2011年高考数学一轮复习(共87节)9[1].1_合情推理与演绎推理

合情推理与演绎推理

【知识网络】

1、合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。

2、演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理 。

3、三段论推理是演绎推理的主要形式，常用格式为：M —P （M 是P ）大前提S —M （S 是M ）小前提S —P （S 是P ）结论

4、合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。 【典型例题】 例1：（1）迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。小王

发现由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数的一个数是 （ ） A ．1643 B ．1679 C ．1681 D ．1697 答案：C 。解析：观察可知：

),1(2,,6,4,21342312-=-=-=-=--n a a a a a a a a n n

累加可得： 2

)1(2)222)(1()1(2421n n n n n a a n -=-+-=-+++=- ，

∴,412

22+-=

n

n a n 验证可知1681符合此式，且41×41=1681。 （2）下面给出了关于复数的四种类比推理：

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；

②由向量a 的性质|a |2=a 2类比得到复数z 的性质|z |2=z 2

；

③方程),,(02

R c b a c bx ax ∈=++有两个不同实数根的条件是042

>-ac b 可以类比得到：方程

),,(02C c b a c bz az ∈=++有两个不同复数根的条件是042>-ac b ；

④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.

其中类比错误的是 ( ) A .①③ B . ②④ C . ①④ D . ②③ 答案：D 。解析：由复数的性质可知。

（3）定义A D D C C B B A ****,,,的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A ）、（B ）所对应的运算结果可能是 ( )

（1） （2） （3） （4） （A ） （B ） A .D A D B **, B .C A D B **, C .D A C B **, D .D A D C **, 答案：B 。

（4）在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的1

3

”。拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的 。

答案：h r 4

1

=

。解析：采用解法类比。 （5）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从指数函数中可抽象出

)()()(2121x f x f x x f ?=+的性质；从对数函数中可抽象出)()()(2121x f x f x x f +=?的性质。那么从函数

(写出一个具体函数即可)可抽象出)()()(2121x f x f x x f +=+的性质。 答案：y=2x 。解析：形如函数y=kx (k ≠0)即可，答案不惟一。

例2：已知：23150sin 90sin 30sin 222=

++

； 2

3125sin 65sin 5sin 222=++

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： _____________________________________________________=2

3

（ * ）

并给出（ * ）式的证明。

答案：一般形式: 2

3)120(sin )60(sin sin 2

2

2

=

++++

ααα 证明：左边 = 2)

2402cos(12)1202cos(122cos 1 +-++-+-ααα = )]2402cos()1202cos(2[cos 21

23 ++++-ααα = -+-+- 240cos 2cos 120sin 2sin 120cos 2cos 2[cos 2

123ααα]240sin 2sin

α =

]2sin 2

3

2cos 212sin 232cos 212[cos 2123ααααα+----= 右边=23

（将一般形式写成 2

223sin (60)sin sin (60),2

ααα-+++=

2223

sin (240)sin (120)sin 2

ααα??-+-+=

等均正确。） 例3：在△ABC 中，若∠C=90°，AC=b,BC=a ，则△ABC 的外接圆的半径2

2

2b a r +=，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。

答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形， 所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。

取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A —BCD ，且AB=a ，AC=b ，AD=c ， 则此三棱锥的外接球的半径是2

2

22c b a r ++=

。 例4： 请你把不等式“若21,a a 是正实数，则有211

2

2

221a a a a a a +≥+”推广到一般情形，并证明你的结论。

答案： 推广的结论：若 n a a a ,,,21 都是正数，

n n n n a a a a a a a a a a a ++≥+++-211

21232

2

221

证明： ∵n a a a ,,,21 都是正数 ∴ 122212a a a a ≥+，2112

2

2a a a a ≥+

………，121

2--≥+n n n n a a a a ，n n a a a a 2112

≥+

n n n n a a a a a a a a a a a ++≥+++-211

21232

2

221

【课内练习】

1．给定集合A 、B ，定义},,|{B n A m n m x x B A ∈∈-==*，若A={4,5,6},B={1,2,3},则集合B A *中的所有元素之和为 （ ） A.15 B.14 C.27 D.-14

答案：A 。 解析：}5,4,3,2,1{=*B A ，1+2+3+4+5＝15。 2．观察式子：47

4131211,3531211,23211222222<+++<++<+，…，则可归纳出式子为（ ） A 、1211

3

12

112

2

2

-<+++n n

B 、121

131211222+<+++n n

C 、n n n 12131211-<

++

+

D 、122131211+<+++n n

n

答案：C 。解析：用n=2代入选项判断。

3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线

b ?/平面α，直线a ≠

?平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为

（ ）

A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.非以上错误 答案：A 。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。

4．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，它有一定的规律性，第30个三角数与第28个三角数的差为 。

答案：59。解析：记这一系列三角数构成数列{}

n a ，则由 ,4,3,2342312=-=-=-a a a a a a 归纳猜测29,3028292930=-=-a a a a ，两式相加得592830=-a a 。或由321,21,1321++=+==a a a ，猜测n a n +++= 21。 5．数列}{n a 是正项等差数列，若n

na a a a b n

n ++++++++=

32132321，则数列}{n b 也为等差数列. 类比上述结论，写出

正项等比数列}{n c ，若n d = ，则数列{n d }也为等比数列. 答案：n n n

c c c c ++++????? 3211

33

22

1)

(。

6．“ AC,BD 是菱形ABCD 的对角线，∴AC,BD 互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。 答案：菱形对角线互相垂直且平分。 7．在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定

数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝;则前n 件首饰所用珠宝总数为________________颗.(结果用n 表示)

答案：66, ()()

1416

n n n +-。解析：利用归纳推理知。

8．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形， 按图所标边长，由勾股定理有：.2

2

2

b a

c +=

设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O —LMN ，如果用

321,,s s s 表示三个侧面面积，4s 表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .

