第3章 不等式
掌门1对1教育 高中数学
第三章 不等式
§3.1、不等关系与不等式
1、不等式的基本性质
①（对称性）a b b a >?>
②（传递性）,a b b c a c >>?>
③（可加性）a b a c b c >?+>+
（同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>,
（异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>,
④（可积性）bc ac c b a >?>>0,
bc ac c b a 0,
⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?>
（异向正数可除性）0,0a b a b c d c d
>>< ⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且
⑧（倒数法则）b
a b a b a b a 110;110>?<<
>> 2、几个重要不等式 ①()22
2a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22
.2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2
a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2.2a b ab +??≤ ???
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、
三相等”.
一正
A 、
B 都必须是正数．
二定
1.在A+B 为定值时,便可以知道A ·B 的最大值；
2.在A ·B 为定值时,便可以知道A+B 的最小值．
三相等
当且仅当A 、B 相等时,等式成立；即
① A=B ? A+B=2√AB ；
② A ≠B ? A+B>2√AB ．
③（三个正数的算术—几何平均不等式）33
a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.
④()222
a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）.
⑤333
3(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>
（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b
>+≥若则
（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b
<+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1 其中(000)a b m n >>>>，，
规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或
22.x a x a a x a
3、几个著名不等式 ①平均不等式：22
11222
a b a b ab a b --++≤≤≤+ ()a b R +
∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. （即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）. 变形公式：
2
22;22a b a b ab ++??≤≤ ??? 2
22
().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：
222212121...(...).n n a a a a a a n
+++≥+++ ③二维形式的三角不等式：
22222211221212()()x y x y x x y y +++≥-+-
1122(,,,).x y x y R ∈
④二维形式的柯西不等式： 22222
()()()(,,,).a b c d a c b d a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式：
2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++
⑥一般形式的柯西不等式：
2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++
⑦向量形式的柯西不等式：
设,αβ 是两个向量，则,αβαβ?≤ 当且仅当β 是零向量，或存在实数k ，使k αβ
= 时，等号成立.
⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则
12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（
反序和≤乱序和≤顺序和）
当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.
⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）
若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有
12121212()()()()()().2222
x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或 则称f(x)为凸（或凹）函数.
4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；
其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如22131()();242
a a ++
>+ ②将分子或分母放大（缩小），如 211,(1)k k k <- 211,(1)
k k k >+ 2
212(),21
k k k k k k ==<++- *12(,1)1
k N k k k k >∈>++等.
5、一元二次不等式的解法
求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或
2(0,40)a b ac ≠?=->解集的步骤：
一化：化二次项前的系数为正数.
二判：判断对应方程的根.
三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.
6、高次不等式的解法：穿根法.
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.
7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
()0()()0()
()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >??>?≥?≥??≠? （<≤“或”时同理）
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 ⑴
2()0()(0)()f x f x a a f x a ≥?>>??>? ⑵2()0()(0)()f x f x a a f x a
≥?<>??
⑶2()0()0()()()0()0()[()]f x f x f x g x g x g x f x g x >?≥??>?≥???
或 ⑷2()0()()()0
()[()]f x f x g x g x f x g x ≥????
⑸
()0()()()0
()()f x f x g x g x f x g x ≥??>?≥??>? 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.
9、指数不等式的解法：
⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >?>
⑵当01a <<时, ()()()()f x g x a a f x g x >?< 规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法
⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >??>?>??>?
⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0
.()()a a f x f x g x g x f x g x >??>?>??
规律：根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法：
⑴定义法：(0).(0)
a a a a a ≥?=?-
①(0);x a a x a a ≤?-≤≤≥
②(0);x a x a x a a ≥?≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f x g x g x f x g x g x ≤?-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥?≥≤-≥或 规律：关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法： 规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法
解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：
⑴讨论a 与0的大小；
⑵讨论?与0的大小；
⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题
⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
①当0a =时 0,0;b c ?=>
②当0a ≠时00.a >???
?
①当0a =时0,0;b c ?=<
②当0a ≠时00.a
⑶()f x a <恒成立max ();f x a ?<
()f x a ≤恒成立max ();f x a ?≤
⑷()f x a >恒成立min ();f x a ?>
()f x a ≥恒成立min ().f x a ?≥
15、线性规划问题 ⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：
法一：取点定域法：
由于直线0Ax By C ++=的同一侧的所有点的坐标代入Ax By C ++后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)x y （如原点），由00Ax By C ++的正负即可判断出0Ax By C ++>(或0)<表示直线哪一侧的平面区域.
