2021年高考模拟考试理科数学试卷(3) 含答案
2021年高考模拟考试理科数学试卷（3）含答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、图中阴影部分表示的集合是（）
A． B．
C． D．
2、已知，，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（）
A． B．
C． D．
3、已知，，且，则（）
A．B．或C．D．
4、阅读如图的程序框图，若输入，，则输出（）
A．B．C．D．
5、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）
A．B．
C．D．
6、设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7、已知实数，满足约束条件，若的最小值为，则实数（）
A．B．C．D．8、设定义在上的函数，，则当实数满足时，函数的零点个数为（）A．B．C．D．二、填空题（本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（9～13题）
9、图中阴影部分的面积等于．
10、在边长为的正方形的内部任取一点，使得点到正方形各顶点的距离都大于的概率是．
11、某几何体的三视图如下图所示：
其中正视图和侧视图都是上底为，下底为，高为的等腰梯形，则该几何体的全面积为．
12、已知圆，直线（），圆心到直线的距离等于，则的值为．
13、如图所示，椭圆中心在坐标原点，为左焦点，当时，该椭圆被称为“黄金椭圆”，其离心率为．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率等于．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14、（几何证明选讲选做题）如图，，，，且，，，则．
15、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点与曲线（）上的点的最短距离为．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
16、（本小题满分12分）在中，角、、所对的边分别为、、，
且．
求的值；
若，，求的值．
17、（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者得分，负者得分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．
求甲获第一名且丙或第二名的概率；
设在该次比赛中，甲得分为，求的分布列和数学期望．
18、（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为边的中点，与平面所成的角为，且，．
求证：平面；
求二面角的余弦值的大小．
19、（本小题满分14分）已知数列是各项均不为的
等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．数列满足，为数列的前项和．
求、和；
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
是否存在正整数，，使得，，成等比数列？若存在，求出所有，的值；若不存在，请说明理由．
20、（本小题满分14分）已知点，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
设是曲线上的动点，直线，分别交直线于点，，线段的中点为，求直线与直线的斜率之积的取值范围；
在的条件下，记直线与的交点为，试探究点与曲线的位置关系，并说明理由．
21、（本小题满分14分）已知函数（，）在处取得极值．
求的解析式；
设是曲线上除原点外的任意一点，过的中点且垂直于轴的直线交曲线于点，试问：是否存在这样的点，使得曲线在点处的切线与平行？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
设函数，若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
（一）必做题（9～13题）
9、10、11、12、13、
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分）
14、15、
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
16、解：在△中，………………………………………1分
所以………………………………………………………2分
．……………………………………………………3分
所以…………………………………………………………5分
．……………………………………………………………………7分因为，，，
由余弦定理，…………………………………………9分得．……………………………………………………………………11分
解得．…………………………………………………………………………12分17、解：甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，
∴甲获第一的概率为……………2分
丙获第二，则丙胜乙，其概率为…………4分
∴甲获第一名且丙获第二名的概率为……………6分
ξ可能取的值为O、3、6…………………………7分
甲两场比赛皆输的概率为……8分
甲两场只胜一场的概率为………9分
甲两场皆胜的概率为……………lO分
18、证明：因为底面，
所以，∠SBA是SB与平面ABCD所成的角…………………1分
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1易求得，AP=PD=，…………………3分
又因为AD=2，所以AD2=AP2+PD2，所以. ………4分
因为SA⊥底面ABCD,平面ABCD,
所以SA⊥PD, …………………………………………5分
由于SA∩AP=A
所以平面SAP．…………6分
设Q为AD的中点,连结PQ, …………………7分
由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD,
则平面SAD⊥平面PAD …………………8分
,PQ⊥平面SAD，SD平面SAD,
.
过Q作QR，垂足为，连接，则.
又，
∠PRQ是二面角A－SD－P的平面角．…………10分容易证明△DRQ∽△DAS,则.
因为，，
所以. …………………12分
在Rt△PRQ中，因为PQ=AB=1，,
所以. …………………13分
所以二面角A－SD
－P的余弦为．…………………14分
解法二：因为底面，
所以，∠SBA是SB与平面ABCD所成的角. (1)
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1
建立空间直角坐标系（如图）
由已知，P 为BC 中点． 于是A （0,0,0）、B （1,0,0） 、P （1,1,0）、D （0,2,0）、S （0,0,1）…………3分
易求得, ，． …………………4分 因为，. 所以，.
