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圆锥曲线离心率综合问题专题

圆锥曲线的离率问题专题

A 组

一、选择题

为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为

【答案】A

【解析】以线段12A A 为直径的圆是2

x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所

2．已知双曲线221221(0,0)x y C a b a b

-=>>：，抛物线2

24C y x =：， 1C 与2C 有公共

的焦点F ， 1C 与2C 在第一象限的公共点为M ，直线MF 的倾斜角为θ，且

12cos 32a

θ-=

-，则关于双曲线的离心率的说法正确的是（）

A. 仅有两个不同的离心率12,e e 且()()121,2,4,6e e ∈∈

B. 仅有两个不同的离心率

12,e e 且()()122,3,4,6e e ∈∈ C. 仅有一个离心率e 且()2,3e ∈ D. 仅有一个

离心率e 且()3,4e ∈ 【答案】C 【解析】24y x = 的焦点为()1,0 ， ∴ 双曲线交点为()1,0，即1c = ，设M 横坐

标

为

x ，

则

0000011,1,121p a x ex a x x a x a a

=-+=-=

- ，

001

111

112cos 1132111a x a

a a x a a

θ+----===

++-+- ，

可化为2520a a -+= ， ()2

2112510,2510g e e e a a ??

?-?+==-+= ???

，

()()()()200,10,20,30,1,2510g g g g e e e >∴-+= 只有一个根在()2,3 内，

故选C.

3．已知12,F F 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左右焦点，过2F 作双曲线一条渐近

线的垂线，垂足为点A ,交另一条渐近线于点B ，且2

AF F B =,则该双曲线的离心率为

B. 2

C. D. 2

【答案】A

【解析】由()2,0

F c 到渐近线b

y x a

的距离为d b == ，即有2AF b = ，则23BF b = ，在2AF O ? 中， 22,,,b

OA a OF c tan F OA a

==∠=

224tan 1b

b a AOB a b a ?

∠==??

- ???

，化简可得222a b = ，即有2

22232c a b a =+= ，即有c e a =

= ，故选A. 4．设A 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点， (),0F c 是右焦点，若抛物线

4a y x c

=-的准线l 上存在一点P ，使30APF ∠=，则双曲线的离心率的范围是

（）

A. [)2,+∞

B. (]1,2

C. (]1,3

D. [

)3,+∞ 【答案】A

【解析】抛物线的准线方程为2

a x c

=,正好是双曲的右准线.由于AF= c a -,所以AF

弦,圆心),22a c O c a ??

+- ? ???

,半径R c a =-圆上任取一点P,

30APF ∠=,现在转化为圆与准线相交问题.所以()2

2a c a c a c

+-≤-,解得2e ≥.填A.

5．中心为原点O 的椭圆焦点在x 轴上， A 为该椭圆右顶点， P 为椭圆上一点，

090OPA ∠=，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（）

A. 1,12??

????

C. 12????

D. ? ??

【答案】B

【解析】设椭圆标准方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，设P(x,y)，点P 在以OA 为直径的

圆上。圆的方程： 22

222a a x y ????-+= ? ?????，化简为22

0x ax y -+=，

2222

{1(0)x ax y x y a b a b

-+=+=>>可得(

)

2322

0b a x a x a b -+-=。则2

2,0,ab x x a c =<<所双220,ab a c

可得12e <<，选B. 6．设点12,F F 分别为双曲线： 22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，若在双曲线左

支上存在一点P ，满足112PF F F =，点1F 到直线2PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）

B. 43

C. 54

D. 5

【答案】D

【解析】由题意知212PF F F =，可知12PF F 是等腰三角形， 1F 在直线2PF 的投影是中点，

可得24P F b ==，由双曲线定义可得422b c a -=，则2

a c

b +=

，又222c a b =+，知225230a ac c +-=，可得23250e e --=，解得

()5

e =或舍去．故本题答案选D ．

7．如图，两个椭圆的方程分别为22221(0)x y a b a b +=>>和()()

1x y ma mb +=（0a b >>， 1m >），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线AC 、BD ，若AC 、

BD 的斜率之积恒为16

，则椭圆的离心率为（）

35 B. 34 C. 4

D. 4

【答案】A

【解析】由题意知，外层椭圆方程为

()

1x y ma mb +

= ，设切线AC 的方程为

()

1y k x ma =-代入内层椭圆

消

去

y 得:

(

)

222

232

24221

20k a b x mk a x m k a a b +-+-=由0?=化简得22

1221

b k a m =?-同

理得()

2221,b k m a =?-

所以4

422

2124443,.,55

5b b c k k e a a a ??====== ???选A.

8．已知双曲线C ： 22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点

分别为A 、B ，虚轴的上、下端点分别为C 、D ，若线段BC 与双曲线的渐近线的交点为E ，且11BF E CF E ∠=∠，则双曲线的离心率为

D. 【答案】C

【解析】根据双曲线C 的性质可以得到， ()0,C b ， (),0B a ， ()1,0F c -，

双曲线C 的渐近线方程b y x a =

，直线BC 方程： b

y x b a

=-+，联立{b

y x b a

b y x

+=得到2{2a

x b y =

，即点,22a b E ?? ?

??，所以E 是线段BC 的中点，又因为11BF E CF E ∠=∠，所以11F C F B =，

而1

FC =， 1F B a c =+，故()2

22c b a c +=+，因为222a b c +=，所以22220a ac c +-=，因为c e a

，即2

220e e --=，所以

1e =+，故选C

9．已知,,A B C 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上的三个点， AB 经过原点O ,

AC 经过右焦点F ,若BF AC ⊥且2BF CF =,则该双曲线的离心率是（）

3 B. 3 C. 2 D. 94

【答案】B

【解析】做出如图因为 AB 经过原点O , AC 经过

右焦点

F , BF AC ⊥可得'AFBF 为矩形，设AF=a,则

'=224AF BF m a FC m a =+?=+根据双曲线定义可知'26CF m a =+，在

Rt ACF 得()2

22222224''34(2)(26),''3

a AC AF CF m a m a m a m AFF AF AF FF

+=?+++=+?=?+=在中

得2

104433a a c e ????+=?= ? ?

