小数乘法简算教案李淑芝

小数乘法的简便运算

李淑芝

教学内容：小数乘法的简便运算

教学目标：

知识与能力：

通过迁移、类推等方法，学会运用乘法运算定律进行小数乘法的简算。

（MR：初步掌握小数乘法简算的方法。）

过程与方法：

通过观察、对比等方法，培养学生的迁移类推能力。

情感、态度与价值观：

通过小数乘法的计算，培养学生的简算意识，感受数学学习的乐趣。

教学重点：

会运用乘法运算定律进行小数乘法简便运算。

教学难点：

能够根据乘法运算定律特征，将算式有效地转化，准确进行小数乘法的简便运算。

教具准备：

教具：电子白板

学具：新知识堂堂练

教学过程：

一、复习导入

1．出示口算：

1.2×5

2.5×4 400×0.05 50×0.02 0.8×125

12.5×8 3.4×5 2.4×5 25×0.04 1.25×4

（1）指名口算

（2）对出现错误的题讲解

2 .出示拆数练习

78×102＝78×（＋） 125×32×25＝125×（×）×25 （1）指名回答

（2）分析

（3）小结：在拆分时，要根据实际的需要进行拆分，使计算更加简单，同

时要保证等号左右两边相等。

3．复习乘法运算定律

（1）我们对数字拆分之后可以运用乘法运算定律进行简便运算，想一想，整数乘法运算定律都有哪些？你能用字母表示吗？

根据学生的回答板书：

乘法交换律：

a×b＝b×a

乘法结合律：

（a×b）×c ＝ a×（b×c）

乘法分配律：

（a ＋ b）×c ＝ a×c ＋ b×c

（2）小结：运用这些乘法的运算定律我们可以解决整数简算问题。

4．用简便方法计算

出示25×32×4 79×58＋21×58

（1）独立完成。

一、二、三组做一题，四、五组做二题。

（2）交流、反馈。

订正答案。

强调：①通过观察，第一题25与4相乘能够凑整，我们可以运用乘法交换律和结合律进行简算。②第二题中，算是中含有相同因数58，可以提取相同因数再运用乘法的分配律进行简算。

【设计意图：通过复习整数乘法运算定律，使其能有效地迁移到小数中去，为得出“整数乘法运算定律对于小数也适用”做铺垫。】

二、探究新知

1．白板依次出示：

0.7×1.2 ○ 1.2×0.7

（0.8×0.5）×0.4 ○ 0.8×（0.5×0.4）

（2.4＋3.6）×0.5 ○ 2.4×0.5＋3.6×0.5

（1）观察每组两个算式，它们有什么关系？

（2）交流分析，指名回答，说明理由。

（3）分析：由于每组两个算式符合整数乘法运算定律的特征，所以相等。

【设计意图：使学生通过观察三组算式，寻找出每组算式之间的关系，用归纳的方法类推出“整数乘法运算定律对于小数乘法也同样适用”，并逐步培养学生和清推理的能力。】

2．揭示课题

这三组算式分别运用了乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律，那它们和我们刚才做的这两道算式有什么不同？（看来小数乘法运算也能用整数乘法的运算定律进行简算，说明整数乘法运算定律在小数乘法中同样适用。）这节课我们就来学习小数乘法的简便运算。（板书课题）

板书：小数乘法的简便运算

3．出示例8

0.25×4.78×4 0.65×201

（1）独立尝试运用乘法运算定律进行简算。

强调：先注意观察算式，然后再选择适当的运算定律进行简算。

（2）指名板演。

（3）交流反馈，运用哪种运算定律进行简算。

预设：

预设一 0.25×4.78×4

＝0.25×4×4.78

＝1×4.78

＝4.78

预设二 0.65×201

＝0.65×（200＋1）

＝0.65×200＋0.65×1

＝130＋0.65

＝130.65

预设3． 0.65×201

＝0.65×200＋0.65

＝130＋0.65

＝130.65

预设4. 0.65×201

＝0.65×（200＋1）

＝0.65×200×1

＝130×1

＝130 ————（错例）

预设5.计算出现错误。

【设计意图：采用尝试教学的方法，让学生自主探究，通过独立观察、思考，根据算式的特点，选择适当的乘法运算定律进行小数乘法简便运算。】4．小结：

三、巩固练习：

新知识堂堂练

重点分析：订正小数乘法简算的前两道题，其它题学生独立完成。

四、课堂小结：

1．通过今天的学习，你有哪些收获或感受？

2．小结：整数乘法的运算定律在小数乘法中同样适用，那我们在进行简便运算时，先要仔细观察算式的结构特点，然后再选择适当的运算定律自己计算。

五、作业布置：

随堂练：第7页二、三题

《小数乘法的简便计算》评课精编版

……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 《小数乘法的简便计算》评课 田华 今天，听了田中蓉老师执教的《小数乘法的简便计算》，本节课的教学目标是:1,使学生知道整数乘法的运算定律在小数乘法计算中同样适用.2,能根据数据特点,应用乘法运算定律进行小数乘法的简便计算.3,培养学生认真审题的习惯和灵活、合理计算的能力．总的来说目标就是：引导学生运用迁移的原理，凑整的思想和运算定律掌握知识以及培养学生仔细观察数据特征的能力． 这节课围绕三个问题来展开：１，怎么算？２，你是怎么想到这样算？（运用什么运算定律）３，这样做有什么作用？在课堂中，教师渗透迁移的原理，凑整的思想，让学生运用运算定律掌握小数乘法的简便计算．总的来说，可以用几个字来概括本节课教学的重点：一看，二想，三计算．首先让学生学会看这些可以简便的数字，掌握数据的特征．对这一类型的数字有一定的记忆，培养学生对数字的敏感性．接着，就是思考用凑整的思想以及运用乘法运算定律来解决问题．最后就要仔细进行计算，使得简便后的计算结果和原来题目的计算结果一样．总的来说，这一节课还是上得比较顺利，感觉上课学生的配合比较融洽．而且难点学生们都暴露出来了，上课中也及时的得到了解决．首先，在让学生做两组简便和不简便的题目时，发现有一个同学是这样做的：３５×１．２＝３５×１×０．２．分析的时候，把这一题写在了黑板上，让学生来观察他是否做得正确．然后从＂几个几＂这个方面分析了此题的错误的地方．还有就是说明简便后的答案和原来的题目答案是不同的．让学生充分感知错误的原因和加深了学生的记忆．这节课还把小数乘法和实际生活中的知识结合起来，我认为这样设计非常好，一方面提高了学生的学习兴趣，另一方面也拓展了学生的信息量，正如有的孩子说，我不仅学会了小数乘法，也知道了一些环保的知识，本节课教学数学知识能把本节课的重点、难点很好地进行突破，较好地体现了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三位一体的教学目标，整个教学过程，教师并不是把知识教给学生，而是充分挖掘教材中的情感因素，激发学生学习的内驱力，引导学生利用已有知识的迁移作用，放手让学生自主探索、合作交流，使学生在解决问题的过程中，掌握小数四则运算的运算顺序，并知道整数乘法的运算定律对小数乘法也同样适用。 1

