人教版九年级上册数学 二次函数单元测试卷(含答案解析)
人教版九年级上册数学 二次函数单元测试卷（含答案解析）
一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）
1．在平面直角坐标系中，抛物线2
2(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ，
与y 轴交于点D ，与x 轴的另一交点为点B ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BD ，在抛物线上是否存在点P ，使得2PBC BDO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC ，交y 轴于点E ，点M 是线段AD 上的动点（不与点A ，点D 重合），将CME △沿ME 所在直线翻折，得到FME ，当FME 与AME △重叠部分的面积是AMC 面积的
1
4
时，请直接写出线段AM 的长． 【答案】（1）2
2y x x =-++；（2）存在，（
23，209）或（10
3，529
-）；（3）10
5
或2 【解析】 【分析】
（1）根据点A 和点C 的坐标，利用待定系数法求解；
（2）在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，构造出
∠PBC=∠BDE ，分点P 在第三象限时，点P 在x 轴上方时，点P 在第四象限时，共三种情况分别求解；
（3）设EF 与AD 交于点N ，分点F 在直线AC 上方和点F 在直线AC 下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN ，FN=NE ，从而证明四边形FMEA 为平行四边形，继而求解． 【详解】
解：（1）∵抛物线2
2(0)y ax bx a =++≠经过点A （-2，-4）和点C （2，0），
则44220422a b a b -=-+??=++?，解得：11a b =-??=?
，
∴抛物线的解析式为22y x x =-++； （2）存在，理由是：
在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ， 在2
2y x x =-++中， 令y=0，解得：x=2或-1， ∴点B 坐标为（-1，0）， ∴点E 坐标为（1，0）， 可知：点B 和点E 关于y 轴对称， ∴∠BDO=∠EDO ，即∠BDE=2∠BDO ， ∵D （0，2），
∴=， 在△BDE 中，有
12×BE ×OD=1
2
×BD ×EF ，
即2×EF ，解得：EF=5
，
∴5
，
∴tan ∠BDE=
EF DF =4
3， 若∠PBC=2∠BDO ， 则∠PBC=∠BDE ，
∵BE=2， 则BD 2+DE 2＞BE 2， ∴∠BDE 为锐角， 当点P 在第三象限时， ∠PBC 为钝角，不符合； 当点P 在x 轴上方时，
∵∠PBC=∠BDE ，设点P 坐标为（c ，22c c -++）， 过点P 作x 轴的垂线，垂足为G ， 则BG=c+1，PG=22c c -++，
∴tan ∠PBC=
PG BG =221
c c c -+++=4
3， 解得：c=
2
3
，
∴22c c -++=
209
， ∴点P 的坐标为（
23，209
）；
当点P 在第四象限时，
同理可得：PG=22c c --，BG=c+1，
tan ∠PBC=PG BG =221
c c c --+=4
3，
解得：c=
10
3
， ∴22c c -++=529
-
， ∴点P 的坐标为（
103，529
-）， 综上：点P 的坐标为（
23，209）或（10
3，529
-）；
（3）设EF 与AD 交于点N ，
∵A （-2，-4），D （0，2），设直线AD 表达式为y=mx+n ，
则422m n n -=-+??=?，解得：3
2m n =??=?
，
∴直线AD 表达式为y=3x+2， 设点M 的坐标为（s ，3s+2），
∵A （-2，-4），C （2，0），设直线AC 表达式为y=m 1x+n 1，
则11114202m n m n -=-+??=+?，解得：11
12m n =??=-?，
∴直线AC 表达式为y=x-2， 令x=0，则y=-2， ∴点E 坐标为（0，-2）， 可得：点E 是线段AC 中点， ∴△AME 和△CME 的面积相等， 由于折叠，
∴△CME ≌△FME ，即S △CME =S △FME ， 由题意可得：
当点F 在直线AC 上方时，
∴S △MNE =14
S △AMC =12S △AME =1
2S △FME ，
即S △MNE = S △ANE = S △MNF ， ∴MN=AN ，FN=NE ，
∴四边形FMEA 为平行四边形，
∴CM=FM=AE=
12
AC=12
∵M （s ，3s+2），
=
解得：s=4
5
-或0（舍）， ∴M （45-
，2
5
-），
∴
当点F在直线AC下方时，如图，
同理可得：四边形AFEM为平行四边形，
∴AM=EF，
由于折叠可得：CE=EF，
∴AM=EF=CE=22，
综上：AM的长度为
10
5
或22
【点睛】
本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数的图像和性质，折叠问题，平行四边形的判定和性质，中线的性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求较高．
2．已知函数
22
22
22(0)
11
4(0)
22
x ax a x
y
x ax a x
?-+-<
?
=?
---+≥
??