????

10．已知,F A 分别为双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点和右顶点，过F 作x 轴

的垂线在第一象限与双曲线交于点P ， AP 的延长线与双曲线在第一象限的渐近线交于点Q ，若()

22AP AQ =-,则双曲线的离心率为（）

B. C. D. 【答案】B

【解析】过Q 作QR ⊥x 轴与R ，如图，由题

意设F （c ，0），则由OA=a 得AF=c-a ，将x=c 代入双曲线得P 2

(,)b c a

，则直线AP 的

斜率为2()b a c a -，所以直线AP 的方程为2

()()b y x a a c a =

--，与渐近线联立，得x=ab

a b c

+-，所以AR=2=ab ac a a a b c a b c --+-++，根据相似三角形及

()

22AP AQ

=-，得AF=

2（）AR ，即

21)ac b c a b c a a b c --=?=-+-代入222c a b =+，得c

=11．已知双曲线22

221x y a b

-=（0a >， 0b >），过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲

线于A 、B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值

范围是（） A. 31,

2??

??? B. ()1,2 C. 3,2??

+∞ ???

D. ()2,+∞ 【答案】D

【解析】AB 是双曲线通径，

22b AB a =，由题意2

b a

c a +<，即2222a ac b c a +<=-， 2220c ac a -->，即220e e -->，解得2e >（1e <舍去），故选D ．

12．已知点12,F F 分别是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右两焦点，过点1

F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于,P Q 两点，若2PQF ?是以2PQF ∠为顶角

的等腰三角形，其中2,3PQF ππ??

∠∈????

，则双曲线离心率e 的取值范围为

A. )

B. ??

C. )

【答案】A

【解析】

因为2PQF ?为等腰三角形，设2PQ QF m ==，

由P 为双曲线上一点， 121122PF PF PF m a QF a -=-=?=，由Q 为双曲线上一点， 2121224QF QF a QF a QF a -=?=+=，再12QF F ?中，由余弦定理得()()2

212424224cos c a a a a FQF =+-??∠,

所以()2

1254cos c a FQF =-∠，所以()22

12254cos c e FQF a

==-∠ 又因为2,3PQF ππ??

∠∈????

，所以[)27,9e ∈

，所以)

e ∈，故选A. 二、填空题

13．设1F 、2F 分别为椭圆22

1112211:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线

2222222

:1(0)x y C a b a b -=>>的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，

1290F MF ∠=?

，若椭圆的离心率134e ?∈???

，则双曲线2C 的离心率2e 的取值范

围为__________．

【答案】7??

? 【解析】设MF 1=s ,MF 2=t ，由椭圆的定义可得s +t =2a 1，

由双曲线的定义可得s ?t =2a 2，解得s =a 1+a 2,t =a 1?a 2，由∠F 1MF 2=90°，运用勾股定理，可得s 2+t 2=4c 2，

即为222

122a a c +=，

由离心率的公式可得

212

2e e +=，

由13,

43e ?∈???

,可得2

11272,98e ??

-∈????，据此有：

2e ∈??

由a 2>b 1,

可得2e =<

则双曲线2C 的离心率2e

的取值范围为7???. 14．已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的右焦点为(),0F c ，点P 在双曲线C 的

左支上，若直线FP 与圆2

:39c b E x y ??-+= ???

相切于点M 且2PM MF =，则双曲

线C 的离心率值为__________．

【解析】设双曲线C 的左焦点为1F ，由圆心,03c

E ?? ???

可知， 12F E EF =，又

2PM MF =，可知1//EM PF ，且13PF EM b ==，由双曲线的定义得

2PF a b

=+，

1PF PF

⊥，

1F PF

中，

()

(

2211222c

F F F P FP c b a b b a e a

=+?=++?=?=

15．过双曲线()22

22100x y a b a b

-=＞，＜的右焦点且垂于x 轴的直线与双曲线交于

A ,

B 两点，与双曲线的渐近线交于

C ,

D 两点，若5

AB CD ≥,则双曲线离心率的取值范围为__________．

【答案】1312??

+∞??

，【解析】易知22b AB a =，因为渐近线b y x c =±，所以 2bc

CD a

=，由

2252·13b bc a a ≥化简得513b c ≥，即2225169b c ≥，所以222

25169

c a c -≥，从而

169

144c a ??≥

???，解得

c a ≥. B 组

一、选择题

1．已知椭圆

21(0)1x y m m +=>+的两个焦点是12,F F ， E 是直线2y x =+与椭圆的一个公共点，当12EF EF +取得最小值时椭圆的离心率为（）

B. C. 3 D.

【答案】D

【解析】解：联立直线与椭圆的方程整理可得：

()()()2241310m x m x m +++++= ，

满足题意时： ()()2

16112202m m m ?=+-+≥?≥ ，

当2m = 时，椭圆的离心率取得最小值3

. 本题选择D 选项.

2．过双曲线1C ： 22221x y a b

-=（0a >， 0b >）的左焦点F 作圆2C ： 222

x y a

+=的切线，设切点为M ，延长FM 交双曲线1C 于N ，若点M 为线段FN 的中点，则双曲线1C 的离心率为（）

C. 1

【答案】A

【解析】取双曲线右焦点1F ,连接1F N ，由题意可知，

1NFF 为直角三角形，且

112,4,2,NF a NF a FF c ===由勾股定理可知， 2

21644,5,c a a c e a

+===选A.

