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高考理科数学创新题专题

高考数学创新题专题

1、已知集合23

0123{|333}A x x a a a a ==+?+?+?，其中{0,1,2}(0,1,2,3)k a k ∈=，且

30a ≠.则A 中所有元素之和等于（）

A ．3240

B ．3120

C ．2997

D ．2889

实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程 m[f(x)]2+nf(x) +p=0的解集都不可能是（） A. {}1,2 B .{}1,4 C .{}1,2,3,4 D. {}1,4,16,64 立，其中*

n ∈N ，则称{}n a 为k 阶递归数列．给出下列三个结论：

① 若{}n a 是等比数列，则{}n a 为1阶递归数列； ② 若{}n a 是等差数列，则{}n a 为2阶递归数列；

③ 若数列{}n a 的通项公式为2

n a n =，则{}n a 为3阶递归数列．

其中，准确结论的个数是（）

A ．0 B.1 C.2 D.3 4、如图，半径为2的⊙O 与直线MN 相切于点P ，射线PK 从PN 出发绕点P 逆时针方向旋转到PM ，旋转过程中，PK 交 ⊙O 于点Q ，设POQ ∠为x ，弓形 PmQ 的面积为()S f x =，

那么()f x 的图象大致是（）

A B C D

5、在空间直角坐标系中，对其中任何一向量123(,,)X x x x =，定义范数||||X ，它满足以下

性质： (1)||||0X ≥，当且仅当X 为零向量时，不等式取等号；（2）对任意的实数λ，

||||||||||X X λλ=?（注：此处点乘号为普通的乘号）。（3）||||||||||||X Y X Y +≥+。

在平面直角坐标系中，有向量12(,)X x x =，下面给出的几个表达式中，可能表示向量X 的范数的是____（把所有准确答案的序号都填上）

（1）2

2212x x +

（2

）22122x x - （3）22122x x ++ （4）22

12x x +

6、如图，已知平面l αβ=，A 、B 是l 上的两个点，C 、D 在平面β内，且

,,DA CB αα⊥⊥4AD =，6,8AB BC ==，在平

面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则

P ABCD -体积的最大值是（）

A.243

B.16

C.48

D.144

7、已知线段AB 上有10个确定的点（包括端点A 与

B ）．现对这些点实行往返标数（从A →B →A →B →…实行标数，遇到同方向点不够数时就“调

头”

往回数）．如图：在点A 上标1，称为点1，然后从点1开始数到第二个数，标上2，称为点2，再从点2开始数到第三个数，标上3，称为点3（标上数n 的点称为点n ），……，这样一直继续下去，直到1，2，3，…，2012都被标记到点上．则点2012上的所有标数中，最小的是．

8、有连续的自然数1、2、3、…、n ，去掉其中一个数后，剩下的数的平均数是16，则满足条件的n 的最小值是

9、从1到k 这k 个整数中最少应选m 个数才能保证选出的m 个数中必存有三个不同的数可构成一个三角形的三边长。(1)若k=10，则m= （2）若k=2012，则m= 10、由19条水平直线与19条竖直直线组成的1818?的围棋棋盘中任选一个矩形，（1）有种不同的选法；（2）所得矩形为正方形的概率为

11、下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程：区间0,1中的实数m 对应数轴上的点M ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为0,1，如图3.图3中直线AM 与x 轴交于点,0N n ，则m 的象就是n ，记作f m

n .

(ⅰ)方程0f x

的解是x

;

(ⅱ)下列说法中准确命题的序号是 .(填出所有准确命题的序号)

A C B

P A

564

①114f ??

???

； ②()f x 是奇函数; ③()f x 在定义域上单调递增; ④()f x 的图象关于点1,02?? ???

