六年级奥数——蝴蝶模型-燕尾定理练习题-教案
蝴蝶模型和燕尾定理练习题
1、如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积
.
B
B
【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以
初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，
(法一)连接CF ，因为，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，
所以1103ABE ABC S S ==△△，1
152
ABD ABC S S ==△△．
根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC ==△△，BD DC =1ABF ACF S BD
S CD
==△△,
所以1
7.54
ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，
所以阴影部分面积是30107.512.5--=．
(法二)连接DE ，由题目条件可得到1
103
ABE ABC S S ==△△，
112
10223BDE BEC ABC S S S ==?=△△△，所以11ABE BDE
S AF FD S ==△△， 111111
2.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =?=??=???=△△△△，
而21
1032
CDE ABC S S =??=△△．所以阴影部分的面积为12.5．
2、(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，1
3
CQ CA =，BQ 与AP 相交于
点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．
X
Q
P
A
B
C X
Q
P
A
B
C
4
4
11
X
Q
P
C
B
A
【解析】 方法一：连接PQ ．
由于12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQ ABC S S =V V ，11
26
BPQ BCQ ABC S S S ==V V V ．
由蝴蝶定理知，21
:::4:136
ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===V V V V ，
所以44122
6 2.455255
ABX ABP ABC ABC S S S S ==?==?=V V V V ．
方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积，
所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++?=△
3、如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边
形BODC 的面积为________．
O
F
E
D
B
A
68
4
6
21
O F E
D
C
B
A
【解析】 连接,AO BD ,根据燕尾定理::1:2ABO BDO S S AF FD ==△△,::2:1AOD BOD S S AE BE ==△△,设
1BEO S =△,则其他图形面积，如图所标，所以221224BODC AEOF S S ==?=.
4、ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边形
AGCD 的面积是_________平方厘米．
G
F
E D
C
B
A
G
F
E
D C
A
【解析】 连接AC 、GB ，设1AGC
S =△份，根据燕尾定理得1AGB S =△份，1BGC S =△份，则
11126S =++?=正方形（）份，314ADCG S =+=份，所以22126496(cm )ADCG S =÷?=
5、（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且
13AE AB =，1
4CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG ?与CGF ?的面积
之和为 ．
E
E
E
【解析】 (法1)如图，过F 做CE 的平行线交AB 于H ，则::1:3EH HB CF FB ==，
所以1
22
AE EB EH ==，::2AG GF AE EH ==，即2AG GF =，
所以12231
1033942AEG ABF ABCD S S S ??=??=??=X ．
且22313342
EG HF EC EC ==?=，故CG GE =，则1
152CGF AEG S S ??=??=．
所以两三角形面积之和为10515+=． (法2)如上右图，连接AC 、BG ．
根据燕尾定理，::3:1ABG ACG S S BF CF ??==，::2:1BCG ACG S S BE AE ??==，
而1
602
ABC ABCD S S ?==X ，
所以3321ABG S ?=++，160302ABC S ?=?=，2321BCG S ?=++，1
60203ABC S ?=?=，
则1103AEG ABG S S ??==，1
54
CFG BCG S S ??==，
所以两个三角形的面积之和为15．
6、两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？
77
3
7
7
3F
E
D
C
B
x+3x
77
3F
E
D C
B
【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的
计算.
再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．
设三角形为
ABC ，BE 和CD 交于F ，则BF FE =，再连结DE ． 所以三角形DEF 的面积为3.设三角形ADE 的面积为x ，
则()():33:10:10x AD DB x +==+，所以15x =，四边形的面积为18．
方法二：设ADF S x =△，根据燕尾定理::ABF BFC AFE EFC S S S S =△△△△,得到3AEF S x =+△，再根据向右下飞的燕子，有(37):7:3x x ++=，解得7.5x =四边形的面积为7.57.5318++=
7、如下图，正方形 ABCD 的面积是a ，正三角形BPC 的面积是 b ，求阴影三角形BPD 的面积．
【分析】 连接 AC 交 BD 于O 点，并连接PO ．如图所示，
可得P O / / DC ，所以三角形DPO 与三角形 CPO 面积相等(同底等高)，所以有:
8、已知四边形ABCD 和CEFG 都是正方形，且正方形ABCD 的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD 的面积为多少平方厘米?
【分析】 连接FC ，有FC 平行BD ，设BF 与DC 连接于O ，那么在梯形蝴蝶中有
1
===50
2
DFO BCO
DCB ABCD S S S S S ???=阴影
9、如图，已知在平行四边形ABCD 中，AB=16，AD=10，BE=4，那么FC 的
长度是多少?
F G
E
D C
B
A
【分析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因
为AB 平行于CD ,所以::4:161:4BF FC BE CD ===,所以4
10814
FC =?
=+. 10、四边形ABCD 和四边形CEFG 是两个正方形，BF 与CD 相交于H ,已知CH:DH=1:2, 6BCH S ?=,求五边形ABEFD 的面积。
【分析】因为CH:DH=1:2，所以:1:2BCH BHD S S ??=,即BHD S ?=2×6=12 18BCD S ?=,所以正方形ABCD 面积为36，BC=6 又6BCH S ?=，所以CH=2
连接CF,由蝴蝶定理得：6DFH BCH S S ??==
设小正方形边长为a ，则26a =得3a = ABCD CEFD DFG S S S S ?=++W W =6×
6+3×3＋（6-3）×3÷2=49.5
11、如图，已知正方形ABCD 的边长为10厘米，E 为AD 中点，F 为CE 中点，G 为BF 中点，求三角形BDG 的面积．
【分析】 设BD 与CE 的交点为O ，连接BE 、DF ．
由蝴蝶定理可知::BED BCD EO OC S S =V V ，而14BED ABCD S S =V W ，1
2
BCD ABCD S S =V W ，所以
::1:2BED BCD EO OC S S ==V V ，故1
3EO EC =．
由于F 为CE 中点，所以1
2
EF EC =，故:2:3EO EF =，:1:2FO EO =．由蝴蝶定理可知
::1:2BFD BED S S FO EO ==V V ，所以11
28
BFD BED ABCD S S S ==V V W ，
那么111
1010 6.2521616
BGD BFD ABCD S S S ===??=V V W （平方厘米）．
F
E
F E
D
C
B
A
12、点E 、M 分别为直角梯形ABCD 两边上的点，且DQ 、CP 、ME 彼此平行，若5AD =，7BC =,5AE =，3EB =．求阴影部分的面积．
B C
E
Q B C
E
【分析】 连接CE 、DE ．由于DQ 、CP 、ME 彼此平行，所以四边形CDQP 是梯形，且ME 与该梯形
的两个底平行，那么三角形QME 与DEM 、三角形PME 与CEM 的面积分别相等，所以三角形PQM 的面积与三角形CDE 的面积相等．而三角形CDE 的面积根据已知条件很容易求出来．
由于ABCD 为直角梯形，且5AD =，7BC =,5AE =，3EB =，所以三角形CDE 的面积的面
积为：()()111
5753553725222+?+?-??-??=．所以三角形PQM 的面积为25．