由于，所以平面. …………………6分 设平面SPD 的法向量为. 由,得解得，
所以. …………………8分
又因为AB ⊥平面SAD ，所以是平面SAD 的法向量， 易得. …………………9分
所以,1AB n COS AB n AB n
?<>===
?…………………13分 所以所求二面角的余弦值为．…………………14分 19、解：（法一）在中，令，，
得 即 ……………………………………2分 解得，， ………………………………………3分 ．
111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+，
111111(1)2335212121n n
T n n n ∴=-+-++-=
-++． ……………………5分 （法二）是等差数列，
． …………………………2分 由，得 ， 又，，则． ………………………3分 (求法同法一)
①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立． ………………………………6分 ，等号在时取得．
此时 需满足． …………………………………………7分 ②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立． …………………………………8分 是随的增大而增大， 时取得最小值．
此时 需满足． …………………………………………9分 综合①、②可得的取值范围是…………………………………………10分 ，
若成等比数列，则，即．…11分 （法一）由， 可得，
即， …………………………………12分
．……………………………………13分又，且，所以，此时．
因此，当且仅当，时，数列中的成等比数列………14分
（法二）因为，故，即，
，（以下同上）．…………………………………………13分20、解：设动点，则(且)
所以曲线的方程为().…………………………………………4分
法一：设，则直线的方程为，令，则得，直线的方程为，
令，则得，…………………………6分
∵=
∴，∴…………………………………………8分
故
∵，∴，
∴，
∴，
∴直线与直线的斜率之积的取值范围为………………………10分法二：设直线的斜率为，则由题可得直线的斜率为，
所以直线的方程为，令，则得，
直线的方程为，令，则得，
∴，
∴………………………………………………………8分
故
∴直线与直线的斜率之积的取值范围为……………………10分法一：由得，，
则直线的方程为，直线的方程为
由
(2)
3(2)
3
(2)
2
y
y x
x
y
y x
x
?
=+
?-
?
?
?=-
?+
?
，解得
58
25
3
25
x
x
x
y
x
x
-
?
=
?-
?
?
?=
?-
?
即……………12分
∴
∴点在曲线上.…………………………………14分
法二：由（2）得，
∴，……………………12分
∴
∴点在曲线上.…………………………………………………………14分法三：由（2）得，，，
∴，……………………………12分
∴∴点在曲线上.……………………14分
21、解：
()()()()
()
222
2
2
2
2
,2mx
f x x n
m x n mx x
mn mx f x x
n x
n =++-?-'∴=
=
++………2分
又在处取得极值2.
()()()22
(1)
01040(1)
(11122,141
m n f m m n n n f m n x
f x x -?=?'=?==??+??∴????==-=?????=?+?∴=+ 即 解得或舍去）
………………4分 由得
假设存在满足条件的点A,且，则………………6分
()()()(
)2
02
002222
00
2
042
00022200
2
00044164224121644,,5421440,,5OA
x x x f x x x x k f x x x x x x x ??- ?-????'== ?????+??+?? ???????-??'==∴= ?+??
+≠∴==依题意得即………………8分 所以存在满足条件的点A ，此时点A 是坐标为或……9分 ，令.
又时，，的最小值为-2………………………11分 对于任意的，总存在，使得 当时，最小值不大于-2 又
当 时，的最小值为，由
得………………………………………12分 当时，最小值为，由，得 当时，的最小值为 由，得或，又，
所以此时不存在.………………………………13分 综上，的取值范围是………………………14分 解法二：解法过程同上可求出f(x)的最小值为-2
对于任意的，总存在，使得 当时，有解 ，即在有解 设
()()()()()
()()[]
2
2222242424210,-12;
0,21
22202122010,10,10,10,23
11322011a a a a a a a a a a x ax a x a x ax a x h a a h a
a a
x ax a ?=--+=--=-+??===-=-++≤==--++≤=-???
-??-????
???--++≤-由得由得或时，由，解得，由，解得由知不存在由解得综上，当时，在，上无解
所以当或时，
(3)解法三：解法过程同上可求出f(x)的最小值为-2 对于任意的，总存在，使得 当时，有解
[]
[]()(]()(]
(]()()(]()()2
29221,,3,14193,0,2499224,31
9
004
199012,2,0149
01,10
01112t t x t at t t a t t t t t t t a t a t a t h x t t t t t h x t
h t h t h ++-=≥∈??
∈-≤++ ?
??
??
??++=--+-≤-=- ???????∴≤-=≥∴??
∈≥++=++∈ ???'∈=-∴≥=令则当时当且仅当时，等号成立当时，不成立，不存在
当，时，设，，在，为减函数3
a ≥，从而
综上，的取值范围是- 39633 9AD1 髑24898 6142 慂27493 6B65 步;/23644 5C5C 屜32851 8053 聓q j38209 9541 镁'27131 69FB 槻