对称．

12、F 是抛物线2

2y px =()0>p 的焦点，过焦点F 且倾斜角为θ的直线交抛物线于,A B 两

点，设,AF a BF b ==，则： ①若

60=θ且b a >，则b

的值为______； ②=

+b a ______（用p 和θ表示）. 13、若正整数()

i i

N a

a N

∈=∑=1，称∏==n

i i a T 1

为N 的一个“分解积”，

（1）当N 分别等于6,7,8时，它们的 “分解积”的最大值分别为（2）当N=3m+1 （*

N m ∈）时，它的 “分解积”的最大值为 14、若12

(0n n i A a a a a ==或1,1,2,,)i n =，则称n A 为0和1的一个n 位排列．对于n A ，

将排列12

1n n a a a a -记为1()n R A ；将排列112n n n a a a a --记为2()n R A ；依此类推，直至

()n n n R A A =．对于排列n A 和()i

n R A (1,2,

,1)i n =-，

它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做n A 和()i n R A 的相关值，记作(,())i

n n t A R A ．例如

3110A =，则13()011R A =， 133(,())1t A R A =-．若(,())1(1,2,

,1)i n n t A R A i n =-=-，

则称n A 为最佳排列．（Ⅰ）写出所有的最佳排列3

；（Ⅱ）

若某个21(k A k +是正整数)为最佳排列，则排列21k A +中1的个数． 15、对于集合M ，定义函数1,,

()1,.

M x M f x x M -∈?=?

??对于两个集合M ，N ，定义集合

{()()1}M N M N x f x f x ?=?=-. 已知{2,4,6,8,10}A ，{1,2,4,8,16}B

.（1）用列

举法写出集合A B ?= ；（2）用Card(M)表示有限集合M 所含元素的个数，当()()Card X A Card X B ?+?取最小值时集合X 的可能情况有种。 16、若对于正整数k ,()g k 表示k 的最大奇数因数，例如(3)3g =，(10)5g =.设

(1)(2)(3)(4)(2)n n S g g g g g =++++

+．

（1）则2S = （2）n S =

17、若数列}{n A 满足2

n A A =+，

则称数列}{n A 为“平方递推数列”．已知数列}{n a 中，

21=a ，点(1,+n n a a )在函数x x x f 22)(2+=的图像上，其中n 为正整数．

（Ⅰ）证明数列}1{2+n a 是“平方递推数列”，且数列)}1{lg(2+n a 为等比数列；（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前

项之积为n T ，即

)12)12)(12(21+++=n n a a a T （，求数列}{n a 的通项及n T 关于n 的表达式；

（Ⅲ）记21log n n a n b T += ，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求使2012n S >的n 的最小值．

18、已知函数2

()f x x x =+，'()f x 为函数()f x 的导函数．

（Ⅰ）若数列{}n a 满足1'()n n a f a +=，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足1b b =，1()n n b f b +=．（ⅰ）是否存有实数b ，使得数列{}n b 是等差数列？若存有，求出b 的值；若不存有，请说明理由；（ⅱ）若b>0，求证：11

i i i b b b =+<∑．

19、直线2

21:)21

,0(1:21+=

±≠≠-+=x y l k k k kx y l 与相交于点P .直线1l 与x 轴交

于点1P ，过点1P 作x 轴的垂线交直线2l 于点1Q ，过点1Q 作y 轴的垂线交直线1l 于点2P ，过点2P 作x 轴的垂线交直线2l 于点2Q ，…，这样一直作下去，可得到一系列1122,,,P Q P Q ， …，点n P (1,2,

)n =的横坐标构成数列{}.n x

（1）当2=k 时，求点123,,P P P 的坐标并猜出点n P 的坐标(不用证明)；（2）证明数列{}1-n x 是等比数列，并求出数列{}n x 的通项公式；

（3）比较5||4||22

122+PP k PP n 与的大小.

20、在直角坐标平面上有一点列 ),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，

对一切正整数n ，点

n P 位于函数4133+

=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以2

-为首项，1-为公差的等差数列{}n x ．

（I ）求点n P 的坐标；

（II ）设抛物线列 ,,,,,321n c c c c ,中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线n c

的顶点为n P ，且过点)1,0(2

+n D n ，记与抛物线n c 相切于n D 的直线的斜率为n k ，求：

n k k k k k k 13221111-+++ ；（III ）设{}{}

*N N ∈==∈==n y y y T n x x x S n n ,4|,,2|，等差数列{}n a 的任一项

n a S

T ∈，其中1a 是S

T 中的最大数，12526510-<<-a ，求{}n a 的通项公式．

21、已知数列12:,,

,n n A a a a (,2)n n ∈≥*N 满足01==n a a ，且当n k ≤≤2()*N k ∈时，

1)(2

1=--k k a a ，令1

()n

n i i S A a ==∑．

（Ⅰ）写出)(5A S 的所有可能的值；（Ⅱ）求)(n A S 的最大值；

（Ⅲ）是否存有数列n A ，使得2

(3)()4

n n S A -=？若存有，求出数列n A ；若不存有，说明理

由．

22、将正整数2012表示成n 个正整数123,,,n x x x x 之和.记1i j i j n

s x x ≤<≤=

?∑

（I ）当2n =时，12,x x 取何值时s 有最大值.

