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【典型题】高中必修二数学下期末试卷(及答案)(1)

一、选择题

1．如图，在ABC 中，90BAC ?∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（）

A ．5

B ．6

C ．8

D ．10

2．已知集合{

}

20A x x x =-->，则

A =R

A ．{}

12x x -<< B ．{}

12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-?

D ．}{}{

|1|2x x x x ≤-?≥

3．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A

B C =

A ．{1,1}-

B ．{0,1}

C ．{1,0,1}-

D ．{2,3,4}

4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若

sin 5sin 2A c

B b

=，7sin 4B =

，574

ABC S =△，则b =（） A ．23

B ．27

C ．15

D ．14

5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（）

A ．2

B ．422+

C ．442+

D ．642+

6．C ?AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）

A ．1b =

B ．a b ⊥

C ．1a b ?=

D ．()

4C a b +⊥B

7．设样本数据1210,,

,x x x 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，

1,2,

,10)i =，则1210,,

,y y y 的均值和方差分别为（）

A ．1,4a +

B ．1,4a a ++

C ．1,4

D ．1,4a +

8．

要得到函数2sin 2y x x =+2sin 2y x =的图象（） A ．向左平移3

个单位 B ．向右平移3

个单位 C ．向左平移

个单位 D ．向右平移

个单位 9．已知函数21(1)()2(1)

x x f x x x x x ?++>?=?

?-+≤?在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1 B ．(]0,1

C ．[]1,1-

D ．(]1,1-

10．1

()x

f x e x

=-的零点所在的区间是（） A ．1(0,)2

B ．1(,1)2

C ．3(1,)2

D ．3(,2)2

11．（2018年天津卷文）设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,

x y x y x y y +≤??-≤?

-+≤??≥? 则目标函数35z x y =+的最大值为 A ．6

B ．19

C ．21

D ．45

12．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于

点M ，那么 ( ) A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上

C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线B

D 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上

二、填空题

13．设a ＞0，b ＞0

3a 与3b 的等比中项，则

a b

+的最小值是__． 14．

已知函数())cos(2)(||)2

f x x x π

???=---<的图象关于y 轴对称,则()f x 在区

[6π

5]12

上的最大值为__.

15．函数2sin 26y x π??

???

（[]0,x π∈）为增函数的区间是． 16．底面直径和高都是4cm 的圆柱的侧面积为___cm 2

17．若(2,1)x ?∈--，使不等式(

)

4210x x

m m -++>成立，则实数m 的取值范围为________.

18．△ABC 的内角A B C ，

，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．

19．如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为_______．

20．设α为锐角，若4cos()6

5π

α+

，则sin(2)12

α+的值为______. 三、解答题

21．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．组号分组

频数频率

第1组 [)160,165 5 0.050 第2组 [)165,170 ① 0.350

第3组 [)170,175 30 ②

第4组 [)175,180 20 0.200

第5组

[)180,185

0.100

（1）请先求出频率分布表中,①②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率．

22．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，且2AE EB =，M 是线段CE 上一动点. （1）若M 是线段CE 的中点，AM mAB nAD =+，求m n +的值；（2）若9,43AB CA CE =?=，求()

2MA MB MC +?的最小值. 23．已知直线12:210:280,l x y l ax y a ，++=+++=且12l l //．（1）求直线12,l l 之间的距离；

（2）已知圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的横坐标为2-，若圆心C 在直线1l 上，求圆C 的标准方程．

24．已知函数()()2

21+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.

(1)求a 、b 的值； (2)设()()

g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．

25．如图所示，一座小岛A 距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东

12km 处有一城镇B .一年青人从小岛A 出发，先驾驶小船到海岸线上的某点C 处，再沿海岸线步行到城镇B .若PAC θ∠=，假设该年青人驾驶小船的平均速度为2/km h ，步行速度为4/km h .

（1）试将该年青人从小岛A 到城镇B 的时间t 表示成角θ的函数；（2）该年青人欲使从小岛A 到城镇B 的时间t 最小，请你告诉他角θ的值.

