点的运动轨道为抛物线46y x =+时该力做的功为

2

2

2

21

1

1

1

93

42216

d d 2d 4d d 4d 21.25J 2

x y x y x y x y x y x A F x F y y x y x y -++=+=+=????

??=

3-4 质量为m 的木板B 静止在光滑桌面上,质量也为m 的物体A (A 可视为质点)放在木板B 的一端.现给物体A 一初始速度0υ使其在B 板上滑动,设A 、B 间的摩擦因数为μ,并设A 滑到B 的另一端时A 、B 恰好具有相同的速度.求B 板的长度L 及B 板走过的距离x .

解:A 向右滑动时,B 给A 一向左的摩擦力,A 给B 一向右的摩擦力,摩擦力的大小为μmg 。将A 、B 视为一系统,摩擦力是内力,因此系统水平方向动量守恒,设A 滑到B 的右端时二者的共同速度为υ,则有

02m υm υ=

解得 0

2

υυ=

再对A 、B 系统应用质点系动能定理并注意到摩擦力的功是一对力的功,可设B 不动,A 相对B 移动了B 的长度为L ,摩擦力的功应为μmgL -,代入质点系动能定理

22

11222

μmgL m υm υ-=

- 可得 2

4υL μg

=

为了计算B 板走过的距离x ,再单独对B 板应用质点的动能定理,此时B 板受的摩擦 力做正功μmgx

212

μmgx m υ=

得 20

8υx μg

=

3-19 一质量为1m 的弹丸,穿过如图3-29所示的摆

图3-29 习题3-19用图

锤后,速率由υ减少到

2

υ

.已知摆锤的质量为2m ,摆线长度为l ,如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动,弹丸的速度的最小值应为多少?

解:由水平方向的动量守恒定律,有

11

22

υ

m υm m υ'=+ 式中 υ'为摆锤在圆周最低点的运动速率

为使摆锤恰好能在垂直平面内作圆周运动,在最高点时,摆线中的张力T 0F =,则

2

22h

m υ'm g l

=

式中h υ'为摆锤在圆周最高点的运动速率.

又摆锤在垂直平面内作圆周运动的过程中.满足机械能守恒定律,故有

2222211222

h m υ'm υ'm gl =+ 联立上述三个方程求解,可得弹丸所需速率的最小值为 2

1

25m υgl m =

. 3-24 如图3-33所示,一个轻弹簧上端固定,下端系一个金属圆盘,弹簧伸长为

110cm l =.一个质量和圆盘相同的泥球,从高于盘底30cm h =处由静止下落到盘上.求

此盘向下运动的最大距离2l .

解:第一个过程为泥球自由下落过程。为从距离顶端为h 处自由落下,与盘碰撞前的速 度为υ,由机械能守恒,得

2

12

m υmgh = ○

1 第二个过程为泥球与盘碰撞过程。将盘和泥球看做一个系统,因二者之间的冲力远大于它们所受的外力(包括重力和弹簧的弹力),而且作用时间很短,可以认为动量守恒。设它们的质量均为m ,它们碰撞后结合在—起以共同的速度V 运动。沿y 方向的动量守恒定律的分量式为

2m υmV = ○

2 第三过程为泥球和盘共同下降的过程。选弹簧、泥球、盘和地

图3-33 习题3-24用图

球为系统。以泥球与盘共同开始运动为系统的始态,二者到达最低点时为末态。在此过程中只有重力、弹性力(均为保守力)做功,系统机械能守恒。以弹簧的原长为弹性势能的零点,以盘到达最低位置为重力势能的零点。则系统的机械能守恒表达式为

()()()2

22211211122222

m V m gl kl k l l ++++ ○

3 依题意,又由

1kl mg = ○4

将式○1、○2、○3、○4联立,代人数据,可得

230cm l = 或 210cm l =-(舍去)

所以第3章 功和能

思考题

3-1 人从静止开始步行,如鞋底在地面上不打滑,作用于鞋底的摩擦力是否做了功?人体的动能是从哪里来的?

