必修4__三角函数知识点归纳总结
《三角函数》
【知识网络】
一、任意角的概念与弧度制
1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角
2、同终边的角可表示为{}()360k k Z ααβ?=+∈
x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈
y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈
3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα??+<<+∈
第二象限角：{
}()90360180360k k k Z αα??+<<+∈
第三象限角：{
}()180360270360k k k Z αα??+<<+∈
第四象限角：{
}()270360360360k k k Z αα??+<<+∈
4、区分第一象限角、锐角以及小于90
的角
第一象限角：{}()036090360k k k Z αα??+<<+∈
锐角：{}
090αα<< 小于90
的角：{
}
90αα<
任意角的概念
弧长公式 角度制与 弧度制 同角三角函数的基本关系式 诱导 公式 计算与化简 证明恒等式
任意角的 三角函数 三角函数的 图像和性质 已知三角函数值求角
和角公式 倍角公式 差角公式 应用
应用 应用 应用
应用 应用 应用
5、若α为第二象限角，那么
2
α
为第几象限角？ ππαππ
k k 222
+≤≤+
ππ
α
ππ
k k +≤
≤
+2
2
4
,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k
所以2
α
在第一、三象限
6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad .
7、角度与弧度的转化：01745.01801≈=?π 815730.571801'?=?≈?=π
8、角度与弧度对应表： 角度 0? 30? 45? 60? 90 120? 135? 150? 180? 360? 弧度
6π 4π 3π 2
π 23
π
34
π 56
π π
2π
9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211
22
S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制.
二、任意角的三角函数
1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y
x
α=
其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，22r x y =+.
2、三角函数值对应表：
3、三角函数在各象限中的符号
度
0 30 45 60 90 120 135 150 180
?
270
360 弧度
6
π 4
π 3
π 2π 23π 34π 56π π
32
π 2π
sin α 0 12
22 32 1
32 22
12
1
cos α
1
32 22
12
12
- 2
2-
32-
1-
1
tan α 0 33
1 3
无
3- 1- 33
-
无
r
y)
(x,α
P
口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c”）
sinαtanαcosα
第一象限：0
,0
.>
>y
x sinα>0,cosα>0,tanα>0,
第二象限：0
,0
.>
x sinα>0,cosα<0,tanα<0, 第三象限：0 ,0 .< x sinα<0,cosα<0,tanα>0, 第四象限：0 ,0 .< >y x sinα<0,cosα>0,tanα<0, 4、三角函数线 设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P(,) x y，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点(1,0) A作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交于点T. 由四个图看出： 当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段, OM x MP y ==，于是有 sin 1 y y y MP r α====，c o s 1 x x x OM r α==== ， tan y MP AT AT x OM OA α====． 我们就分别称有向线段,, MP OM AT为正弦线、余弦线、正切线。 5、同角三角函数基本关系式 o x y M T P A o x y M T P A x y o M T P A x y o M T P A （Ⅳ） （Ⅱ）（Ⅰ） （Ⅲ） 22sin cos 1αα+= sin tan tan cot 1cos α αααα = ?= ααααcos sin 21)cos (sin 2+=+ ααααcos sin 21)cos (sin 2-=- (ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin ?，三式之间可以互相表示) 6、诱导公式 口诀：奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是α π+2n 中整数n 的奇偶性，把α看作锐角) 212(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n n co n απαα-?-?+=??-?为偶数为奇数；21 2(1)s ,s()2(1)sin ,n n co n n co n απαα+? -?+=??-? 为偶数为奇数 . ①.公式（一）：α与()2,k k Z απ+∈ απαsin )2sin(=+k ；απαcos )2cos(=+k ；απαtan )2tan(=+k ②.公式（二）：α与α- ()sin sin αα-=-；()cos cos αα-=；()tan tan αα-=- ③.公式（三）：α与πα+ ()sin sin παα+=-；()cos cos παα+=-；()tan tan παα+= ④.公式（四）：α与πα- ()sin sin παα-=；()cos cos παα-=-；()tan tan παα-=- ⑤.公式（五）：α与 2 π α+ sin cos 2παα??+= ???；cos sin 2παα?? +=- ??? ； ⑥.公式（六）：α与 2 π α- sin cos 2παα??-= ???；cos sin 2παα?? -= ??? ； ⑦.公式（七）：α与 32 π α+ 3sin cos 2παα??+=- ???；3cos sin 2παα??+= ??? ； ⑧.公式（八）：α与 32 π α- 3sin cos 2παα??-=- ???；3cos sin 2παα??-=- ??? ； 三、三角函数的图像与性质 1、将函数sin y x =的图象上所有的点，向左（右）平移 ?个单位长度，得到函数 ()sin y x ?=+的图象；再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到 原来的 1 ω 倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数() sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数 ()sin y A x ω?=+的图象。 2、函数()()sin 0,0y A x A ω?ω=+>>的性质： ①振幅：A ；②周期：2T π ω = ；③频率：12f T ω π = =；④相位：x ω?+；⑤初相：?。 3、周期函数：一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，T 叫做该函数的周期. 4、⑴)sin(?ω+=x A y 对称轴：令2x k π ω?π+=+ ，得ω ? π π-+ = 2 k x 对称中心：π?ωk x =+，得ω?π-=k x ，))(0,(Z k k ∈-ω ? π； ⑵)cos(?ω+=x A y 对称轴：令π?ωk x =+，得ω ? π-=k x ； 对称中心：2ππ?ω+=+k x ，得ω?ππ-+=2k x ，))(0,2(Z k k ∈-+ω ?ππ； ⑶周期公式: ①函数sin()y A x ω?=+及cos()y A x ω?=+的周期ω π 2= T (A 、ω、?为常数，且A ≠0). ②函数()φω+=x A y tan 的周期ω π = T (A 、ω、?为常数，且A ≠0). 5、三角函数的图像与性质表格 sin y x = cos y x = tan y x = 图像 定义域 R R ,2x x k k Z ππ??≠+∈???? 值域 []1,1- []1,1- R 最 值 当22 x k π π=+ ()k Z ∈时， max 1y =； 当22 x k π π=- ()k Z ∈时， min 1y =-． 当()2x k k Z π=∈时， max 1y =；当2x k ππ=+ ()k Z ∈时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,222k k ππππ??-++???? ()k Z ∈上是增函数； 在32,222k k ππππ??++? ??? ()k Z ∈上是减函数． 在[]() 2,2k k k Z πππ-+∈上是增函数； 在[]2,2k k πππ+()k Z ∈ 上是减函数． 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? ()k Z ∈上是增函数． 对 称性 对称中心()(),0k k Z π∈ 对称轴()2 x k k Z π π=+ ∈ 对称中心 (),02k k Z ππ??+∈ ??? 对称中心(),02k k Z π?? ∈ ??? 无对称轴 函 数 性 质 对称轴()x k k Z π=∈ 6. 五点法作)sin(?ω+=x A y 的简图，设?ω+=x t ，取0、2π、π、2 3π、π2来求相应x 的值以及对应的y 值再描点作图。 7. )sin(?+ω=x A y 的的图像 8. 函数的变换： （1）函数的平移变换 ①)0)(()(>±=→=a a x f y x f y 将)(x f y =图像沿x 轴向左（右）平移a 个单位 （左加右减） ②)0()()(>±=→=b b x f y x f y 将)(x f y =图像沿y 轴向上（下）平移b 个单位 （上加下减） （2）函数的伸缩变换： ①)0)(()(>=→=w wx f y x f y 将)(x f y =图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的 w 1
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