高中数学第一章统计案例1.1独立性检验学业分层测评新人教B版选修1_2

1.1 独立性检验

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1.以下关于独立性检验的说法中，错误的是( ) A.独立性检验依赖小概率原理 B.独立性检验得到的结论一定正确 C.样本不同，独立性检验的结论可能有差异 D.独立性检验不是判定两事物是否相关的唯一方法

【解析】 受样本选取的影响，独立性检验得到的结论不一定正确，选B. 【答案】 B

2.在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力( )

A.平均数与方差

B.回归分析

C.独立性检验

D.概率

【解析】 判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验，故选C. 【答案】 C

3.如果有95%的把握说事件A 和B 有关，那么具体算出的数据满足( ) A.χ2

>3.841 B.χ2

>6.635 C.χ2<3.841

D.χ2

<6.635

【解析】 根据独立性检验的两个临界值及其与χ2

大小关系的意义可知，如果有95%的把握说事件A 与B 有关时，统计量χ2

>3.841，故选A.

【答案】 A

4.一个学生通过一种英语能力测试的概率是1

2，他连续测试两次，那么其中恰有一次通

过的概率是( )

A.14

B.13

C.12

D.34

【解析】 设A 为第一次测试通过，B 为第二次测试通过，则所求概率为P (A B )＋P (A

B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝1

2×12＋12×12＝12

.

【答案】 C

5.在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的.

下列说法中正确的是( )

【导学号：37820001】

A.100个心脏病患者中至少有99人打鼾

B.1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾

C.100个心脏病患者中一定有打鼾的人

D.100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有

【解析】 这是独立性检验，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“打鼾与患心脏病有关”.这只是一个概率，即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.根据概率的意义可知答案应选D.

【答案】 D 二、填空题

6.甲、乙两人射击时命中目标的概率分别为12，1

3，现两人同时射击，则两人都命中目标

的概率为________.

【解析】 设“甲命中目标”为事件A ，“乙命中目标”为事件B ，则A 与B 相互独立. 于是P (AB )＝P (A )P (B )＝12×13＝16.

【答案】 1

6

7.独立性检验中，两个分类变量“X 和Y 有关系”的可信程度是95%，则随机变量χ2

的取值范围是________.

【解析】 当χ2

>3.841时，有95%的把握判断X 与Y 有关系， 当χ2

>6.635时，有99%的把握判断X 与Y 有关系， ∴3.841<χ2

≤6.635. 【答案】 (3.841，6.635]

8.为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠.在照射后14天的结果如下表所示：

鼠的致死作用_____________________________________.(填“相同”或“不相同”)

【解析】 统计假设是“小白鼠的死亡与使用电离辐射剂量无关”.由列联表可以算出χ2

＝5.33>3.841，故有95%的把握认为小白鼠的死亡与使用的电离辐射剂量有关，所以两种

电离辐射剂量对小白鼠的致死作用不相同.

【答案】 小白鼠的死亡与使用电离辐射剂量无关 5.33 不相同 三、解答题

9.为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，调查结果如下表所示：

【解】 从题目的2×2列联表中可知：

n 11＝43，n 12＝162，n 21＝13，n 22＝121，

n 1＋＝205，n 2＋＝134，n ＋1＝56，n ＋2＝283，n ＝339， χ2

＝n （n 11n 22－n 12n 21）2

n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2

＝339×（43×121－162×13）2

205×134×56×283

≈7.469.

因为7.469>6.635，所以我们有99%的把握认为50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟有关系.

10.下面是某班英语及数学成绩的分布表，已知该班有50名学生，成绩分1～5共5个档次.如：表中所示英语成绩为第4档，数学成绩为第2档的学生有5人，现设该班任意一名学生的英语成绩为第m 档，数学成绩为第n 档.

(1)(2)若m ＝2与n ＝4是相互独立的，求a ，b 的值.

【解】 (1)由表知英语成绩为第4档、数学成绩为第3档的学生有7人，而总学生数为50人，

∴P ＝750

.

(2)由题意知，a＋b＝3. ①又m＝2与n＝4相互独立，

所以P(m＝2)P(n＝4)＝P(m＝2，n＝4)，

即1＋b＋6＋a

50

·

3＋1＋b

50

＝

b

50

. ②

由①②，解得a＝2，b＝1.

[能力提升]

1.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算的χ2≈3.918，经查临界值表知P(χ2>3.841)≈0.05，则下列表述中正确的是( )

A.有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”

B.若有人未使用该血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒

C.这种血清预防感冒的有效率为95%

D.这种血清预防感冒的有效率为5%

【解析】因χ2＝3.918>3.841，故有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”.

【答案】 A

2.假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{X1，X2}和{Y1，Y2}，其2×2列联表为：

A.a＝5，b＝4，c＝3，d＝2

B.a＝5，b＝3，c＝4，d＝2

C.a＝2，b＝3，c＝4，d＝5

D.a＝2，b＝3，c＝5，d＝4

【解析】对于同一样本，|ad－bc|越小，说明X与Y之间的关系越弱；|ad－bc|越大，说明X与Y之间的关系越强.

【答案】 D

3.某班主任对全班50名学生作了一次调查，所得数据如表：

能”)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关.

【解析】查表知若要在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关，χ2≈5.059<6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业有关.

【答案】不能

4.为了研究色盲与性别的关系，调查了1 000人，调查结果如表所示：

【解】由已知条件可得下表：

≈27.139.

χ2＝

956×44×480×520

因为27.139>6.635，所以有99%的把握认为色盲与性别是有关的.