答案：2

4

232221S S S S =++。 9．已知椭圆C ：

122=+

b y a x 具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，点P 是椭圆C 上任意一点，当直线

PM 、PN 的斜率都存在，并记为K PM 、K PN 时，那么K PM 与K PN 之积是与点P 位置无关的定值。试对双曲线1

2

22

2=-b y a x 写出具有类似特性的性质，并加以证明。

答案：本题明确要求进行“性质类比”。类似的性质：若M 、N 是双曲线

122=-

b

y a

x 上关于原点对称的两点，点P 是双

曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为K PM 、K PN 时，那么K PM 与K PN 之积是与点P 位置无关的定值。证明如下：

设),(),,(n m N n m M --则，其中12

22

2=-b n a m

设),(y x P ，由m

x n

y K m x n y K PN PM ++=--=

,，

图1 图2

图3

得2

2

2

2m x n y m x n y m x n y K K PN PM --=++?--=? 将2

22

22

2

2

2

22

,b m a b n b x a b y -=

-=

代入得2

2a b K K PN PM =

?。

10．观察下面由奇数组成的数阵，回答下列问题： （Ⅰ）求第六行的第一个数． （Ⅱ）求第20行的第一个数． （Ⅲ）求第20行的所有数的和． 答案：（Ⅰ）第六行的第一个数为31

（Ⅱ）∵第n 行的最后一个数是2

1n n +-，第n 行共有n 个数，且这些数构成一个等差数列，设第n 行的第一个数是1n a ∴2112(1)n n n a n +-=+-

∴211n a n n =-+

∴第20行的第一个数为3

（Ⅲ）第20行构成首项为381，公差为2的等差数列，且有20个数 设第20行的所有数的和为20S 则2020(201)

38120280002

S -=?+

?=

【作业本】 A 组

1．在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为 （ ）

A ．25

B ．6

C ．7

D ．8 答案：C 。解析：对于

(1)2n n +中，当n ＝６时，有

67

21,2

?=所以第２５项是７。 2．如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当FB AB ⊥ 时,

此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金

椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e 等于 （ ）

A.

12

B.1

2

1

1

答案：A 。解析： 猜想出“黄金双曲线”的离心率e

2

ABF 应用勾股定理,得2

2

2

AF BF AB =+,即有22222()()()a c b c a b +=+++,

注意到2

2

2

b c a =-,c e a =

,变形得2

10,e e e --==从而12

. 3．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）

A 、两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠

B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180° B 、由平面三角形的性质，推测空间四面体性质

C 、某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人

D 、在数列{}

n a 中，)2)(1(2

1,11

11≥+

==--n a a a a n n n ，由此推出{}

n a 的通项公式

19

17151311

9

7

531

答案：A 。解析：B 是类比推理，C 、D 是归纳推理。

4．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据 “三段论”推理出一个结论，则这个结论是 。

答案：②③?①。解析：②是大前提，③是小前提，①是结论。 5．公比为4的等比数列{}n b 中，若n T 是数列{}n b 的前n 项积，则有

30

4020301020,

,T T T T T T 也成等比数列，且公比为100

4；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{}n a 中，若n S 是{}n a 的前n 项和，则数列 也成等差数列,且公差为 。

答案：1020S S -，2030S S -，3040S S -；300。解析：采用解法类比。 6．二十世纪六十年代，日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一个自然数，如果它是偶数就用2除它，如果是奇数，则将它乘以3后再加1，反复进行这样两种运算，必然会得到什么结果，试考查几个数并给出猜想。

答案：取自然数6，按角谷的作法有：6÷2=3，3×3+1=10，3×5+1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1，其过程简记为6→3→10→5→16→8→4→2→1。

取自然数7，则有7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→……→1。 取自然数100，则100→50→25→76→38→19→58→29→88→44→22→……→1。 归纳猜想：这样反复运算，必然会得到1。

7．圆的垂径定理有一个推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，这一性质能推广到椭圆吗？设AB 是椭圆

)0(12

22

2>>=+

b a b

y a

x 的任一弦，M 是AB 的中点，设OM 与AB 的斜率都存在，并设为K OM 、K AB ，则K OM 与K AB 之间

有何关系？并证明你的结论。 答案：K OM ·K AB =2

2a b -

。证明：设),(),,(),,(002211y x M y x B y x A ，

则2212122121222

2222

2

1

221))(())((1

1b y y y y a x x x x b y a

x b y a x -++-+????????=+=+=0 ∵22

2

12100021021,2,2a b x x y y x y y y y x x x -=--?∴

=+=+

即K OM ·K AB =2

2a b -，而b a ≠，即K OM ·K AB ≠－1

∴OM 与AB 不垂直，即不能推广到椭圆中。

B 组

1．为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文

,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28

时,则解密得到的明文为（ ）

A ．4,6,1,7

B ．7,6,1,4

C ．6,4,1,7

D ．1,6,4,7

答案：C 。解析：本题考查阅读获取信息能力,实则为解方程组214292323428a b b c c d d +=??+=??+=??=?，解得6417

a b c d =??=?