即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.
法二：根据0Ax By C ++>(或0)<，观察B 的符号与不等式开口的符号，若同号，0Ax By C ++>(或0)<表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.
⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
⑶利用线性规划求目标函数z Ax By =+(,A B 为常数）的最值：
法一：角点法：
如果目标函数z Ax By =+ （x y 、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z 值，最大的那个数为目标函数z 的最大值，最小的那个数为目标函数z 的最小值 法二：画——移——定——求：
第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0l Ax By += ，平移直线0l （据可行域，将直线0l 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(,)x y ；第四步，将最优解(,)x y 代入目标函数z Ax By =+即可求出最大值或最小值 .
第二步中最优解的确定方法：
利用z 的几何意义：A z y x B B =-+,z B
为直线的纵截距. ①若0,B >则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；
②若0,B <则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值. ⑷常见的目标函数的类型： ①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x
=或;y b z x a -=- ③“距离”型：22z x y =+或22;z x y =
+ 22()()z x a y b =-+-或22()().z x a y b =-+-
在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.
【数学】人教版七(上)数学第三章一元一次方程单元测试
人教版七（上）数学第三章一元一次方程单元测试 一、选择题：（每小题3分共30分） 1．下列关于的方程一定是一元一次方程的是（） A. B. C. D. 2．下列的值是方程的解的是（） A. B. C. D. 3．下列关于等式与方程的说法，正确的是（） A．含有运算符号的式子是等式 B．含有“=”的式子是方程 C．方程一定是等式 D．等式一定是方程 4．把方程移项，得（） A. B. C. D. 5．如果7a－5与3－5a互为相反数，则a的值为（） A.0 B.1 C.－l D.2 6．方程的解是（） A.4 B.-4 C. D. 7．解方程时，去分母正确的是（） A. B. C. D. 8．方程的解是（） A. B. C. D. 9．有一张桌子配4张椅子，现有90立方米，1立方米可做木料可做5张椅子或1张桌子，要使桌子和椅子刚好配套,应该用立方米的木料做桌子,则依题意可列方程为 A． B． C． D． 10．A、B两地相距900km，一列快车以200/ km h的速度从A地匀速驶往B地，到达B 地后立刻原路返回A地，一列慢车以75/ km h的速度从B地匀速驶往A地.两车同时出发，截止到它们都到达终点的过程中，两车第四次相距200km时，行驶的时间是（） A．28 3 h B． 44 5 h C． 28 5 h D．4h 二、填空题：（每小题3分共18分） 11．将一根底面积为28.26平方厘米，高为10厘米的圆柱形铁块锻压成底面积为78.5平方
厘米的“胖”铁块，此时的高为____________. 12．成人票、学生票共1000张票，若设学生票有x张，则成人票有______张，若成人票8元，学生票5元，这1000张票共花费6950元，根据此题意，可列方程______. 13．已知，两镇相距，甲、乙二人同时从，两镇出发，相向而行.甲骑电动车每小时行，乙骑自行车每小时行，甲、乙二人经过__________小时相遇. 14．某种商品按进价提高50%后标价，又打八折销售，售价为每件360元，若设进价是x元，则可列方程____________________. 15．某长方形足球场的周长为340米，长比宽多20米，问这个足球场的长和宽各是多少米. （1）若设这个足球场的宽为x米，那么长为_______米。由此可列方程______________；（2）若设长为x米，可列方程_______________. 16．小张的爸爸在上周星期六骑摩托车带小张和弟弟到离家27千米的游乐园玩耍，爸爸自己骑摩托车的速度为26千米/时，由于摩托车后座只能搭乘一人，搭一人的速度为24千米/时，当天三人同时从家出发，弟弟以4千米/时的速度步行，爸爸带小张骑摩托车行驶一定路程后，小张下车以6千米时的速度步行前往游乐园，爸爸返回接弟弟，接上弟弟后直接去游乐园排队买票，爸爸花了5分钟买好票，此时小张也正好到达、(爸爸骑摩托车掉头和停放摩托车的时间忽略不计)问：小张搭乘摩托车的路程为______千米． 三.解答题：（共72分） 17．解下列方程： （1）；（2）； （3）；（4）. 18．用长、宽、高分别为15cm，15cm，18cm的长方体容器装满水，向另一个长、宽、高分别20cm，15cm，10cm的长方体铁盒内倒水，倒完水后，长方体铁盒的水面高度离盒口有多少厘米？ 19．在某市一项城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标.经测算：甲队单独完成这