运用乘法分配律进行简便计算

运用乘法分配律进行简便计算 教学目标： 1.让学生在解决实际问题的过程中发现并理解乘法分配律，学会用乘法分配律进行简便计算。 2.感受乘法分配律的价值，发展学生思维的灵活性。 3.在交流活动中，培养学生与他人合作、交流的能力。 教学重点：掌握乘法分配律的应用过程。 教学难点：灵活运用乘法分配律进行简便计算。 课前准备：课件。 教学过程： 一、谈话引入 1.在□里填上合适的数，在○里填上运算符号。 27×6+27×4=27○（□+□） 25×（2+4）=□○□○□○□ 2.提问：你是根据什么规律来填的？仔细观察两个等式，每个等式中是左边的算式计算简便还是右边的算式计算简便？ 3.揭题。 上一节课我们学习了乘法分配律，这节课我们将一起来探究运用乘法分配律进行简便计算的知识。（板书课题） 二、交流共享 1.课件出示例题6情境图。 提问：观察情境图，说说你从图中获得了哪些信息。

引导学生从题目中收集已知条件和所求问题。 已知条件：中国象棋一副32元，围棋一副58元。 所求问题：买102副中国象棋一共要付多少元？ 2.解决问题。 （1）列出解决问题的算式。 指名说说可以怎样列式，教师板书：32×102 （2）提问：32×102可以怎样进行计算呢？先想一想，算一算，再将你的想法和算法在小组内进行交流。 学生独立思考并计算，计算后在小组内进行交流讨论。 3.组织全班汇报。 请几个小组派代表参与全班交流，教师结合学生的交流情况适时板书。 汇报预测： 算法一：用竖式计算。 32×102=3264 1 0 2 × 3 2 2 0 4 3 0 6 3 2 6 4 算法二：先算100乘32，再算2乘32，最后把它们的得数相加。教师引导学生重点观察算法二，强调：算法二中的每一步计算我

小数乘法教案备课讲稿

小数乘整数教案 教学目标 1.使学生在具体情景中探索并初步掌握小数乘整数的计算方法，会用竖式进行计算。提高计算能力 2、掌握小数乘法的计算法则，使学生掌握在确定积的小数位时，位数不够的，要在前面用0补足。 3．使学生在探索计算方法的过程中，进一不体会数学知识之间的内在联系，培养初步的抽象、概括以及合情推理能力，感受数学探索活动的乐趣。 教学重点 1小数乘整数的计算方法 2理解小数乘整数的计算道理 教学难点 1 确定小数乘以整数的积的小数点位置的方法。 2正确地列竖式计算小数乘法，正确化简末尾的0 3小数乘法中积的小数位数和小数点的定位，乘得的积小数位数不够的，要在前面用0补足。 教学用具投影 PPT课件 教学过程： 一、游戏导入 师：同学们，今天我们来玩一个“数鸭蛋”的游戏，在2×3=6式子中，我在两个因数中添上或去掉0，请你立即报出积是多少，并说明理由。

创设情景，引入新课 谈话：在炎热的夏天，你喜欢吃西瓜吗？随着农业生产技术的不断进步，现在的人们不仅能在夏天吃到西瓜，在寒冷的冬天也能吃到西瓜。 出示例题的场景图，提问：从图中你能知道什么？ 引导：根据图中的信息，要求“夏天买3千克西瓜要多少”这个问题，你会列式吗？（答 0.8 X 3 ）“0.8×3”是求几个0.8想加的和？（答三个） 这个乘法算式和我们以前学习的乘法算是有什么不同？（有一个因数是小数） 板书课题：小数乘整数 二、探索计算方法 启发：你能用以前学过的知识算出“0.8×3”的得数吗？先想一想，再算一算。学生各自思考、计算，教师通过巡视了解学生采用了什么方法。 交流：谁先来说说，你是怎样计算的？算出的结果是多少？ 学生回答后继续提问：谁还有不同的计算方法？ 讨论:谁能看着竖式,说说用竖式计算”0.8×3”的过程? （0.8 × 3 2.4 比较:0.8是几位小数?2.4呢?（答都是一位小数）

小数乘法的简便计算教学反思

小数乘法的简便计算教学反思 “整数乘法运算定律推广到小数”是一节典型的利用旧知识迁移新知识的内容，主要使学生理解整数乘法的运算定律在小数乘法中同样适用。学生对整数乘法运算定律掌握得很好了，但是这些运算定律到底是否适合小数乘法，学生并不知道。因此，这是本节课要探究的主要内容。 首先我引导学生回顾整数乘法的运算定律，复习简便计算的方法，然后让学生先观察每组算式有什么特点，实际上这三组算式分别运用的是整数乘法的交换律、结合律、分配律，但是这三组算式都是小数乘法，也符合吗？因此，我让学生猜测以后，再进行验证。通过验证，学生发现整数乘法的运算定律在小数乘法中确实适用。先猜测再验证是学生学习数学的最基本的方法，也是科学的世间观养成的基础。在这一环节中，教师的作用只是引导点拨，而不是把规律强加给学生，让学生自己猜测、发现、验证。 知道了整数乘法运算定律同样适用于小数乘法这一知识后，就要运用学到的知识去解决问题。接着我出示：0.25×4.78×4 0.65×201 最后通过课堂练习，“在括号里填上数，使计算简便”这一习题的设计，极大调动了学生学习的积极性，激活了学生的思维，把整节课推向了高潮。让学生在简算中体验成功的快乐。“名医诊断”，帮助学生分析了错误的原因，加深了学生的记忆，起到了防患于未然的作用。总的来说，这一节课还是上得比较顺利，感觉上课学生的配合比较融洽，而且难点学生们都暴露出来了，上课中也及时的得到了解决。 其实小数的计算是以整数计算为基础的，而运算的定律也是如此。我想,如果学生能很好地掌握整数的计算，小数的计算也相对容易，因为它们的算理是一样的。只不过数的形式不同而已，应用整数运算定律是凑成整十、整百，而小数中就是凑成整数，但这要求学生要有较强的数感，要有扎实的数学计算基本功。因此，我认为，加强口算训练十分必要，也很关键，学生口算能力强，水平高的话，计算定律的运用也就不在话下，他们可以很自觉地想到口算，即会很自然地应用计算定律来解决问题了。因为简便运算的本质就是口算，只不过在这个过程中需要应用一些方法和技巧而已。 总之，要使学生的计算能力提高，得靠平时的训练一点一点的积累.当然,我也会朝着这方面继续努力!