?=??=?，即解密得到的明文为

6,4,1,7。

2．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成)(n f 块区域，有8)3(,4)2(,2)1(===f f f ，则)(n f 的表达式为 （ ） A 、n 2 B 、22+-n n C 、)3)(2)(1(2----n n n n D 、410523-+-n n n

答案：B 。解析：由n n f n f f f f f f f 2)()1(,6)3()4(,4)2()3(,2)1()2(=-+=-=-=-猜测 ，利用累加法，得2)(2+-=n n n f 。 3．设2

21)(+=

x x f ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得)6()5()0()4()5(f f f f f +++++-+- 的值

为 （ ）

A 、2

B 、22

C 、32

D 、42 答案：C 。解析：2

2)1()(=-+x f x f 。 4．考察下列一组不等式：

,525252,525252,52525232235533442233?+?>+?+?>+?+?>+.

将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是___________________.

答案：()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a m n n m n m n m （或n m b a b a ,,,0,≠>为正整数）。解析：填

m n n m n m n m 525252+>+++以及是否注明字母的取值符号和关系，也行。

5．如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正四边形“扩展”而来，……如此类推.设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为n a ， 则6a = ； 34599

1111

a a a a +++???+

＝ . 42；

300

97

。 答案：

6．指出下面推理中的大前提和小前提。

（1）5与22可以比较大小； （2）直线c a b c b a c b a //,//,//,,,则若。

答案：（1）大前提是实数可以比较大小，小前提是5与22是实数。

（2）大前提是平行于同一条直线的两直线互相平行，小前提是b c b a //,//。

7．已知函数)(x f y =，对任意的两个不相等的实数21,x x ，都有)()()(2121x f x f x x f ?=+成立，且0)0(≠f ，求

)2006()2005()2005()2006(f f f f ?-?- 的值。

答案：∵当)()0()0(,,021x f f x f x x x ?=+==时，由1)0()()(,1)0(,0)0(==?-∴=∴≠f x f x f f f ， 从而可得：)2006()2005()2005()2006(f f f f ?-?-

=

1)0()0()0()0()2005()2005()2006()2006(=?=?-??-f f f f f f f f

8．已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1,

(1) 写出a 1, a 2, a 3,并推测a n 的表达式； (2)证明所得的结论。 答案：(1) a 1＝

23, a 2＝47, a 3＝815, 猜测 a n ＝2－n 2

1 (2) ①由（1）已得当n ＝1时，命题成立； ②假设n ＝k 时,命题成立，即 a k ＝2－

k 2

1

, 当n ＝k ＋1时, a 1＋a 2＋……＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1, 且a 1＋a 2＋……＋a k ＝2k ＋1－a k

∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3,

∴2a k ＋1＝2＋2－k 21, a k ＋1＝2－12

1+k , 即当n ＝k ＋1时,命题成立. 根据①②得n ∈N +

, a n ＝2－n 2

1都成立

一、填空题

1. 如下图，对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”：

仿此，52

的“分裂”中最大的数是___________，若3

m 的“分裂”中最小的数是211，则m 的值为___________.

2. 下面给出三个类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）；

①",,0,"a b R a b a b ∈-==若则类比推出",,a b C ∈若0";a b a b -==，则 ②",,,,,,"a b c d R a bi c di a c b d ∈+=+==若复数则类比推出

",,,a b c d Q ∈,若,,";a c a c b d ===则

③",,0,"a b R a b a b ∈->>若则类比推出",,0,";a b C a b a b ∈->>若则 其中类比结论正确的序号是_____________（写出所有正确结论的序号）

3. 已知21111()12f n n n n n

=+

+++++ ，则()f n 中共有 项． 4. 设()()()()f x x a x b x c =---(,,a b c 是两两不等的常数),则///

()()()

a b c

f a f b f c ++的值是 ______________.

二、选择题

5. “所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于

A ．演绎推理

B ．类比推理

C ．合情推理

D ．归纳推理

6. 用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以2a ＞0”，你认为这个推理（ ）

A ．大前题错误

B ．小前题错误

C ．推理形式错误

D ．是正确的

7. 已知扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，类比三角形的面积公式：12

S =?底?高，可得扇形的面积公式为（ ）

Ａ．212

r

Ｂ．212

l

Ｃ．12

rl

Ｄ．不可类比

8. 下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（ ）

Ａ．三角形 Ｂ．梯形 Ｃ．平行四边形 Ｄ．矩形

9. 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（ ）

Ａ．25 Ｂ．66 Ｃ．91 Ｄ．120

11. 设11

5

11

4

11

3

11

2

log 1log 1log

1log 1+

+

+

=

P ，则（ ）

A ．10<

B ．21<

C ．32<

D ．43<

13. 计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字09 和字母A F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：

例如，用十六进制表示,则（ ） A ．6E B ．72 C ．5F D ．0B

14. 设b a b a b a +=+

∈则,62,,22R 的最小值是（ ）

A ．22-

B ．3

3

5- C ．－3 D ．27-

三、解答题 15. 已知)()

1(1

2

t n N n n a ∈+=

记)1()1)(1()(21n a a a n f -?--=试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值，推测出)(n f 的值。

16. 是否存在常数a b c ，，，使得等式222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c -+-++-=++ 对一切正整数n 都成立？若存

在，求出a b c ，，的值；若不存在，说明理由．

17.