40道一元一次不等式组计算及答案
作品编号：DG13485201600078972981 创作者：玫霸* （1）2X-4≤X+2 与X≥3 解集为3≤X≤6 （2）2X-1＞1 与4-2X≤0 解集为无解 （3）3X+2＞5 与5-2≥1 解集为1＜X≤2 （4）X﹣1＜2 与2X+3＞2+X 解集为-1＜X＜3 （5）X+3＞1 与X﹢2（X-1）≤1 解集为-2＜X≤1 （6）2X+1≤3 与X＞-3 解集为1≤X＞-3 （7）2X+5＞1 与3X+7X≤10 解集为1≥X＞2 （8）2X-1＞X+1 与X+8＜4X-1 解集为X＞3 （9）1-2（X-1）≤5与2/（3X-2）＜X+1/2解集为-1≤X＜3 （10）2X≤4+X 与X+2＜4X-1解集为1＜X≤4 （11）2-X＞0 与2/（5X+1）+1≥3/（2X-1）解集为-1≤X ＜2 （12）1-X＜0 与2/（X-2）＜1 解集为1＜X＜4 （13）2-X＜3 与2-X≥0 解集为2≥X＞1 （14）2X+10＞-5 与6X-7≥10 解集为X＞17/6 （15）6X+6＞8 与3X+10＜5 解集为-（3/5）＞X＞-3 （16）6X+6X24 与10X+（1/2）X＜-42 解集为无解
（17）24X-20X＞4 与8X+4X≤24解集为2≥X＞1 （18）9X-5X＜8 与15X+5X＞80 解集为无解 （19）X+X≤1 与2X+（1/2）X＞100 解集为无解 （20）2011X-2012X≤1 与2013X-2012X≥1 解集为1≤X (21)4X-X＞6 与10X+5X＜15 解集为无解 （22）-5X-6X≤-22 与5X-9X≥24 解集为无解（23）（1/5）X+（1/5）X＞2/5 与X+10X＞22 解集为X＞2 （24）55X+55X＜220 与66X+10X＜38 解集为X＜1/2 （25）70X+1≤71 与53X-13X≤40 解集为X≤1 （26）X+1＜7 与X-1＞10 解集为无解 （27）5X+5＞5 与2X+3X＞9 解集为X＞9/5 （28）85X-5X ＜8 与50X+30X＜5 解集为X＜1/16 （29）2X≤14 与6X ＜6 解集为X＜1 （30）15X+15≥30 与6X-8X≥4 解集为-2≥X≥1 （31）2X≥160 与4X≥316 解集为X≥80 （32）35X-27X ＞136 与20X+20X＜800解集为20＞X＞17 （33）55X≤165 与56X＞112 解集为2＜X≤3 （34）20X+18X≥76 与2X≥2 解集为X≥2 （35）59X+X＞600 与55X+35X＜1350 解集为10＜X＜
一元一次不等式组及其应用单元测试
第三章 一元一次不等式(组)及其应用单元测试 一、填空题: 1．若关于x 的不等式（a-1）x
必修5-第三章不等式知识点总结
不等式知识总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,；bc ac c b a 0,;bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,>; (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax （0>a ）和)0(02><++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 )(x x < 有两相等实根b x - == 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于取两边，小于取中间 三、均值不等式：若0a >，0b >，则a b +≥，即).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 1. 使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 2、常用的基本不等式：①()2 2 2,a b ab a b R +≥∈；②()22 ,2 a b ab a b R +≤∈； ③()20,02a b ab a b +?? ≤>> ???；④()2 22,22a b a b a b R ++??≥∈ ? ?? ;⑤)0(2>≥+ab b a a b 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 211 2 a b a b +≥≥ ≥ +（当a = b 时取等）
第三章一元一次方程单元测试题及答案