应用乘法分配律进行简便计算教案 (1)

应用乘法分配律进行简便计算 教学目标： 1.让学生掌握能用乘法分配律进行简便运算的试题的特点，学会应用乘法分配律进行简便计算。 2．让学生学习应用估算的方法判断计算结果的合理性。 3．让学生联系现实问题主动运用规律解决问题，感受数学规律的普遍适用性，进一步体会数学与生活的联系，获得运用数学规律提高计算效率的愉悦感和成功感，增加学习的兴趣和自信。 教学重难点： 学会应用乘法分配律进行简便计算。学习应用估算的方法判断计算结果的合理性。 课前准备： 小黑板、学具卡片。 教学活动： 一、铺垫引入 1.出示题目，让学生独立做题，然后指名口答。 在口里填上合适的数，在方框里填上运算符号。 64×7+64×3===640(口+口) 你是根据什么规律来填的?仔细观察这两个等式，看看每个等式中是左边的算式计算简便还是右边的算式计算简便? 2．谈话：这节课我们探究应用乘法分配律进行简便计算。 二、探究新知 1. 教学例题。 (1)出示例题。提问：从题中你知道了哪些信息? 谈话：求买102件短袖衫．一共要多少钱，应该选择哪些条件来解决这个问题?怎样列式?板书： (2)提问：你能先估计一下计算的结果吗? 把102件看作100件，32×100=3200(元)，所以32×102的积比3200大。实际付出的钱要比3200元多，多多少，你能口算出来吗? 提问：你能口算出买102件要付多少钱了吗? 学生回答时，教师板书：买100件用3200元，

买2件用64元，一共用3264元。 (3)谈话：口算得对不对呢，我们再用笔算来验证一下，各自列式计算，指定一人板演。 (4)谈话：口算和笔算相比，你觉得这道题哪种算法简便?(指名口答)现在我们就把口算的过程详细地记录下来。边板书边谈话：我们把102分成两个数，于是写成32×(100+2)。你能把下面的算式填完整吗?为什么可以这样计算?你能接着算下去吗? 32×102 =32×(100)+2) =32×口+32×口学生说算式，教师完成板书。 谈话：这就是用简便方法计算32×102的思考过程。回顾这个过程，谁来说一说，先怎么办?再怎么办?这样计算的根据是什么? (5)用简便方法计算下列各题。 48×202 73×lOl 302×15 指定三人板演，其他学生任意做1～3题，共同订正。 2．教学补充题：买8件上衣和8条裤子，一共要多少元? (1)根据已知条件列式。65×8+45×8 (2)提问：你会用简便方法计算吗?你打算怎样书写计算过程?先在小组里交流，再各自计算，指名板演。 65×8+45×8 =(65+45)×8 =110×8 =880(元) 提问：第一步进行算式变形的依据是什么?你觉得哪一步计算简便? 3．教学“试一试”。出示题目：用简便方法计算。46×12+54×12学生独立做题。展示部分学生的答案，共同评议。 4．小结。提问：什么样的试题能够应用乘法分配律进行简便计算呢?各小组讨论。 一种是：一个数乘两个数的和(或可以转化成一个数乘两个数的和)，分别相乘比较简便，可以直接应用乘法分配律分别相乘，再求和，算出结果；另一种是：求两积之和的算式里有一个乘数相同，另外两个乘数的和正好是整百、整十的数，可以逆向应用乘法分配律把相同的加数提出来，先求和，再相乘，算出结果。 三、巩固练习 1．做“想想做做”第1题。先独立填空，再让学生交流各是怎么想的，依据是什么。 2．做“想想做做”第2题第一行。各自独立做题，展示部分学生的答案，共同评议。提

小数乘法教学设计北师大

篇一：北师大版小学数学四年级下册第三单元《小数乘法》教案 教学内容：北师大版小学数学四年级下册第三单元《小数乘法》第48-49页。 教学目标： 能力目标：能根据“包装”的有关信息提出数学问题，学会用竖式计算小数乘法，并培养估算能力。体会小数乘法在实际中的应用。过程方法：通过解决学生生活中的包装问题，通过自主探究合作交流，利用知识的迁移掌握算理和计算方法，培养学生的探究能力，发展数学思维。 情感、态度、价值观：使学生感受到数学与现实生活的密切联系，培养学生综合应用的能力。教学难点：探索小数乘小数的一般竖式计算方法及估算能力。教学重点：让学生体会两个乘数共有几位小数，积就有几位小数。教学准备：课件、卡片。 教材分析： 本节课是本单元的第四课时。学生已经学习了小数乘法意义，小数点移动引起小数大小的规律，以及初步讨论了积的小数位数与两个乘数小数位数的关系。这为本节课学生理解小数乘法的竖式计算打下了基础。本节课让学生探索小数乘小数的一般计算方法，即将小数乘法转化为整数乘法进行计算，然后根据乘数扩大的倍数，将积缩小相同的倍数。使学生体会到：两个乘数共有几位小数，积就有几位小数。 教学过程： 一、课前导入： 1、板演： 2 6×8=0.85+2.4= （注：找学生板演同时口算。） 2、口算：0.2×3= 5×0.01= 3.2+2.3=10-5.5= 2.5×10=32.6÷10= 3.25×0= 4.8+1= （提问：0.2×3= 2.5×10= 怎么算的？5×0.01= 算式意义。） 3、检查板演并导入：今天我们学习小数乘小数。 4、出示课题：《小数乘法》。 二、新授过程： 1、课件出示主题图：包装。 （1）、从主题中你得到了哪些信息？ （2）、根据这些信息，你能编一道完整的数学问题吗？ 2、课件出示题1：包装一个礼品盒用纸0.8米，每米2.6元，需要多少元？ （1）、谁会列式？（ 2.6×0.8=） （2）、这个算是表示什么意思？（2.6的十分之八是多少。） （3）、谁知道列小数乘法竖式要注意什么？（两个乘数末位数字对 齐。） （4）、根据它你能推想出2.6×0.8的多少吗？ 2 . 6扩大到10倍2 6 × 0 . 8扩大到10倍× 8 2 . 08缩小到1/1002 0 8 （注：让学生根据自主探索。） （5）、小结：做小数乘法时，先把它看成什么乘法来计算呢？ 3、课件出示题2：包装一个礼品盒用彩带2.4米，每米0.85元，需要多少元？ （1）、谁来列式？（0.85×2.4=） （2）、你能估算出买彩带需要多少钱吗？说说理由。