)n 是正整数

18. 设)(),0)(2sin()(x f x x f <<-+=?π?图像的一条对称轴是8

π

=

x .

1）求?的值； （2）求)(x f y =的增区间； （3）证明直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图象不相切。

一、填空题1. 9，152. ①②3. 21n n -+ 4. 0 解析：

''()()()()()()(),()()()f x x b x c x a x c x a x b f a a b a c =--+--+--=--，

''()()(),()()()f b b a b c f c c a c b =--=--，

///()()()()()()()()()a b c a b c

f a f b f c a b a c b a b c c a c b ++=++

------ ()()()

0()()()

a b c b a c c a b a b a c b c ---+-==---

二、选择题5. A 6. A 7. Ｃ8. Ｃ9. Ｃ10. B 解析：令10,10x y ==-，"1"xy ≤不能推出22"1"x y +≤；反之

2222111212

x y x y xy xy +≤?≥+≥?≤

≤ 11. B 解析：1111111111log 2log 3log 4log 5log 120P =+++=，1111111log 11log 120log 1212=<<=，

即21<

13. A 解析：1011110166146A B E ?=?==?+=

14. C 解析：

令

,,3sin()3a b a b θθθ?==+=+≥- 三、解答题

15. 解析：（1）431)1(1=

-=a f ...6432)911)(1()2(==-=f f (8)

5

)1611)(2()3(=-=f f …得出猜想)

1(22

)(++=

n n n f ………16. 解析：假设存在a b c ，，，使得所给等式成立．

令123n =，，代入等式得0164381918a b c a b c a b c ++=??++=??++=?，，，解得14140a b c ?=??

?

=-??

=???

，，，

以下用数学归纳法证明等式

2222224211

1(1)2(2)()44

n n n n n n n -+-++-=+ 对一切正整数n 都成立．

（1）当1n =时，由以上可知等式成立；

（2）假设当n k =时，等式成立，即2222224211

1(1)2(2)()44

k k k k k k k -+-++-=- ，

则当1n k =+时，

222222221[(1)1]2[(1)2][(1)](1)[(1)(1)]k k k k k k k k +-++-+++-+++-+ 2222221(1)2(2)()(21)2(21)(21)k k k k k k k k k =-+-++-+++++++

424211(1)11(21)(1)(1)44244k k k k k k k +=-++=+-+·． 由（1）（2）知，等式结一切正整数n 都成立．

17. =

==

311...133...3n

n

==?=

18. 解析：（1）由对称轴是8

π

=

x ，得sin(

)1,

,4

4

2

4

k k π

π

π

π

??π?π+=±+=+

=+

，

而0π?-<<，所以3

4

?π=-（2）33()sin(2),2224242

f x x k x k ππππππ=--≤-≤+ 588k x k ππππ+≤≤+，增区间为5[,],()88

k k k Z ππ

ππ++

∈ （3）'

33()sin(2),()2cos(2)244

f x x f x x ππ=-=-≤，即曲线的切线的斜率不大于2，

而直线025=+-c y x 的斜率5

22

>，即直线025=+-c y x 不是函数)(x f y =的切线。

合情推理演绎推理(带答案)

合情推理 1：与代数式有关的推理问题 例1、观察()()()() ()() 223 3 2 2 44 3 223, a b a b a b a b a b a ab b a b a b a a b ab b -=-+-=-++-=-+++进而猜想n n a b -= 练习:观察下列等式：3 321 23+=，33321236++=，33332123410+++=，…，根据上述规律，第五个．．． 等式．． 为 。 解析：第i 个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+...+（i+1）的平方所以第五个．．． 等．式． 为3333332 12345621+++++=。 2：与三角函数有关的推理问题 例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论。 2020202020202020202020203 sin 30sin 90sin 150,23 sin 60sin 120sin 18023 sin 45sin 105sin 165, 23 sin 15sin 75sin 1352++= ++=++=++= 练习：观察下列等式： ① cos2α=2 cos 2 α－1； ② cos 4α=8 cos 4 α－8 cos 2 α+1； ③ cos 6α=32 cos 6 α－48 cos 4 α＋18 cos 2 α－1； ④ cos 8α= 128 cos 8α－256cos 6 α＋160 cos 4 α－32 cos 2 α＋1； ⑤ cos 10α=mcos 10α－1280 cos 8α＋1120cos 6 α＋ncos 4 α＋p cos 2 α－1； 可以推测，m －n+p= . 答案：962 3：与不等式有关的推理 例1、观察下列式子： 213122+<，221151,233 ++<22211171, 2344............. +++< 由上可得出一般的结论为： 。 答案： 22211121 1......,23(1)1n n n ++ ++<++ 练习、由 331441551 ,,221331441 +++>>> +++。。。。。。可猜想到一个一般性的结论是： 。