（a为常数）．
（1）若点()
1,2在此函数图象上，求a的值．
（2）当1
a=-时，
①求此函数图象与x轴的交点的横坐标．
②若此函数图象与直线y m =有三个交点，求m 的取值范围．
（3）已知矩形ABCD 的四个顶点分别为点()2,0A -，点()3,0B ，点()3,2C ，点
()2,2D -，若此函数图象与矩形ABCD 无交点，直接写出a 的取值范围．
【答案】（1）1a =或3a =-；（2
）①1x =--
1x =+；②
7
2
4m ≤<或21m -<<-；（3
）3a <--
或1a ≤<-
或a >【解析】 【分析】
（1）本题根据点(1,2)横坐标大于零，故将点代入对应解析式即可求得a 的取值． （2）①本题将1a =-代入解析式，分别令两个函数解析式y 值为零即可求得函数与x 轴交点横坐标；②本题可求得分段函数具体解析式，继而求得顶点坐标，最后平移直线
y m =观察其与图像交点，即可得到答案．
（3）本题可根据对称轴所在的位置分三种情况讨论，第一种为当2a <-，将
2222y x ax a =-+-函数值与2比大小，将2211
422
y x ax a =---+与0比大小；第二
种为当20a -≤<，2
2
22y x ax a =-+-函数值与0比大小，且该函数与y 轴的交点和0比大小，2211
422
y x ax a =-
--+函数值与2比大小，且该函数与y 轴交点与2比大小；第三种为2
2
22y x ax a =-+-与y 轴交点与2比大小，2211
422
y x ax a =---+与y 轴交点与0比大小． 【详解】
（1）将()1,2代入2211422y x ax a =-
--+中，得211
2422
a a =---+，解得1a =或3a =-．
（2）当1a =-时，函数为2221,
(0)17
(0)
2
2x x x y x x x ?+-
=?-++≥?
?，
①令2210x x +-=
，解得1x =--
1x =- 令217
022
x x -
++=
，解得1x =+
或1x =-
综上，1x =--
1x =+．
②对于函数()2
210y x x x =+-<，其图象开口向上，顶点为()1,2--； 对于函数217
(0)22
y x x x =-
++≥，其图象开口向下，顶点为()1,4，与y 轴交于点70,2??
???
．
综上，若此函数图象与直线y m =有三个交点，则需满足
7
2
4m ≤<或21m -<<-． （3）22
22y x ax a =-+-对称轴为x a =；2211
422
y x ax a =-
--+对称轴为x a =-． ①当2a <-时，若使得2
2
22y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足当2x =-时，2
2
22y x ax a =-+-24+422a a =->+，解不等式得0a >或4a ，在此基础
上若使2211
422
y x ax a =-
--+图像与矩形ABCD 无交点，需满足当3x =时，2221111
49342222
0y x ax a a a =---+=?--+<-，
解得3a >或3a <--，
综上可得：3a <--．
②当20a -≤<时，若使得2
2
22y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足
2x =-时，2222y x ax a =-+-24+420a a =+-<；当0x =时，
222
22=20y x ax a a =-+--≤；得2a ≤<，
在此基础上若使2211
422
y x ax a =-
--+图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，222111
4=4222
2y x ax a a ---+->=；3x =时，
2221111
49342222
2y x ax a a a =---+=?--+>-；
求得21a -<<-；
综上：1a ≤<-．
③当0a ≥时，若使函数图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，
22222=22y x ax a a =-+--≥且222111
4+40222
y x ax a a =---+=-<；
求解上述不等式并可得公共解集为：a >
综上：若使得函数与矩形ABCD 无交点，则3a <--或1a ≤<-或a > 【点睛】
本题考查二次函数综合，求解函数解析式常用待定系数法，函数含参数讨论时，往往需要分类讨论，分类讨论时需要先选取特殊情况以用来总结规律，继而将规律一般化求解题目．
3．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴，y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝﹣x 2+2x +b 经过点B ．
（1）该抛物线的函数解析式；
（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M
的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '． ①写出点M '的坐标；
②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l ′与直线AM '重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l '与线段BM '交于点C ，设点B ，M '到直线l '的距离分别为d 1，d 2，当d 1+d 2最大时，求直线l '旋转的角度（即∠BAC 的度数）．
【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）2
1525228
S m ??=--+ ??? ，258；（3）
①57,24M ??
'
???