人教版五年级数学上册《五年级上学期小数乘法知识点整理以及简便运算》(实用)

五年级上学期小数乘法知识点整理 1、积的扩大缩小规律： 1）在乘法里，一个因数不变，另外一个因数扩大（或缩小）a倍，积也扩大（或缩小）a倍。 ★例：如：一个因数扩大10倍；另一个因数不变，积也扩大10倍。 一个因数缩小100倍；另一个因数不变，积也缩小100倍。 ★例：6.25 × 37 = 231.25 扩大100倍不变扩大100倍 625 × 37 = 23125 2）在乘法里，一个因数扩大a 倍，另外一个因数扩大（或缩小）b倍，积就扩大（或缩小）a×b倍。 ★例：6.25 × 0.3 = 18.75 扩大100倍扩大10倍扩大1000倍 625 × 3 = 18750 3）在乘法里，一个因数缩小a 倍，另外一个因数缩小b倍，积就缩小a×b倍。 ★例：625 × 3 = 1875 缩小100倍缩小10倍缩小1000倍 6.25 × 0.3 = 1.875 4）在乘法里，如果一个因数扩大10倍、100倍、1000倍…，另外一个因数缩小10倍、100倍、1000倍…，那么积的扩大或缩小就看a和b的大小，哪个大就顺从哪个。 ★例：625 × 3 = 1875 缩小100倍扩大10倍∵100>10∴是缩小。100÷10=10。所以缩小10倍 6.25 × 30 = 18 7.5 2、积不变规律： 在乘法里，一个因数扩大a 倍，另外一个因数缩小a倍，积不变。 ★例：扩大100倍 6.25×37=625×0.37 625×0.37=0.0625×3700 缩小100倍 3、小数乘整数计算方法： 1）先把小数扩大成整数 2）按整数乘法乘法法则计算出积 3）看被乘数有几位小数点，就从积的右边起数出几位点上小数点。 若积的末尾有0可以去掉 4、小数乘小数的计算方法： 1）先把小数扩大成整数 2）按整数乘法乘法法则计算出积 3）看积中有几位小数就从积的右边起数出几位，点上小数点。如果乘得的积的位数不够，要在前面用0补足。 ★例：1.8×0.92按整数乘法计算时，1.8是一位小数，把它扩大10倍，看作18；

小数乘法的复习课教案

小数乘法的复习课学案 姓名 【本讲教育信息】 一、教学内容： 1、小数乘整数复习 2、小数乘小数复习 3、积的近似数复习 4、连乘、乘加、乘减复习 5、小数的简便计算 二、知识重点与难点： 重点：小数乘法的计算方法 难点：小数加减法和乘法计算方法上的对比、小数运算中的简便计算。 三、知识介绍： 1、小数乘整数与小数乘小数：掌握积的数位取决于因数小数数位之和。列竖式计算时不需要小数点对齐，只需将所有的小数看成整数来计算，再最后的结果中点上小数点，小数部分末尾的0舍去。 2、积的近似数：保留整数（精确到个位），看十分位； 保留一位小数（精确到十分位），看百分位； 保留两位小数（精确到百分位），看千分位。 3、小数巧算： 乘法交换律：a×b＝b×a 乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c） 乘法的分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c a×c＋b×c＝（a＋b）×c 四、教学过程： （一）导入： 1、通过前面的学习，你有什么新收获？ 2、展示整理的“知识整理脉络图” 3、你觉得那部分知识掌握得不够好？还存在哪些问题？ （二）知识点复习： 1、小数乘整数、小数的意义 说出下列算式的意义： 0.84×5: 9.7×3: 加法算式：；加法算式： 2、复习小数点的移动引起小数大小变化的规律。 （1）口算下面各题。 0.21×10= 4.57×100= 0.09×1000= 3.45×10= 13.2×100= 0.4×1000= 0.9×1.1= 0.02×500= 0.05×200= （2）根据26×57=1482确定下面各式的积。

0.26×57= 0.26×0.57= 0.26×5.7= 26×0.57= 26×5.7= 2.6×5.7= 3、复习小数的加、减法和乘法计算。（注意竖式的写法） （1）竖式计算下面各题。 12.65＋1.7 10-3.48 6.17× 4.9 4.02×35 小结：计算小数加减法时，小数点必须要对齐。 计算小数乘法时，只需要数字从个位开始对齐。 4、积的近似数： 计算下列各题（保留两位小数） 0.418×3.5 7.068×3.2 2.12×5.03 5、小数简便计算： 计算下面各题，怎样算简便就怎样算。 3.6×14+ 4.5 33－2.3×5 4.38+9.76+ 5.62 50-14.15-25.85 1.25×24.6×0.8 (4+0.2)× 2.5 4.7×99+4.7 7.3×16.4+7.3×8 3.6 五、课堂总结：通过今天的复习，你掌握到了什么？

小数乘法的简便运算练习题

小数乘法的简便运算 一、乘法交换律与结合律的运用。 4.56×0.4×2.5 12.5×2.7×0.8 12.5×32×0.25 2.5×32 12.5×56 25×0.36 二、乘法分配律的运用。 0.25×10.4 12.5×8.8 99×0.35 3.7×1.8－2.7×1.8 95.7×0.28＋6.3×0.28－0.28×2 1.08×9＋1.08 三、比较乘法结合律与分配律在简便运算时的区别（下面各题用不同的方法简算）。 12.5×88 12.5×88 0.25×48 0.25×48 四、 48×0.56＋44× 9.16×1.53－0.053×91.6 314×0.043＋3.14×7.2－31.4×0.15