（II ）当5n =时，12345,,,,x x x x x 分别取何值时，s 取得最大值，并说明理由.

（III ）设对任意的1≤i j <≤5且|i j x x -|≤2,当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取得最小值，

并说明理由.

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5、解析：知当且仅当X 为零向量时，X =0 所以能够排除(2),(3).

现在探索一下（1）是否满足性质（3）222222)(2)(22n b m a n m b a +++≥+++

22222m b n a abmn +≤? 这是显然成立的，所以（1）满足性质（3）又（1）显然满足性质（2）；所以（1）能表示X 的范数

同理能够知道（4）也能够表示所以经过验证后能够知道准确的是（1）（4） 7、 3 8、30

9、 (1)若k=10，则m= 6 （2）若k=2012，则m= 17 10（1）有 29241 种不同的选法；（2）所得矩形为正方形的概率为513

11、

解析：(i) 0)(=x f 则2

1=x ;

(ii) 当4

1=m 时，∠ACM=2

π,此时1-=n 故1)4

1(-=f ①错

)(x f 的定义域为)1,0(不关于原点对称 ②错

显然随着m 的增大,n 也增大;所以()f x 在定义域上单调递增 ③对

又整个过程是对称的,所以 ④对

12、① 3 ；

②θ

sin 2p

AB =或()θθ22tan 1tan 2+p 13、（1） 9；12；18

（2）1

-m 3

14、解：（Ⅰ）最佳排列3A 为110，101，100，011，010，001．（Ⅱ） 2112

21(0k k i A a a a a ++==或1,1,2,

,21)i k =+，得

12121122()k k k R A a a a a ++=， 2212211221()k k k k R A a a a a a ++-=， (212134)

2112()k k k R A a a a a a -++=， 22123211()k k k R A a a a a ++=．

因为 2121(,())1(1,2,

,2)i

k k t A R A i k ++=-=，

所以 21k A +与每个21()i

k R A +有k 个对应位置数码相同，有1k +个对应位置数码不

同，所以有12121221212||||||||1k k k k k a a a a a a a a k +-+-+-+

+-+-=+，

122212222121||||||||1k k k k k k a a a a a a a a k +-+--+-+

+-+-=+，

……，

132421212||||||||1k k a a a a a a a a k +-+-++-+-=+，

1223221211||||||||1k k k a a a a a a a a k ++-+-++-+-=+．以上各式求和得， (1)2S k k =+?．

另一方面，S 还能够这样求和：设12221,,...,,k k a a a a 中有

x 个0，y 个1，则2S xy =．

所以21,22(1).x y k xy k k +=+??

=+? 解得,1,x k y k =??=+?或1,

x k y k =+??=?

所以排列21k A +中1的个数是k 或1k +． 15、解：（Ⅰ）{1,6,10,16}A B ?=.

（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,C X ，①若a C ∈且a X ?，则

(({})()1Card C X a Card C X ?=?-；②若a C ?且a X

?，则(({})()1Card C X a Card C X ?=?+.所以要使()()Card X A Card X B ?+?的值最小，

2，4，8一定属于集合X ；1，6，10，16是否属于X 不影响()()Card X A Card X B ?+?的值；集合X 不能含有A B 之外的元素.所以当X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时， ()()Card X A Card X B ?+?最小值4， X 的可能情况有16种 16、解：2(1)(2)(3)(4)11316S g g g g =+++=+++=

不难发现对m *

∈N ，有(2)()g m g m =．所以当2n ≥时，(1)(2)(3)(4)(21)(2)n n n S g g g g g g =++++

+-+

[(1)(3)(5)(21)][(2)(4)(2)]n n g g g g g g g =++++-++++

1[135(21)][(21)(22)(22)]

n n g g g -=+++

+-+?+?++?

