上海交通大学研究生(非数学专业)数学基础课程

上海交通大学研究生（非数学专业）数学基础课程
《矩阵理论》教学大纲 （附：选课指南）
一．概况
1．开课学院（系）和学科： 理学院 数学系
2．课程代码：
3．课程名称：矩阵理论
4．学时/学分：51学时/3学分
5．预修课程：线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间Fn，欧氏空间Rn，特征值与矩阵的对角化，实对称矩阵与二次型）, 高等数学（一元微积分，空间解析几何，无穷级数，常微分方程）
6．适合专业：全校的机、电、材、管理、生命和物理、力学诸大学科类，以及人文学科等需要的专业（另请参看选课指南）。
7．教材/教学参考书：
《矩阵理论》， 苏育才、姜翠波、张跃辉编，科学出版社，2006
《矩阵分析》, R.A. Horn and C.R. Johnson, Cambridge Press (中译本)，杨奇译，机械工业出版社，2005。
《矩理阵论与应用》，陈公宁编，高等教育出版社，1990。
《特殊矩阵》，陈景良，陈向晖，清华大学出版社，2001。
《代数特征值问题》，JH.威尔金森著，石钟慈 邓健新 译，科学出版社，2001。
二、课程的性质和任务
矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等学科都有广泛应用。电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于将来从事工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解矩阵理论的基本知识和数学思想，掌握有关的计算方法及技巧，提高学生的数学素质，提高科研能力，掌握矩阵理论在多元微积分、线性控制系统、微分方程、逼近理论、投入产出分析等领域的许多应用。
三、课程的教学内容和要求
矩阵理论的教学内容分为十部分，对不同的内容提出不同的教学要求。
(数字表示供参考的相应的学时数)
第一章 矩阵代数（复习，2）
1 矩阵的运算、矩阵的秩和初等变换、Hermite梯形阵、分块矩阵 （2）
要求：掌握矩阵的运算及性质，尤其是对矩阵乘法"左行右列"规则的深入理解和融会贯通；熟练掌握利用初等变换求矩阵的秩、Hermite梯形阵等的技巧；理解并掌握分块矩阵的运算技巧与要领。
第二章 线性空间与线性变换（8）
1．线性空间、基与坐标、基变换与坐标变换 （2）
2．线性子空间、交、和、直和、生成元 （2）
3．线性变换、核、值域、线性变换在基下的矩阵 （2）
4．不变子空间和导出算子、矩阵的四个重要子空间 （2）
要求：理解线性空间、线

性子空间、线性变换、不变子空间等的概念和性质，并能熟练构造新的线性空间和线性变换；能够利用矩阵表示线性变换、掌握与矩阵相关的四个子空间与线性变换之间的关系。
第三章 内积空间、等距变换(6)
1． 欧氏空间、内积、Cauchy-Schwartz不等式、正交性、标准正交基、Gram-Schmidt正交化过程 （2）
2． 矛盾方程最优解、复内积空间、度量矩阵 （2）
3． 等距变换、正交变换与U-变换、正交矩阵与U矩阵 （2）
要求：理解内积、正交、正交补等的定义；熟练掌握Gram-schmidt正交化方法；理解内积空间的概念，并能熟练构造新的内积空间；掌握求矛盾方程组的最小二乘解的理论根据和方法；理解等距变换的定义及与酉矩阵之间的关系。
第四章 特征值与特征向量（4）
1．特征值与特征向量、特征多项式、Hamilton-Cayley定理 （2）
2．最小多项式、圆盘定理 （2）
要求： 理解特征值与特征向量、特征多项式、最小多项式等的定义及基本性质；熟练掌握Hamilton-Cayley定理并利用该定理解决基本的计算问题；熟练掌握圆盘定理及其在特征值估计方面的应用。
第五章??矩阵与Jordan标准形 （5）
1． ?－矩阵与Smith标准形、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件 （3）
2． 幂零矩阵的Jordan标准形、一般矩阵的Jordan标准形 （2）
要求： 理解?－矩阵、Smith标准形、不变因子、初等因子的定义，并能够熟练计算??矩阵的Smith标准形、不变因子、初等因子；理解矩阵相似的条件；熟练掌握求幂零矩阵和一般矩阵的Jordan标准形的方法和步骤。
第六章 特殊矩阵（4）
1． Schur定理、矩阵的正交三角化、Schur不等式、正规矩阵 （2）
2． 实对称矩阵与Hermite阵、正交阵与酉阵 （2）
要求： 理解Schur定理的内容及意义；理解正规矩阵的定义及基本结论；理解实对称矩阵与Hermite阵、正交阵与酉阵的基本理论，并能熟练计算相关的问题。
第七章 矩阵分析（6）
1． 向量和矩阵的范数、范数的等价与相容、范数与谱半径 （2）
2． 阵序列与级数、矩阵的微分与积分、矩阵函数 （2）
3． eAt的性质、矩阵函数的计算 （2）
要求： 理解向量和矩阵范数的概念；掌握几种基本的向量和矩阵范数；理解矩阵序列与级数、矩阵的微分与积分、矩阵函数的定义；理解eAt的基本性质，掌握矩阵函数的基本计算方法。
第八章 矩阵函数的应用（2）
1． 求解线性微分方程组、系统的可观测性与可控性 （2）
要求： 能够利用矩