第三章一元一次方程 单元测试题 一、 选择题（每小题3分，共36分） 1．下列等式中是一元一次方程的是（ ） A ．S=21ab B. x －y =0 C.x =0 D .3 21+x =1 ２．已知方程(m +1)x ∣m ∣ +3=0是关于x 的一元一次方程，则m 的值是（ ） A.±1 B.1 C.-1 D.０或１ ３．下列解方程过程中，变形正确的是（ ） Ａ.由2x -1=3得2x =3-1 Ｂ.由4x +1=1.013.0+x +1.2得4x +1=1 103+x +12 Ｃ.由-75x =76得x =-7675 Ｄ.由3x -2 x =1得2x -3x =6 4.已知x =－3是方程k (x +4)－2k －x =5的解，则k 的值是（ ） Ａ.－２ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.５ ５．若代数式x －3 1x +的值是２，则x 的值是 （ ） (A)0.75 (B)1.75 (C)1.5 (D) 3.5 6.方程2x －6=0的解是（ ） Ａ.３ Ｂ.－３ Ｃ.±３ Ｄ.31 ７.若代数式3a 4b x 2与0.2b 13-x a 4是同类项，则x 的值是（ ） Ａ.21 Ｂ.１ Ｃ.3 1 Ｄ.０ ８. 甲数比乙数的4 1还多1，设甲数为x ，则乙数可表示为 ( ) A.14 1+x B.14-x C.)1(4-x D. )1(4+x ９．初一（一）班举行了一次集邮展览，展出的邮票比平均每人3张多24张，比平均每人4张少26张，这个班共展出邮票的张数是（ ） A.164 B.178 C.168 D.174 10.设P=2y -2，Q=2y +3，且3P-Q=1，则y 的值是（ ） A. 0.4 B. 2.5 C. －0.4 D. －2.5 11．方程2－6 7342--=-x x 去分母得 （ ） A ．2－2(2x －4)=－(x －7) B.12－2(2x －4)=－x －7 C.12－2(2x －4)=－(x －7) D.以上答案均不对 12．一件商品提价25%后发现销路不是很好，欲恢复原价，则应降价（ ） A.40% B.20% C25% D.15%
一元一次不等式组100道计算题
一元一次不等式组计算题 1. ???-≤+>+1 45321x x x x 2. 31422x x x ->??<+? 3. 512324x x x x ->+??+-??+<-? 5. 230 320x x -? 6. 23182x x x >-??-≤-? 7. 253(2)123x x x x +≤+??-?
9. ?? ???-≤-+>+31 2214513x x x x ）（ 10. ?????>+-≥+x x x x 4121213）（ ）（ 11. ?? ? ??+<-<->+4 120520 13x x x x 12. ?????+<++≤--->+3.22.05.02832)1(42x x x x x x 13. ? ??-≤+>+145321x x x x 14. 314,2 2.x x x ->??<+? 15. 230320x x -? 16. 512,324.x x x x ->+??+
17. 21, 24 1.x x x x >-??+<-? 18. 2 51,3311.48x x x x ?+>-????-<-?? 19. 3(2)451312 x x x x x -+? 21. ?????-≥-->+35663 4)1(513x x x x 22. ??? ??-≤-+>+3122145)1(3x x x x
第三章一元一次方程复习
第三章 一元一次方程复习 【复习目标】：1.使学生对本章所学知识及其间的关系有一个总体认识，对数学建模思想和 解方程中的化归思想有较深刻的认识； 2. 熟练掌握一元一次方程的解法，能列方程解应用题。 【重点难点】：一元一次方程的解法，列方程解应用题。 【导学指导】 一、知识结构（师生共同完成---课件显示） 二、知识要点回顾 （一）方程的概念 1. 方程：含 的等式叫做方程 。 2. 方程的解：使方程的等号左右两边相等的 ，就是方程的解。 3.解方程：求 的过程叫做解方程。 4. 一元一次方程：只含有 未知数（元），未知数的最高次数是 的 方程叫做一元一次方程。 （二）方程变形——解方程的重要依据 1、等式的基本性质 等式的性质1：等式的两边同时加（或减） （ ），结果仍相等。 即：如果a =b ，那么a ±c =b ； 等式的性质2：等式的两边同时乘 ，或除以 数，结果仍相等。 即：如果a =b ，那么ac =bc ； 或 如果a =b ，那么 a b c c =（c ≠0） 2、分数的基本的性质 分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。 即： b a =bm am =m b m a ÷÷（其中m ≠0） 分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如下面的方程： 5 .03-x －2.04 +x =1.6，将上方程化为下面的形式后，更可用习惯的方法解了。 53010-x －2 40 10+x =1.6 （三）、解一元一次方程的一般步骤
说明： 1、上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五个步骤； 2、解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法； 3、对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解。
新人教第九章《不等式与不等式组》单元测试题及答案