3．已知双曲线22

22:1x y C a b

-=的右顶点为,A O 为坐标原点,以A 为圆心的圆与双

曲线C 的某一条渐近线交于两点,P Q ,若3

PAQ π

∠=

且5OQ OP =,则双曲线C

的离心率为

A. 2

D. 3 【答案】B

【解析】由图知APQ ?是等边三角形，设PQ 中点是H ，圆的半径为r ，则AH PQ ⊥，

2AH r =

， PQ r =，因为5OQ OP =，所以14OP r =， 1

2PH r =，即

113

424

OH r r r =

+=，所以tan 3AH HOA OH ∠=

=，即3b a =，

2222243

b c a a a -==，从而得3c e a ==，故选B ．

4．在平面直角坐标系xoy 中，双曲线22

122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线与抛物线

22:2(0)C y px p =>交于点,,O A B ,若OAB ?的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为

（）

B. C.

D. 【答案】C

【解析】设()11,A x y ， ()11,B x y -， 2C 焦点为,02p F ??

???

，由题意0FA OB ?=，即()1111,,02p x y x y ??-?-= ???，所以2

11102p x x y ??--= ???，又2112y px =，

111202p x x px ??--= ??

?， 152p x =， 2

21152252y px p p p ==?=， 1y =，而

11b y x a =，即5

b a =?， b a =， 22222

45b c a a a -==， 2295c a =，所以

c e a =

=C ． 5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的左右顶点分别为12A A 、， M 是双曲线上异

于12A A 、的任意一点，直线1MA 和2MA 分别与y 轴交于,P Q 两点， O 为坐标原点，若,,OP OM OQ 依次成等比数列，则双曲线的离心率的取值范围是（）

)+∞

B. )+∞

C. (

D. (

【答案】A

【解析】设()00,M x y ，因为()2,0A a ，所以20

0A M y k x a

-，直线2MA 方程为()00y y x a x a =

--，令0x =得， 00ay

y x a =--，即00ay OQ x a =-，同理得00ay OP x a

+，由于,,OP OM OQ 成等比数列，则2

OM OP OQ =，即

2000

0a y x y x a

+=-， M 是双曲线上的点，则2200221x y a b -=，所以()22222

00a y b x a =-，即222022

0a y b x a

=-，所以22

0x y b +=， OM b =，而OM a >，从而b a >， 22222c a b a =+>

，所以c

e a

>A ． 6．已知点F 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，

过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ?是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（）

A. ()1,+∞

B. ()1,2

C. (1,1+

D. ()2,+∞

【答案】D

【解析】如图，根据双曲线的对称性可知，若ABE ?是钝角三角形，显然AEB ∠为钝

角，因此·

0EA EB <，由于AB 过左焦点且垂直于x 轴，所以2,b A c a ??

- ???， 2,b B c a ??-- ???， (),0E a ，则2,b EA c a a ??=-- ??

?， 2,b EB c a a ??

=--- ???，所以

()4

2·0b EA EB c a a

=---<，化简整理得： ()2a a c b +<，所以222a ac c a +<-，

即2220c ac a -->，两边同时除以2a 得220e e -->，解得2e >或1e <-（舍），故选择D.

7．双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的右焦点和虚轴上的一个端点分别为,F A ，点

P 为双曲线C 左支上一点，若APF ?周长的最小值为6b ，则双曲线C 的离心率为

（）

B. C. D. 【答案】B

【解析】设双曲线的右焦点为'F ，

AFP ?的周长为

'2AF AP PF AF AP PF a ++=+++ ，而''AP PF AF +≥ ，所以三角形

周长的最小值是'2AF AF a ++= 26a b =，解得： 76b a = ，

(

)

222

2854936493649

c b a c a

a a =?-=?= ，解得： 7c e a == ，故选B.

8．已知椭圆1C 和双曲线2C 焦点相同，且离心率互为倒数， 12,F F 是它们的公共焦点， P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若1260F PF ∠=?，则椭圆1C 的离心率为（）

B. C. D. 1

【答案】A

【解析】设11PF r = ， 22PF r =在椭圆1C 中()2

121222cos60C r r rr =+- ()()22

1212112323r r rr a rr =+-=-， 22212113444r

r a c b ∴=-=，即2

12143

r r b =

在双曲线2C 中()222

121222cos60C r r rr =+- ()()22

12122122r r r r a r r =-+=+

2221222444r r c a b ∴=-=， 2212443

b b ∴=即22123b b =，则()

222212

3a c c a -=- 所以222

12+34a a c =，由题知

134e e +=

，则椭圆离心率1e = A. 9．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的右焦点为2,F O 为坐标原点， M 为y 轴上一

点，点A 是直线2MF 与椭圆C 的一个交点，且22OA OF OM ==，则椭圆C 的离心率为（） A.

13 B. 2

D. 【答案】D

【解析】如图：

因为12OA OF OF ==，所以122

F AF π

∠=

， 21

tan 2

OF M ∠=

，所以122F AF MOF ~， 122F F c =，

12,AF AF =

=，由椭圆定义，可

得212,AF AF a e +=

== D. 10．设椭圆22

:142x y C +=与函数3y x =的图象相交于,A B 两点，点P 为椭圆C 上

异于,A B 的动点，若直线PA 的斜率取值范围是[]3,1--，则直线PB 的斜率取值范围是（）

A. []6,2--

B. []

2,6 C. 11,26??

--???? D. 11,62??

????

【答案】D 【解析】设

，

，因为椭圆和函数的图象都关于原点对

称，则从而有

由，得，即有

则，因为，则有,选D.

11．已知1F 、2F 为双曲线C ： 22

221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，点P 在C

上， 123PF PF =，且121

cos 3

F PF ∠=

，则双曲线的离心率e =（）

B. C. 2 D. 3

【答案】A

【解析】由双曲线定义及

，得

由余弦定理得

，得,选A.