答:作用于鞋底的摩擦力没有做功。 人体的动能是内力做功的结果。

3-2 力的功是否与参考系有关?一对作用力与反作用力所做功的代数和是否与参考系有关?

答:力的功与参考系有关。因为力的功是力沿受力点位移方向上的分量和受力点位移大小的乘积,而受力点位移是与参考系的选取有关的。一对作用力与反作用力所做功的代数和是与参考系无关的。因为一对作用力与反作用力所做功的代数和是与相对位移有关的,而相对位移却是与参照系选取有关。

3-3 外力对质点不作功时,质点是否一定作匀速直线运动?

答:外力对质点不作功时,质点不一定作匀速直线运动,有两种情况: (1)若合外力F =0,则质点将保持原来的运动状态不变。此即牛顿第一定律,原来静止的将仍然保持静止;原来作匀速直线运动的,将继续保持原有速度的大小和方向不变的匀速直线运动。

(2)若合外力F 与质点的位移d r 始终垂直,则合外力对质点不作功。如:用细绳连接着的小球在光滑水平面内作圆周运动,拉力不作功。此时的质点所作的是匀速率圆周运动,其动能虽然不变,但速度方向不断改变。

3-4 物体组成的一个系统,在相同时间内,作用力所作的功与反作用力所作的功是否一 定相等,二者的代数和是否一定等于零?

答:作用力与反作用力其位移不一定相等,所以作用力与反作用力的功大小不一定相等,二者代数和也不一定为零。

3-5 非保守力作功总是负的说法对吗?举例说明之.

答: 不对。一个物体放在水平传送带上,物体与传送带无相对滑动,当传送带作匀速运动时,静摩擦力对物体作功为零,当传送带作加速运动时,静摩擦力对物体作功为正,当传送带作减速运动时,静摩擦力对物体作功为负。

3-6 质点的动量和动能是否与惯性系的选择有关?质点的动量定理和动能定理是否与惯性系的选择有关?

答:质点的位移、速度是相对的,其值与惯性系的选取有关,所以与之相关的动量和动能与惯性系的选择有关。虽在不同的惯性参考系中,动量和动能各有不同的值,但在每个惯性参考系中都存在各自的动量定理和动能定理,这就是说,质点的动量定理和动能定理的形式与惯性系的选择无关。

3-7 合力对物体所做的功等于物体动能的增量,而其中一个分力做的功,能否大于物体动能的增量?

答:可以。因为合外力所做的功是指所有外力对物体所做功的代数和。其中正功使动能增加,负功使动能减少,相互间有抵消,因而有可能存在某一个分力做的功大于合力做的功,即大于物体动能的增量。

3-8 为什么重力势能有正负,弹性势能只有正值,而引力势能只有负值?

答 对于势能而言,只有相对意义,因而其值与参考位置(即零点) 的选择有关。 为了方便,一般重力势能的零位置选在地面。这样,高于地面的物体其重力势能为正值,低于地面的物体其重力势能为负值。弹性势能的零位置选在没有形变时的平衡位置,其表示式为

2

p 12

E kx =

,无论离平衡位置距离为正还是为弹屈性势能都为正。对于引力势能,如果其零 位置选在无穷远处,则其表示式为p Mm

E G r =-,显然为负。

3-9 在式(3-14) p p0P ()A E E E =--=-?中,我们已经知道保守力做的功等于质点势能增量的负值;若假定保守力做的功等于质点势能增量的正值,那又将如何呢?

答:势能是由于系统内各物体间具有保守力作用而产生的,因而它是属于系统的,当保守力做正功时,要消耗系统的势能。当保守力做负功时,系统的势能要增加。这就是式(3-14)

p p0P ()A E E E =--=-?中负号的含义。否则,保守力做正功时,不但不消耗势能,反而使

势能增加了,从而违背了自然界普遍遵循的基本定律——能量守恒和转换定律。

3-10 一物体可否只具有机械能而无动量?一物体可否只具有动量而无机械能? 答:机械能是系统作机械运动的动能和势能的总和。动能与物体相对参考系的运动速度

有关,势能则属于保守力系统,一物体所具有的势能,是相对势能零点而言的。

若为保守力系统,且物体相对参考系静止,那么物体的动能为零,动量也为零。该系统的机械能就是物体相对系统势能零点所具有的势能。所以,一物体可以有机械能而无动量。例如:一质量为 m 的物体(例如一气球)静止在相对地面为h 的高处,此时对于物体和地