1(121)2[(1)(2)(2)]2

n n n g g g --+-?=+++114n n S --=+

于是114n n n S S ---=，2,n n *

≥∈N ．

所以112211()()()n n n n n S S S S S S S S ---=-+-+

+-+

44442n n --=+++++14(14)42

21433

n n --=

+=+-， 2,n n *≥∈N ．又12S =，满足上式，所以对n *∈N ，1

(42)3

n n S =+．

17、解：（I ）因为222

1122,212(22)1(21)++=++=++=+n n n n n n n a a a a a a a

所以数列}1{2+n a 是“平方递推数列” . ---2分由以上结论2

1lg(21)lg(21)2lg(21)

n n n a a a ++=+=+，

所以数列)}1{lg(2+n a 为首项是lg5公比为2的等比数列. （II ）1

21lg(21)[lg(21)]2

lg5lg5

---+=+?==n n n n a a ，

221215,(51)2--+==-n n n n a a .

1lg lg(21)lg(21)(21)lg 5

n n n T a a =++

++=-，

n T -=.

（III ）11

lg (21)lg51

2lg(21)2lg52---===-+n n n n n n T b a 11222n n S n -=-+.

112220122n n --+> 1

1007

2n n +>

min 1007n =. 18、解：（Ⅰ）因为 2

()f x x x =+，所以 '()21f x x =+．

所以 121n n a a +=+，所以 112(1)n n a a ++=+，且11112a +=+=，所以数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列．

所以 11222n n n a -+=?=，即21n

n a =-． ……4分

（Ⅱ）（ⅰ）假设存有实数b ，使数列{}n b 为等差数列，则必有2132b b b =+，

且1b b =，221()b f b b b ==+，222

32()()()b f b b b b b ==+++．

所以 2222

2()()()b b b b b b b +=++++，解得 0b =或2b =-．当0b =时，10b =，1()0n n b f b +==，所以数列{}n b 为等差数列；当2b =-时，12b =-，22b =，36b =，442b =，显然不是等差数列．所以，当0b =时，数列{}n b 为等差数列． ……9分

（ⅱ）10b b =>，1()n n b f b +=，则2

1()n n n n b f b b b +==+；

所以 2

1n n n b b b +=-；所以 2111111

n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b ++++++?-====-

???．因为 2

10n n n b b b +=->，所以 1110n n n b b b b b +->>>>=>；

所以

1223

11111111111

(

)()(

i i n n n b b

b b b b b b b b b

=+++=-+-++-=-<∑． 19、解：(1)???

????? ????? ??1615,3231,43,87,0,21321P P P ,可猜得???? ??------22221212212,212n n n n n P .

（2）设点n P 的坐标是),(n n y x ，由已知条件得

点1,n n Q P +的坐标分别是：).21

21,(),2121,(1+++n n n n x x x x

由1n P +在直线1l 上，得 .12

211k kx x n n -+=++

所以 ),1()1(211-=-+n n x k x 即 111(1),2n n x x n k

*+-=-∈N

所以数列 }1{-n x 是首项为,11-x 公比为k

的等比数列.

由题设知 ,01

1,1111≠-=--=k x k x

从而 1111

1(),12(),.22n n n n x x n k k k -*-=-?=-?∈N 即

（3）由??

??+=-+=,2121,1x y k kx y 得点P 的坐标为（1，1）.

所以 ,)21(2)21(8)11(2)1(2||22222

22-+?=--++-=n n n

n n k

k k kx x PP .945])10()111[(45||42

22221

2+=+-+--=+k k

k PP k （i ）当2

121,21||>-<>k k k 或即时，5||42

12+PP k 1910>+=,

而此时 .5||4||2.10218||2,1|21|02

1222+<=+?<<

（ii ）当)2

1,0()0,21(,21||0 -∈<

12+PP k 1910<+=.