高考推理与证明真题汇编理科数学(解析版)

2012高考真题分类汇编：推理与证明 1. 【 2012 高 考 真 题 江 西 理 6 】 观 察 下 列 各 式 ： 221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010a b += A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 【答案】C 【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。 【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即 21++=+n n n a a a ，所以可推出12310=a ，选C. 2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝ 7 3 .动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 【答案】B 【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可. 3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159L 判断，下列近似公式中最精确的一个是 11.d ≈ B ．d C ．d D ．d ≈ 【答案】D 【解析】 346b 69()d ,===3.37532b 16 616157611 ==3==3.14,==3.142857230021 d a V A a B D πππππππ?==???由，得设选项中常数为则；中代入得， 中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。 4.【2012高考真题陕西理11】 观察下列不等式 213122+ < 231151233++<，

(整理)合情推理和演绎推理》.

第十七章推理与证明 ★知识网络★ 第1讲合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ 1.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理. 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论. 2、合情推理: 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： （1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 （2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理: 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系

难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题1<；…. 对于任意正实数,a b ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ． 点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一 直线与椭圆交于A 、B 两点，则当AB 与椭圆的长轴垂直时，AB 的长度最短（22 2||a b AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理 问题3：定义[x]为不超过x 的最大整数，则[-2.1]= 点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数，所以[-2.1]=-3 ★热点考点题型探析★ 考点1 合情推理 题型1 用归纳推理发现规律 [例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++；23150sin 90sin 30sin 0 20202=++； 23165sin 105sin 45sin 020202=++；23 180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性” [解析]猜想：2 3 )60(sin sin )60(sin 0 2202= +++-ααα 证明：左边=2 00 2 2 00 )60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- = 2 3 )cos (sin 2322=+αα=右边 【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型 （2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性） [例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图

历年高考数学真题精选46 推理与证明

历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题46 推理与证明（学生版） 一．选择题（共9小题） 1．（2019?新课标Ⅱ）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为() A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙2．（2019?新课标Ⅰ）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的 长度之比是5151 (0.618 -- ≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此 外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51 - ．若某人满足上述两 个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是( ) A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm 3．（2017?新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则() A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩4．（2016?新课标Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15C ?，B点表示

四月的平均最低气温约为5C ?，下面叙述不正确的是( ) A ．各月的平均最低气温都在0C ?以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均最高气温高于20C ?的月份有5个 5．（2016?北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每 次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 6．（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不 合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有( ) A ．2人 B ．3人 C ．4人 D ．5人 7．（2013?广东）设整数4n ，集合{1X =，2，3，?，}n ．令集合{(S x =，y ，)|z x ，y ， z X ∈，且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}．若(x ，y ，)z 和(z ，w ，)x 都在S 中，则下列选项正确的是( )

苏教版数学高二-2.1素材 《合情推理与演绎证明》文字素材1

高考中的类比推理 大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。 例1 半径为r 的圆的面积2 )(r r S ?=π，周长r r C ?=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ?=?ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R 的球，若将R 看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________. 解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立， ,3 4)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案：①)'3 4(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比 例2 在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n （n ＜19，n ∈N *）成立。类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式 成立。 分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。相似地，在等比数列｛b n ｝的前17项中，b 9=1为其中间项，则可得b 1b 2…b n = b 1b 2…b 17－n （n ＜17，n ∈N * ）。 例3 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2= BC 2。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 ________________”。 分析：这是由低维（平面）到高维（空间）之间的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中（当然必须经过论证其正确性），像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中，则有S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。需要指出的是，勾股定理的证明也可进行类比。如在Rt △ABC 中，过A 作AH ⊥BC 于H ，则由AB 2=BH ·BC ，AC 2=CH ·BC 相加即得AB 2＋AC 2=BC 2；在三侧面两两垂直的三棱锥A —BCD 中，过A 作AH ⊥平面BCD 于H ，类似地由S △ABC 2=S △HBC ·S △BCD ，S △ACD 2=S △HCD ·S △BCD ，S △ADB 2=S △HDB ·S △BCD 相加即得S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。

2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练

1 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式： ????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43 ×1×2； ????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43×3×4； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43 ×4×5； … 照此规律，????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋????sin 3π2n ＋1－2＋…＋??? ?sin 2n π2n ＋1－ 2＝__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n ＋1) 【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是4 3，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 2 2≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3 a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4 a 1a 2a 3a 4； … 照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n 【解析】 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)． 3 与数列有关的推理 例3观察下列等式：

高考数学 合情推理与演绎推理

第36讲 合情推理与演绎推理 1．合情推理 (1)归纳推理 ①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的__全部对象__都具有这些特征的推理，或者由个别的事实概括出一般结论的推理． ②特点：是由__部分__到__整体__、由__个别 __ 到__ 一般__的推理． (2)类比推理 ①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有__这些特征__的推理． ②特点：是由__特殊__到__特殊__的推理． 2．演绎推理 (1)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由__一般__到__特殊__的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的__一般原理__. ②小前提——所研究的__特殊情况__. ③结论——根据一般原理，对__特殊情况__做出的判断． 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．