；②45° 【解析】 【分析】
（1）利用直线l 的解析式求出B 点坐标，再把B 点坐标代入二次函数解析式即可求出b 的值．
（2）设M 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），然后根据面积关系将△ABM 的面积进行转化．
（3）①由（2）可知m ＝5
2
，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值． ②可将求d 1+d 2最大值转化为求AC 的最小值． 【详解】
（1）令x ＝0代入y ＝﹣3x+3， ∴y ＝3， ∴B （0，3），
把B （0，3）代入y ＝﹣x 2+2x+b 并解得：b ＝3， ∴二次函数解析式为：y ＝﹣x 2+2x+3． （2）令y ＝0代入y ＝﹣x 2+2x+3，
∴0＝﹣x2+2x+3，
∴x＝﹣1或3，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3，
∵M在抛物线上，且在第一象限内，
∴0＜m＜3，
令y＝0代入y＝﹣3x+3，
∴x＝1，
∴A的坐标为（1，0），
由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），∴S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△OBM+S△OAM﹣S△AOB
＝1
2
×m×3+
1
2
×1×（-m2+2m+3）-
1
2
×1×3
＝﹣1
2
（m﹣
5
2
）2+
25
8
，
∴当m＝5
2
时，S取得最大值
25
8
．
（3）①由（2）可知：M′的坐标为（5
2
，
7
4
）．
②设直线l′为直线l旋转任意角度的一条线段，过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，
根据题意知：d1+d2＝BF，
此时只要求出BF 的最大值即可， ∵∠BFM′＝90?，
∴点F 在以BM′为直径的圆上， 设直线AM′与该圆相交于点H ， ∵点C 在线段BM′上， ∴F 在优弧'BM H 上， ∴当F 与M′重合时， BF 可取得最大值， 此时BM′⊥l 1，
∵A （1，0），B （0，3），M′（
52，7
4
）， ∴由勾股定理可求得：AB ＝10，M′B ＝55
，M′A ＝85， 过点M′作M′G ⊥AB 于点G ， 设BG ＝x ，
∴由勾股定理可得：M′B 2﹣BG 2＝M′A 2﹣AG 2， ∴
8516
﹣（10﹣x ）2＝125
16﹣x 2，
∴x ＝
510
， cos ∠M′BG ＝
'BG BM ＝2
2
，∠M′BG= 45? 此时图像如下所示，
∵l 1∥l′，F 与M′重合，BF ⊥l 1 ∴∠B M′P=∠BCA ＝90?， 又∵∠M′BG=∠CBA= 45? ∴∠BAC ＝45?．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与二次函数的综合以及一次函数旋转求角度问题，正确掌握一次函数与二次函数性质及综合问题的解法是解题的关键．
4．已知抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠过点(0,2)A -． （1）若点(2,0)-也在该抛物线上，请用含a 的关系式表示b ；
（2）若该抛物线上任意不同两点()11,M x y 、()22,N x y 都满足：当120x x <<时，
()()12120x x y y --<；当120x x <<时，()()12120x x y y -->；若以原点O 为圆心，
OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B 、C （点B 在点C 左侧），且ABC ?有一个内
角为60，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点P 与点O 关于点A 对称，且O 、M 、N 三点共线，求证：
PA 平分MPN ∠．
【答案】（1）21b a =-；（2）2
2y x =-；（3）见解析.
【解析】 【分析】
（1）把点()0,2-、()2,0-代入抛物线解析式，然后整理函数式即可得到答案． （2）根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y 轴、开口向上，进而可得出0b =，由抛物线的对称性可得出ABC ?为等腰三角形，结合其有一个60?的内角可得出ABC ?为等边三角形，设线段BC 与y 轴交于点D ，根据等边三角形的性质可得出点C 的坐标，再利用待定系数法可求出a 值，此题得解；
（3）由（1）的结论可得出点M 的坐标为1(x ，2
12)x -+、点N 的坐标为2(x ，
222)x -+，由O 、M 、N 三点共线可得出21
2
x x =-
，进而可得出点N 及点'N 的坐标，由点A 、M 的坐标利用待定系数法可求出直线AM 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点'N 在直线PM 上，进而即可证出PA 平分MPN ∠． 【详解】
解：（1）把点()0,2-、()2,0-分别代入，得
2420
c a b c =-?
?
-+=?． 所以21b a =-．
（2），如图1，
当120x x <<时，()()12120x x y y --<，
120x x ∴-<，120y y ->， ∴当0x <时，y 随x 的增大而减小；
同理：当0x >时，y 随x 的增大而增大，
∴抛物线的对称轴为y 轴，开口向上，
0b ∴=．
OA 为半径的圆与拋物线的另两个交点为B 、C ， ABC ∴?为等腰三角形，
又ABC ?有一个内角为60?， ABC ∴?为等边三角形．
设线段BC 与y 轴交于点D ，则BD CD =，且30OCD ∠=?， 又2OB OC OA ===，
·303CD OC cos ∴=?=，·
301OD OC sin =?=． 不妨设点C 在y 轴右侧，则点C 的坐标为31)． 点C 在抛物线上，且2c =-，0b =，
321a ∴-=，
1a ∴=，
∴抛物线的解析式为22y x =-．
（3）证明：由（1）可知，点M 的坐标为1(x ，212)x -，点N 的坐标为2(x ，2
22)x -．
如图2，直线OM 的解析式为()110y k x k =≠．
O 、M 、N 三点共线，
10x ∴≠，20x ≠，且221212
22
x x x x --=，
1212
22
x x x x ∴-
=-， ()121212
2x x x x x x -∴-=-
，
122x x ∴=-，即21
2
x x =-， ∴点N 的坐标为12(x -
，21
4
2)x -． 设点N 关于y 轴的对称点为点'N ，则点'N 的坐标为12(x ，21
4
2)x -． 点P 是点O 关于点A 的对称点，
24OP OA ∴==，
∴点P 的坐标为()0,4-．
设直线PM 的解析式为24y k x =-，
点M 的坐标为1(x ，2
12)x -，
212124x k x ∴-=-，
2121
2x k x +∴=，
∴直线PM 的解析式为211
2
4x y x x +=-．
()
222111221111
224224
·42x x x x x x x +-+-==-，
∴点'
N在直线PM上，
PA
∴平分MPN
∠．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次（二次）函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出a、b满足的关系式；（2）①利用等边三角形的性质找出点C的坐标；
②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点'N在直线PM上．
5．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A(?1，0)，B(4，0)，交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式(用一般式表示)；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=
2
3
S△ABD?若存在，请求出点D 坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长.