第九章不等式及不等式组测试题 1．满足不等式45 ) 31(22≤--x π 的整数是 （ ） A ．-1，0，1，2，3 B. 0，1，2，3 C ．0，1 D. -3,-2,-1,0,1 2.同时使不等式x x 52)1(3-+-φ与 x x 2 3 7121-≤-成立的所有整数积是 （ ） A ．12 B. 3 C. 7 D. 24 3. 已知x 和y 满足1,243πy x y x -=+，则 （ ） A ．76= x B. 71-=y C. 76φx D.7 1 -φy 4. 已知a
_ D _ C _ B _ A 10.设 .表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，情况如图，那么 这三种物体按质量从大到小的顺序为（ ） 11.用恰当的不等号表示下列关系: ①a 的5倍与8的和比b 的3倍小:_______________; ②x 比y 大4:______________. 12.不等式3(x+1)≥5x-3的正整数解是_________; 13.若a<1,则不等式(a-1)x>1的解集为___ . 14.若x=3是方程 2x a --2=x-1的解,则不等式(5-a)x<1 2 的解集是_______. 15.若不等式组21 23 x a x b -?的解集为-1
40道一元一次不等式组计算及答案
（1）2X-4≤X+2 与X≥3 解集为3≤X≤6 （2）2X-1＞1 与 4-2X≤0 解集为无解 （3）3X+2＞5 与 5-2≥1 解集为1＜X≤2 （4）X﹣1＜2 与 2X+3＞2+X 解集为-1＜X＜3 （5）X+3＞1 与 X﹢2（X-1）≤1 解集为-2＜X≤1 （6）2X+1≤3 与 X＞-3 解集为1≤X＞-3 （7）2X+5＞1 与3X+7X≤10 解集为1≥X＞2 （8）2X-1＞X+1 与 X+8＜4X-1 解集为X＞3 （9）1-2（X-1）≤5与2/（3X-2）＜X+1/2解集为-1≤X＜3 （10）2X≤4+X 与 X+2＜4X-1解集为1＜X≤4 （11）2-X＞0 与 2/（5X+1）+1≥3/（2X-1）解集为-1≤X＜2 （12）1-X＜0 与 2/（X-2）＜1 解集为1＜X＜4 （13）2-X＜3 与 2-X≥0 解集为2≥X＞1 （14）2X+10＞-5 与 6X-7≥10 解集为X＞17/6 （15）6X+6＞8 与 3X+10＜5 解集为-（3/5）＞X＞-3 （16）6X+6X24 与 10X+（1/2）X＜-42 解集为无解 （17）24X-20X＞4 与8X+4X≤24解集为2≥X＞1 （18）9X-5X＜8 与 15X+5X＞80 解集为无解
（19）X+X≤1 与 2X+（1/2）X＞100 解集为无解 （20）2011X-2012X≤1 与 2013X-2012X≥1 解集为1≤X (21)4X-X＞6 与 10X+5X＜15 解集为无解 （22）-5X-6X≤-22 与 5X-9X≥24 解集为无解（23）（1/5）X+（1/5）X＞2/5 与 X+10X＞22 解集为X＞2 （24）55X+55X＜220 与 66X+10X＜38 解集为X＜1/2 （25）70X+1≤71 与 53X-13X≤40 解集为X≤1 （26）X+1＜7 与 X-1＞10 解集为无解 （27）5X+5＞5 与 2X+3X＞9 解集为X＞9/5 （28）85X-5X＜8 与 50X+30X＜5 解集为X＜1/16 （29）2X≤14 与 6X＜6 解集为X＜1 （30）15X+15≥30 与 6X-8X≥4 解集为-2≥X≥1 （31）2X≥160 与4X≥316 解集为X≥80 （32）35X-27X＞136 与 20X+20X＜800解集为20＞X＞17 （33）55X≤165 与 56X＞112 解集为2＜X≤3 （34）20X+18X≥76 与2X≥2 解集为X≥2 （35）59X+X＞600 与 55X+35X＜1350 解集为10＜X＜15 （36）60X＜120 与 5X+5X＜10 解集为X＜1 （37）100X＜20X+1200 与 2X＜30X+10 解集为X＜5/14 （
必修五第三章不等式练习题(含答案)
不 等 式 练 习 题 第一部分 1．下列不等式中成立的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，则22a b > C ．若0a b <<，则22a ab b << D ．若0a b <<，则 11>a b 2．已知1133 4 4 333,,552a b c ---?????? === ? ? ???????，则,,a b c 的大小关系是（ ） (A).c a b << (B)a b c << (C)b a c << (D)c b a << 3．已知,,a b c 满足c b a <<且0ac <，下列选项中不一定．．．成立的是（ ） （A ）ab ac > （B ）()0c b a -> （C ）22cb ab > （D ）()0ac a c -< 4．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b=b a ab ++（a , b 为正实数），若1⊙k 2<3，则k 的取值范围为 （ ） A ．11k -<< B ．01k << C ．10k -<< D ．02k << 5．若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0a b <<，则 11 a b < D ．若0a b <<，则b a a b > 6．