(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．(×) (2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×) (3)“所有3的倍数都是9的倍数，若数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×) 解析(1)错误．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理． (2)错误．平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适． (3)正确．因为大前提错误，所以结论错误． (4)错误．演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确． 2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(C) A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理 C．使用了“三段论”，但推理形式错误 D．使用了“三段论”，但小前提错误 解析由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的． 3．数列2,5,11,20，x,47，…中的x＝(B) A．28B．32 C．33D．27 解析由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9. 则x－20＝12，因此x＝32. 4．给出下列三个类比结论： ①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n； ②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中结论正确的个数是(B) A．0B．1 C．2D．3 解析只有③正确． 5．观察下列不等式： 1＋1 22＜3 2， 1＋1 22＋1 32＜ 5 3，

合情推理与演绎推理优秀教案

0(1,2,,)i a i n >=2.1合情推理与演绎推理 姓名班级 【学习目标】 （1）结合已学过地数学实例，了解归纳推理、合情推理地含义，通过生活中地实例和已学过地教学地案例，体会演绎推理地重要性；（2）能利用归纳、类比进行简单地推理，体会并认识合情推理、演绎推理在数学发现中地作用.掌握推理地基本方法，并能运用它们进行一些简单推理.【教学重点】能利用归纳、类比、演绎地方法进行简单地推理. 【教学难点】用归纳和类比进行推理，作出猜想；分析证明过程中包含地“三段论”形式. 【教学过程】 问题一：归纳推理 一、创设情境 1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 1000=29+971，, ……猜测：任一不小于6地偶数都等于两个奇质数之和.2.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对 2 0213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4 242165537F =+=地观察，发现其结果都 是素数，于是提出猜想：任何形如12 2+=n F （*∈N n ）地数都是素数.后来瑞士数学家欧拉， 发现5 252142949672976416700417F =+==?不是素数，从而推翻费马猜想.3.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学地弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣地现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界地国家着上不同地颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注地问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学地两台不同地计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.4.哥尼斯堡城七桥问题：18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)地普莱格尔河上有7座桥，将河中地两个岛和河岸连结，如图1所示.城中地居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点.这就是七桥问题，一个著名地图论问题.这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里.欧拉以深邃地洞察力很快证明了这样地走法不存在.欧拉是这样解决问题地：既然陆地是桥梁地连接地点，不妨把图中被河隔开地陆地看成A 、B 、C 、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点地线，如图2所示. 图1图2图3 于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形地一笔画问题了.欧拉注意到，每个点如果有进去地 边就必须有出来地边，从而每个点连接地边数必须有偶数个才能完成一笔画.图3地每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次地走法.二、合作探究： 1、归纳推理地概念：由某类事物地部分对象具有某些特征，推出该类事物地全部对象都具有这些特征地推理，或者由个别事实概括出一般结论地推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般地推理.讨论：(i)归纳推理有何作用？ (ii)归纳推理地结果是否正确？ 2. 练习： (1)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？ （2）已知，考察下列式子： 111()1i a a ?≥；1212 11()()()4 ii a a a a ++≥；123123 111 ()()( )9iii a a a a a a ++++≥. 可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立地类似不等式为. (3). 观察等式：222 1342,13593,13579164+==++==++++==，能得出怎样地结论？ 三、例题讲解 例1.已知数列{}n a 地第1项a 1=1，且),3,2,1(11 =+= +n a a a n n n ，试归纳出这个数列地通项公式. 例2:汉诺塔问题 有三根针和套在一根针上地若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.每次只能移动一个金属片;2.较大地金属片不能放在较小地金属片上面. 试推测:把n 个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次? 1 2 3

合情推理和演绎推理训练

合情推理和演绎推理训练

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推理与证明 ★知识网络★ 第１讲 合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ １.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理． 从结构上说,推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由 已知推出的判断,叫结论. ２、合情推理： 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出的推理叫合情 推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类: （1）归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特 征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由 个别到一般的推理 (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征,推出另一 类对象也具有这些特征的推理,简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理： 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是 由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般 原理；（2)小前提--－所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判 断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证，明确合情推理与演绎推理的区别推 理 推 证合情演绎归类直接间接 数学综 分 反

与联系 难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点:利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题１:观察：715211+<; 5.516.5211+<； 33193211-++<;…. 对于任意正实数,a b ，试写出使211a b +≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨:前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2：已知抛物线有性质:过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点,则当AB 与 抛物线的对称轴垂直时,AB 的长度最短;试将上述命题类比到其他曲线,写出相应的一个真 命题为 ． 点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一,答案可以填：过椭圆的焦点作一 直线与椭圆交于A 、B 两点,则当AB 与椭圆的长轴垂直时,AB 的长度最短（22 2||a b AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论）进行推理 问题3:定义[ｘ]为不超过ｘ的最大整数，则[-2.１］= 点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数,所以[-2.1]＝-3 ★热点考点题型探析★ 考点１ 合情推理 题型1 用归纳推理发现规律 ［例1 ] 通过观察下列等式,猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++；23150sin 90sin 30sin 020202=++；23165sin 105sin 45sin 020202=++；23180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律(１）结构的一致性，(２)观察角的“共性” [解析]猜想:23)60(sin sin )60(sin 02202= +++-ααα 证明：左边=2002200)60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- =2 3)cos (sin 2322=+αα＝右边 【名师指引】(1）先猜后证是一种常见题型 (2)归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周 期性） ［例2 ] (0９深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组 蜂