26．某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头

50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用水量 [)0,0.1 [)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6 [)0.6,0.7

频数

2 4

9 26 5

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量 [)0,0.1

[)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6

频数

10 16 5

（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：

（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；

（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】

根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形．【详解】 ①

PA ⊥平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴?,,PAD PAC ??都是直

角三角形； ②90,BAC ABC ?∠=∴是直角三角形； ③

,,AD BC ABD ACD ⊥∴??是直角三角形；

④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴??也是直角三角形.

综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．

【点睛】

本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．

2．B

解析：B 【解析】

分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或，所以{}

|12A x x x =<->或，

所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.

点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.

3．C

解析：C 【解析】

分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ?=-，结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ??=-. 本题选择C 选项.

点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.

4．D

解析：D 【解析】【分析】利用正弦定理化简

sin 5sin 2A c

B b

=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c ，由7

sin B =

，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案．

【详解】由于

sin 5sin 2A c B b

=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即5

2a c =

由于在ABC

中，sin B =

，ABC S =△

1sin 2ABC

S ac B =

联立521

sin 24sin 4a c ac B B ?

=??

???=

，解得：5a =，2c = 由于B

为锐角，且sin B =

，所以3cos 4B ==

所以在ABC 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=

，故b =（负数舍去）故答案选D 【点睛】

本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．

5．D

解析：D 【解析】【分析】

根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．【详解】

根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边

,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，

∴几何体的表面积1

2222262

S =?+??=+ 故选D ．【点睛】

本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．

6．D

解析：D 【解析】试题分析：

2,2AB a AC a b ==+,AC AB b ∴=+,b AC AB BC ∴=-=．

由题意知12,cos1201212b a b a b ??

=?=?=??-

=- ???

． ()()

422a b BC AB BC BC AB BC BC

∴+?=+?=?+212cos1202222402AB BC ??

=?+=???-+= ???

．()

4a b BC ∴+⊥．故D 正确．

考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．

7．A

解析：A 【解析】

试题分析：因为样本数据1210,,

,x x x 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是

121012101210

(1101010)

y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据

i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =），以及数据1210,,,x x x 的方差为4可知数

据1210,,

,y y y 的方差为2144?=，综上故选A.

考点：样本数据的方差和平均数．

8．C

解析：C 【解析】【分析】

化简函数2sin 2y x x =+-. 【详解】

依题意2

ππsin 22sin 22sin 236y x x x x ??????=+=+=+ ? ????

????

?，故只需将函数2sin 2y x =的图象向左平移

个单位.所以选C. 【点睛】

本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.

9．C

解析：C 【解析】

x ?1时,f (x )=?(x ?1)2+1?1，

x >1时,()()21,10a a

f x x f x x x

+'=-在(1,+∞)恒成立，故a ?x 2在(1,+∞)恒成立，故a ?1，

而1+a +1?1，即a ??1，

综上,a ∈[?1,1]，本题选择C 选项.

点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．

10．B

解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （1

）=e ﹣2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（1

，1），故选B ．

点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.

11．C

解析：C 【解析】

分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.

详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在

点A 处取得最大值，联立直线方程：5

1x y x y +=??-+=?

，可得点A 的坐标为：()2,3A ，据此可

知目标函数的最大值为：max 35325321z x y =+=?+?=.本题选择C 选项.

点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截

距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.

12．A

解析：A 【解析】

如图，因为EF∩HG=M，

所以M∈EF，M∈HG，

又EF ?平面ABC ，HG ?平面ADC ，故M∈平面ABC ，M∈平面ADC ，所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A. 点睛：证明点在线上常用方法

先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．

二、填空题

13．【解析】由已知是与的等比中项则则当且仅当时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质等比数列的性质其中熟练应用乘1法是解题的关键解析：

【解析】

由已知0,0a b >>33a 与b 的等比中项，则2

33,1a b ab =?∴=

则

111111122ab a b ab a b a b a b ????

+=+?=+?=+≥= ? ?????

，当且仅当1a b ==时等号成立故答案为2

【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．

14．【解析】【分析】利用辅助角公式化简可得再根据图象关于轴对称可求得再结合余弦函数的图像求出最值即可【详解】因为函数的图象关于轴对称所以即又则即又因为所以则当即时取得最大值故答案为：【点睛】判定三角函数 3

【解析】

【分析】

利用辅助角公式化简可得()2sin(2)6

f x x π

?=--

,再根据图象关于y 轴对称可求得

()2cos2f x x =-,再结合余弦函数的图像求出最值即可.