球系统,具有的机械能为重力势能,其值为 mgh 。由于此时物体静止,故其动量为零。

在保守力系统中,若一物体运动至某一位置时所具有的动能值,恰等于该位置相对势能零点所具有的负的势能值,则该物体的机械能为零,而因物体具有动能,因而动量不为零。所以,一物体也可以有动量而无机械能。例如:物体自离地面高为h 处自由下落,取物体和地球为系统,并取下落处为重力势能零点。初始时刻系统的机械能为零,下落之地面时,物 体具有的速度大小为υ,动能为

2

12

m υ,动量大小为m υ,系统的机械能为零。 3-11 以相同的动能从同一地点抛出两个物体,试问在下列两种情况下到达最高点时这两

物体的动能是否相同?势能是否相同?

答:(1)两物体的动能相同,势能相同。 (2)两物体的动能不相同,势能也不相同。 3-12 质量相等的小球,分别从两个高度相同、倾角不同的光滑斜面的顶端由静止滑到底部,它们的动量和动能是否相等?

答:动量和动能都是量度物体机械运动的的物理量。动量m =P υ是矢量,沿速度的方向;动能2

k 12

E m υ=

是正值标量,它们的量值都与参考系无关。小球从光滑斜面下滑时,速度方向沿斜面,因此,两球到达底部时的动量方向不同。两小球从高度h 相同的斜面滑下时,取小球、光滑斜面和地球为系统。因机械能守恒,所以两球的动能相同,动量值也相等。

3-13 质点系的机械能定理与动能定理的区别是什么?

答:机械能定理从动能定理导出,形式上是动能定理的变形,但这两者分析问题的思路是有区别的.⑴如果取单个质点为研究对象时,应该使用质点的动能定理,其中力所做的功指的是作用在物体上的所有力所做的总功,必须计算包括重力、弹性力等保守力在内的一切力所做的功.⑵当我们取系统为研究对象时,可以运用质点系的动能定理也可以运用质点系

的机械能定理.在运用质点系的机械能定理时,由于应用了系统的势能这个概念,保守内力的功已经被系统的势能增量所取代,所以计算力做功时,应将保守内力所做的功除去.

3-14 用能量方法和用牛顿定律各自求解哪些力学问题较方便?哪些力学问题不方便? 答:牛顿定律是力的瞬时作用规律,在求解某一时刻对应的力、加速度及运动过程中的细节问题时,用牛顿定律较为直接。

若过程中物体间的相互作用关系复杂时,直接用牛顿定律处理会感到困难,但又制涉及始末状态就可以求解的问题,用能量的方法较容易,如求功、始末速度等和能量直接联系的量。很多情况两种方法结合使用,解决问题会更方便。

3-15 在完全弹性碰撞中,哪些量保持不变?在非完全弹性碰撞中哪些量保持不变? 答:完全弹性碰撞中,动量守恒,动能守恒;在非完全弹性碰撞中只有动量守恒。

习题

3-1 作用在质点上的力为76=-F i j (SI 制),求:

⑴ 当一质点从原点运动到3416=++r i j k 时力F 所做的功; ⑵ 如果质点从原点运动到3416=++r i j k 处需0.6s ,试求平均功率. 解:⑴ 由题知,F 为恒力,

()() 76341645J A ?-++=-g =F r =i j i j k

⑵ 根据平均功率的定义式,得

45

75W Δ0.6

A P t =

== 3-2 质点在外力24y F =i +j 的作用下在一平面内运动(SI 制),求下列情况下,质点从2x =-运动到3x =处该力做的功.