而此时 .5||4||2.10218||2,1|21|

1222+>=+?>>PP k PP PP k

n n 故所以 20、解：（I ）2

)1()1(25--=-?-+-=n n x n 1353533,(,3)4424n n n y x n P n n ∴=?+=--∴----

（II ）n c 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为n P .∴设n c 的方程为：

12)232(2+-++=n n x a y 把)1,0(2+n D n 代入上式，得1=a ，

n c ∴的方程为：1)32(22++++=n x n x y . 322++='n x y

当0=x 时，32+=n k n )3

121(21)32)(12(111+-+=++=∴

-n n n n k k n n n n k k k k k k 13221111-+++∴ )]321121()9171()7151[(21+-+++-+-=n n =6

41101)32151(21+-

=+-n n （III ）}1,),32(|{≥∈+-==n N n n x x S ，

}1,),512(|{≥∈+-==n N n n y y T }1,,3)16(2|{≥∈-+-==n N n n y y ,S T T ∴=T 中最大数171-=a .

设}{n a 公差为d ，则)125,265(91710--∈+-=d a ，由此得 ).N n (n 247a ,24d ),N m (m 12d T a ,12d 9

248*n *n ∈-=∴-=∴∈-=∴∈-<<- 又 21、解：（Ⅰ）由题设，满足条件的数列5A 的所有可能情况有：

（1）01210,,,,.此时5()=4S A ；（2）01010,,,,.此时5()=2S A ；（3）01010,,,,.-此时5()=0S A ；（4）01210,,,,.---此时5()=4S A -；（5）01010,,,,.-此时5()=0S A ；（6）01010,,,,.--此时5()=2S A -；所以，)(5A S 的所有可能的值为：4，2，0，2-，4-． ……4分（Ⅱ）由1)(2

1=--k k a a ，

可设11k k k a a c ---=，则11k c -=或11k c -=-（n k ≤≤2，k ∈*N ），

因为11n n n a a c ---=，所以 11221n n n n n n a a c a c c -----=+=++ 11221n n a c c c c --==+++++．

因为01==n a a ，所以1210n c c c -+++=，且n 为奇数，121,,

,n c c c -是由

21-n 个1和21

-n 个1-构成的数列．

所以112121()()()n n S A c c c c c c -=+++++++ 1221(1)(2)2n n n c n c c c --=-+-+++．

则当121,,,n c c c -的前21-n 项取1，后2

-n 项取1-时)(n A S 最大，

此时)(n A S 11

(1)(2)(21)22

n n n n +-=-+-++-+++2(1)4n -=

．证明如下：

假设121,,

,n c c c -的前

-n 项中恰有t 项12,,t m m m c c c 取1-，则 121,,,n c c c -的后21-n 项中恰有t 项12,,,t n n n c c c 取1，其中1

n t -≤≤，

112

i n m -≤≤，1

i n n n -<≤-，1,2,,i t =．

所以()n S A 12112122

(1)(2)222n n n n n n n c n c c c c c -+--+-=-+-++++++

(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++

122[()()()]t n m n m n m --+-++-122[()()()]t n n n n n n +-+-++-

221(1)(1)2()44t

i i i n n n m =--=--<∑．

所以)(n A S 的最大值为2

(1)4

n -． …9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，如果121,,,n c c c -的前2

-n 项中恰有t 项12,,,t m m m c c c 取1-，

121,,,n c c c -的后21

-n 项中恰有t 项12,,,t n n n c c c 取1，则

21(1)()2()4t n i i i n S A n m =-=--∑，若2

(3)()4n n S A -=，则1

22()t

i i i n n m =-=-∑，因为n 是

奇数，所以2-n 是奇数，而1

()t

i n m =-∑是偶数，所以不存有数列n

，使得

)3()(2

-=n A S n ． ……13分

22、解：（I ）根据均值不等式，当x 1=x 2=1006时，S 有最大值10062

. --2分（II ）当x 1=x 2=x 3 =402，x 4=x 5=403时，S 取得最大值. -4分由x 1+x 2+x 3 +x 4+x 5=2012，15

i j i j s x x ≤<≤=

?∑

取得最大值时，必有|x i -x j |≤1（ 1≤i

事实上，假设（*）式不成立.不妨设x 1-x 2≥2，令

，

有

， 21212121

1x x x x x x x x >--+='

' 15

i j i j s x x ≤<≤=

?∑

，

同时S ‘

，

这与S 取得最大值矛盾.所以必须有|x i -x j |≤1（ 1≤i

①x 1=401，x 2=402，x 3 =x 4=x 5=403；②x 1=x 2=x 3 =402，x 4=x 5=403；③x 1=x 2=x 3 =x 4=402，x 5=404；三种情况而在②时，根据（2）知原式取得最大值；在①时，设t=402，

i j i j s x x ≤<≤=

?∑

=10t 2+8t ，在③时, 设t=402，15

i j i j s x x ≤<≤=

?∑

=10t 2+8t.