【答案】（1）2
13
2
22
y x x
=-++（2）存在，D（1，3）或（2，3）或（5，3-）（3）10
【解析】
【分析】
（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；
（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE 解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（4，0），
∴
20
16420
a b
a b
-+=
?
?
++=
?
，解得：
1
2
3
2
a
b
?
=-
??
?
?=
??
，
∴抛物线解析式为：213
222
y x x =-
++； （2）由题意可知C （0，2），A （-1，0），B （4，0）， ∴AB=5，OC=2，
∴S △ABC =12AB?OC=1
2×5×2=5， ∵S △ABC =2
3S △ABD ，
∴S △ABD =315
522
?=，
设D （x ，y ）， ∴11155222
AB y y ?=??=， 解得：3y =； 当3y =时，213
2322
y x x =-
++=， 解得：1x =或2x =，
∴点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）； 当3y =-时，213
2322
y x x =-
++=-， 解得：5x =或2x =-（舍去）， ∴点D 的坐标为：（5，-3）；
综合上述，点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）； （3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，
∴22125AC =+=,222425BC =+=， ∴222AC BC AB +=，
∴△ABC 为直角三角形，即BC ⊥AC ，
如图，设直线AC 与直线BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，
由题意可知∠FBC=45°， ∴∠CFB=45°，
∴CF BC == ∴
AO AC OM CF =
，即1OM = 解得：2OM =， ∴
OC AC FM AF =
，即2FM = 解得：6FM =，
∴点F 为（2，6），且B 为（4，0）， 设直线BE 解析式为y=kx+m ，则
2640k m k m +=??+=?，解得3
12k m =-??
=?
， ∴直线BE 解析式为：312y x =-+；
联立直线BE 和抛物线解析式可得：
231213
222y x y x x =-+??
?=-++??
， 解得：40x y =??
=?
或5
3x y =??=-?，
∴点E 坐标为：(5,3)-，
∴BE == 【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D 点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE 的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣12
x 2
+bx +c 与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于点A ，直线y ＝﹣
1
2
x +2经过A ，C 两点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，直线MN 与对称轴交于点G ，与抛物线交于M ，N 两点（点N 在对称轴右侧），且MN ∥x 轴，MN ＝7．
（1）求此抛物线的解析式．（2）求点N的坐标．
（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝1
2
时，求点F的坐标．
（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC 以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t5S与t的函数关系式．
【答案】（1）y＝﹣1
2
x2+
3
2
x+2；（2）点N的坐标为（5，-3）；（3）点F的坐标为：
（3，2）或（17
3
，﹣
50
9
）；（4）
2
535
,0
45
3593535
,(
4
35935
5)
4
t t
S t
t
???
≤≤
? ?
?
???
=-<≤
+<≤
．
【解析】
【分析】
（1）点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），将点A、C坐标代入抛物线表达式即可求解；
（2）抛物线的对称轴为：x＝3
2
，点N的横坐标为：
37
5
22
+=，即可求解；
（3）分点F在直线AC下方、点F在直线AC的上方两种情况，分别求解即可；
（4）分0≤t 3535
＜t
3535＜t5
【详解】
解：（1）直线y＝﹣1
2
x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，
0），
则c＝2，抛物线表达式为：y＝﹣1
2
x2+bx+2，
将点C坐标代入上式并解得：b＝3
2
，
故抛物线的表达式为：y＝﹣1
2
x2
+
3
2
x+2…①；
（2）抛物线的对称轴为：x＝
3
2
，
点N的横坐标为：
37
5
22
+=，
故点N的坐标为（5，-3）；
（3）∵tan∠ACO＝
21
42
AO
CO
==＝tan∠FAC＝
1
2
，
即∠ACO＝∠FAC，
①当点F在直线AC下方时，
设直线AF交x轴于点R，
∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，
设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝
3
2
，
即点R的坐标为：（
3
2
，0），
将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：
2
3
2
n
m n
=
?
?
?
+=
??
，解得：
4
3
2
m
n
?
=-
?
?
?=
?
，
故直线AR的表达式为：y＝﹣
4
3
x+2…②，
联立①②并解得：x＝
17
3
，故点F（
17
3
，﹣
50
9
）；
②当点F在直线AC的上方时，
∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴，
则点F′（3，2）；
综上，点F 的坐标为：（3，2
）或（
173，﹣509
）； （4）如图2，设∠ACO ＝α，则tanα＝
1
2
AO CO =，则sinα＝5，cosα＝5；
①当0≤t ≤
35
时（左侧图）， 设△AHK 移动到△A ′H ′K ′的位置时，直线H ′K ′分别交x 轴于点T 、交抛物线对称轴于点S ，
则∠DST ＝∠ACO ＝α，过点T 作TL ⊥KH ， 则LT ＝HH ′＝t ，∠LTD ＝∠ACO ＝α，
则DT ＝'5
2co 5
c s 2
os L HH T t αα===，DS ＝tan DT α
， S ＝S △DST ＝12?DT ×DS ＝2
54
t ； ②当
355
＜t 35
时（右侧图），
同理可得：
S ＝''DGS T S 梯形＝12
?DG ×（GS ′+DT ′）＝12?3+55﹣323594
-； 35
＜t 53594
+； 综上，S ＝2535,023593535,(435935(5)4t t t t ??≤≤? ???
