宁夏固原市17届高三数学下学期4月能力提升测试试题文

宁夏固原市2017届高三数学下学期4月能力提升测试试题 文

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1．记集合2{|2},{|30}M x x N x x x =>=-≤，则N M =

（ ）

A ． {}|02x x ≤<

B ．{|02}x x x ><-或

C ．{|23}x x <≤

D ．{}|23x x -<≤

2．设i 为虚数单位，若i

()1i

a z a -=∈+R 是纯虚数，则a 的值是 ( ) A ．1-

B ．0

C ．1

D ．2

3．若a 、b 0:,b

1

1:,<<>∈b a q a p R 命题命题，则命题p 是命题q 成立的 （ ）

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 4.在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方

形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为 ( )

A B 6

C

5.若n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，且2038=-S S ，则11S 的值为 （ ） A.44 B.22 C.220

3

D.88

6．已知

，则

= （ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

7．设直线m x =分别交函数)2

sin(sin π

+

==x y x y 、的图象于M 、N 、两点，则M 、N 距离的

最大值为 （ ） A ． 1 B ．2 C ．2 D ．22

8. 已知函数5

3

()52f x x x x =---+，若2

()(2)4f a f a +->，则实数a 的取值范围 （ ）

A ．(),1-∞

B ．(),3-∞

C ．(2,1)-

D ．(1,2)-

9．设m ，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y ﹣2=0与圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n 的取值范围是 ( )

A ．（﹣∞，2]∪[2

，+∞） B ．（﹣∞，2﹣2

]∪[2+2

，+∞）

C ．[2﹣2

，2+2] D ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）

10. 已知曲线x

e

y =

上一点P （1，e ）处的切线分别交x 轴、y 与A ，B 两点，O 为原点，则△OAB 的面积为 （ ） A ．e 2 B ．e C ．2

e D ．2

2e

11.过椭圆C ：15

22

=+y x 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于点M ， 若BF MB AF MA 21,λλ==,则1λ+2λ＝ （ ） A ．10 B ．5 C ．－10 D ．－5

12. 已知平面内一点p∈{(x,y) | (x －2cos θ)2

+(y －2sin θ) 2

=16, θ∈R},则满足条件的点P 在

平面内所组成的图形的面积是 （ ）

A ．8π

B ．16π

C ．24π

D ．32π

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分。） 13、 如右图，它满足： (1)第n 行首尾两数均为n ； (2)表中的递推关系类似杨辉三角。

则第n 行(n≥2)第2个数是___ .

14、以椭圆15

82

2=+y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为_____ __ .

15、我国南北朝时代的数学家祖恒提出体积的计算原理（祖恒原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同

高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖恒原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t 取[]

0,4上的任意值时，直线y t =被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为 ____________．

16、设y x ,为正数，且y a a x ,,,21成等差数列，y b b x ,,,21成等比数列，则2

12

21)(b b a a +的最小值是

____________ .

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.( 本小题10分）16．（本小题 12分）

在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2sin a C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；

（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．

18．（本小题 12分）某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示：

（1）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？

（2）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有1

名男生的概率是多少？

（3）学生的学习积极性与对待班极工作的态度是否有关系？请说明理由. 附：

19．（本小题10分）

如图1，在直角梯形ABCP 中，AP∥BC，AP⊥AB，

AB=BC=

2

1

AP=2，D 为AP 的中点，E ，F ，G 分别为PC 、 PD 、CB 的中点，将△PCD 沿CD 折起，使点P 在平面 ABCD 内的射影为点D ，如图2. （I ）求证：AP∥平面EFG ； （II ）求三棱锥P —ABC 的体积.

20.（本小题12分）已知椭圆C

：22

21(3

x y a a +=的右焦点为F ，右顶点为A ，设离心率为e ，且

满足113e OF OA AF

+=，其中O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的方程；

（2）过点(0,1)的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求△OMN 面积的最大值．

21．（本小题12分）已知函数．

（1）求函数f （x ）的单调区间；

（2）若存在x∈[0，2]，使得f （x ）﹣g （x ）＜0成立，求m 的取值范围； （3）设x 1、x 2（x 1≠x 2）是函数f （x ）的两个零点，求证：x 1+x 2＜0．

22.（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以

x 轴正半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为

)4

π

ρθ=+．

（1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）过点P (2,0)作斜率为1直线l 与圆C 交于,A B 两点，试求

11PA PB

+的值.

23.（本小题10分）选修4-5：不等式选讲 设()34f x x x =-+-. （1）解不等式()2f x ≤；

（2）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.

