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万有引力计算天体的质量和密度1

万有引力和航天

第一节:计算天体的质量和密度

基础知识填空

1、卡普勒第一定律是: ;

卡普勒第二定律是: ;

卡普勒第三定律是: ,

其表达式是 ,当把轨道近似看作圆时,表达式可改写

为 ,其中常数k 由 决定。

2、通过计算推导可得太阳对行星的引力F ∝2

m r (m 是行星质量),由于太阳与行星间相互作用,两者的地位是相同的,既然太阳吸引行星,行星也必然吸引太阳,所以可推

得行星对太阳的引力F’(设太阳质量为M )满足 ,而根据作用力

和反作用力的关系,F 和F’的大小是相等的,所以我们可以推得太阳与行星间的引力满

足 ,加入比例系数G ,写成等式就是 ,这就是 定律的表达式,(其中G 是 ,由 通过著名的 实验测量得到的)根据等式,该定律可表述为 。

3、不考虑地球自转时,万有引力等于 ,公式表达

为 ,化简后得到黄金代换式 。

4、环绕模型算中心天体质量: 提供向心力,表达式写作

=F n ,若向心力表达式用2n F m r ω=,则中心天体质量M = ,若向心力表达式用2

2n F m r T π??= ???

,则中心天体质量M = ,若向心力表达式用2

n v F m r

=,则中心天体质量M = 。若该天体的半径为R ,则以上3种表达式下中心天体的密度可分别写作 , ,

。(请区分环绕半径r 和星球半径R )

练习题

(多选为7、8、9)

1、在力学理论建立的过程中有许多伟大的科学家做出了贡献,下列有关科学家和

他们的贡献说法错误的是( )

A .卡文迪许通过实验测出了引力常量G

B .惯性定律是可以被实验直接验证的

C .伽利略斜面实验合理外推解释了自由落体是匀变速运动

D .开普勒发现了行星运动的规律

2、宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中,发现A 、B 两颗均匀球形天体,两天体各有一

颗靠近其表面飞行的卫星,测得两颗卫星的周期相等,以下判断正确的是( )

A.天体A 、B 的质量一定相等

B.两颗卫星的线速度一定相等

C.天体A 、B 表面的重力加速度一定相等

D.天体A 、B 的密度一定相等

3、已知引力常量为G,根据下列所给条件不能估算出地球质量的是()

A.月球绕地球的运行周期T和月球中心到地球中心间距离R

B.人造地球卫星在地面附近运行的速度v和运行周期T

C.地球绕太阳运行的周期T和地球中心到太阳中心的距离R

D.地球半径R和地球表面重力加速度g

4、据报道,一颗来自太阳系外的彗星于2014年10月20日擦火星而过.如图所示,设火星绕太阳在圆轨道上运动,运动半径为r,周期为T.该彗星在穿过太阳系时由于受到太阳的引力,轨道发生弯曲,彗星与火星在圆轨道的A点“擦肩而过”.已知万有引力恒量G,则()

A.可计算出彗星的质量

B.可计算出彗星经过A点时受到的引力

C.可计算出彗星经过A点的速度大小

D.可确定彗星在A点的速度大于火星绕太阳的速度

5、2008年9月25日21时10分,载着翟志刚、刘伯明、景海鹏三位宇航员的“神舟七号”飞船在中国酒泉卫星发射中心发射成功.如果“神舟七号”飞船在离地球表面h高处的轨道上做周期为T的匀速圆周运动,已知地球的半径为R,引力常量为G,在该轨道上,关于“神舟七号”飞船,下列说法中正确的是()

A.运行的角速度为ω2R

B.地球表面的重力加速度大小可表示为

C.运行时的向心加速度大小为

D.运行的线速度大小为

6、绕地球做匀速圆周运动的两颗卫星a、b,已知a的轨道半径大于b的轨道半径,则对于两颗卫星下列说法正确的是()