??
?-<≤?
?+<≤?．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形平移、图形的面积计算等，其中
（3）、（4），要注意分类求解，避免遗漏．
7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．
（1）P的坐标，C的坐标；
（2）直线1上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（3，4），（0，﹣5）；（2）存在，点Q的坐标为：（9
2
，﹣5）或
（21
2
，﹣5）
【解析】
【分析】
（1）利用配方法求出顶点坐标，令x=0，可得y=-5，推出C（0，-5）；
（2）直线PC的解析式为y=3x-5，设直线交x轴于D，则D（5
3
，0），设直线PQ交x轴
于E，当BE=2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴顶点P（3，4），
令x＝0得到y＝﹣5，
∴C（0，﹣5）．
故答案为：（3，4），（0，﹣5）；
（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，
解得：x＝1或x＝5，
∴A（1，0），B（5，0），
设直线PC的解析式为y＝kx+b，则有
5
34 b
k b
=-
?
?
+=
?
，
(完整版)初三数学二次函数所有经典题型
初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -=
12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1-
九年级数学《二次函数》综合练习题及答案
九年级数学《二次函数》综合练习题 一、基础练习 1把抛物线y=2x 2向上平移1个单位，得到抛物线 _____________ ，把抛物线y=-2x 2?向下平移3个单位，得到 抛物线 _________ . 2 ?抛物线y=3x 2-1的对称轴是 ______ ，顶点坐标为 ________ ，它是由抛物线 y=3x 2?向 _________ 平移 _____ 个单位得到的. 3 .把抛物线y=J 2x 2向左平移1个单位，得到抛物线 _____________ ，把抛物线y=-J2x 2?向右平移3个单位, 得到抛物线 __________ . 4. _____________________________________ 抛物线y=j 3 ( x-1 ) 2的开口向 _____________ ，对称轴为 ，顶点坐标为 __________________________________ , ?它是由抛物线 y=乔x 2向 _______ 平移 _______ 个单位得到的. 1 1 1 5 .把抛物线y=- 1 (X+1) 2向 __________ 平移 _______ 个单位，就得到抛物线 y=-」x 2. 3 2 3 6. _____________________________ 把抛物线y=4 (x-2 ) 2向 平移 个单位，就得到函数 y=4 (x+2) 2的图象. 1 2 1 7. ____________________________________ 函数y=- (x- 1) 2的最大值为 ________ ，函数y=-x 2- 1的最大值为 _________________________________________ . 3 3 &若抛物线y=a (x+m ) 2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2 x 2的形状相同，？开口方向相同，则点(a , m )关于原点的对称点为 __________________ . 9. ___________________________________________________________________ 已知抛物线y=a (x-3 ) 2过点(2, -5 ),则该函数y=a (x-3 ) 2当x= _______________________________________?时，？有最 __ 值 _______ . 10. ________________________________________________________________________________________ 若二次函数y=ax 2+b ,当x 取X 1, X 2 (X 1^x)时，函数值相等，则x 取x 什X 2时，函数的值为 ___________________ . 11. 一台机器原价50万元.如果每年的折旧率是 x ,两年后这台机器的价格为 y?万元，则y 与x 的函数 关系式为( ) A . y=50 (1-x ) 2 B . y=50 (1-x ) 2 C . y=50-x 2 D . y=50 (1+x ) 2 12. 下列命题中，错误的是( ) 13 .顶点为(-5 , 0)且开口方向、形状与函数 1 1 A . y=- (x-5) 2 B . y=- x 2-5 C 3 3 .抛物线 y=- J 3X 2-1不与 x 轴相交； 2 .抛物线 尸孚2-1与 y= 3 (x-1 ) 2 2 形状相同，位置不同 .抛物线 .抛物线 1 y=-- 2 1 y= 2 (x- 1) 2 1 (x+ —) 2 2 的顶点坐标为 2 的对称轴是直线 1 , 0); 2 1 x=— 2 1 y=- =x 2的图象相同的抛物线是( ) 3 1 1 y=- (x+5) 2 D . y= (x+5) 2 3 3
人教版九年级上册数学二次函数知识点总结
二次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质：
1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
(精)人教版数学九年级上册《二次函数》全章教案(最新)
22．1二次函数的图像和性质（一） 一、学习目标 1．知识与技能目标： （1）理解并掌握二次函数的概念； （2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式； （3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。 二、学习重点难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 2．难点：理解二次函数的概念。 三、教学过程 （一）创设情境、导入新课： 回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？ （二）自主探究、合作交流： 问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。问题2：n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系? 问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。 问题5：什么是二次函数？ 形如。 问题6：函数y=ax2+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？