【详解】因为函数()()()3sin 2cos 2f x x x ??=---2sin(2)6

x π

?=--的图象关于y 轴对称,

所以πππ62k ?--=+,即()2ππ,3

k k Z ?=--∈. 又2π

,则π3

,即()2sin(2)2cos22f x x x π

=-=-.

又因为π5π612x -

≤≤,所以π5π236x -≤≤,则当5π

26x =,即5π12

x =时,()f x 取得最大值5π

2cos

-=. 故答案为：3. 【点睛】

判定三角函数的奇偶性时,往往与诱导公式进行结合,如：若()sin y x ω?=+为奇函数,则π,Z k k ?

=∈；

若()sin y x ω?=+为偶函数,则π

π+,Z 2

k k ?=∈；若()cos y x ω?=+为偶函数,则π,Z k k ?

=∈；

若()cos y x ω?=+为奇函数,则π

π+

,Z 2

k k ?=∈. 15．【解析】试题分析：因为所以只要求函数的减区间即可解可得即所以故答案为考点：三角函数的图象和基本性质的运用【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质解答

解析：5,36ππ??

????

【解析】试题分析：因为

,所以只要求函数的减区间即可.解

可得

,即

,所以

,故答案为5,36ππ???

???

. 考点：三角函数的图象和基本性质的运用．

【易错点晴】本题以函数2sin 26y x π??

=- ???

的表达式的单调区间为背景,考查的是三角函数中形如

的正弦函数的图象和性质.解答时先从题设中的条件增函数

入手,对函数2sin 26y x π??

=- ???

进行变形,将其变形为一般式,将其转化

为求函数

的减区间.最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法.通

过解不等式使得本题获解.

16．【解析】【分析】【详解】圆柱的侧面积为解析：

【解析】【分析】【详解】

圆柱的侧面积为22416ππ??=

17．【解析】【分析】令将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题即可求得参数范围【详解】令由可得则问题等价于存在分离参数可得若满足题意则只需令令则容易知则只需整理得解得故答案为：【点睛】本题考查由存在性问题解析：()4,5-

【解析】【分析】

令2x t =，将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题，即可求得参数范围. 【详解】

令2x t =，由(2,1)x ?∈--可得11,42t ??

∈

???

，()24210x x m m -++> 则问题等价于存在11,42t ??∈ ???

，()

2210m m t t -++>，分离参数可得2

21t m m t

+->-

若满足题意，则只需2

21min

t m m t +??

->-

???，令()2

2111t h x t t t +??

=-=-- ???

，令1m t =，()2,4m ∈

则()2

,2,4y m m m =--∈，容易知41620min y =--=-，

则只需220m m ->-，整理得2200m m --<，解得m ∈()4,5-. 故答案为：()4,5-.

【点睛】

本题考查由存在性问题求参数值，属中档题.

18．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可

【解析】【分析】

首先利用正弦定理将题中的式子化为sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，化简求得

sin 2

A =

，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2cos 8bc A =，可以断定A 为锐

角，从而求得cos A =，进一步求得bc =，利用三角形面积公式求得结果. 【详解】

因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，

结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，可得1

sin 2

A =

，因为2228b c a +-=，结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，

所以A 为锐角，且cos 2A =，从而求得3

bc =，

所以ABC ?的面积为111sin 222S bc A ===

. 【点睛】

本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：

（1）2

2cos a b c bc A =+-；（2）222

cos 2b c a A bc

+-=，同时还要熟练掌握运用两种

形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30、45、60等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

19．【解析】在正四棱锥中顶点S 在底面上的投影为中心O 即底面ABCD 在底面正方形ABCD 中边长为2所以OA=在直角三角形SOA 中所以故答案为

【解析】

在正四棱锥中，顶点S 在底面上的投影为中心O ，即SO ⊥底面ABCD ，在底面正方形

ABCD 中，边长为2，所以，在直角三角形SOA 中

SO ===

所以112233V sh =

=??=

故答案为

20．【解析】试题分析：所以考点：三角恒等变形诱导公式二倍角公式同角三角函数关系【思路点晴】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角的情况即同时求出其正弦

解析：

【解析】

试题分析：2

47cos(2)213525π

α??+=?-= ???

