当前位置：文档库 › 2019年广东省深圳实验、珠海一中等六校高三第一次联考数学理试题及答案

2019年广东省深圳实验、珠海一中等六校高三第一次联考数学理试题及答案

高考数学精品复习资料

2019.5

广东省六校（广州二中，深圳实验立等）高三第一次联考理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则?（）A. B. C. D.

2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.

3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.

4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为，珠海一中，

中山纪念，东莞中学，惠州一中（）A. B. C. D.

5.已知直线的倾斜角为，直线与双曲线（）的左、右两支分别交于、两点，且

、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

6.在△中，为的中点，点满足，则（）

A. B. C. D.

7.某几何体的三视图如右图所示，数量单位为，它的体积是（）

A. B. C. D.

8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有

成立，则的最小值为（）A. B. C. D.

9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）

A. B. C. D.

10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）

A. B. C. D.

11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，

则三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.D.

12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常

数），，则的最小值是（）A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若满足约束条件则的最大值为______________．

14.若，则的展开式中常数项为______________．

15.已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则

的值为______________．

16.已知函数满足，则的单调递减区间是______________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17.在△中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求角；（2）若，，求△的面积．

18.如图甲，设正方形的边长为3，点、分别在、上，且满足，．如图乙，将直角梯形沿折到的位置，使得点在平面上的射影恰好在上．

（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．

19.某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准，予以地方财政补贴．其补贴标准如下表：

底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程，得到频率分布直方图如上图所示．用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：

（1）求该市每辆纯电动汽车地方财政补贴的均值；

（2）某企业统计其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：

（同一组数据用该区间的中点值作代表）

2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来．该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备．现有直流、交流两种充电桩可供购置．直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．

该企业现有两种购置方案：

方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；

方案二：购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．

假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润日收入日维护费用）．

20.已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值．

21.已知函数．

（1）求函数在上的值域；

（2）若，恒成立，求实数的取值范围．

22.在平面直角坐标系中，将曲线向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为．

（1）求曲线的参数方程；（2）已知点在第一象限，四边形是曲线的内接矩形，求内接矩形

周长的最大值，并求周长最大时点的坐标．

23.已知，．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，且当时，恒成立，求的取值范围．

广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，

惠州一中）

高三第一次联考理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则?

A. B. C. D.

【详解】由，即，解得或，即，

?，解得，即，则?，故选A.

2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）

A. B. C. D.

【详解】，，共轭复数的共轭复数的虚部1故选C.

3.记为等差数列的前项和，若，，则（）

A. B. C. D.

【详解】方法一：基本法，数列等差数列，，，

，整理得，解得

方法二：性质法，，，，

；；，故选D.

4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为

A. B. C. D.

【详解】在区间上随机取两个实数，则点在以为边长的正方形内，

因为，，则，因为，所以，

点在以原点为圆心以为半径的圆外，且在以为边长的正方形内，

所以，则的概率为，故选B.

5.已知直线的倾斜角为，直线与双曲线（）的左、右两支分别交于、两点，且

、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，

根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，

又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，

，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.

6.在△中，为的中点，点满足，则

A. B. C. D.

【详解】因为为的中点，点满足，

所以，，可得,故选A.

7.某几何体的三视图如右图所示，数量单位为，它的体积是（）

A. B. C. D.

【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，

故选C.

8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有

成立，则的最小值为

A. B. C. D.

【详解】

，

，周期，

又存在实数，对任意实数总有成立，，

的最小值为，故选B.

9.定义在上的函数满足及，且在上有，则

A. B. C. D.

【详解】函数的定义域是，关于原点对称，

，函数是奇函数，

，，

函数是以4为周期的函数，，

在上有，，，故选D.

10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）

A. B. C. D.

【详解】由题意设，，，直线的方程为，

联立方程，整理得

，，，

点M的纵坐标，

弦的长度为，，即

，整理得，即

根据基本不等式，，当且仅当，时取等，

即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.

11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，

则三棱锥外接球的表面积为（）

A. B. C. D.

【详解】如图，设中点为，过点作，，过点作垂足为，

交于，则为外接圆的圆心，三棱锥外接球球心在直线上，

设，，，，且二面角的大小为，

，，，，

，，,

在中，；

外接球半径，，解得

，外接球表面积故选D.

12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常

数），，则的最小值是（）A. B. C. D.

【详解】①

当时，类比写出②

由①-②得，即.

当时，，，

③

④

③-④得，，

（常数），，的最小值是，故选C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若满足约束条件则的最大值为______________．

【详解】可行域如图，表示可行域内点到原点距离的平方

的最大值对应点A，联立，解得，所以的最大值为

故答案为.

14.若，则的展开式中常数项为______________．

【详解】

展开式的通项公式为

令，即.的展开式中，常数项是

15.已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则

的值为______________．

【详解】点关于轴的对称点为，

由反射的对称性可知，与圆相切，

圆的圆心坐标为，半径；

，，

故答案为.

16.已知函数满足，则的单调递减区间是______________．

【详解】函数满足，

，

整理得，即，解得

函数解析式为，

令，解得的单调递减区间是，故答案为.