（三）尝试应用： 例1． 关于x 的函数 是二次函数， 求m 的值． 注意：二次函数的二次项系数必须是 的数。 例2． 已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7。求这个二次函数的解析式．(待定系数法) （四）巩固提高： 1．下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=3x －1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2－2x+1; (5)y=x 2－x(1+x); (6)y=x － 2+x ． 2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。 3、n 支球队参加比赛，每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。 4、已知二次函数y=x2+px+q ，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为－ 5， 求这个二次函数的解析式． （五）小结： 1．二次函数的一般形式是 。2．会用 法求二次函数解析式。 （六）作业设计 22．1二次函数 y=ax 2的图像和性质（二） 一．学习目标： m m 2 21)x (m y --=
人教版九年级数学上册二次函数教案
教材分析 本节课是数学新人教版九级（上）第二十二章《二次函数》第一节课内容 二次函数教学设计 一、教学目标知识方面： 1.理解并掌握二次函数的概念； 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式。 3.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 4.通过分析实际问题列出二次函数关系式，培养学生分析问题、解决问题的能力。情感方面：通过学生的主动参与，师生、学生之间的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发他们的求知欲、培养合作意识。 二、教材分析 本节课是数学新人教版九年级（上）第二十二章《二次函数》第一节课内容.知识方面，它是在正比例函数，一次函数，对函数认识的完善与提高；也是对方程的理解的补充，同时也是以后学习初等函数的基础。根据本节的教学内容及学生学情，给彩虹、桥梁等图片这些丰富的生活实例，进一步让学生充分感受到二次函数的应用价值与实际意义。 重点是理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 难点是从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系。 三、教学过程教学过程： 一、提出问题，导入新课。 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？图象形状各是什么？ 2、教师提出问题：投篮球时篮球运行的路线是什么曲线？这种曲线的形状是怎样的？是否象以前学过的函数图象？能否用新的函数关系式来表示？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这将在本章——二次函数中学习。 3、你能举出一些生活中类似的曲线吗？ 二、合作交流，形成概念。1．列式表示下面函数关系。 问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形 的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。 问题2：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 活动中教师关注： （1）学生参与小组合作讨论后，能否明白题意，写出相应关系式。 （2）问题3中可先分析一年后的产量，再得出两年后的产量。 2.教师引导学生观察，分析上面三个函数关系式的共同点。 学生小组交流、讨论得出结论，它们的共同点： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。 a,b,c为常数，且a≠0 （2）等式的右边最高次数为，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。（3）x的取值范围是任意实数。 教师口述二次函数的定义并板书在黑板上：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b，c是常数，a≠0）的函数，叫二次函数。
新人教版九年级上二次函数知识点总结与练习
新人教版九年级上二次函数知识点总结与练习知识点一：二次函数的定义 1．二次函数的定义： 一般地，形如2 =++（a b c y ax bx c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数． 其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 知识点二：二次函数的图象与性质 ? 2. 二次函数()2 =-+的图象与性质 y a x h k （1）二次函数基本形式2 =的图象与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小 y ax （2）2 =+的图象与性质：上加下减 y ax c
（3）()2 y a x h =-的图象与性质：左加右减
（4）二次函数()2 y a x h k =-+的图象与性质 3. 二次函数c bx ax y ++=2的图像与性质 （1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值 2 44ac b a -． （2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值 2 44ac b a -．
4. 二次函数常见方法指导 （1）二次函数2y ax bx c =++图象的画法 ①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线） 利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. ②画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与y 轴的交点，顶点. （2）二次函数图象的平移 平移步骤： ① 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ② 可以由抛物线2 ax 经过适当的平移得到具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． （3）用待定系数法求二次函数的解析式 ①一般式：.已知图象上三点或三对、 的值，通常选择一般式. ②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. ③交点式： .已知图象与轴的交点坐标 、 ，通常选择交点式. （4）求抛物线的顶点、对称轴的方法 ①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ?? ? ??+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2- =. ②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.