五、用简便方法进行计算 53×10.1 4.2×6.51＋3.49×4.2 25×7.3×0.4 0.125×96 12.5×10.8 （20－4）×0.25 45×21－50×2.1 45×1.58＋5.5×15.8 9.99×2.22＋3.33×3.34 3.7×1.4×0.05 72×0.81+10.4 1.4×25+3.45 1.5×102 1.25×0.7×0.8 2.7× 3.7+0.37×73 8.7×99 0.8×（12.5 – 1.25） 1.25×0.4×80×2.5 5×1.03×0.2 32×1.25 0.45×99 ①甲有存款4000元，乙有存款2400元，乙从存款中取出一些后，甲的存款正好是乙现在的 5倍。乙取出多少元钱？ ②有一堆煤，如果用甲种车一次运完，需要36辆; 如果用乙种车一次运完，需要45辆。已知甲种车比乙种车每辆多运1.5吨。问这批煤共有多少吨？

乘法分配律、简便计算

个性化一对一教学辅导教案 学科：数学学生姓名年级四任课老师授课时间 一、教学内容：乘法分配律、简便计算 二、教学重、难点：简便方法的灵活选择 三、教学过程： 乘法分配律特别要注意“两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加”中的分别两个字。类型一：（注意：一定要括号外的数分别乘括号里的两个数，再把积相加） （40＋8）×25 125×（8+80） 36×（100+50） 24×（2＋10） 86×（1000－2） 15×（40－8） 类型二：（注意：两个积中相同的因数只能写一次） 36×34＋36×66 75×23＋25×23 63×43＋57×63 93×6＋93×4 325×113－325×13 28×18－8×28 类型三：（提示：把102看作100＋2；81看作80＋1，再用乘法分配律）

78×102 69×102 56×101 52×102 125×81 25×41 类型四：（提示：把99看作100－1；39看作40－1，再用乘法分配律） 31×99 42×98 29×99 85×98 125×79 25×39 类型五：（提示：把83看作83×1，再用乘法分配律） 83＋83×99 56＋56×99 99×99＋99 75×101－75 125×81－125 91×31－91 简便计算——加减乘除综合简便计算 除了乘法分配律经常单独使用外，大多数的简便计算都同时包括了加减法、乘除法的运算定律率，看下面例题： 例7.利用乘法分配律计算：（1）88×（12＋15）（2）46×（35＋56） 例8.简便计算：（1）97×15 （2）102×99 （3）35×8＋35×6－4×35 例9.简便计算：（1）48×1001 （2）57×999 （3）539×236＋405×236＋236×56

小数乘法优秀教学设计

小数乘法优秀教学设计 教学目的： 1、学生理解小数乘以整数的意义，掌握小数乘以整数的计算法则。 2、培养学生的迁移类推能力。 教学重点：理解算理，正确计算。 教学过程： 一．创设生活情境，赋予现实意义 谈话：同学们，再过几天将迎来我们中华民族的传统佳节，大家知道是什么节吗？（中秋节）我们还刚刚学了一篇关于中秋节的文章……（《嫦娥奔月》）在这个节日里，人们最喜欢吃的就是月饼了，昨天让同学们去调查了市场月饼的价格，下面我们来汇报一下。 出示： 单价 数量 总价 （汇报时有选择填入一个整数、一个一位小数、一个两位小数） 让学生根据表中的’信息编出几道应用题。 二．激起学习兴趣，创造活动机会， 谈话：对于这些问题，你能解决哪些呢? （1）学生独立尝试计算，汇报交流（选择有代表性的方法板书在黑板上） 板书：①加法算式： ②乘法算式： （2）讨论各种算法，尝试说理。 三．扩大思维空间，亲历数学过程

（1）在括号内填上适当的数。 2.4 ×6 ×6 从以上几题中,你有什么发现? （2）请你在下面各题积的合适位置点上小数点。题略 （3）小结：通过探索，大家对小数乘整数的方法都有了各自的理解。那么，你觉得应该怎样计算小数乘法呢？ 四、提供出错时空，经历思维碰撞 （1）口算：0.4×3 3×0.17 0.21×4 2 5×8.34 14×0.36 0.12×90 1.05×24 五、在开放中激活思维，尊重学生独立思考 （1）变式练习：要使872×12=10.488的积正确，因数的小数点该怎样点？你有什么诀窍？ （2）开放练习：在括号里填上你喜欢的数，使算式成立： （）×（）=0.36 六、全课小结：通过这节课的学习，你有哪些收获？ 感谢您的阅读，祝您生活愉快。

四年级上册小数乘法简便运算练习题

小数乘法简便运算练习题 姓名：班级： 一、简便运算 0.25×8.5×4 12.5×0.96×0.8 0.25×0.73×4 4.36×12.5×8 0.25×16.2×4 1.25× 2.5×32 3.2×0.25×12.5 二、简便运算 (1.25－0.125)×8 4.8×10.1 3.6×102 0.39×99 0.32×401

3.65×10.1 0.85×9.9 三、简便运算 3.72×3.5＋6.28×3.5 15.6×2.1－15.6×1.1 3.83× 4.56＋3.83× 5.44 5 6.5×99＋56.5 7.09×10.8－0.8×7.09 9.7×99＋9.7 4.2×99＋4.2 四、简便运算 2.3×16+2.3×23+2.3 5.4×11-5.4 10.7×16.1-15.1×10.7

7.74×（2.8－1.3）＋1.5×2.26 10.6×0.35－9.6×0.35 7.6×0.8＋0.2×7.6 3.65×4.7－36.5×0.37 五、简便运算 1.28×8.6＋0.72×8.6 0.65×101 8.9×1.01 27.5×3.7－7.5×3.7 3.9×2.7＋3.9×7.3 6.66×3.3+6.66×6.7 0.25×36

六、简便运算 4.8×7.8＋78×0.52 1.87×9.9＋0.187 3.14×0.68＋31.4×0.032 12.7×9.9＋1.27 46×57＋23×86 3.65× 4.7 －36.5×0.37 101×0.87-0.91×87 七、简便计算 7.6×0.8+0.2×7.6 0.25×36 0.85×199 4.02-3.5+0.98 7.08-0.74-1.26 3.7×4.5-4.4×3.7 28.92-(13.2+8.92) 32.4×0.9＋1×3.24