设0.5342log log 2a b c π-===，，，则（ ） A.b a c >> B. b c a >> C. a b c >> D.a c b >> 7．在R 上定义运算)1(:y x y x -=??，若不等式x a x a x 对任意实数1)()(<+?-成立，则实数a 的取值范围是( )． A ．{a|11<<-a } B ．{a|20< 一元一次方程知识点归纳及典型例题 实验中学 马贵荣编 第三章 【相关概念】 1、方程：含 2、方程的解：使方程的等号左右两边相等的_ ， 就是方程的解［2］。 3、解方程：求 ___________ 的过程叫做解方程。 4、一元一次方程［3］ 的等式叫做方程⑴ 只含有一个未知数（元），未知数的最高次数是.1 的整式方程叫做一元一次方程。 ［基础练习］ 1☆选项中是方程的是（） 2 A.3+2=5 B. a-1>2 C. a + b2一5 D. a2+2a-3=5 2☆下列各数是方程a2+a+3=5的解的是（） A.2 B. -2 C.1 D. 1 和-2 3☆下列方程是一元一次方程的是（） 2 A. — +仁5 B. 3（m-1 ）-1 =2 C. x-y=6 D.都不是 x ［1］由方程的定义可知，方程必须满足两个条件：一要是等式，二要含有未知数〖见基础练习T1〗。 ［2］方程的解的个数随方程的不同而有多有少〖见基础练习T2〗，但一个一元一次方程有且. 只有一个解。 ［3］一元一次方程的一般形式.：ax b 0 （a、b为常数，且a工0，即末知数的系数一 定不能为0）〖见基础练习T5〗。 一元一次方程，一定是整式方程（也就是说: 等号两边的式子都是整式）。如：3x —5=6x，其左边是一次二项式（多项式）3x—5，而右边是 单项式6x。 所以只要分母中含有未知数的方程一定不是整式方程（也就不可能是一元一次方程了），如〖基础练习T3〗。 一元一次方程知识点归纳及典型例题 实验中学 4★若x=4是方程-a =4的解，贝U a等于（ 2 5★★已知关于x的一元一次方程a x —b x=m （m^ 0） 1 A. 0 B. C.-3 D.-2 2 有解，则有（） 、【方程变形一一解方程的重要依据】〔、▲等式的基本性质 ?等式的性质1:等式的两边同时加（或减）__________ 即：如果a b ,那么a c b ________ 。 ?等式的性质2：等式的两边同时乘_________ ，或除以 a b a b,那么ac be 或如果a=b （____________ ）,那么一一 c e 等式的两边，结果）,结果仍相等。 数，结果仍相等。即：如果 【注：等式的性质（补充）：___ 仍相等。即：如果a=b，那么b=a】2、△分数的基本的性质⑷分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。 即：一 = am=^^ （其中m^0）b bm b m ［基础练习］ 利用等式的性质解方程：2x+13=12 第一步：在等式的两边同时 _________ 第二步：在等式的两边同时 _________ 解得：x= 2^下列变形中，正确的是（［4］▲分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如下面的方程： x 3 x 4 . ---------------- =1.6 0.5 0.2 将上方程化为下面的形式后，更可用习惯的方法解了。 10x 30 10x 40 . ------------------------- =1.6 5 2 注意：方程的右边没有变化，这 x 必修5第三章《不等式》单元测试题 班级 ____________ 姓名 __________________ 座号 __________ 分数 ______________ 一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 不等式（x - 1）（x — 3）>0的解集为 （ ） A.{x|x<1} B. { x| x>3} C. { x| x<1 或x>3} D. {x|1 x 5?已知x ?3y-2=0,则3—27y ?1的最小值是 （ ） 6.已知不等式ax 2 -5x b 0的解集为{x | -3 ：：： x ：：： 2},则不等式bx^ 5x a ■ 0的 解集为() 1 1 A 、{x 1 2 x } B 3 2 C {x| ^3 :：: x :：: 2} D 4小题，每小题6分，共24分，将答案填在题后的横线 上） 1. _____________________________________________________ 已知集合 M={x|x>6},N={x|x 2 — 6x - 27<0},则MA N= ___________________ 2 .若关于x 的不等式十 a >0的解集为{x| — 3 1. ???-≤+>+1 45321x x x x 31422x x x ->??<+? 512324x x x x ->+??+-??+<-? 5. 230320x x -? 23182x x x >-??-≤-? 253(2)12 3x x x x +≤+??-?+31 22 14513x x x x ）（ ?????>+-≥+x x x x 4121213）（）（ ?????+<-<->+412052013x x x x . ?? ? ??