初三数学二次函数知识点总结
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数， 0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．
新人教版九年级上册数学：《二次函数》基础练习含答案(5套)
时间：10分钟 满分：25分 一、选择题(每小题3分，共6分) 1．若y ＝mx 2＋nx －p (其中m ，n ，p 是常数)为二次函数，则( ) A ．m ，n ，p 均不为0 B ．m ≠0，且n ≠0 C ．m ≠0 D ．m ≠0，或p ≠0 2．当ab >0时，y ＝ax 2与y ＝ax ＋b 的图象大致是( ) 二、填空题(每小题4分，共8分) 3．若y ＝x m － 1＋2x 是二次函数，则m ＝________. 4．二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图J22-1-1，则k 的取值范围为________． 图J22-1-1 三、解答题(共11分) 5．在如图J22-1-2所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数y ＝2x 2和y ＝－12 x 2 的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)： 图J22-1-2 (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线y ＝2x 2，当x ______时，抛物线上的点都在x 轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数y ＝－1 2 x 2，对于一切x 的值，总有函数y ______0；当x ______时，y 有 最______值是______．
时间：10分钟 满分：25分 一、选择题(每小题3分，共6分) 1．下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( ) A ．y ＝x 2＋1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝(x ＋1)2 D ．y ＝(x －1)2 2．二次函数y ＝－x 2＋2x 的图象可能是( ) 二、填空题(每小题4分，共8分) 3．抛物线y ＝x 2 ＋14 的开口向________，对称轴是________． 4．将二次函数y ＝2x 2＋6x ＋3化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式是________． 三、解答题(共11分) 5．已知二次函数y ＝－12 x 2 ＋x ＋4. (1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (2)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？
人教版九年级数学二次函数应用题(含答案)
人教版九年级数学二次函数实际问题（含答案） 一、单选题 2+2t，则当t=4t（米）与时间（秒）的关系式为s=5t时，该物体所经1.在一定条件下，若物体运动的路程s过的路程为][ A．28米 B．48米 C. 68米 米．88 D2 +bx+c的图象过点(1，0)……2.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：y=ax 求证这个二次函数的，题中的二次函数确定具有的性质是图象关于直线x=2对称．][ A．过点(3，0) B．顶点是(2，-1) C．在x轴上截得的线段的长是3 3)(0，D．与y轴的交点是3.某幢建筑物，从10 m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面 是离墙的距离OB1m，离地面m，则水流落地点BM垂直），如图，如果抛物线的最高点离墙 A．2m B．3m C .4 m m5 D． 之间的函数关系式是，则该运与水平距离4.如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)x(m)页9共,页1第 动员此次掷铅球的成绩是
][ A．6 m B．8m C. 10 m m．12 D 2，若滑到间的关系为S=l0t+2t的斜坡笔直滑下，滑下的距离S(m)与时间5.某人乘雪橇沿坡度为1t(s)：4s，则此人下降的高度为坡底的时间为][ A．72 m 36 ．m BC．36 m m．18D2 +50x-500，则要想满足关系y=-x与销售单价x(元))6.童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y(元获得最大利润，销售单价为][ A．25元 B．20元 C．30元 元40D．7.中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高（球门距横梁底侧高）入2 +bx+c所示，则下列结论正确的是网．若足球运行的路线是抛物线y=ax -12a0 初中数学试卷 二次函数单元测试题 一、选择题： 1、已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（） A. B. C.且 D.且 2、抛物线y=2（x﹣3）2的顶点在（） A．第一象限B．第二象限C．x轴上D．y轴上 3、函数的顶点坐标是（）． A.(1，) B.(，3) C.(1，-2) D.（-1，2） 4、把抛物线y=﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（） A.y=-2（x-1）2+6 B.y=﹣2（x-1）2-6 C.y=-2（x+1）2+6 D.y=-2（x+1）2-6 5、如图，正方形ABCD的边长为5，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且BE=DF．四边形AEGF 是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为（） A．y=5﹣x B．y=5﹣x2C．y=25﹣x D．y=25﹣x2 6、若二次函数的对称轴是x=3，则关于x的方程的解为（） A.=0，=6 B.=1，=7 C.=1，=－7 D.=－1，=7 7、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（） A．B．C．D． 8、抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示： x…﹣2﹣1012… y…04664… 从上表可知，下列说法中，错误的是（） A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0） B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6） C．抛物线的对称轴是直线x=0 D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的 9、在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能 二次函数单元测评 一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 二、4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第 ___象限() A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么 AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx 的图象只可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3， y3)是直线上的点，且-1 初三数学 二次函数讲义 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 22.1.1 二次函数 一、教学目标 1．知识与技能目标: （1）．使学生理解并掌握二次函数的概念 （2）．能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式 （3）．能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式，体会函数的模型思想 2．过程与方法目标; 通过“探究----感悟----练习”，采用探究、讨论等方法进行。 3．情感态度与价值观: 通过对几个特殊的二次函数的讲解，向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育 二、教学重、难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 2．难点：理解二次函数的概念. 三、教学过程 1、知识回顾 （1）．什么是变量，常量？ （2）．函数的定义是什么，有什么表现形式？ （3） 函数的图象怎么构成，如何作函数的图象？ 2、合作学习，探索新知 : 问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x ,表面积为y ,那么y 与x 的关系可表示为? y=6x 2 问题2: n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m 与球队数n 有什么关系? m=21122 n n 问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果 每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定,y 与x 之间的关系怎样表示? y=20x 2+40x+20 观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?引导学生从自变量最高次数思考。 经化简后都具有y=ax2+bx+c 的形式,(a,b,c 是常数, a≠0 ). 我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c 是常数，a≠0)的函数叫做二次函数 称：a 为二次项系数，ax 2叫做二次项;b 为一次项系数，bx 叫做一次项;c 为常数项. 