应用乘法分配律进行简单的计算

应用乘法分配律进行简单的计算 教学目标： 1、让学生掌握能用乘法分配律进行简便运算的式题的特点，学会应用乘法分配律进行简便计算。 2、让学生学习应用估算的方法判断计算结果的合理性。 3、让学生联系现实问题主动运用规律解决问题，感受数学规律的普遍使用性，进一步体会数学与生活的联系，获得运用数学规律提高计算效率的愉悦感和成功感，增加学习的兴趣和自信。 教学重点： 学会应用乘法分配律进行简便计算。 教具准备：教学挂图。 教学进程： 一、讲解学生作业错得较多的题目 1、99×37＋37=37×（□○□） 指名说说这题是如何思考的：乘法分配律其实就是合起来乘可变成分别乘或是分别乘变成合起来乘。在这个算式中，只有一个乘，那就要把后面的“37”改装成乘“37×1”，然后就可以看出是在分别乘37，应该等于合起来乘37，括号里应该填写的是“99＋1” 2、把左右两边相等的算式用线连起来 先让学生说说哪几组是肯定能连线的，还有哪几组有问题？说说为什么不能连线？ （1）（58＋12）×14应该等于分别乘14，但“58×14＋12”中的12

没有乘14，所以是不相等的。 （2）（36×4）×25，乘法分配律要有乘有加，这里只有乘，不符合乘法分配律的特点，它只能用乘法结合律进行简便计算。所以不能和36×25＋4×25连线。 二、学习例题： 1、出示例题图： 说说例题的信息和问题，说说相关的数量关系式。 2、列式并估算等：32×102≈3200（元） 说说估算的方法：把102看成100，32乘100等于3200，32×102的积应该略大于3200。 3、3200元其实是几件衣服的价钱？那要算102件，还要怎么办？ （加上2件），这2件是多少元呢？总共是多少元？ 怎么把这个过程完整地用算式表达出来呢？ 指出：利用乘法分配律，我们可以把这类题目进行简便计算。 学生完成书上的例题剩下部分。 4、完成试一试：用简便方法计算46×12＋54×12 观察算式特点，并完成简便计算。交流： 比较两题，说说在利用乘法分配律进行简便计算的时候有什么要注意的？ 三、完成想想做做： 1、在□里填上合适的数，在○里填上运算符号。 2、口算下面各题，说怎样应用乘法分配律的（第3题）

小数乘法的的教学设计

一、情境导入 1．谈话：同学们都喜欢哪些运动呢？ （生回答自己喜欢的运动……） 2．导入：是啊，多参加户外运动，有利于身体健康。老师也经常参加户外运动，放风筝就是我的最爱。下课咱们一起去放风筝好吗？ 3．提问：但放风筝之前要先去买风筝，所以咱们就先去买几只风筝吧！（展示教材第2页例l情境图）从图中你知道了哪些信息？ 引导学生观察并思考：图中小明他们想买3个3.5元的风筝需要多少钱？你会列式吗？ 指学生回答：3.5×3，教师板书：3.5×3。 4．探索：观察这一道算式，它与我们以前学过的乘法算式有什么不同？ 生观察后回答：这道算式的因数有小数。 5．揭题：以前我们学习的乘法都是整数乘整数，今天的算式中却出现了小数，这就是今天我们要研究的小数乘整数。（板书课题：小数乘整数） 二、互动新授 1．初步探究竖式计算的方法。 (1)引导学生准确算出一共需要多少钱？学生独立计算，并在小组内交流自己的想法。（师走到学生中，了解学生参与讨论的情况。） (2)让学生说说自己的想法。 指名汇报，教师根据学生叙述板书，学生可能想出下面几种不同的方法： 方法1： 连加。展示：3.5+3.5+3.5=10.5（元） 师：你是怎么想的？ 生：3.5×3就表示3个3.5相加，所以可以用乘法计算。（师板书意义） 方法2：化成元、角、分计算，先算整元，再算整角，最后相加。3元×3=9元，5角×3=1元5角，9元+1元5角=10元5角，即3.5×3=10.5（元）。 方法3：把3.5元看作35角，则35角×3=105角=10.5元。 (3)追问：刚才同学们开动脑筋想出了这么多方法，真了不起。如果要用竖式计算，你会算吗？请同学们想一想，并与同桌讨论：如何列竖式计算3.5×37 引导：出示（边说边演示）： 强调：我们可以把3.5元转化成35角，用35角乘3得105角，再把105角转化成10.5元。注意在列竖式时因数的末尾要对齐。 2．自主探究，进一步理解算理，掌握计算方法。 (1)教师出示算式：0.72×5。 师：同学们看0.72不是钱数了，没有元、角、分这样的单位了，还能不能计算出结果呢？请同学们独立思考，然后在小组内交流计算方法。 (2)学生汇报演示。 可能有两种方法：加法和乘法。根据学生的汇报，展示这两种方法。 (3)比较：（见板书设计） 引导：请同学们比较一下这两种方法，你喜欢哪一种呢，为什么？ 生：用乘法比较简便。 (4)追问：仔细观察乘法算式，谁给大家解释一下，你是怎样把乘数转化成整数的？ 生：先把0.72小数点向右移动2位转化成72×5=360，得出结果后再把积的小数点向左移动两位就是3.6。

乘法分配律练习设计

第二课时：练习课 练习课主要以下面9个题组组织学生进行练习。 1. 形异质同的对比练习题组 比一比，每组中的算式有何异同？再计算 （1）（40+8）×125 48×125 （2）99×（100+1）99×101 （3）（125+25）×32 （125+25）×8×4 8×（125+25）×4 【说明】通过练习，让学生明确，每组中后面的题可以转化为每组中的第一题，通过转化将变式结构变成标准结构，从而使简算特征不明显的变得明显。通过这组练习，让学生养成转化意识、明确转化的方向。） 2.变式练习题组 简便计算：99×87+99 101×67-67 54+99×99+45 75+25×24 36×98+726×25×4×25 【说明】通过本组前5题的练习，让学生养成转化意识，即遇到变式结构的算式要运用等值变形把变式结构转化成标准形式，然后再运用乘法分配律简算。第6题很多学生会错算成6×25×4×25=（6+4）×25=10×25=250，教师引导学生对错例进行分析，从而使学生明白：在连乘结构的算式里，用乘法结合律进行简算，只有在乘加或乘减结构的算式里才能用乘法分配律进行简算。） 3. 改错练习题组 下面各题错在哪里？为什么错了？如何改正？ （47+25）×40=47+25×40=47+100=147 79×69+79×31=（69+31）×（79×79） （125+25）×8×4=125×8+25×4=1000+100=1100 75+25×96=（75+25）×96=100×96=9600 12×25×8×25=（12+8）×25=20×25=500 【说明】这些都是学生的典型错例，通过对反例的辩析，从反面强化学生对乘法分配律特征的理解，也引起学生注意，避免类似的问题出现，达到前馈控制的目的。） 4.形似质异的对比练习题组