+<++≤--->+3 .22.05.02832)1(42x x x x x x ???-≤+>+145321x x x x 314,2 2.x x x ->??<+? 230320x x -? 512,324.x x x x ->+??+-??+<-? 2 51,3311.48x x x x ?+>-????-<-?? 19. 3(2)451312 x x x x x -+? ?????-≥-->+356634)1(513x x x x ?????-≤-+>+3122145)1(3x x x x ???????-<-+<-.3212 112)2(31x x x x . 253(2)123x x x x +≤+??-?-? ? ???≤+-<+51148x x x 270≤523x -≤1 －1＜213-x ≤4 1．不等式的基本性质 不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质． 2．一元二次不等式的求解方法 (1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 当m 无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B>0时，①Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；②Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域．4．求目标函数最优解的两种方法 (1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等； (2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解． 5．运用基本不等式求最值，把握三个条件 (1)“一正”——各项为正数； (2)“二定”——“和”或“积”为定值； (3)“三相等”——等号一定能取到． 题型一“三个二次”之间的关系 对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：①相应的二次函数图象及与x轴的交点，②相应的一元二次方程的实根；反之，对于二次函数(二次方程)的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根(相应的二次函数的图象及与x轴的交点)． 例1设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M?[1,4]，求实数a的取值范围． 解M?[1,4]有两种情况： 其一是M＝?，此时Δ<0；其二是M≠?，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a的取值范围． 设f(x)＝x2－2ax＋a＋2， 则有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)， (1)当Δ<0时，－1 人教版高中数学必修5第三章不等式单元测试题及答案 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 5、不等式0322 >-+x x 的解集是 （ ） A {x|-1＜x ＜3} B {x|x ＞3或x ＜-1} C {x|-3＜x ＜1} D {x|x>1或x ＜-3} 6、二次不等式2 0ax bx c ++>的解集是全体实数的条件是 （ ） A ?? ?>?>00a B ???00a C ???>?<00a D ???b ?ac 2>bc 2 B ．a >b ?a 2>b 2 C ．a >b ?a 3>b 3 D ．a 2>b 2?a >b 3．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是( ) A ．(－3,4) B ．(－3，－4) C ．(0，－3) D ．(－3,2) 4．不等式x －1 x ＋2 >1的解集是( ) A ．{x |x <－2} B ．{x |－2 第三章《不等式》复习测试题（一） 一、选择题 1.(2007上海理)设为非零实数，且，则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 考查目的：考查不等式的性质及“比较法”. 答案：C. 解析：∵，∴. 2.已知，则( ). A. B. C. D. 考查目的：考查指数(对数)函数单调性，了解不等式与函数单调性的关系. 答案：A. 解析：∵，且函数在上是减函数，∴.又∵指数函数在是是增函数，∴，∴答案应选A. 3.(2009重庆理)不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是( ). A. B. C. D. 考查目的：考查绝对值的意义、函数的概念(或数形结合)，以及一元二次不等式的解法. 答案：A. 解析：∵表示数轴上坐标为的点到坐标分别为的两点的距离之差，∴对，，当时，. ∵不等式对任意实数恒成立，∴，解得，或. 4.(2008海南、宁夏)已知，则使得都成立的的取值范围是( ). A. B. C. D. 考查目的：考查一元二次不等式的解法、恒成立的不等式问题的处理方法. 答案：B. 解析：由得，，即，∴.∵此式对都成立，又∵，∴. 5.