17.在△中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求角；

（2）若，，求△的面积．

【详解】解：（1）因为，由余弦定理，得

，所以，

由正弦定理，得，

又，，所以，，所以．

（2）由，，得，，

所以，

由正弦定理，得，所以△的面积为．

18.如图甲，设正方形的边长为3，点、分别在、上，且满足，．如图乙，将直角梯形沿折到的位置，使得点在平面上的射影恰好在上．

（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．

【解析】

试题分析：⑴证明：在图甲中，易知,从而在图乙中有，

因为平面，平面，所以平面

⑵解法1、如图,在图乙中作，垂足为，连接，

由于平面，则，所以平面，则，

所以平面与平面所成二面角的平面角，

图甲中有，又，则三点共线，

设的中点为，则，易证，所以，，；

又由，得，于是，，

在中，，即所求二面角的余弦值为．

解法2、如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则，所以平面，则，图甲中有，又，则三点共线，

设的中点为，则，易证，所以，则；

又由，得，

于是，，在中，

作交于点，则，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，则、、、，则

显然，是平面的一个法向量，

设是平面的一个法向量，则，即，不防取，则

，设平面与平面所成二面角为，可以看出，为锐角，所以，

，所以，

平面与平面, 所成二面角的余弦值为．

19.某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准，予以地方财政补贴．其补贴标准如下表：

底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程，得到频率分布直方图如上图所示．用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：

（1）求该市每辆纯电动汽车地方财政补贴的均值；

（2）某企业统计其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：

（同一组数据用该区间的中点值作代表）

该企业现有两种购置方案：

方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；

方案二：购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．

【详解】解：（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：

纯电动汽车地方财政补贴的平均数为(万元)．

（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：

若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为

(辆）；

可得实际充电车辆数的分布列如下表：

于是方案一下新设备产生的日利润均值为

(元）；

若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为

(辆）；

可得实际充电车辆数的分布列如下表：

于是方案二下新设备产生的日利润均值为

(元)

【点睛】本题考查随机变量分布列的实际应用，考查根据随机变量的分布列计算均值和分析数据的方法，正确计算分布列中各部分的概率是解题关键.

20.已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值．

【详解】解：（1）设圆的半径为，题意可知，点满足：

，，所以，，

由椭圆定义知点的轨迹为以为焦点的椭圆，且

进而，故轨迹方程为：．

（2）当直线斜率不存在时，，或，，此时弦长．

当直线斜率存在时，设的方程为：，

由消去得：，由△得，

设、，可得：，，

，

令，则，

，，

当时，此时，．综上，弦长的最大值为．

21.已知函数．

（1）求函数在上的值域；

（2）若，恒成立，求实数的取值范围．

解：（1）易知，在上单调递减，，

时，，在上的值域为．

（2）令，则，

①若，则由（1）可知，，在上单调递增，

，与题设矛盾，不符合要求；

②若，则由（1）可知，，在上单调递减，

，符合要求；

③若，则，使得，

且在上单调递增，在上单调递减，

，，

．

由题：，即，，即．

且由（1）可知在上单调递减，．综上，．

（1）求曲线的参数方程；（2）已知点在第一象限，四边形是曲线的内接矩形，求内接矩形

周长的最大值，并求周长最大时点的坐标．

【详解】解：（1）由得

将代入，整理得曲线的普通方程为，

设曲线上的点为，变换后的点为

由题可知坐标变换为，即代入曲线的普通方程，整理得

曲线的普通方程为，曲线的参数方程为(为参数).

（2）设四边形的周长为，设点，

，且，，

，．

且当时，取最大值，此时，所以，，，此时.

23.已知，．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，且当时，恒成立，求的取值范围．

【详解】（1）当时，不等式即为，

①当时，不等式化为，解得；

②当时，不等式化为，解得；

③当时，不等式化为，无解；

综上，不等式的解集为．

（2）当时，，

即为恒成立，

，即，，即，在上恒成立，所以，只需，解得，所以的取值范围为．

高三数学第一次月考数学(理)试题

河南内乡一高高三数学第一次月考数学（理）试题一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （注意：在试题卷上作答无效） 1..已知集合 {}1|23,|lg 4x x A y y B x y x -? ?==+==?? -??，则A B =（） A. ? B. ()3,+∞ C. ()3,4 D. ()4.+∞ 2. 若函数()(1)cos f x x x =， 02x π ≤< ，则()f x 的最大值为（） A ．1 B ．2 C 1 D 2 3.命题“存在0x ∈R ，0 2 x ≤0”的否定是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）（A ）不存在 0x ∈ R, 0 2x >0 （B ）存在0x ∈R, 0 2 x ≥0 （C ）对任意的x ∈R, 2x ≤0 （D ）对任意的x ∈R, 2x >0 4.“α，β，γ成等差数列”是“sin(α+γ)＝sin2β成立”的（）条件 A.必要而不充分 B.充分而不必要 C.充分必要 D.既不充分又不必要 5.定义在R 上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ). A. B. C. D. 6.设＜b,函数的图像可能是（）（） 7.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则(2009)(2010)f f -+的值为 A ． B ． C ． D ． )(x f (4)()f x f x -=-(25)(11)(80)f f f -<<(80)(11)(25)f f f <<-(11)(80)(25)f f f <<-(25)(80)(11)f f f -<