五年级上册小数乘法简便运算练习题

五年级上册小数乘法简便运算练习题 篇一：人教版上册小数乘法的简便运算练习题 用简便方法计算 0.32×403 0.25×36 7.6×0.8＋0.2×7.6 0.85×199 0.25×8.5×4 12.5×0.96×0.8 0.8×（4.3×1.25） 28.6×101－28.6 0.86×15.7－0.86×14.7 1 1.28×8.6＋0.72×8.6 10.4－9.6×0.35 3.12＋3.12×99 4.23＋6.17）×0.8 2.4×102（ 2.31×1.2×0.5（2.5－0.25）×0.4 9.16×1.5－0.5×9.163.6－3.6×0.5 4.5÷1.8 930÷0.6÷5 4.9÷1.4 （7.7＋1.54）÷0.7 2.7÷45 24.2÷3.5 63.4÷2.5÷0.4 3.9÷（1.3×5） 2.5×2.4 0.35×1.25×2×0.8 32.4×0.9＋0.1×32.415÷0.25 70÷2815÷（0.15×0.4） 4.25÷2.5×9.9＋0.17 3 篇二：小数乘法简便运算练习题

小数乘法简便运算练习题 一、简便运算 0.25×8.5×4 12.5×0.96×0.80.25×0.73×4 4.36×12.5×8 0.25×16.2×4 1.25×2.5×32 3.2×0.25×12.5 0.25×36 二、简便运算 (1.25－0.125)×8 4.8 0.32×403 三、简便运算 3.72×3.5＋6.28×3.515.6 56.5×99＋56.5 7.09 4.2×99＋4.227.5 ×10.1 3.6×102 0.39×199 3.65×10.10.85×9.9 ×2.1－15.6×1.13.83×4.56＋ 3.83×5.44 ×10.8－0.8×7.09 9.7×99＋9.7 ×3.7－7.5×3.7 3.9×2.7＋3.9×7.3 四、简便运算 2.3×16+2.3×23+2.3 5.4×11-5.410.7×16.1-15.1×10.7 7.74×（2.8－1.3）＋1.5×2.2610.6×0.35－9.6×0.35 7.6×0.8＋0.2×7.6 五、简便运算 1.28×8.6＋0.72×8.60.65×101 8.9 六、简便运算 4.8×7.8＋78×0.521.87×9.9＋0.187 3.14 12.7×9.9＋1.27 3.65×4.7 －36.5×0.37 101 七、用简便方法计算 6.66×3.3+6.66×6.7 7.2×0.2＋2.4×1.4 46 ×1.01 ×0.68＋31.4×0.032 ×0.87-0.91×87×57＋23×86 篇三：人教版上册小数乘法的简便运算练习题 用简便方法计算 4.8+8.63+ 5.2+0.375.93+0.19+2.81 1.76+0.195+3.24

四年级 应用乘法分配律进行简便计算

应用乘法分配律进行简易计算 教材简析： 能应用乘法分配律进行简易计算的式题主要有两种情况：一种是一个数乘两个数的和（或可以转化成一个数乘两个数的和），可以直接应用乘法分配律算出结果；另一种是求两积之和的算式里有一个乘数相同，可以逆向应用乘法分配律算出结果。 教学目标： 1、让学生掌握能用乘法分配律进行简易运算的式题的特点，学会应用乘法分配律进行简易计算。 2、让学生学习应用估算的方法判断计算结果的合理性。 3、让学生联系现实问题主动运用规律解决问题，感受数学规律的普遍使用性，进一步体会数学与生活的联系，获得运用数学规律提高计算效率的愉悦感和成功感，增加学习的兴趣和自信。 教学过程： 一、讲解学生作业错得较多的题目 1、99×37＋37=37×（□○□） 指名说说这题是如何思考的：乘法分配律其实就是合起来乘可变成分别乘或是分别乘变成合起来乘。在这个算式中，只有一个乘，那就要把后面的“37”改装成乘“37×1”，然后就可以看出是在分别乘37，应该等于合起来乘37，括号里应该填写的是“99＋1” 2、把左右两边相等的算式用线连起来 11×58＋49×11 12×77＋8×77 （12＋8）×77 36×25＋4×25 （58＋12）×14 27×21＋27×29

27×（21＋29）11×（58＋49） （36×4）×25 58×14＋12 先让学生说说哪几组是肯定能连线的，还有哪几组有问题？说说为什么不能连线？ （1）（58＋12）×14应该等于分别乘14，但“58×14＋12”中的12没有乘14，所以是不相等的。 （2）（36×4）×25，乘法分配律要有乘有加，这里只有乘，不符合乘法分配律的特点，它只能用乘法结合律进行简易计算。所以不能和36×25＋4×25连线。 二、学习例题： 1、出示例题图： 说说例题的信息和问题，说说相关的数量关系式。 2、列式并估算等：32×102≈3200（元） 说说估算的方法：把102看成100，32乘100等于3200，32×102的积应该略大于3200。 还可以怎么算？（用竖式算） 3、3200元其实是几件衣服的价钱？那要算102件，还要怎么办？ （加上2件），这2件是多少元呢？总共是多少元？ 怎么把这个过程统统地用算式表达出来呢？ 板书：32×102 =32×（100＋2） =32×100＋32×2