3 第3讲 合情推理与演绎推理

第3讲 合情推理与演绎推理 1．推理 (1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程． (2)分类：推理? ? ???合情推理 演绎推理 2．合情推理 归纳推理 类比推理 定义 由某类事物的部分对象具有某些 特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由 个别事实概括出一般结论的推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征 的推理 特点 由部分到整体、由个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理． (2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． (3)模式： 三段论???? ?①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (教材习题改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( ) A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝4n －3 C ．a n ＝n 2 D ．a n ＝3n － 1

2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练

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高考数学试题汇编合情推理与演绎推理

第二节 合情推理与演绎推理 高考试题 考点一 合情推理 1.(2011年江西卷,理7)观察下列各式:55 =3125,56 =15625,57 =78125,…,则52011 的末四位数字为( ) (A)3125 (B)5625 (C)0625 (D)8125 解析:∵55 =3125,56 =15625,57 =78125,58 =390625, 59 =1953125,510 =9765625,…, ∴5n (n ∈Z 且n ≥5)的末四位数字呈周期性变化, 记5n (n ∈Z 且n ≥5)的末四位数为f(n), 则f(2011)=f(501×4+7)=f(7), ∴5 2011 与57 的末四位数字相同,均为8125. 答案:D 2.(2012年湖北卷,理13)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3443,94249等,显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99,3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999,则 (1)4位回文数有 个; (2)2n+1(n ∈N +)位回文数有 个. 解析:1位回文数有9个,2位回文数有9个,3位回文数有90=9×10个,4位回文数有 1001,1111,1221,…,1991,2002,…,9999,共90个,5位回文数中,首末位数字不能为0,有9种选法,第2、4位数字有10种选法,第3位数字有10种选法,故5位回文数共有9×102 =900个,故猜想2n+1(n ∈N +)位回文数有9×10n 个. 答案:(1)90 (2)9×10n 3.(2013年陕西卷,理14)观察下列等式: 12=1, 12-22=-3, 12-22+32=6, 12 -22 +32 -42 =-10, … 照此规律,第n 个等式可为 . 解析:观察规律可知,第n 个式子为12 -22 +32 -42 +…+(-1)n+1n 2 =(-1)n+1 ()12 n n +. 答案:12 -22 +32 -42 +…+(-1)n+1n 2 =(-1) n+1()12 n n + 4.(2012年陕西卷,理11)观察下列不等式 1+212<32, 1+212+213<53, 1+ 212+213+214<74 , …

合情推理与演绎推理的意义

合情推理与演绎推理的意义 （1)合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推导过程。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。 （2)在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。例如，在研究球体时，我们会自然地联想到圆。由于球与圆在形状上有类似的地方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此我们推测圆的一些特征，球也可能有。 圆的切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于圆的半径，类似地，我们推测可能存在这样的平面，与球只交于一点，该点到球心的距离等于球的半径。平面内不共线的3个点确定一个圆，类似地，我们猜想空间中不共面的4个点确定一个球等。 演绎推理是数学中严格证明的工具，在解决数学问题时起着重要的作用。“三段论”是演绎推理的一般模式，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的。 例如，三角函数都是周期函数，sinx是三角函数，因此推导证明出该函数是周期函数。又如，这样一道问题“证明函数f(x)=-x+2x在（－0,1)上是增函数”。大前提是增函数的定义，小前提是推导函数f(x)在（－c,1)上满足增函数的定义，进而得出结论。 合情推理从推理形式上看，是由部分到整体、个别到一般、由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。 就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程。但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，合情推理与演绎推理是相辅相成的。

[笔试解题指导]演绎推理题型分类及规律总结

演绎推理题型分类及规律总结 （陈远跃/整理） 所谓推理，是指由一个或几个已知的判断推导出另外一个新的判断的思维形式。一切推理都必须由前提和结论两部分组成。一般来说，作为推理依据的已知判断称为前提，所推导出的新的判断则称为结论。推理大体分为直接推理和间接推理。 只有一个前提的推理叫直接推理。例如：有的高三学生是共产党员，所以有的共产党员是高三学生。 一般有两个或两个以上前提的推理就是间接推理。例如：贪赃枉法的人必会受到惩罚，你们一贯贪赃枉法，所以今天你们终于受到法律的制裁和人民的惩罚。 一般说，间接推理又可以分为演绎推理、归纳推理和类比推理等三种形式。 1、演绎推理及其分类 所谓演绎推理，是指从一般性的前提得出了特殊性的结论的推理。例如：贪赃枉法的人是必定会受到惩罚的，你们一贯贪赃枉法，所以，你们今天是必定要受到法律的制裁、人民的惩罚的。这里，“贪赃枉法的人是必定会受到惩罚的”是一般性前提，“你们一贯贪赃枉法”是特殊性前提。根据这两个前提推出”你们今天是必定要受到法律的制裁和人民的惩罚的”这个特殊性的结论。 演绎推理可分为三段论、假言推理和选言推理。