二、填空题

12．过双曲线22221x y a b -=（0a >， 0b >）的左焦点向圆222

x y a +=作一条切

线，若该切线与双曲线的两条渐进线分别相交于第一、二象限，且被双曲线的

，则该双曲线的离心率为__________．

【答案】2

【解析】设该切线与双曲线的两条渐近线交点,P Q ,分别联立切线与两条渐近线:

(){

a y x c

b b y x a =+=,解得2

22P a c x b a =-,(){a

y x c b

y x

=+=-,解得2Q a x c =-,根据弦长公式

得:

22222

2222

2··1?a c a c a b PQ c b c b a b b a ==+==--,两边平方得:

(

)

(

)(

)222

4432a c a a b a b a c -=

=--,即()()

24133161602e e

e e -=?-+=-,解得:

e =

或2,又因为切线与双曲线的两条渐进线分别相交于第一、二象限，所以2e =,故填2.

13．已知椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、，过1F 且与x 轴

垂直的直线交椭圆于A B 、两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若

23A B C B C F

S S ??

=，则椭圆的离心率为__________．

【解析】设椭圆的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -,将

x c =-代入椭圆方程可得2

b y a =±，可设()2,,,b A

c C x y a ??- ???,由23ABC BCF S S ??=，可得222AF F C =，

即有()22,2,b c x c y a ??-=- ??

?，即2222,2b c x c y a =--=，可得2

2,2b x c y a ==-，

代入椭圆方程可得2222414c b a a +=，由222,c e b a c a ==-,即有2211

4144e e +-=，

解得e =

. 14．椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上、下顶点分别

为12B B ，右顶点为A ，直线1AB 与21B F 交于点D .若1123AB B D =，则C 的离心率等于__________．【答案】1

【解析】如图：设00(,)D x y ，由1123AB B D =，得

AB AD =根据相似三角形得： 003,5a b a x y ==-求得0025,33x a y b ==，又直线21B F 方程为： 1x y

c b

+=--，将点D 代入得： 2

52581331,13334

e c b e -+

==+=?=--

C 组

一、选择题

1．已知Rt ABC ?中， 2

A π

∠=，以,B C 为焦点的双曲线22

221x y a b -=（0,0a b >>）

经过点A ，且与AB 边交于点D ，若2A D B D =，则该双曲线的离心率为（）

B. C. D. 【答案】D

【解析】设,2BD x AD x == ，根据双曲线的定义的定义可得32,2AC x a CD a x =-=+ ，

又知2,BC c = 在直角三角形ACD 中，根据勾股定理可得()()()2

2322x x a a x +-=+ 可得4

x a =

， 4,2AB a AC a == 在直角三角

形ACD 中，根据勾股定理可得()()()222

22422,5,c a a c a c e a

+====，故选

2．已知,A B 分别为双曲线C ： 22

221x y a b -= (0,0a b >>)的左、右顶点，不同

两点,P Q 在双曲线C 上，且关于x 轴对称，设直线,AP BQ 的斜率分别为,λμ，则当

λμλμ

+取最大值时，双曲线C 的离心率为（）

B. C.

D. 【答案】A

【解析】解：由题意可知，满足题意时4λμ=- ，结合对称性可知： 4AP BP k k ?= ，设点P 的坐标为(),P m n ，则：

()

22244n n

n m a m a m a

?=?=-+- ，

点P 在双曲线上，则： ()

222222

2221m n b n m a a b a

-=?=- ，

据此有：

24,5,5,c b a c a b a e e a

==+====

本题选择A 选项.

3．已知双曲线22

221x y a b

-=（0a >， 0b >）的左、右焦点分别为1F ， 2F ，点

P 在双曲线的右支上，若121

tan 2

PF F ∠=， 21tan 2PF F ∠=-，则双曲线的离心率为（）

D. 【答案】C

【解析】由题意，得()12122

2t a n t a n 11

F P F P F F P F F -∠=-∠+∠=-=+，

则122112

s i n ,s i n ,s i n 55

P F F P F F F P F ∠∠=∠=，由正弦定理，

得235c ==

，解得122a PF PF =-==，即该双曲线的

离心率为5

c e a =

=；故选C. 4．已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12F F 、，过点1F 且垂

直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A B 、两点， 22AF BF 、分别交y 轴于

P Q 、两点，若2PQF ?的周长 12，则ab 取得最大值时该双曲线的离心率为（）

【答案】D

【解析】解：由题意,△ABF 2的周长为24， ∵|AF 2|+|BF 2|+|AB |=24，

∵|AF 2|+|BF 2|?|AB |=4a ,|AB |=2

2b a

，

∴24b a

=24?4a ,∴b 2=a (6?a )，

∴y =a 2b 2=a 3(6?a ),∴y ′=2a 2(9?2a )， 00,a >4.5,y ′<0，

∴a =4.5时,y =a 2b 2取得最大值,此时ab 取得最大值

, b =

，故：

c c e a === 本题选择D 选项.