小数乘法教学设计

小数乘法教学设计 教材分析。 1、本部分内容实在学生掌握了整数四则运算，小数的意义和性质以及小数加减法的基础上进行教学的。由于小数与整数有密切的联系，所以这部分内容在编排上和讲解上都注意联系整数运算，一边是学生把整数运算的知识迁移到小数运算中。 2、教学的主要内容和教材编排的特点。小数乘法的意义是在整数乘法的意义、小数的意义、分数的初步认识（包括求一个数的几分之几的应用题）的基础上进行教学的。小数乘法的意义比整数乘法的意义有了进一步的扩展。它包括两种情况：小数乘以整数，这同整数乘法的意义相同；一个数乘以小数，则是求一个数的十分之几、百分之几……是乘法意义上的扩展。小数乘法的计算法则和整数乘法的计算法则相似，唯一不同的是在积里要确定小数点的位置。小数乘法的计算法则是在整数乘法积随因数的变化的规律，小数点的位置的移动引起小数大小的变化的基础上教学的。 学情分析 学生在以前的学习中掌握了整数的四则运算、小数的意义和性质以及小数加减法的基础上已经具备了一些知识和方法。在这种情况下进一步学习小数乘法的意义比整数乘法意义有了进一步的扩展。小数乘法的计算法则同整数乘法的计算法则相似。唯一不同的是要确定小数点的位置，这也许是有一定难度的，需要结合例题的讲解来掌握其方法。

学习目标 1、使学生理解小数乘以整数的意义； 2、掌握小数乘以整数的计算方法，并能正确地进行计算。教学重难点 1、以练习为主； 2、小数乘法的意义和计算法则。 教学活动过程 （一）、复习。 1、口算： 2.4扩大（）倍是24；72缩小（）倍是7.2； 5.24扩大（）倍是524；702缩小（）倍是0.702；0.056扩大（）倍是56；5320缩小（）倍是5.32；2、下面各数，把小数点去掉，各扩大了多少倍？ 6.3 3.04 0.9 0.35 0.008 3、下面各数，缩小10倍，100倍，1000倍后各是多少？

五年级上册小数乘法、除法、及简便

五年级上册小数乘法、除法、及简便运算专项练习题 一、用简便方法计算下面各题。 1.8×0.9+0.185.4×0.68+3.4×2×0.46 23.9-0.6×0.6-0.64 6.82÷4÷0.25 1.26÷（1.26×0.8）0.7777×0.7+0.1111× 2.1 15.6×13.1－15.6－15.6×2.14.8×7.8＋78×0.527.09×10.8－0.8×7.09 1.25×32×0.25 0.78×10.1 0.83×1.2+1.2×0.17（3.2+0.128）÷0.8 4.89×101－4.89 8.5÷0.25÷0.4 4.8×100.156.5×9.9＋56.54.8－4.8×0.5(1.25－0.125)×8 二、用竖式计算下面各题并按要求保留小数。 0.83×163.2×2.11.82×0.451.08×250.12×0.44 0.042×0.540.76×0.320.25×0.046 324.57÷7≈(得数保留两位小数)7.525÷0.38≈(得数保留两位小数)9÷11≈（得数保留三位小数）32÷6≈（得数保留整数） 三、脱式计算 4.8×0.35 3.12×0.9（保留一位小数）6.03×0.25 3.45×1.24（保留二位小数） 3.65－2.2×1.13.7×0.15＋ 4.02( 5.2＋3.8)×0.934.7×(3.5－0.2) 五、列式计算。（列综合算式） （1）3.06除以0.25与68的积，商是多少? （2）2.5与0.4的积，乘以2.5除0.4的商，积是多少?

六、应用题。 1.甲乙丙城相距263.2千米，一辆客车行了3小时，每小时行76.5千米。这辆客车已经行了多少千米？ 2.服装厂做一件男上衣用2.5米布料，现在有42米布料，最多可以做多少件这样的男上衣？

小学数学小数乘法教案

小学数学小数乘法教案 【篇一：小学数学小数乘法教案】 小数乘法教学设计 教学重点 理解的意义和计算法则． 教学难点 使理解的计算法则． 教学过程 一、复习辅垫 （一）读题列式，并说一说各算式所表示的意义 4个13是多少？ 18个20是多少？ 小结：整数乘法表示求几个相同加数的和的简便运算． （二）演示动画：—复习 提问：通过刚才的计算和比较，你发现了什么规律？ （三）演示动画：—引入 板书课题： 二、指导探索 （一）出示例1 花布每米13.5元，买5米要用多少元？ （二）讨论：1．用加法怎样列式？用乘法怎样列式？ 【篇二：人教版小学五年级上册第一单元小数乘法教案】第一单元小数乘法 一、教学目标： 1、让学生自主探索小数乘法的计算方法，能正确进行笔算，算理做 出合理的解释。 2、使学生会用“四舍五入”法截取积是小数的近似值。 3、使学生理解整数乘法运算定律对于小数同样适用，行关于小数乘 法的简便运算，进一步发展学生的数感。 4、使学生体会小数乘法是解决生产、生活中实际问题的重要工具。 小数乘整数（1） 教学内容：教科书第2页，例1及“做一做”。 教学目标： 1、

2、初步理解“小数乘整数”的算理。 3、培养学生自主探索的意识和创新的精神。 教学重难点： 理解小数乘整数的意义，重点说明将元转化为角的方法。 教学过程： 一、复习铺垫： 1、填空： 2．5元=（）角 3.75元=( )元( )角()分 0.72元=( )元( )角355角=( )元 103角=( )元5.5米=()米（）分米 9.38米=（）米（）分米（）厘米 二、学习新知： 1、谈话引入：节假日时，有不少的小朋友们结伴到珍珠湾去放风筝， 2、出示主题图： (1)师：从图中你得到哪些信息？学生回答。 学过的知识来解决。 学生思考后，在小组内交流。 集体交流： 方法一：3.5+3.5+3.5=10.5元 师:说得不错,能把竖式列出吗?( 重点说明将元转化为角的方法。) (2)师:根据图中给出的信息,你还能提出什么问题?提出问题并独立解答. 引导学生提出买风筝计算钱数的问题。 学生独立完成后,在小组内交流,再请几位同学说一说. 师:买9个鱼形风筝要多少钱? 学生讨论完成.学会使用将元转化为角的方法。 三、课堂小结： 四、作业： 完成课本第7页第2题。 小数乘整数（二） 教学内容：教科书第2页例2及“做一做”。 教学目标： 1．使学生理解小数乘整数的意义，自主探索小数乘整数的计算法则，并能正 确运用法则计算小数乘整数的乘法．