⑴ 质点的运动轨迹为抛物线 2

4x y =; ⑵ 质点的运动轨迹为直线 46y x =+. 解:由 d d d d b

b

x y z a

a

A F x F y F z ?=

++?

?

=F r ,得

(1) 质点的运动轨道为抛物线2

4x y =时该力做的功为

22221

1

1

1

9

2

3

4121

d d 2d 4d d 4d 10.8J 2x y x y x y x y x y x A F x F y y x y x y -+=+=+=????

??=

(2) 质点的运动轨道为抛物线46y x =+时该力做的功为

2

2

2

21

1

1

1

9

3

42216

d d 2d 4d d 4d 21.25J 2

x y x y x y x y x y x A F x F y y x y x y -++=+=+=????

??=

3-3 一物体在介质中按规律3

x ct =作直线运动(SI 制),c 为常量.设介质对物体的阻力正比于速度的平方.试求物体由00x =运动到x L =时,阻力所作的功(已知阻力系数为

k ).

解:由3

x ct =,得2d 3d x

υct t

=

= ,所以介质对物体的阻力 42

4

3

2

24

2

33999x f k υkc t kc kc x c ??

==== ???

阻力所作的功为

2427

2

7

333

3

330

327d 9d 97

7

L

L L

A f x kc x x kc x kc L =-=-=-=-??

3-4 质量为m 的木板B 静止在光滑桌面上,质量也为m 的物体A (A 可视为质点)放在木板B 的一端.现给物体A 一初始速度0υ使其在B 板上滑动,设A 、B 间的摩擦因数为μ,并设A 滑到B 的另一端时A 、B 恰好具有相同的速度.求B 板的长度L 及B 板走过的距离x .

解:A 向右滑动时,B 给A 一向左的摩擦力,A 给B 一向右的摩擦力,摩擦力的大小为μmg 。将A 、B 视为一系统,摩擦力是内力,因此系统水平方向动量守恒,设A 滑到B 的右端时二者的共同速度为υ,则有

02m υm υ=

解得 0

2

υυ=

再对A 、B 系统应用质点系动能定理并注意到摩擦力的功是一对力的功,可设B 不动,A 相对B 移动了B 的长度为L ,摩擦力的功应为μmgL -,代入质点系动能定理

22011222

μmgL m υm υ-=

- 可得 2

4υL μg

=

为了计算B 板走过的距离x ,再单独对B 板应用质点的动能定理,此时B 板受的摩擦

图3-20 习题3-6用图

大学物理上册答案

力做正功μmgx

212

μmgx m υ=

得 20

8υx μg

=

3-5 用铁锤将一铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比.在铁锤击第一次时,能将铁钉击入木板内1cm ,问击第二次时能击入多深?假设每次锤击铁钉前的速度相等,且锤与钉的碰撞为完全非弹性碰撞.

解:以木板上界面为坐标原点,向木板内为y 坐标正向,则铁钉所受阻力为f ky =-,依题意每次锤击铁钉前的速度相等,故有动能定理有

2

2

110k 0

1100d d y

f E A ky y ky y --??-==-=-?

?

解得

大学物理上册答案

210m y -=

所以第二次能击入的深度为

(

大学物理上册答案

))

2222110m 110m =0.41410m y y ---=-?=

??

3-6 如图3-20所示,一个物体放在倾角为α的长斜面上,斜面与物体间的摩擦系数为μ,当我们沿斜面向上给物体以冲量时,使物体在P 点获得初速度υ,若物体可以返回至P 点.求物体返回至P 点时的速度υ的大小?