5．若直线1l 和直线2l 相交于一点，将直线1l 绕该点依逆时针旋转到与2l 第一次重

合时所转的角为θ，则角θ就叫做1l 到2l 的角， 21

tan 1k k k k θ-=

+，其中12,k k 分别

是12,l l 的斜率，已知双曲线E ： 22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ， A 是

右顶点， P 是直线2

a x c =上的一点， e 是双曲线的离心率， APF θ∠=，则t a n θ

的最大值为（）

C. D. 2e

【答案】C

【解析】解：设,PA PF 的斜率为12,k k ，由题意可知： 21

，当0y < 时由对称性可知结果一致，则： 122

很明显0,0y m n c a >-=-> ，则：

-=（0a >， 0b >）的一条渐近线为l ，圆C ：

()

28x a y -+=与l 交于A ，

B 两点，若AB

C 是等腰直角三角形，且5OB OA =（其中O 为坐标原点），则双曲线Γ的离心率为（）

D. 【答案】D

【解析】双曲线渐近线为b y x a

，圆()2

28x a y -+=的圆心为(),0a ，

=，在,OAC OBC ??中，由余弦定理得2221858

cos 210a a BOC a a +-+-∠==，解得213a =.根据圆心到直线b y x a =

221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的

圆与双曲线右支的一个交点为P ， 1PF 与双曲线相交于点Q ，且12

PQ Q F =，则该双曲线的离心率为（）

222,32,2PQ m PF m a QF m a ==-=+，分别在两个直角三角形2PQF ?和12PF F ?中

利用勾股定理有()()()()()

2222

3324{2322m m a c m m a m a +-=+-=+，解得43m a =，且22

5a c =，故离

心率为

8．已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为

2(0)c c >，抛物线22y cx =的准线交双曲线左支于,A B 两点，且120AOB ∠=，其中O 为原点，则双曲线的离心率为（）

圆锥曲线的离心率问题专题训练

圆锥曲线的离心率问题专题训练 1．若椭圆1222=+m y x 的离心率等于2 1，则m = . 2．已知双曲线的渐近线方程为023=±y x ，则双曲线的离心率为。 3. 过双曲线焦点且垂直于对称轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若|AB|为双曲线实轴长的2倍，则双曲线的离心率为。 4．已知 F 1 、F 2是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点，椭圆上存在一点P ，使得 S ⊿F 1PF 2=23b ，则该椭圆的离心率的取值范围是。 5．若点P 为椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上一点，F 1、F 2为左右两个焦点，且|PF 1|=6|PF 2|，则椭圆离心率的取值范围为。 6．若点P 为双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上一点，F 1、F 2为左右两个焦点，且|PF 1|=6|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为。 7．分别过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左右焦点F 1、F 2所作的两条直线21l l 、的交点总在椭圆内部，，则该椭圆的离心率的取值范围为。 8．双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 左右两个焦点为F 1、F 2，以F 1F 2为一边向上作正三角形PF 1F 2，两边与双曲线的交点恰为所在边的中点，则双曲线的离心率为。 9．若点P 为椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上一点，A 、B 为长轴的左右顶点，PA 、PB 的斜率之积为3 2-，则椭圆的离心率是。 10．抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，l 与双曲线)0(1222 >=-a y a x 交于A 、B 两点。若三角形FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率为。

18个基础的圆锥曲线专题

1、设椭圆22:1221x y E a a +=-，其焦点在x 轴上，若其准焦距(焦点到准线的距离)3 4 p =，求椭圆的方程. 2、设椭圆22:1(0)22x y E a b a b +=>>的离心率2e =，其通径(过焦点且垂直于长轴的焦直径)1d =，,12F F 为两焦点，P 是E 上除长轴端点外的任一点，12F PF ∠的角平分线PM 交长轴于(,0)M m ，求m 的取值范围. 3、设椭圆22: 1(0)22 x y E a b a b +=>>的离心率1 2e =，,12F F 为两焦点，椭圆E 与y 轴的交点为(0,3)A ，求三角形的面积?12 S F AF =? 4、如图，设椭圆22 :1(0)22x y E a b a b + =>>，,M N 为长轴顶点，过左焦点F 、斜率为k =l 交椭圆E 于A B 、两点，若2FA FB =，求?S FAM S FBN ?=? 5、设椭圆22:1(0)22x y E a b a b +=>>，其离心率e =d = 求

椭圆E 的方程.② 两条焦直径(过焦点的弦)AB 与CD 互相垂直.求 11?AB CD += 6、设椭圆22 :13627 x y E +=，左焦点为F ，在椭圆上任取三个不同点123P P P 、、，使得21223313P FP P FP P FP π ∠=∠=∠=，求： 111?123 FP FP FP ++= 7、如图所示，椭圆()221:116 9 x y E ++=，过原点的两条直线交圆于ABCD ， AD 与 CB 的延长线相交于M ，AC 与DB 的延长线相交于N ，求MN 所在的直线方程. 8、设椭圆22 :1(0)22x y E a b a b +=>>，过右焦点的直线:0l x y +=交E 于A B 、两点，P 为AB 中点. ⑴若OP 的斜率为：1 2 k = ，求椭圆E 的方程； ⑵若直线:0m x y --=交E 于C D 、两点，AD 与BC 相交于Q ，求Q 点的坐标. 9、设椭圆22 :1168x y E +=的长轴端点为A B 、，与y 轴平行的直线交椭圆E 于P Q 、两点，PA QB 、的延长线相交于S 点，求S 点的轨迹. 10、已知抛物线2:2(0)P y px p =>，F 为P 的焦点，M 为P 上任一点，l 为过M 点的切线，求证：FM 与l 的夹角等于l 与x 轴的夹角.

圆锥曲线离心率问题教学文稿

圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。一、基础知识： 1、离心率公式：c e a = （其中c 为圆锥曲线的半焦距）（1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞ 2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系（1）椭圆：2 2 2 a b c =+， ① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a += ② 2b ：短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距（2）双曲线：2 2 2 c b a =+ ① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a -= ② 2b ：虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解 2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口

（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题：例1：设12,F F 分别是椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=o ，则椭圆的离心率为（） A ． 33 B ．36 C ．13 D ．16 思路：本题存在焦点三角形12PF F V ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得 2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=o ，则直角三角形12PF F V 中， 1212::2:1:3 PF PF F F =，且 1212 2,2a PF PF c F F =+=，所以 12122323 F F c c e a a PF PF ∴====+ 答案：A 小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。例2：椭圆 () 22 2 102312x y b b +=<<与渐近线为20x y ±=的双曲线有相同的焦点12,F F ,P 为它们的一个公共点,且1290F PF ∠=o ,则椭圆的离心率为________ 思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设122F F c =，在双曲线中， '''' 1 ::2:1:52 b a b c a =?=，不妨设P 在第一象限，则由椭圆定义可得：

