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专题09 以解析几何中的最值、定值和探索性问题为背景的专题训练(原卷版)

专题9 以解析几何中的最值、定值和探索性问题为背景的专题训

题型一 最值问题

1.【安徽阜阳市2017高三第二次质量检测】已知点P 为22

142x y E +=:上的动点,

点Q 满足13

OQ OP =

.

(1)求点Q 的轨迹M 的方程;

(2)直线:l y kx n =+与M 相切,且与圆224

9

x y +=相交于,A B 两点,求ABO ?面积的最大值(其中O 为坐标原点).

2.【广东省佛山市2017届高三4月教学质量检测(二)】【已知椭圆1C : 22

221

x y a b +=(0a b >>)的焦距为4,左、右焦点分别为1F 、2F ,且1C 与抛物线2C : 2y x =的交点所在的直线经过2F . (Ⅰ)求椭圆1C 的方程;

(Ⅱ)分别过1F 、2F 作平行直线m 、n ,若直线m 与1C 交于A , B 两点,与抛物线2C 无公共点,直线n 与1C 交于C , D 两点,其中点A , D 在x 轴上方,求四边形12AF F D 的面积的取值范围.

3.【湖南省娄底市2017届高考仿真模拟(二模)数学(文)】已知平面内一动点M 与两

定点()10,1B -和()20,1B 连线的斜率之积等于1

2

-. (Ⅰ)求动点M 的轨迹E 的方程;

(Ⅱ)设直线l : y x m =+(0m ≠)与轨迹E 交于A 、B 两点,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ,当m 变化时,求PAB 面积的最大值.

4.【江西省2017届高三4月新课程教学质量监测】已

知椭圆22

22:1(0)

x y E a b a b

+=>>

的离心率为e =

()2,1A .

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(1)求椭圆E 的方程;

(2)过点()3,0B 且斜率大于0的直线l 与椭圆E 相交于点

P , Q ,直线AP ,

AQ 与x 轴相交于M , N 两点,求BM BN +的取值范围.

5.【江西省南昌市十所省重点中学命制2017届高三第二次模拟突破冲刺】已知椭圆C :

22

21(3

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x y a a +=>的右焦点为F ,右顶点为A ,设离心率为e ,且满足113e OF OA AF

+=,其中O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)过点()0,1的直线l 与椭圆交于M ,N 两点,求△OMN 面积的最大值.

6.【湖南省2017届高三长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学第二次联考文】已知椭圆

C : 22

221(0)x y a b a b +=>>的短轴的一个顶点和两个焦点构成直角三角形,且该三

角形的面积为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)设1F , 2F 是椭圆C 的左、右焦点,若椭圆C 的一个内接平行四边形的一组对边过点1F 和2F ,求这个平行四边形面积的最大值.

7.【安徽省池州市2017届高三4月联考】设点M 到坐标原点的距离和它到直线

专题09 以解析几何中的最值、定值和探索性问题为背景的专题训练(原卷版)

:(0)l x m m =-> (1)求点M 的轨迹;

(2)若1m =时得到的曲线是C ,将曲线C 向左平移一个单位长度后得到曲线

E ,过点()2,0P -的直线1l 与曲线E 交于不同的两点()()1122,,,A x y B x y ,过()

1,0F 的直线,AF BF 分别交曲线E 于点,D Q ,设AF FD α= , BF FQ β=

, ,R αβ∈,

求αβ+的取值范围.

题型二 定点、定直线、定值问题

8.【江西省临川实验学校2017届高三第一次模拟考试】已知抛物线2

:2(0)C y px p =>的

焦点为F ,准线为l ,抛物线上一点P 的横坐标为1,且到焦点F 的距离为2. (1)求抛物线C 的方程;

(2)设,A B 是抛物线上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,当,αβ变化且αβ+为定值()tan 2θθ=时,证明直线AB 恒过定点,并求出该定点的坐标.

9.【重庆市2017届高三4月调研测试(二诊)数学】已知,A B 分别为椭圆C : 221

42x y +=的左、右顶点, P 为椭圆C 上异于,A B 两点的任意一点,直线,PA PB 的斜率分别记为12,k k .

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(1)求12,k k ;

(2)过坐标原点O 作与直线,PA PB 平行的两条射线分别交椭圆C 于点,M N ,问:

MON ?的面积是否为定值?请说明理由.

10.【天津市红桥区重点中学八校2017届高三4月联考数学(文)】已知椭圆C 的中心在原

点,离心率等于

1

2

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,它的一个短轴端点恰好是抛物线2x =的焦点 (1)求椭圆C 的方程;

(2)已知()23P ,

、()23Q -,是椭圆上的两点, A , B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的

动点.①若直线AB 的斜率为

1

2

,求四边形APBQ 面积的最大值; ②当A , B 运动时,满足APQ BPQ ∠=∠,试问直线AB 的斜率是否为定值,请说明理由

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11.【河北省唐山市2016-2017学年度高三年级第二次模拟考试】已知ABC ?的顶点()1,0A ,

点B 在x 轴上移动, AB AC =,且BC 的中点在y 轴上. (Ⅰ)求C 点的轨迹Γ的方程;

(Ⅱ)已知轨迹Γ上的不同两点M , N 与()1,2P 的连线的斜率之和为2,求证:直线MN 过定点.