参考答案

1.C

2.C

3.A

4.B

5.A

6.D

7.B

8.C

9.B 10.A 11.C 12.D 13.5/2

14.8

15.153

2

2=-y x 16.4

17. 解：（Ⅰ） 由 tan 2sin a C c A =，

得

sin 2sin cos a C

A c C

?=． [ 1分] 由正弦定理得 sin sin 2sin sin cos A C

A C C

?=． [ 3分] 所以 1

cos 2

C =

． [ 4分] 因为 (0,π)C ∈， [ 5分] 所以 π

3

C =

． [ 6分] （Ⅱ） sin sin A B +2π

sin sin(

)3

A A =+- [ 7分]

3sin 2A A = [ 9分] π

)6

A =+． [11分]

因为 π3C =，所以 2π

03

A <<， [12分]

所以 当π

3

A =时，sin sin A

B +

18.

19. 如图1，在直角梯形ABCP 中，AP ∥BC ，AP ⊥AB ，

AB=BC=

2

1

AP=2，D 为AP 的中点，E ，F ，G 分别为PC 、 PD 、CB 的中点，将△PCD 沿CD 折起，使点P 在平面 ABCD 内的射影为点D ，如图2. （I ）求证：AP ∥平面EFG ；

（II ）求三棱锥P —ABC 的体积.

解：由题意，△PCD 折起后PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PD=2. （I ）∵E 、F 、G 分别为PC 、PD 、BC 的中点.

∴EF ∥CD ，EG ∥PB.

又CD ∥AB ∴EF ∥AB ，PB ∩AB = B ，…………………………………………… 3分 ∴平面EFG ∥平面PAB.

∴PA ∥平面EFG. ……………………………………………………………………… 6分

（II ）三棱锥P —ABC 是以PD 为高、△ABC 为为底面的三棱锥， 其体积.3

4

222213131=????=??=

?PD S V ABC ………………12分 20. 解：（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c ，则|OF | = c ，|OA | = a ，|AF | =a c -．

所以113e c a a c +=-，其中c

e a

=，又2223b a c ==-，联立解得2a =，1c =．

所以椭圆C 的方程是22

143

x y +=．…………………………………………… 4分

（Ⅱ）由题意直线不能与x 轴垂直，否则将无法构成三角形．……………… 5分 当直线l 与x 轴不垂直时，设其斜率为k ，那么l 的方程为1y kx =+． 联立l 与椭圆C 的方程，消去y ，得22(43)880k x kx ++-=．

于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是Δ=22(8)32(43)k k ++，这显然大于0． 设点11(,)M x y ，22(,)N x y ． 由根与系数的关系得122843k x x k +=-

+，122

8

43

x x k =-+．……………… 7分

所以

12MN x =-=O 到l 的距离d =

所以△OMN 的面积12S d MN === 10分

令2433t k =+≥，那么S =t = 3时取等．

所以△OMN ． …………………………………… 12分 21. （13分）

（Ⅰ）解：f′（x ）=e x ﹣1，

令f′（x ）＞0，解得：x ＞0，令f′（x ）＜0，解得：x ＜0， 故f （x ）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增； （Ⅱ）若存在x ∈[0，2]，使得f （x ）﹣g （x ）＜0成立，

即存在x ∈[0，2]，使得（e x

﹣﹣2x ）min ＜m 2

﹣2m ﹣3成立，

令h （x ）=e x ﹣

﹣2x ，x ∈[0，2]，

则h′（x ）=e x +﹣2≥2﹣2=0，

故h （x ）在[0，2]递增，h （x ）min =h （0）=0， 故只需m 2

﹣2m ﹣3＞0，解得：m ＞3或m ＜﹣1；

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可知，x=0是函数f （x ）的极小值点， 也是最小值点，即最小值为f （0）=2m+4， 显然只有2m+4＜0时，函数f （x ）有两个零点， 设x 1＜x 2，易知，x 1＜0，x 2＞0，

∵f （x 1）﹣f （﹣x 2）=f （x 2）﹣f （﹣x 2）=e x2﹣e ﹣x2﹣2x 2， 令h （x ）=e x

﹣e ﹣x

﹣2x （x ≥0），

由（Ⅱ）可知h （x ）在[0，+∞）上单调递增， ∴h （x ）≥h （0）=0，又∵x 1＜0＜x 2， ∴h （x 2）＞0， 即e x2﹣e ﹣x2﹣2x 2＞0， ∴f （x 1）＞f （﹣x 2）， 又∵x 1＜0，﹣x 2＜0，

且由（Ⅰ）知f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减， ∴x 1＜﹣x 2， ∴x 1+x 2＜0．

22. 解：（1）由)4

(24π

θρ+

=Cos 得：θθρSin Cos 44-=,θρθρρSin Cos 442-=∴

即：0442

2

=+-+y x y x ,∴C 的直角坐标方程为：()()8222

2

=++-y x

(2)设A,B 两点对应的参数分别为21,t t ，直线t t y x ???

???

?=+=22222和圆的方程联立得：

,04222=-+t t 所以,4,222121-=-=+t t t t <0

所以,

2

6

1111212121=-=+=+t t t t t t PB PA