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2013年高考试题四川卷(理科数学)试题及每个题的详细解答

2013年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

（四川卷）

第Ⅰ卷

一、选择题

1．设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B等于()

A．{－2} B．{2} C．{－2,2} D．?

答案 A

解析A＝{x|x＋2＝0}＝{－2}，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，∴A∩B＝{－2}∩{－2,2}＝{－2}，选A.

2．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点()

A．A B．B

C．C D．D

答案 B

解析表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示z.选B. 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()

答案 D

解析由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.

4．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A,2x∈B，则() A．綈p：?x∈A,2x∈B B．綈p：?x?A,2x?B

C．綈p：?x?A,2x∈B D．綈p：?x∈A,2x?B

答案 D

解析命题p：?x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为?x∈A,2x?B，选D.

5．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π

2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )

A ．2，－π3

B ．2，－π

C ．4，－π6

D ．4，π

答案 A

解析 34T ＝5π

12－????－π3，T ＝π，∴ω＝2， ∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π

3，

又φ∈????－π2，π2，∴φ＝－π

，选A. 6．抛物线y 2

＝4x 的焦点到双曲线x 2

－y 2

＝1的渐近线的距离是( )

A.12

B.3

2 C ．1 D.

3 答案 B

解析抛物线y 2

＝4x 的焦点F (1,0)，双曲线x 2

－y 2

＝1的渐近线是y ＝±3x ，即3x ±y ＝0，

∴所求距离为

|3±0|

(3)2＋(±1)

2＝32.选B. 7．函数y ＝x 2

3x －1

的图象大致是( )

答案 B

解析对于函数y ＝x 2

3x －1定义域为{x ∈R ，且x ≠0}去掉A ，当x <0时，3x －1<0，x 2>0，∴y <0，

去掉C 、D ，选B.

8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( ) A ．9 B ．10 C ．18 D ．20

答案 C

解析由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为a b 有A 25种，又13与3

9相同，31与9

相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数有A 25－2＝20－2＝18，选C. 9．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34 D.78 答案 C

解析设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为X 、Y ，X 、Y 相互独立，由题意可知????

0≤X ≤40≤Y ≤4

|X －Y |≤2

，如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概

率为P (|X －Y |≤2)＝S 正方形－2S △ABC S 正方形＝4×4－2×1

2×2×2

4×4

＝1216＝3

10．设函数f (x )＝e x ＋x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，若曲线y ＝sin x 上存在点(x 0，y 0)使得f (f (y 0))＝y 0，则a 的取值范围是( ) A ．[1，e] B ．[e －

1－1,1]

C ．[1，e ＋1]

D ．[e －

1－1，e ＋1]

答案 A

解析由于f (x )＝e x ＋x －a (a ∈R )在其定义域上为单调递增函数，所以其反函数f －

1(x )存在，

由于y 0∈[－1,1]，且f (f (y 0))＝y 0，∴f －

1(f (f (y 0)))＝f －

1(y 0)，即f (y 0)＝f －

1(y 0)，∴y ＝f (x )与y ＝f

－

(x )的交点在y ＝x 上．即e x ＋x －a ＝x 在x ∈[－1,1]上有解，即e x ＋x －a ＝x 在[0,1]上有

解．∴a ＝e x ＋x －x 2，x ∈[0,1]，a ′＝e x －2x ＋1，当0e 0－2×1＋1＝0，∴a ＝e x ＋x －x 2在[0,1]上递增，当x ＝0时，a 最小＝1；当x ＝1时，a 最大＝e ，故a 的取值范围是[1，e]，选A.

第二卷

二、填空题

11．二项式(x ＋y )3的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．(用数字作答) 答案 10

解析 T r ＋1＝C r 5x

5－r y r

(r ＝0,1,2,3,4,5)，由题意知?

????

5－r ＝2r ＝3，∴含x 2y 3的系数为C 35＝5×4×3

3×2×1

＝10.

12．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →

，则λ＝________. 答案 2

解析由于ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＋AD →＝AC →＝2AO →

，∴λ＝2.

13．设sin 2α＝－sin α，α∈????

π2，π，则tan 2α的值是________．答案

解析 ∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈????π2，π，∴sin α≠0,2cos α＋1＝0即cos α＝－12，sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2

＝ 3.

14．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．答案 {x |－7

解析令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，又f (x )

为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2

＋4x ，故有f (x )＝?

????

x 2

－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.再求f (x )<5的解，由????? x ≥0，x 2－4x <5，得0≤x ＜5；由?

????

x <0，

x 2＋4x <5，得－5

于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7

15．设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点．现有下列命题：

①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号) 答案 ①④

解析 ①正确，因为C 点到A 、B 的距离之和小于AB 上其它点到A 、B 的距离之和；②不正确，因为直角三角形斜边上的点到三个顶点的距离是可变的；③不正确，不妨认为B 、C

在线段AD 上，则线段BC 上的任一点到A 、B 、C 、D 距离之和均最小；④正确，每条对角线上的点到其两端点的距离之和最小，所以交点到梯形四个顶点的距离之和最小．三、解答题

16．在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．

解设该数列公差为d ，前n 项和为S n ，由已知，可得 2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )．所以，a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0，或a 1＝1，d ＝3，

即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3. 所以，数列{a n }的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n

17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B

2cos B －sin(A －B )sin B

＋cos(A ＋C )＝－3

(1)求cos A 的值；

(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →

方向上的投影．

解 (1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－3