A.a周期大B.a角速度变大

C.a速度大D.a向心加速度大

7、已知引力常量是G,在下列各组物理数据中,能够估算月球质量的是()A.月球绕地球运行的周期及月、地中心距离

B.绕月球表面运行的飞船的周期及月球的半径

C.绕月球表面运行的飞船的周期及线速度

D.月球表面的重力加速度

8、宇航员在宇宙飞船中测出自己绕地球做圆周运动的周期为T,离地高度为H,地球半径为R,则根据T、H、R和引力常量G,能计算出的物理量是()

A.地球的质量和飞船的质量B.地球的平均密度

C.飞船线速度的大小D.飞船所需的向心力

9、假如一颗做匀速圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增加为原来的2倍,仍做匀速圆周运动,则()

A.根据公式F=,可知地球提供的向心力将减小为原来的

B.根据公式v=,可知卫星运动的线速度将减小为原来的

C.根据公式a=rω2可知卫星的向心力加速度将减小为原来的

D.根据公式F=m rω2,可知地球提供的向心力将增大为原来的2倍

10、2003年10月15日,我国神舟五号载人飞船成功发射.标志着我国的航天事业发展到了一个很高的水平.飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨,由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道.已知地球半径为R,地面处的重力加速度为g,引力常量为G,求:

⑴地球的质量;⑵飞船在上述圆形轨道上运行的周期T.

11、对某行星的一颗卫星进行观测,已知运行的轨迹是半径为r的圆周,周期为T,已知万有引力常量G,求:

(1)该行星的质量多少?

(2)测得行星的半径为卫星轨道半径的,则此行星表面重力加速度为多大?

12、物体在月球表面上的重力加速度等于地球表面上重力加速度的,将物体以

10m/s的初速度竖直上抛,(g地取10m/s2)求:

(1)物体上升的最大高度是多少?

(2)物体落回地面的时间是多少?

13、一艘宇宙飞船绕一个不知名的、半径为R的行星表面飞行,环绕一周飞行时间为T (万有引力常量为G),求:该行星的质量M和平均密度ρ

14、宇航员站在星球表面上某高处,沿水平方向抛出一小球,经过时间t小球落回星球表面,测得抛出点和落地点之间的距离为L.若抛出时的速度增大为原来的2倍,则抛出点到落地点之间的距离为L.已知两落地点在同一水平面上,该星球半径为R,已知引力常量为G,求该星球的质量及其表面的重力加速度大小.

15、2005年10月12日,我国继“神舟”五号载人宇宙飞船后又成功地发射了“神舟”六号载人宇宙飞船.飞船入轨运行若干圈后成功实施变轨进入圆轨道运行,经过了近5天的运行后,飞船的返回舱于10月17日凌晨顺利降落在预定地点,两名宇航员安全返回祖国的怀抱.设“神舟”六号载人飞船在圆轨道上绕地球运行n圈所用的时间为t,若地球表面的重力加速度为g,地球半径为R.求:

(1)飞船的圆轨道离地面的高度;

(2)飞船在圆轨道上运行的角速度.

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. 计算天体的质量和密度参考答案

1、【答案】B

2、【答案】D

3、【答案】C

4、【答案】D

5、【答案】C

6、【答案】A

7、【答案】BC

8、【答案】BC

9、【答案】AB

10、【答案】(1)

2

gR

M

G

=(2)

3

2

()

2

R h

T

gR

π

+

=

11、【答案】(1)该行星的质量是.

(2)测得行星的半径为卫星轨道半径的,则此行星表面重力加速度为

12、【答案】(1)物体上升的最大高度为30m;

(2)物体落回地面的时间为12s

13、【答案】该行星的质量M是,平均密度是

14、【答案】该星球的质量为,其表面的重力加速度大小为.

15、【答案】(1)飞船的圆轨道离地面的高度是﹣R;

(2)飞船在圆轨道上运行的角速度是.