(2010四川理)设，则的最小值是( ). A.2 B.4 C. D.5 考查目的：考查运用基本不等式求最值的方法，以及等号成立的条件，考查分析问题解决问题的能力. 答案：B. 解析： ，当且仅当，，时等号成立，即当，，时，取得最小值4. 6.(2010重庆理)已知，，则的最小值是( ). A.3 B.4 C. D. 考查目的：考查均值不等式的应用. 答案：B. 解析：原等式可变形为，整理得 ，即.又∵，∴，当且仅当时取“＝”号． 二、填空题 7.(2010福建理改编)设不等式组所表示的平面区域是，平面区域 与关于直线对称.对于中的任意一点A与中的任意一点B，的最小值等于___________. 考查目的：考查简单的线性规划问题，以及点与直线之间的位置关系. 答案：4. 解析：由题意知，所求的最小值，即为区域中点到直线距离的最小值的两倍，画出已知不等式组表示的平面区域可以看出，点(1，1)到直线的距离最小，故的最小值为. 实验中学 马贵荣编 [4]▲分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分 母中的小数）化为整数，如下面的方程： 5.03-x －2.04+x =1.6 将上方程化为下面的形式后，更可用习惯的方法解了。 53010-x －24010+x =1.6 注意：方程的右边没有变化，这要和“去分母”区别。 一、【相关概念】 1、方 程：含 的等式．． 叫做方程 [1] . 2、方程的解：使方程．．．的等号左右两边相等．．．． 的 ，就是方程的解．．．．[2] 。 3、解 方 程：求． 的过程叫做解方程．．．。 4、一元一次方程[3] 只．含有一个．．未知数（元），未知数的最高次数是．．．．．1． 的整式方程叫做一元一次方程。 [基础练习] 1☆选项中是方程的是（ ） A.3+2=5 B. a -1>2 C. a 2＋b 2－5 D. a 2+2a-3=5 2☆下列各数是方程a 2+a+3=5的解的是（ ） A.2 B. -2 C.1 D. 1和-2 3☆下列方程是一元一次方程的是（ ） A.x 2 +1=5 B. 3(m -1)-1=2 C. x-y=6 D.都不是 4★若x=4是方程a x -2 =4的解，则a 等于（ ） A. 0 B. 21 C.-3 D.-2 5★★已知关于x 的一元一次方程a x －b x=m （m ≠0）有解，则有（ ） A. a ≠b B.a>b C.a 八年级（上）数学第3章一元一次不等式单元测试卷一．选择题（共10小题） 1．若，则下列各式中一定成立的是 A．B．C．D． 2．铺设木地板时，每两块地板之间的缝隙不低于且不超过，缝隙的宽度可以是 A．B．C．D． 3．不等式的解集是 A．B．C．D． 4．不等式组的整数解有 A．1个B．2个C．3个D．4个 5．解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是 A．B．C．D． 6．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是A．B．C．D． 7．一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，墙长，另外三边由篱笆围成，篱笆长度为，则垂直于墙的一边的长度取值范围为 A．B．C．D． 8．某次知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或不答一道题扣5分，小明得分要超过140分，则他至少要答对道题． A．15B．16C．17D．18 9．某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有型和型两种分类垃圾桶，型分类垃圾桶500元个，型分类垃圾桶550元个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有 A．2种B．3种C．4种D．5种 10．对于任意实数、，定义一种运算：※．例如，2※．请根据上述的定义解决问题：若不等式2※，则不等式的解集为 A．B．C．D． 二．填空题（共6小题） 11．的4倍与3的差不小于7，用不等式表示为． 12．不等式的解集是． 13．若式子的值大于的值，则的取值范围是． 14．已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是． 15．不等式组无解，则的取值范围是． 16．航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过．某厂家准备生产符合规定的行李箱，已知行李箱的宽为，长与高的比为，则该行李箱最高不能超过． 三．解答题（共8小题） 17．解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 18．解不等式组，并求出它的正整数解． 19．解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来． 20．解不等式组． 请结合题意，完成本题的解答． （1）解不等式①，得． （2）解不等式③，得． （3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．(完整版)第三章一元一次方程知识点归纳及典型例题
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