，24sin(2)325πα+=，所以sin(2)sin(2)12

αα+

2472525?=

??? 考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．

【思路点晴】本题主要考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式.题目的已知条件是单倍

角，并且加了6π，我们考虑它的二倍角的情况，即2

47cos(2)213525πα??+=?-= ???

，同时求出其正弦值24sin(2)325π

α+

，而要求的角sin(2)sin(2)1234

πππ

αα+=+-，再利

用两角差的正弦公式，就能求出结果.在求解过程中要注意正负号.

三、解答题

21．（1）①35人，②0.300，直方图见解析；（2）3人、2人、1人；（3）35

. 【解析】【分析】

（1）由频率分布直方图能求出第2组的频数，第3组的频率，从而完成频率分布直方图．（2）根据第3,4,5组的频数计算频率，利用各层的比例，能求出第3,4,5组分别抽取进入第二轮面试的人数．

（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为

1C ，利用列举法能出所有基本事件及满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求得概

率．

（1）①由题可知，第2组的频数为0.3510035?=人， ②第3组的频率为

0.300100

=，频率分布直方图如图所示，

（2）因为第3,4,5组共有60名学生，

所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第3组： 30

6360

?=人，第4组：人，

第5组：

6160

?=人，所以第3,4,5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．

（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为

1C ，

则从这六位同学中抽取两位同学有15种选法，分别为：12,A A （），13,A A （），11,A B （），12,A B （），11,A C （），23,A A （），21,A B （），22,A B （），21,A C （），31,A B （），32,A B （），31,A C （），12,B B （），11,B C （），21,B C （），

其中第4组的2位同学12,B B 中至少有一位同学入选的有9种，分别为：

11122122A B A B A B A B （，），（，），（，），（，），

31321211A B A B B B B C （，），（，），（，），（，），21B C （，），

∴第4组至少有一名学生被A 考官面试的概率为93

155

=．【点睛】

本题考查频率分直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题． 22．（1）43；（2）754

- 【解析】

【详解】

（1）因为M 是线段CE 的中点，所以()

11112222

AM AC AE AD AB AE =

+=++ 112151

223262

AB AB AD AB AD =

+?+=+，故514

623

m n +=

+=. （2）1,3

CA AB AD CE CB BE AD AB =--=+=--

2211

4()33

3CA CE AB AD AD AB AB AB AD AD ???=--?--=+?+ ???

221

AB AD =

+ 2222

1194333

AB AD AD +=?+= ||4, 4AD AD BC =?==

故5CE =；

设ME t =，则()505MC t t =-≤≤，

()()222MA MB MC ME EA ME EM MC +?=+++?

()()33535ME MC t t t t =?=--=-

为二次函数开口向上，故最小值在对称轴处取得，即52t =时，()

MA MB MC +?=-. 所以()

2MA MB MC +?的最小值为75

23．（12）2

x (y 1)5++=．【解析】【分析】

()1先由两直线平行解得a 4=，再由平行直线间的距离公式可求得；

()2代x 2=-得()A 2,2--，可得AC 的方程，与1l 联立得()C 0,1-，再求得圆的半径，

从而可得圆的标准方程．【详解】解：()

121l //l ，a 28a

211

+∴=≠，解得a 4=，

1l ∴：2x y 10++=，2l ：2x y 60++=，

故直线1l 与2l

的距离d =

= ()2当x 2=-代入2x y 60++=，得y 2=-，所以切点A 的坐标为()2,2--，

从而直线AC 的方程为()1

y 2x 22

+，得x 2y 20--=，联立2x y 10++=得()C 0,1-．由()1知

所以所求圆的标准方程为：2

x (y 1)5++=．【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题． 24．（1）1,0a b ==；（2）4k <. 【解析】【分析】

（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.

(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可. 【详解】解：（1）

()g x 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，

()g x ∴在[]2,3上单调递增

()()()()min max 2441139614g x g a a b g x g a a b ?==-++=?∴?==-++=??

解得1a =且0b =. （2）

()0f x k ->在(]2,5x ∈上恒成立

所以只需()min k f x <.

