高等数学B试卷答案(1) 2
专业 班级 学号 姓名 东华理工大学2013 —2014 学年第 2 学期考试试卷
《高等数学BI 》课程（重修） 闭卷 课程类别：考试 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 分数 评卷人
一、单项选择题(本大题分8小题, 每小题２分, 共16分)
1
0010000
1cos )(11
>≥>≥=?????=≠=-k D k C k B k A k x x x x x x f k ． ． ． ． ）的最大的取值范围是（点连续，则 ，在 ，
，、若函数 D
2、设当0→x 时，)1ln()cos 1(2
x x +-是比n
x x sin 高阶无穷小；而n
x x sin 又是比
)1(2
-x e 高阶的无穷小，则=
n 。 A
5432． ． ． ．D C B A
3、下列说法中，正确的是
。
C
．
A )]'([)('00x f x f =； ．
B 若)(x f 在x 0处不可导，则在x 0处必不连续； ．
C 若)(x f 在x 0处不连续，则)('0x f 必不存在；
．
D 若曲线y=)(x f 在x 0处存在切线，则)('0x f 必存在。 4、设===2
23
2
,,dy
x
d t y t x 则 。 D ．A 432t
．B 492t ．C 432t - ．D 492t
-
5、下列说法中，正确的是
。 B
．
A 若()[,],(,),(,),'()0f x a b a b a b f ξξ∈=在有定义在可导则必存在使； ．
B 若0)('),,(),(lim )(lim ,],[)(0
0=∈=-→+→ξξf b a x f x f b a x f b x a x 使则存在且内可导在； ．C 若0)('),,(),()(,],[)(=∈=ξξf b a b f a f b a x f 使则必存在在连续在；
．D 使内存在一点则在可导在上连续在与,),(,),(,],[)()(ξb a b a b a x g x f )
(')(')
()()()(ξξg f a g b g a f b f =
--
。
6、函数)(x f 在点x =0的某邻域内具有连续的二阶导数，且则,0)0('')0('==f f A 。
．A 为拐点时))0(,0(1sin )
(''lim 0
f x x f x =→； ．B 点（0，f (0)）为曲线y=f (x )的拐点； ．C 当为拐点时))0(,0(1cos )
(''lim 0f x x f x =→； ．D 点的零点为)(0x f x x =。
7、==?
I xdx I 则设,sec 3
。 B
c
x x x x D c x x x x C c x x x x B c x x x x A +?-+-+?-++?+++?-
+sec tan 21)tan ln(sec 21;sec tan 21)tan ln(sec 21sec tan 2
1)tan ln(sec 21;sec tan 21tan sec ln ．． ．．8、是等价无穷小，的导数与时，若已知20
22d )()()(0x t t f t x x F x x
?
''-=
→
='')0(f 则 。 C
4
1
211
1． ．
． ．D C B A - 二、填空题（(本大题分8小题, 每小题3分, 共24分)
1、求()πππn n n n n n ++???++++∞→222
2
222lim = 2 。 2、设函数1)0(='f ，则=--→h
h f h f h )4()2(lim 0
6 。
3、函数y=y(x) 由方程y e +xy=e 所确定, 则y (0)''=。2
1e
专业 班级 学号 姓名 4、?
∞+-2
)
1(p
x dx
，当p 1≤ 时发散。
5、.当x >0,则曲线x
x y 1
sin 2=的渐近线为 2=y 。
6、函数x x y -+=1 在[-5,1]上的最大值为
4
5 。 7、________________)1ln(1
1
24=++?-dx x x x 。0
8、由曲线2x y =与x y =2所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积
=V 。
10
3π
三、（本题12分) 求极限
（1）3
1
)63(
lim -∞→++x x x
x 解：3
1
633631)631()63(-+-
?-+-+-+=++x x x x x
x x . …………2分 因为
e x x x =+-+-
+∞→36)631(l i m , 13163lim
-=-?+-∞→x x x , …………4分 所以13
1
)63(
lim --∞→=++e x
x x x .…………6分 （2）x
e e x
x x sin lim 0-→-
解
x
e e x x x sin lim 0-→- =x e
e x
x x cos lim
0-→+…………4分
21
2
==
…………6分
四、（本题10分）设()f x 在[0,2]a 上连续，且(0)(2)f f a =，证明在[0,]a 内至少
存在一点ξ，使得()()f f a ξξ=+
证明：()()()F x f x a f x =+-令，…………2分 显然()F x 在[0,]a 上连续。注意到(0)(2)f f a =，
故(0)()(0)()(2)()(0)()(0)F f a f F a f a f a f f a F =-=-=-=-，。…………5分 若(0)()0(0)()=(2)F F a f f a f a a ξξ===，即，则可取=0，=， 使得()()f f a ξξ=+；…………7分
若(0)0(0)(2)0F F F a ≠<，则，故由零点定理可知，至少存在一点(0,)a ξ∈，使得()()f f a ξξ=+。…………10分
五、（本题8分）
?
-+.2
32d 2x x x
x 求
??+-=-+)
2)(12(232:2x x xdx
x x xdx 解…………3分
dx x dx x ??++-=
21
5212151 …………6分
.2ln 5
2
12ln 101c x x +++-=…………8分
专业 班级 学号 姓名 六、（本题8分）．
计算积分?
+1
)1ln(2dx x x 。 解：?+=1
02
)2
()1ln(2x d x 原式 …………2分
?+-+=102
1
021
)1ln(22dx x x x x …………4分
?+
+--=1
0)1
1
1(2ln dx x x …………6分
1
02)1ln(22ln ??????++--=x x x 2
1
=…………8分
七、（本题8分）证明：当1x >时，x x x x ln )1ln()1(>++。
八、(本题7分) 确定函数y =x 3-5x 2+3x -5的单调区间、极值点和拐点。
解 y '=3x 2-10x +3, y ''=6x -10. 令y '=0, 得x =3, x =1/3;y ''=0, 得3
5
=x .
x (-∞, 1/3)
1/3 (1/3,5/3) 5/3 (5/3, 3) 3 (3, +∞) y ' + 0 - -
- 0 + y '' - -
- 0
+ + + y =f (x )
↗?
2714
4
- 极大值
↘?
)27
79- ,35( 拐点
↘?
-8 极小值
↗?
所以单调增加区间：(-∞, 1/3)，(3, +∞)； 单调减少区间：(1/3,3)；
极大值点x =1/3，极小值点x =3；
曲线在]35 ,(-∞内是是凸的, 在) ,35
[∞+内是凹的, 拐点为)27
79- ,35(.
九、(本题7分) 求微分方程'-+=-y e e x y
x
通解。 解 因为
d d ()y x
e e x y =--1 故 --=--d d y
e e x y x 1
…………2分 即 --=-e y
e
e x y y
x d d 1…………4分 两边积分得 C e e x
y
+-=-)1ln( …………6分
)
exp(1)exp(1C e e C e e x
y
x y +--=+-=-
…………7分