解:因物体在沿斜面上升过程中,压力不作功,而重力和摩擦力都作负功,所以,物体的动能一定是逐渐减少,直到为零,这时速度也为零,物体达到最高点。在这之后,它从最高点的静止状态能否下滑?这取决于斜面的倾角,只有tan α大于μ时,物体才能下滑。如果本题满足这一条件,就意味着αsin mg 大于αμcos mg ,作用于物体的合力沿斜面向下,在下滑过程中,合力的功大于零,即物体的动能将会由逐渐增加,物体的速度越来越大,物体也就一定能回到出发点P 。

设点P 到最高点沿斜面的距离为l ,根据动能定理,从P 到到最高点过程中,有

2

1sin cos 02

A mgl αμmgl αm υ=--=-

解得 20

2(sin cos )

υl g αμα=+

物体从P 至最高点,再回至P 点的整个运动过程中,运动路径为2l (它与摩擦力的功有关),位移为零(它说明重力所作总功为零)。根据动能定理,有

22

112cos 22

A μmgl αm υm υ=-=- 将l 代入上式,便可解得物体返至P 点时的速率为

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υυ=3-7 一汽车的速度036km h υ=,驶至一斜率为0.010的斜坡时,关闭油门.设车与路面间的摩擦阻力为车重G 的0.05倍,问汽车能冲上斜坡多远?

解:取汽车为研究对象。汽车上坡时,受到三个力的作用:一是沿斜坡方向向下的摩擦力f ,二是重力G ,方向竖直向下,三是斜坡对物体的支持力N 。设汽车能冲上斜坡的距离为s ,此时汽车的末速度为0。根据动能定理

2

1sin 02

f s Gs αm υ-?-=- 上式说明,汽车上坡时,动能一部分消耗于反抗摩擦力作功,一部分消耗于反抗重力作功。因1f =μN μG =,所以

2

101sin 2

μG s Gs αm υ+=

按题意斜坡与水平面的夹角很小,所以sin tan αα≈,1G G mg ≈=,上式可化成

2

012

μgs gstg αυ+= 即 20

2()

υs g μtg α=+

代入已知数据得

22

010m 85m 2()29.8(0.050.010)

υs g μtg α===+??+

3-8 质量为 3.0 kg 的质点受沿x 正方向的力作用,已知质点的运动方程为

2334x t t t =-+(SI 制),求力在最初4.0 s 内做的功.

解:由动力学方程得质点的速度:

2d 383d x

υt t t

=

=-+ 则质点的动能为

()222k 11

3.038322

E m υt t ==??-+

根据动能定理,力在最初4.0 s 内做的功

()()()222k k k 1Δ 4.00 3.038 4.03 4.03J 528J 2

A E E E ??==-=??-?+?-=???? 3-9 如图3-21所示,一质量为 M 的木块静止于光滑的水平面上,一质量为m 的子弹沿水平方向以速度0υ射入木块内一段距离d 后停止于木块内.假设木块对子弹的阻力是恒定不变的,求子弹与木块一起运动的速度υ及子弹相对于木块静止时,木块滑动的距离L .

解:子弹与木块作为一个系统,水平方向不受力,其动量守恒。设子弹相对于木块静止时,一起运动的速度为υ,由动量守恒定律,得

()0m υm M υ=+

子弹与木块间的作用力为f ,此力为恒力,对木块应用动能定理,有

21

2

fL M υ=

对子弹应用动能定理,有

()22

1122

f d L m υm υ-+=- 联立求解

0m υυm M =

+ m

L d m M

=+

3-10 有一保守力()2

Ax Bx -+F =i (SI 制),沿Ox 轴作用于质点上,式中A 、B 为常

量.

⑴ 取0x =时P 0E =,试计算与此力相应的势能; ⑵ 求质点从2m x =运动到3m x =时势能的变化.

图3-21 习题3-9用图

解:⑴ 已知0x =时P 0E =,则x 处的势能为

()00

223p 0d d 23

x x x

x

A B E A x Ax Bx x x x ===-+=

-??g F i ⑵ 当质点从2m x =运动到3m x =时势能的增量为

p p

p

3

2

519Δ23

x x A B E E E ===-=

-

3-11 一双原子分子的势能函数为

126

00p 0()2r r E r E r r ??

????=-?? ? ????????

?

式中r 为两原子间的距离,试证明:

⑴ r 0为分子势能极小时的原子间距; ⑵ 分子势能的极小值为﹣E 0; ⑶ 当p ()0E r =时,原子间距离为6

2

r ;

⑷ 画出势能曲线简图.