又例：y=x2 + 2x – 3 满足什么条件时 当，是常数其中函数c b,a,)c b,a,c(bx ax y 2++= (1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ 3、巩固练习: 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x. 2.做一做: （1）正方形边长为x （cm ），它的面积y （cm2）是多少？ （2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x 厘米，宽增加2x 厘米,则面积增加到y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式． 4、例题讲解: 例1: 关于x 的函数是二次函数, 求m 的值. 解: 由题意可得 注意:二次函数的二次项系数不能为零 m m x m y -+=2)1(012 2≠+=-m m m 时，函数为二次函数。当解得，22 =∴=m m 人教版九年级数学上册二次函数专题练习（解析版） 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A，C，连接CD．（1）求抛物线和直线AC的解析式： （2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2 y x2x3 =-++；3 y x =-+；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3） 【解析】 【分析】 （1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求出b，c得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A，C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论； （2）利用抛物线的对称性得出BD＝AD，进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等，即可得出结论； （3）分点Q在x轴上方和在x轴下方，构造全等三角形即可得出结论． 【详解】 解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bc+c中，得 930 10 b c b c -++= ? ? --+= ? ， ∴ 2 3 b c = ? ? = ? ， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， 当x＝0时，y＝3， ∴点C的坐标是（0，3）， 把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得1 1 30 3 k b b += ? ? = ? ， ∴ 1 1 3 k b =- ? ? = ? ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3； 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0 初中数学试卷 二次函数 ——二次函数的定义、图像及性质 一、二次函数的定义 形如y=a x2+bx+c(a, b, c是常数,a≠0),那么，y叫做x的二次函数。 【例题1】 （1）下列函数中，是二次函数的为（） A． B.y= C. D. （2）函数是二次函数，则m的值为（）A.1或—6 B.1 C.—2或3 D.3 二、二次函数的图像——抓住a、b、c 【例2】 （1）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2（m是常数，且m≠ 0）的图象可能是（） （2）函数与（k≠0）在同一坐标系中图像大致是图中的 （） （3）已知：a＞b＞c，且a+b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（） （4）设a、b是常数，且b＞0，抛物线为下图中四个图像之一，则a的值为（） （5）二次函数的图像的一部分如图所示，求a的取值范围 三、二次函数的图像性质 1.点的坐标 【例3】 （1）已知抛物线的顶点在坐标轴上，则k的值共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 （2）若抛物线的顶点的纵坐标为n，则k-n的值为_______. 2.二次函数的单调性 【例4】 （1）若点A（2，y 1），B（3，y 2 ）是二次函数图像上的两点， 则y 1与y 2 的大小关系是（） A．y1＜y2B．y1=y2C．y1＞y2D．不能确定 （2）已知a＜—1，点（a-1, y1），（a, y2）（a+1，y3）都在二次函数 的图像上，则y1、y2、y3 的大小关系为_______. 四、二次函数的最值问题——配方法、顶点法 【例5】 （1）二次函数的最小值是_______. （2）已知实数x，y满足，则x+y的最大值为______. （3）当二次函数的最小值为（） A.—4 B.— C.— D. （4）当—1≤x≤1时，二次函数y= x2-mx+3有最小值—3,求m的值。 初三数学培优卷：二次函数考点分析培优 ★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点： 开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点． ★★二次函数y=ax 2 +bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0） 一般式：y=ax 2 +bx+c ，三个点 顶点式：y=a （x －h ）2 +k ，顶点坐标对称轴 顶点坐标（－2b a ，244ac b a -）． 顶点坐标（h ，k ） ★★★a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大， a ， b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴 x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－2b a <0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b?异号时，对称轴x=－2b a >0， 即对称轴在y c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y 轴交于正半轴；c<0时，与y?轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出． 交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况） 与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2 对称轴为2 2 1x x h += 1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是 2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 ２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与抛物 线y= - 2x 2 相同，这个函数解析式为________。 ３.如果函数1)3(232 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数,则k 的值是______ ４.（08绍兴）已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线 21y x =-上，下列说法中正确的是（ ） A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y > ５.(兰州10) 抛物线c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为 322--=x x y ，则b 、c 的值为 A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 ★６.抛物线5)43()1(2 2 +--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M ＝ ７.二次函数52 -+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值，则m 的取值范围是 8.函数 2 45(5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______ 时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数. 9.抛物线2 )13(-=x y 当x 时，Y 随X 的增大而增大 10.抛物线42 ++=ax x y 的顶点在X 轴上，则a 值为 ★11.已知二次函数2 )3(2--=x y ，当X 取1x 和2x 时函数值相等，当X 取1x +2x 时函数值为 12.若二次函数k ax y +=2 ，当X 取X1和X2（21x x ≠）时函数值相等,则当X 取X1+X2时，函数值为 13.若函数2)3(-=x a y 过（２.９）点，则当X ＝４时函数值Y ＝ ★14.若函数k h x y ---=2)(的顶点在第二象限则， h 0 ，k 0 15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是１.且过（３.０）点求解析式？ 16.将121222 --=x x y 变为n m x a y +-=2 )(的形式，则n m ?=_____。 ★17.已知抛物线在X 轴上截得的线段长为６.且顶点坐标为（２，３）求解析式？（讲解对称性书写）人教版九年级数学上册二次函数 单元测试题
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