12.【2017届淮北市高三第二次模拟考试】已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>, O 是坐

标原点, 12,F F 分别为其左右焦点, 12F F =, M 是椭圆上一点, 12F MF ∠的

专题09 以解析几何中的最值、定值和探索性问题为背景的专题训练(原卷版)

最大值为2

3

π

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)若直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点,且OP OQ ⊥ (i )求证:

2

2

11OP

OQ

+

为定值;

(ii )求OPQ ?面积的取值范围.

13.【福建省2017届高三4月单科质量检测】已知

()()2

2

22212:11,:1(0)C x y C x y r r ++=-+=> ,

1C 内切2C 于点,A P 是两圆公切线l 上异于A 的一点,直线PQ 切1C 于点Q , PR 切2C 于点R ,且,Q R 均

不与A 重合,直线12,C Q C R 相交于点M . (1)求M 的轨迹C 的方程;

(2)若直线1MC 与x 轴不垂直,它与C 的另一个交点为N , M '是点M 关于x 轴的对称点,求证:直线NM '过定点.

14.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017届高三下学期第一次模拟】已知两点

())

,A B

,动点P 在y 轴上的投影是Q ,且2

2PA PB PQ ?= .

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(1)求动点

的轨迹C 的方程;

(2)过()1,0F 作互相垂直的两条直线交轨迹C 于,,,G H M N ,且12E E ,分别是

,GH MN 的中点.求证:直线12E E 恒过定点.

题型三 探索性问题

15.【湖南省长沙市2017届高三第二次模拟】已知椭圆22

22:1x y E a b +=(0a b >>)的离

心率为

2

3

, 12,F F 分别是它的左、右焦点,且存在直线l ,使12,F F 关于l 的对称点恰好是圆222:42540C x y mx my m +--+-=(,0m R m ∈≠)的一条直线的两个端点.

(1)求椭圆E 的方程;

(2)设直线l 与抛物线22y px =(0p >)相交于,A B 两点,射线1F A , 1F B 与椭圆E 分别相交于点,M N ,试探究:是否存在数集D ,当且仅当p D ∈时,总存在m ,使点1F 在以线段MN 为直径的圆内?若存在,求出数集D ;若不存在,请说明理由.

16.【北京市海淀区2017届高三下学期期中考试】已知椭圆G : 2212x y +=,与x 轴不

重合的直线l 经过左焦点1F ,且与椭圆G 相交于A , B 两点,弦AB 的中点为M ,直线OM 与椭圆G 相交于C , D 两点. (Ⅰ)若直线l 的斜率为1,求直线OM 的斜

率;

(Ⅱ)是否存在直线l ,使得2||AM CM DM =?成立?若存在,求出直线l 的方程;

若不存在,请说明理由.

17.【湖南省娄底市2017届高考仿真模拟(二模)】已知椭圆E : 22

221x y a b +=(0a b >>)

的离心率为

2

3

, 1F 、2F 分别是它的左、右焦点,且存在直线l ,使1F 、2F 关于l 的对称点恰好是圆C : 22242540x y mx my m +--+-=(R m ∈, 0m ≠)的一条直径的四个端点.

(Ⅰ)求椭圆E 的方程;

(Ⅱ)设直线l 与抛物线22y px =(0p >)相交于A 、B 两点,射线1F A 、1F B 与椭圆E 分别相交于点M 、N .试探究:是否存在数集D ,当且仅当p D ∈时,总存在m ,使点1F 在以线段MN 为直径的圆内?若存在,求出数集D ;若不存在,请说明理由.

18.【山西省大同市灵丘豪洋中学2017届高三下学期第三次模拟】在平面直角坐标系xOy

中,椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的一个焦点为()

1F , ()1,(0)M y y >为椭

专题09 以解析几何中的最值、定值和探索性问题为背景的专题训练(原卷版)

圆上的一点, 1MOF ?的面积为3

4

. (1)求椭圆C 的标准方程;

(2)若点T 在圆221x y +=上,是否存在过点()2,0A 的直线l 交椭圆C 于点B ,使

)

OT OA OB =+ ?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.

专题09 以解析几何中的最值、定值和探索性问题为背景的专题训练(原卷版)

19.【江西师范大学附属中学2017届高三3月月考数学(文】已知椭圆

22

专题09 以解析几何中的最值、定值和探索性问题为背景的专题训练(原卷版)

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22:1(0)x y C a b a b +=>>,联接椭圆四个顶点的四边形面积为. (1)求椭圆C 的方程;

(2)A B 、是椭圆的左右顶点, (),P P P x y 是椭圆上任意一点,椭圆在P 点处的切线与过A B 、且与x 轴垂直的直线分别交于C D 、两点,直线AD BC 、交于

(),Q Q Q x y ,是否存在实数λ,使P Q x x λ=恒成立,并说明理由.

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20.【北京市西城区2017届高三一模数学试题文】如图,已知椭圆C :

22221(0)

x y a b a b +=>>的离心率为1

2

, F 为椭圆C 的右焦点, (),0A a -, 3AF =.

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(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)设O 为原点, P 为椭圆上一点, AP 的中点为M ,直线OM 与直线4x =交于点D ,过O 作OE DF ⊥,交直线4x =于点E ,求证: //OE AP .