证明:⑴ 当

2P P 2

d ()d ()

0,0d d E r E r r r =>时,有P min ()E r 1151260000P 00137()d

[()2()]12()0d r r r r dE r E E dr r r r r r

=-=-+= 即 50110)()(

r

r

r r =,而0r > 所以 0r r =

115200P 02148d ()12(137)d r r E r E r r r =-,当0r r =时,20P 0

2333

00072d ()137

12()0d E E r E r r r r =-=> ∴ 0r r =时,P ()E r 取最小值。 ⑵ 当0r r =时,060

012000min ])(2)[(

)(E r r

r r E r E P -=-= ⑶ 由12

6

00P 0()[()2()]0r

r E r E r

r

=-=,得 0)(2)(

60120=-r r r r ,即2)(60=r

r

所以

r =

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(4)势能曲线简图如右图所示。

3-12 在图3-22中,一个质量2kg m =的物体从 静止开始,沿四分之一的圆周从A 滑到B .已知圆 的半径4m R =,设物体在B 处的速度6m υ=, 求在下滑过程中,摩擦力所作的功.

解:下滑过程中,物体受重力G 、摩擦力f 和正压力N 的作用, f 与 N 都是变力,N 处处和物体运动方向相垂直,所以它不做功,但摩擦力做的功却因它是变力而使计算复杂起来。

采用功能原理进行计算较为简便,把物体和地球作为系统,则物体在A 点时系统的能量E A 是系统的势能mgR ,而在B 点时系统的能量E B 则是动能2

2m υ,它们的差值就是摩擦力

所做的功,因此

2211

2629.84J 42.4J 22

B A A E E m υmgR J =-=

-=??-??=- 负号表示摩擦力对物体作负功,即物体反抗摩擦力作功42.4 J

3-13 如图3-23所示,一劲度系数为k 的弹簧,其一端固定在A 点,另一端连一质量为m 的物体,靠在光滑的半径为a 的圆体表面上,弹簧原长为AB ,在变力F 作用下,物体极缓慢的沿表面从位置B 移到C ,求力F 做的功

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解:选点B 处系统的重力势能、弹性势能为零,由题意知点B 处系统的机械能p 0B E =,

图3-22 习题3-12用图

图3-23 习题3-13用图

点C 处系统的机械能22

p 1sin 2

C

E mga θka θ=+

,利用机械能定理,得力F 做的功为 221

sin 2

F A mga θka θ=+

3-14 如图3-24所示,有一自动卸货矿车,满载时的质量为1m ,从与水平面成倾角30α=o 斜面上的点A 由静止下滑.

设斜面对车的阻力为车重的0.25倍,矿车下滑距离l 时,矿车与缓冲弹簧一道沿斜面运动.当矿车使弹簧产生最大压缩形变时,矿车自动卸货,然后矿车借助弹簧的弹性力作用,使之返回原位置A 再装贷.试问要完成这一过程,空载时与满载时车的质量之比应为多大?

解:取沿斜面向上为x 轴正方向.弹簧被压缩到最大形变时弹簧的上端为坐标原点O .矿车在下滑和上行的全过程中,按题意,摩擦力所作的功为

()()210.250.25f A m g m g l x =++ ○

1 式中1m 、2m 分别为矿车满载和空载时的质量,x 为弹簧最大被压缩量. 根据功能原理,在矿车运动的全过程中,摩擦力所作的功应等于系统机械能 增量的负值,故有

()k p ΔΔΔf A E E E =-=-+

由于矿车返回原位时速度为零,故k Δ0E =,而()()p 21Δsin E m m g l x α=-+,故有

()()21sin f A m m g l x α=--+ ○

2 ○

1、○2两式联立,解得 211

3

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m m = 3-15 如图3-25所示,一质量为1m 的物块放置在固定不动的斜面的最底端A 处,斜面的倾角为α,高度为h ,物块与斜面的动摩擦因数为μ,今有一质量为2m 的子弹以速度0υ沿水平方向射入物块并留在其中,且使物块沿斜面向上滑动,求物块滑出顶端时的速度大小.

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