圆锥曲线专题(求离心率的值、离心率的取值范围)

圆锥曲线专题求离心率的值师生互动环节讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。策略一：根据定义式求离心率的值在椭圆或双曲线中，如果能求出c a 、的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到c a 、的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中221a b a c e -==；双曲线中22 1a b a c e +==.所以只要求出 a b 值即可求离心率. 例1.（2010年全国卷2）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()22 22100x y a b a b -=＞，＞相交于 D B 、两点，且BD 的中点为)3,1(M ，求曲线C 的离心率. 解析：如图，设),(),(2211y x D y x B 、，则 12 2 1221=-b y a x ① 1222 222=-b y a x ② ①-②整理得 0) )(())((2 212122121=+--+-b y y y y a x x x x ③ 又因为)3,1(M 为BD 的中点，则6,22121=+=+y y x x ，且21x x ≠，代入③得

13222121==--=a b x x y y k BD ，解得322 =a b ，所以231122=+=+=a b e . 方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与a b 的关系，解得22 a b 的值，从而整体代入求出离心率e .当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得),(21b a x x ?=+， 2),(=b a ?或者),(21b a y y ω=+，6),(=b a ω从而解出22 a b 的值，最后求得离心率. 【同类题型强化训练】 1.（呼市二中模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为032=±y x ，则双曲线的离心率为（）. 313. A 213. B 315. C 2 10.D 2.（衡水中学模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与圆222)1()2(r y x =-+-交于 B A 、两点，AB 恰是该圆的直径，且直线AB 的斜率2 1 -=k ，求椭圆的离心率. 3.（母题）已知双曲线)0(1:22 >=-m y m x C ，双曲线上一动点P 到两条渐近线的距离乘积为21，求曲线C 的离心率. 【强化训练答案】 1.答案：由双曲线焦点在x 上，则渐近线方程0=±ay bx ，又题设条件中的渐近线方程为 032=±y x ，比较可得32=a b ，则3 13 941122=+=+=a b e . 2.答案：设椭圆方程为)0(122 22>>=+b a b y a x ，),(),,(2211y x B y x A ，则 1221221=+b y a x ① 122 2 222=+b y a x ② ①-②整理得 0) )(())((2 212122121=+-++-b y y y y a x x x x ③ 因为AB 恰是该圆的直径，故AB 的中点为圆心)1,2(，且21x x ≠

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题(教师版)

圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。【热点透析】与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题；（6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。（1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。（2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。（3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。（4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点，准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率为（） A B C D ．解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =；

圆锥曲线离心率专题

. . .. . 圆锥曲线离心率专题训练 1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值围是（） A． [，1）B． [，1） C．（0，] D．（0，] 2．二次曲线时，该曲线离心率e的围是（） A．B．C．D． 3．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的围是（） A． [，1）B．（，1） C． [，） D．（0，） 4．双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值围是（） A．（﹣∞，0）B．（﹣3，0）C．（﹣12，0）D．（﹣60，﹣12） 5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值围是（）A．B．C．D． 6．已知椭圆的接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值围（）A．B．C．D． 7．已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值围是（） A．B．C．D． 8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值围是（） A．（0，）B．（，） C．（，） D．（，1） 9．椭圆的接矩形的最大面积的取值围是[3b2，4b2]，则该椭圆的离心率e的取值围是（）A．B．C．D．

10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值围为（） A．[2，+∞）B．（，+∞）C． [，+∞） D．（，+∞）11．已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线的距离之和为S，且S，则离心率e的取值围是（） A．B．C．D． 12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，则椭圆离心率e的取值围是（） A．B．C．D． 13．已知方程x3+2ax2+3bx+c=0（a，b，c∈R）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值围是（） A．B．C．D． 14．已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值围为（）A．B．C．D． 15．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值围是（） A．B．C．（1，2）D． 16．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5：1，则双曲线离心率的取值围是（） A．（1，]B．（1，） C．（2，] D．（，2]

圆锥曲线离心率专题

圆锥曲线离心率专题训练 1．已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点Ｐ,使得ＰF１⊥PF２,则椭圆离心率的取值范围是（） A. [,1）B. ［，１）Ｃ. （０，] Ｄ. (０，] 2.二次曲线时,该曲线离心率e的范围是（) Ａ. Ｂ． C. D． 3.椭圆焦点在ｘ轴上，A为该椭圆右顶点,P在椭圆上一点,∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（) A． [,1) Ｂ. (，1) C. ［，) D. （0，） 4．双曲线的离心率e∈(1，２）,则k的取值范围是（) A．(﹣∞,0）Ｂ．（﹣３,0) C. （﹣１2，0）Ｄ. (﹣60,﹣12) 5.设F１,F2为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P满足∠F1PF2＝120°,则椭圆的离心率的取值范围是（） A． B. C．D． 6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处,其重心是椭圆的一个焦点,求该椭圆离心率ｅ的取值范围( ) A． B. C． D. 7.已知椭圆x2+my２＝1的离心率,则实数m的取值范围是（) Ａ. B．Ｃ．Ｄ. 8.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2且它们在第一象限的交点为Ｐ,△PF１F２是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（） A. （0，) B. （,） C．（，） D．（，1) ９.椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3ｂ2，4b2］，则该椭圆的离心率e的取值范围是（） A． B. C. D.