1、三段论 (1)所谓三段论是推理中最普通的一种形式。它由三个简单判断组成，其中两个是前提，一个是结论。例如：不法分子都害怕法律的制裁（大前提）；杀人犯是不法分子（小前提）；所以杀人犯害怕法律的制裁（结论）。 (2)三段论的推理一般有三个特点： ①有三个判断； ②每个判断都有两个概念，整个推理共有三个不同的概念，每个概念都出现两次； ③在前提中都有一个概念起媒介的作用。 在逻辑学中，阐述三段论时，概念和判断都有一定的名称。即，在作结论的判断中的谓项称为大项（P）；作主项的称为小项（S）；在结论中不出现，在前提中起媒介作用的称为中项（M）。一般，包含大项的判断称为大前提，包含小项的判断称为小前提。 (3)我们在运用三段论时，还要遵守三个原则： ①一个三段论必须（也只能）有三个概念，特别是中项必须是同一概念，否则就会产生错误（通常把这种错误说为“偷换概念”）。例如：茅盾著作不是几天可以读完的；《白杨礼赞》是茅盾著作；所以，《白杨礼赞》不是几天可以读完的。 这里，在大前提中的“茅盾著作”指所有茅盾著作构成的总体，而小前提中的“茅盾著作”则是茅盾许多著作中的一种具体的著作，两者含义不同，已经不是三个概念，而是变成了四个概念，致使推理

合情推理演绎推理(带标准答案)

合情推理演绎推理（带答

案）

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1:与代数式有关的推理问题 2 a b a b a b , 例1、观察a 3 b 3 a b 2 a ab b 2 进而猜想a n b n 4 a b 4 a b 3 a a 2 b ab 2 b 3 练习：观察下列等式： 13 23 以 3 3 , 1 23 33 6, 13 2" 33 43 10,…，根据上述规律，第五个 等式为 o 解析：第 i 个等式左边为 1 到 i+1 的立方和，右边为 1+2+.. .+ (i+1 )的平方所以第五个 等式为13空 33 43 5" 21 o 2:与三角函数有关的推理问题 例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论。 练习：观察下列等式: ① COS2 a =2 cos 2 a — 1 ； 4 2 ② cos 4 a =8 cos a — 8 COs a +1 ； ③ cos 6 a =32 cos 6 a — 48 cos 4 a+ 18 cos 2 a — 1； ④ cos 8 a = 128 cos a — 256cos a+ 160 cos a — 32 cos a + 1 ； 10 8 6 4 2 ⑤ cos 10 a =mcos a — 1280 cos a+ 1120cos a+ nC0S a+ p cos a — 1 ； 可以推测，m — n+p= . 答案：962 3:与不等式有关的推理 例1、观察下列式子： 1 3 1 1 5 4 1 1 1 7 1尹2「豕孑护豕孕了？由上可得出一般的结论为： ____________________________________________________ 。 .1 1 1 2n 1 答案：1 22 32 ……(n 1)2 n 1， 练习、由 3 5 口 oooooo 可猜想到一个一般性的结论是： _________________________ 。 2 2 1 3 3 1 4 4 1 合情推理 sin 2 30 0 sin 2 60 0 ? 2 Ar 0 sin 45 sin 15 ? 2 “ 0 sin 90 sin 2120 sin 2105 sin 2 75 0 . 2 * LC 0 sin 150 sin 2180 sin 2165 2 X CL 0 sin 135

高考数学推理与证明

第十二章推理与证明 考纲解读 分析解读 本部分是新课标内容,高考考查以下几个方面:1.归纳推理与类比推理以选择题、填空题的形式出现,考查学生的逻辑推理能力,而演绎推理多出现在立体几何的证明中;2.直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法,常以不等式、立体几何、解析几何、函数为载体,考查综合法、分析法及反证法.本节内容在高考中的分值分配:①归纳推理与类比推理分值为5分左右,属中档题;②证明问题以解答题形式出现,分值为12分左右,属中高档题.

五年高考 考点一合情推理与演绎推理 1.(2016北京,8,5分)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊. 在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( ) A.2号学生进入30秒跳绳决赛 B.5号学生进入30秒跳绳决赛 C.8号学生进入30秒跳绳决赛 D.9号学生进入30秒跳绳决赛 答案 B 2.(2017北京,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (i)男学生人数多于女学生人数; (ii)女学生人数多于教师人数; (iii)教师人数的两倍多于男学生人数. ①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为;

②该小组人数的最小值为. 答案①6 ②12 3.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是. 答案1和3 4.(2016山东,12,5分)观察下列等式: π- +π - =×1×2; π- +π - +π - +π - =×2×3; π- +π - +π - +…+π - =×3×4; π- +π - +π - +…+π - =×4×5; …… 照此规律, π- +π - +π - +…+π - = . 答案 5.(2015陕西,16,5分)观察下列等式 1-= 1-+-=+ 1-+-+-=++ …… 据此规律,第n个等式可为. 答案1-+-+…+ - -=++…+ 6.(2014课标Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;