阵函数求线性常系数微分方程组、线性常系数非齐次微分方程组、n阶常系数微分方程的解；能够利用矩阵函数解决定常线性系统的能控性与可观测性问题。
第九章 矩阵分解（4）
1．矩阵的满秩分解、矩阵的QR分解 （2）
2．矩阵的奇异值分解、矩阵的谱分解 （2）
要求： 掌握求矩阵的满秩分解、QR分解、奇异值分解、谱分解的基本方法。
第十章 广义逆矩阵 （4）
1． 投影矩阵、Moore-Penrose广义逆A+、A+的计算 （2）
2．广义逆A-及广义逆矩阵在线性方程组中的应用 （2）
要求： 理解Moore-Penrose广义逆A+的定义及性质，能够用奇异值分解、满秩分解、迭代方法等求A+；理解广义逆A-的定义、性质及计算方法；理解A+，A-与线性方程组的关系。

四．实验（上机）内容和基本要求
本课程无实验和上机的教学安排，但要求学生结合本专业的特点和所研究的课题，选择部分算法自己上机实现。 要求学生熟悉至少一门数学软件平台（Mathematica/ matleb/Maple）和至少一种编程语言。
五．对学生能力培养的要求
本课程属于数学基础课程，含有较多的数学推导和证明，希望在教师引导下，学生逐步学会自己从前人研究问题、分析问题的过程、演绎推导的结果中，体会和领悟这些人类高级心智文明的成果，使学生自己真正学懂数学，而不是被"教会"数学； 同时希望学生通过研究式的钻研、探索乃至犯错误的过程中，培养从错纵复杂的现象事理和繁杂无序的结果数据中，寻找与总结内在关系和规律的能力，并且体会科学研究的艰辛和乐趣，培养在科学研究和事理处理上百折不挠、持之以恒的毅力和意志。提高他们的数学素质和数学修养，提高他们开展科技活动和社会实践的能力以及开展科研工作的能力。
六．其他
最终成绩的评定含期末考试成绩与平时成绩两部分，分别占70%与30% 。

起草者：张跃辉，姜翠波

《矩阵理论》选课指南
对于绝大多数非数学专业的硕士研究生而言，如果需要掌握一门数学理论或方法，《矩阵理论》无疑是最好的选择。首先，从数学课程的进展来看，《矩阵理论》相当于研究生的《线性代数》+《高等数学》，是后续数学课程和专业课程的基础，比如对工程计算具有重要意义的《数值分析》(又称《计算方法》)课程就要求相当多的《矩阵理论》知识。其次，对于相当多的准备快速进入实践环节的研究生(比如工程硕士)，《矩阵理论》在相当程度上可以提供解决大量实际问题的理论框架和思想方法。

再次，实践中的困难问题几乎都涉及多个因素，因此其数学模型必然是高维的，其最终解决依赖于线性化，而矩阵理论与方法迄今为止仍是解决高维线性问题的不二选择。最后，从科学技术发展的实践来看，矩阵理论在现代通信、电子信息、图像处理、模式识别、建筑工程、系统控制、航空航天乃至现代经济等众多领域具有高度创造性和灵活性，是不可替代的数学工具。
《矩阵理论》需要的预备知识除了高等数学的基本理论外，对线性代数的基础知识有较多要求，读者可参考上海交通大学数学系编写的《线性代数》。
《矩阵理论》的基本思想是，一个m?n矩阵的本质是一个n维线性空间到另一个m维线性空间的线性变换（因此矩阵这个表面上完全是代数的对象实际上有丰富而深刻的几何内涵），所以研究矩阵的最佳途径是研究线性空间及线性变换的结构和性质。而线性空间不过是我们熟悉的实数直线、平面和普通立体空间的一般化，线性变换则是最简单的（多元）线性函数的推广而已。这样就可以利用高等数学中的有力工具--微积分-来研究矩阵，从而得到更为深刻、应用价值更大的理论了。
《矩阵理论》的基本内容如下（不含复习内容）：
1. 线性空间、线性变换与矩阵
2. 内积空间、等距变换与U矩阵
3. 矩阵的Jordan标准型、特征值估计
4. 特殊矩阵与矩阵分解（含谱分解与奇异值分解）
5. 矩阵函数及其微积分、线性微分方程组
6. 广义逆矩阵、线性方程组（解的统一表达）



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