1０．如图，等腰梯形ＡBCＤ中,AB∥CD且ＡB=2，ＡＤ=１，ＤＣ＝2x（x∈（0,1)）.以A,B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e１;以Ｃ，D为焦点，且过点Ａ的椭圆的离心率为ｅ2,则e1+e２的取值范围为(） A. [2,+∞) B．（,+∞）Ｃ. [，+∞) D．(,+∞) 1１.已知双曲线的焦距为2c，离心率为ｅ,若点（﹣1，0)与点(１，0)到直线的距离之和为S,且S，则离心率e的取值范围是() Ａ． B. C. D. １2.已知F１,F２是椭圆的两个焦点,若存在点P为椭圆上一点,使得∠F１PＦ２=60°,则椭圆离心率e的取值范围是() A．B． C. D． 1３．已知方程x3+2ax２+３ｂx+c=0（a,b,ｃ∈R)的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是( ） A. Ｂ. Ｃ. D. 14.已知椭圆上到点A(0,b）距离最远的点是B（0，﹣b)，则椭圆的离心率的取值范围为（) A．B．C． D. １5.已知双曲线的中心在原点,焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是(） A. B. C. (1,2) D． 1６．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点Ｐ在双曲线上,∠F1PF2的平分线分线段Ｆ１F2的比为5:1，则双曲线离心率的取值范围是（) A. （1,]Ｂ． (1,) Ｃ. (２,] D．(，２]

圆锥曲线的离心率问题

专题：椭圆的离心率问题一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。在椭圆中，a c e =，22 2 22221a b a b a a c a c e -=-=== 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于2 2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为 2 2 3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ,则椭圆的离心率为 2 1 4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为 12 。 5.若椭圆)0(,122 22>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，则椭圆的离心率为=e 22。 6..已知)0.0(12 1>>=+n m n m 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为23 7.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若 12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是12? ?? ?? 8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为= e 2 2 。是椭圆22 a x +22b y =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知,2,122 1αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 椭圆的离心率为=e 13- 10.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若ο ο 75,151221=∠=∠F PF F PF ，则椭圆的离心率为 3 6 11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 2 2 12.设椭圆22 22b y a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是2 1 。

圆锥曲线离心率专题历年真题

1．（福建卷）已知双曲线(a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A.( 1,2) B. (1,2] C.[2,+∞) D.(2,+∞) 2．（湖南卷）过双曲线M:的左顶点A 作斜率为1的直线,若与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( ) A. B. C. D. 3．（辽宁卷）方程的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率 4．（全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（）（A ）53 (B )43 (C )54 (D )32 5．(陕西卷)已知双曲线x2a2－y22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3 ,则双曲线的离心率为 A.2 B. 3 C.263 D.233 6.(全国卷)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）（A ）（B ）（C ）（D ） 7.（广东卷）若焦点在x 轴上的椭圆的离心率为，则m=() （Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ） 8.（福建卷）已知F 1、F 2是双曲线的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）

A．B．C．D． 9．[全国]设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则该双曲线的离心率（）A．B．C．D． 10．（福建理）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（） A．B．C．D． 11．（重庆理）已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为：（） A．B．C．D． 12.（福建卷11)又曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（）A.(1,3)B. C.(3,+)D. 13.（江西卷7）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D． 14.（全国二9）设，则双曲线的离心率的取值范围是（） A．B．C．D． 15.（陕西卷8）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（）

圆锥曲线离心率专题

圆锥曲线离心率专题训练 1.已知F1,F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2,则椭圆离心率的取值范围是() Ａ. [，1) B. [，1）Ｃ． (0，] D. (0，] ２．二次曲线时,该曲线离心率ｅ的范围是( ) A．B．Ｃ. Ｄ. 3.椭圆焦点在x轴上，Ａ为该椭圆右顶点,P在椭圆上一点，∠OPA=９0°，则该椭圆的离心率e的范围是（) A. ［,1) B．（，１) C. [,) Ｄ. (0,) 4．双曲线的离心率ｅ∈(1，2），则k的取值范围是（) A. (﹣∞,0）Ｂ．（﹣3,０) C. (﹣１2,0) D. （﹣60，﹣12） 5.设F1，Ｆ2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1ＰF2＝120°，则椭圆的离心率的取值范围是() A. B. C．D．６．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处,其重心是椭圆的一个焦点,求该椭圆离心率e的取值范围() A．B．C．Ｄ. 7．已知椭圆x２＋ｍy2=1的离心率，则实数m的取值范围是( ) A． B. C. Ｄ. 8.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为Ｆ1,F2且它们在第一象限的交点为P,△ＰF1Ｆ2是以ＰF1为底边的等腰三角形,双曲线的离心率的取值范围为(1，２),则该椭圆的离心率的取值范围是(） A. (0,) B. （，） C. （，) D. (,１) 9.椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是［3b2,4b2］，则该椭圆的离心率e的取值范围是 ( ） A．B．C．D．１0.如图,等腰梯形AＢCD中，AB∥CＤ且AＢ=2，ＡＤ=1，DC＝2x（ｘ∈（０，1)）.以A,B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，Ｄ为焦点,且过点A的椭圆的离心率为e２，则ｅ1＋e2的取值范围为( ) A．［2,+∞）Ｂ．（，+∞）Ｃ．［,+∞） D. (,+∞)

圆锥曲线中离心率及其范围地求解专题(教师版)

圆锥曲线中离心率及其围的求解专题【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。【热点透析】与圆锥曲线离心率及其围有关的问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化围；（3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化围。（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解围等问题；（6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。（1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。（2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。（3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。（4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点，准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率为（） A ． B C D ．解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =；

圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题

圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。【热点透析】与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题；（6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。（1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。（2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。（3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。（4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点，准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率为（） A ． B C D ．解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =；

2021届高考数学圆锥曲线中必考知识专题1 圆锥曲线的离心率问题(原卷版)