有（1）知()

221112224222

x x f x x x x x x -+==+=-++≥=--- 当且仅当1

x x -=

-，即3x =时等号成立. 4k ∴<. 【点睛】

本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立

问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题. 25．（1）1tan 3cos 2

t θθ=+-；（2）6π

【解析】【分析】

（1）根据直角三角形的边角关系求出AC 和BC 的值，再求t 关于θ的函数解析式；（2）根据t 的解析式，结合三角函数的性质求出t 的最小值以及对应θ的值．【详解】

（Ⅰ）由题意知，AP PB ⊥，2AP =，02

θ<<，

所以2tan PC θ=，2

cos AC θ

=，122tan BC θ=-，所以t 关于θ的函数为 2122tan 1tan 3242cos 4cos 2

AC BC t θθ

θθ-=

+=+=+-；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1tan 2sin 33cos 2cos t θθ

θθ

-=+-=+，令2sin 0cos y θ

-=>，则22sin 2cos 14y y θθ=++

解得3y ，当且仅当1sin ,cos 2θθ= 即6

θ=

时，所花时间t 最小．

【点睛】

本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数图象与性质的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

26．（1）直方图见解析；（2）0.48；（3）347.45m . 【解析】【分析】

（1）根据题中所给的使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；

（2）结合直方图，算出日用水量小于0.35的矩形的面积总和，即为所求的频率；（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得50天日用水量的平均值，作差乘以365天得到一年能节约用水多少3m ，从而求得结果. 【详解】

（1）频率分布直方图如下图所示：

（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为

0.20.110.1 2.60.120.050.48?+?+?+?=；

因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48；（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

()11

0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850

x =

?+?+?+?+?+?+?=．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为

()21

0.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550

x =

?+?+?+?+?+?=．估计使用节水龙头后，一年可节省水()()3

0.480.3536547.45m -?=．

【点睛】

该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.

高中数学必修2综合测试题

正视图侧视图俯视图 2 1 1 高中数学必修2综合测试题文科数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若直线1=x 的倾斜角为α，则=α( )． A ．0 B.3 π C ．2π D ．π 2．已知直线1l 经过两点)2,1(--、)4,1(-，直线2l 经过两点)1,2(、)6,(x ，且21//l l ，则=x （ )． A ．2 B ．－2 C ．4 D ．1 3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )． A ．π25 B ．π50 C ．π125 D ．π200 4.若方程02 2 =++++k y x y x 表示一个圆,则k 的取值范围是( ) A.21> k B.21≤k C. 2 1 0<

高中数学必修2测试题附答案

数学必修2 一、选择题 1、下列命题为真命题的是（） A. 平行于同一平面的两条直线平行； B.与某一平面成等角的两条直线平行； C. 垂直于同一平面的两条直线平行； D.垂直于同一直线的两条直线平行。 2、下列命题中错误的是：（） A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β； B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β； C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β； D. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ. 3、右图的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’ 中,异面直线AA ’与BC 所成的角是（） A. 300 B.450 C. 600 D. 900 4、右图的正方体ABCD- A ’B ’C ’D ’ 中，二面角D ’-AB-D 的大小是（） A. 300 B.450 C. 600 D. 900 5、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（） A.a=2,b=5; B.a=2,b=-5; C.a=-2，b=5 D.a=-2，b=-5 6、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（） A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0 C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=0 8、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（） A.3 a π; B. 2 a π; C.a π2; D.a π3. A B D A ’ B ’ D ’ C C ’

人教版高中数学必修二测试卷

高中数学必修二检测题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间90分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 、一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4∶9，则此棱锥的侧棱被分成上下长度两部分之比为（） A ．4∶9 B ．2∶1 C ．2∶3 D ．2∶5 2 、如果实数x ，y 满足22 (2)3x y -+=，那么y x 的最大值是（） A 、3 B 、3- C 、33 D 、33 - 3 、已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 4 、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（） A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 5 、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为（）俯视图主视图侧视图 A.24πcm 2，12πcm 3 B.15πcm 2，12πcm 3 C.24πcm 2，36πcm 3 D.以上都不正确 6 、棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．平行或相交 D ．不相交

7 、直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（） A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1) 8 、两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（） A ．4 B C D 9、直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（） (A)2 2 (B)4 (C)2 4 (D)2 10、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1B C 成60角 11 、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ?M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 12 、点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（） (A) 11<<-a (B) 10<-