专题1 圆锥曲线的离心率问题（原卷版）一、单选题 1．已知双曲线2221(0)3y x a a -=>的离心率为2，则a =（） A ．2 B ．2 C D ．1 2．已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠= ，则椭圆的离心率e =（） A ．12 B ．2 C ．14 D ．4 3．已知A ?B 为椭圆的左、右顶点，F 为左焦点，点P 为椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M 点，与y 轴交于 E 点，若直线BM 经过OE 中点，则椭圆的离心率为（） A ．12 B ．2 C ．13 D ．3 4．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若12PF =，则C 的离心率为（） A B ．2 C D ．3 5．已知F 是椭圆C ：22 221x y a b +=(a>b>0)的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆2 22()39 c b x y -+=相切于点Q ，（其中c 为椭圆的半焦距），且2PQ QF =则椭圆C 的离心率等于（） A B ．23 C D ．12

试卷第2页，总4页 6．已知双曲线2222:1x y C a b -=的渐近线方程为y x =±，则该双曲线的离心率为（） A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 7．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过F 点作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，若0OA OB ?=，则椭圆的离心率等于（） A ．152-+ B ．132-+ C ．12 D ．32 - 8．已知过双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的右焦点F ，且与双曲线的渐近线平行的直线l 交双曲线于点A ，交双曲线的另一条渐近线于点B （A ，B 在同一象限内），满足2FB FA =，则该双曲线的离心率为（） A ．43 B ．2 C ．3 D ．2 9．已知双曲线2 221,(0)x y a a -=>的焦距为4，则该双曲线的离心率为（） A ．3 B ．3 C ．23 D ．33 10．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的斜率为3，则双曲线的离心率为（） A ．233 B ．263 C ．3 D ．2 11．过椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左焦点F 的直线过C 的上端点B ，且与椭圆相交于点A ，若3BF FA =，则C 的离心率为（） A ．13 B ．33 C ．32 D ．22 12．设双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点,A B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（）

文科圆锥曲线专题练习及问题详解

文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ?是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为0 30的等腰三角形， ∴322c a = ，∴e =3 4 ， ∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解得y =||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以2 2 2 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点 P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=

求圆锥曲线离心率的几种方法

关于椭圆离心率设椭圆得左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P,使,求离心率e 得取值范围。解法1:利用曲线范围设P(x,y ）,又知,则将这个方程与椭圆方程联立,消去ｙ,可解得解法2:利用二次方程有实根由椭圆定义知又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此 ∠=?+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||() ||||() 解法３:利用三角函数有界性记

||sin ||sin || sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cos PF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222 122 βααβ αβαβαβαβ == ??++=+====+=+-= -又，，则有解法4:利用焦半径由焦半径公式得 ||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x c a e x c x c a e P x y x a x a 1212221222222222 2 2 2 2 2 22 2 22224220=+=-+=+++-+=+== -≠±≤<，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即解法5:利用基本不等式由椭圆定义,有平方后得 42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++?≤+==||||||||(||||)|| 解法6:巧用图形得几何特性由，知点Ｐ在以为直径得圆上。又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点Ｐ故有

专题圆锥曲线的离心率(学生版)

专题五第二讲离心率专题离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点，对于求圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，属于中低档次的题型，对大多数学生来说是没什么难度的。一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量a 与b 或a 与c 的其次式，从而根据221c b e a a ==-（这是椭圆）2 21c b e a a ==+（这是双曲线），就可以从中求出离心率．但如果选择方法不恰当，则极可能“小题”大作，误入歧途。许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可以使结果马上水落石出，一针见血，其实不然，对于这类题，用最淳朴的定义来解题是最好的，此时无招胜有招！一、求椭圆与双曲线离心率的值：（一）、用定义求离心率问题： 122121(05,, 221A. B. C. 2 2 D. 21F F F P F PF ?例、全国Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）－－－【强化训练】1.在ABC △中，AB BC =，7cos 18 B =- ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e =． 2、已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为_________； 3、已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为。

4.已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） A ．324+ B ．13- C ．213+ D ．13+ 5、如图，1F 和2F 分别是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点， A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为（）（A ）3（B ）5（C ） 2 5（D ）31+ （二）、列方程求离心率问题：构造a 、c 的齐次式，解出e 根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 例2、如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为. 变式：设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )（A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6 【点评】本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.

(完整版)圆锥曲线离心率题型

圆锥曲线的离心率题型解析华中师大一附中博乐分校 833400 刘族刚朱新婉圆锥曲线的的离心率e 是反映圆锥曲线几何特征（扁平或开阔程度）的一个数量，是圆锥曲线的重要几何性质，也是圆锥曲线“统一定义”的纽带，在全国各地历年高考命题中，有关圆锥曲线离心率的试题屡见不鲜，因而掌握圆锥曲线离心率的概念、题型与求解方法，不仅是巩固基础知识、领悟数形结合思想及学好解析几何的需要，也完全符合“备考从高一高二开始抓”的教育理念.本文以离心率的内容为主体，以题型解析为载体，小结出求解离心率问题的策略和方法，希望对大家的解题有所帮助. 类型一：离心率的定义例 1 （2014湖北卷）已知21,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且02160=∠PF F ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) 334.A B .3 32 C ．3 D ．2 分析：21F PF ?既是椭圆的焦点三角形，也是双曲线的焦点三角形，因为焦点三角形中的边长蕴含离心率所需的“c a 2,2”，所以利用圆锥曲线定义、离心率的定义是解答本题的切入点. 解析：不妨设)(,,21n m n PF m PF >==，椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，椭圆、双曲线的离心率分别为21,e e ，则由椭圆、双曲线的定义，得12a n m =+，22a n m =-，平方得212242a n mn m =++-------①， 2 22242a n mn m =+-------②，又由余弦定理得2224c n mn m =+----------③，由①②③消去mn 得2222143c a a =+，即4312221=+e e . 再据平面向量不等式2 22)(?≤?的坐标表示得 221221)33111()11(e e e e ?+?=+316)31)(311(2221=++≤e e