所以在①③时S 取得最小值.

高考数学专题5平面向量39与平面向量有关的创新题文

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学专题5 平面向量 39 与平面向量有关的创新题文成立，设a ，b 的夹角为θ，则sin θ＝________. 2．在△ABC 中，已知AB →AC →＝tan A ，当A ＝π6 时，△ABC 的面积为________． 3．设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定m ，n 之间的一种运算“?”为m ?n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )．若a ＝(－1，－2)，a ?b ＝(4,5)，则b ＝________. 4．(2015·宜昌一模)已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则 △AOC 的面积为________． 5．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝α·ββ·β .若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈? ????0，π4，且a b 和b a 都在集合?????????? ???n 2n∈Z 中，则a b ＝________. 6．已知O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的________心． 7．设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成．若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为________． 8．若函数f (x )＝2sin(π6x ＋π3 )(－2

高考数学解答题解题技巧

高考数学解答题解题技巧大题是高考数学科目的重要组成部分，也是比分占得很重的一部分，考生需要掌握解题技巧，才能正确答题，下面学习啦小编给大家带来高考数学大题的最佳解题技巧，希望对你有帮助。一、三角函数题三角函数题是高考数学试卷的第一道解答题，试题难度一般不大，但其战略意义重大，所以稳拿该题12分对学生至关重要。主要有以下几类： 1.运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。 2.运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及对称中心。 3.解三角形问题，判断三角形形状，正余弦定理的应用。注意辅助角公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用辅助角公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很容易因为粗心，导致错误!一着不慎，满盘皆输! 二、数列题 1、证明一个数列是等差(等比)数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;

2、证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单，所以要有构造函数的意识。构造新数列思想，如“累加、累乘、错位相减、倒序相加、裂项求和”等方法的应用与创新。 3、数列自身内部问题的综合考查，如前n项和与通项公式的关系问题、递推数列问题的考查一直是高考的热点，求数列的通项与求数列的和是最常见的题目，数列求和与极限等综合性探索性问题也考查较多。全国卷的数列大题上手容易，但这不意味着容易拿满分，因为考的很广，像复习时没放在心上的冷门求和方法也会考查。因此全国卷考生复习时不能偷懒耍滑，老师讲解的各种数列解题方法都要掌握，深入复习好累加累乘法、待定系数法、错位相减法等方法。例如总能得到命题人青睐的错位相减法，因难度较大抱着侥幸心理的学生就会放低了对自己的学习要求。三、立体几何题

高考数学第21题优美解新课标

2011年全国高考数学（新课标）第21题（理）试题优美解试题（21）（本小题满分12分）已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2 x f x f e f x x -'=-+ ；（1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若21()2 f x x ax b ≥ ++，求(1)a b +的最大值。优美解：（1）1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得：(0)1f = 1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+ ?==?= 得：21()()()12x x f x e x x g x f x e x '=-+ ?==-+ ()10()x g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?< 得：()f x 的解析式为21()2 x f x e x x =-+ 且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ （2）21()()(1)02 x f x x ax b h x e a x b ≥++?=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>?=在x R ∈上单调递增，但 x →-∞时，()h x →-∞与条件()0h x ≥矛盾。 ②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>?>+

高考数学新题型分类

2019年高考数学新题型分类新课标以来，高考数学中出现了创新题型，以第8、14、20题为主，创新题型是建立在高中数学思维体系之上的一中新数学题型。2019年高考数学新题型分类为以下几点： (一)解析几何中的运动问题解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型，09、10、11年高考数学选择填空压轴题都出现了运动问题。即新课标高考数学思维从传统分析静态模型转变为分析动态模型。因此考生需要掌握在运动过程中对于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直接变量与间接变量的关系、以及特殊值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。在解此类创新题型时，往往需要融入生活中的很多思想，加上题目中所给信息相融合。在数学层面上，需要考生善于从各个角度与考虑问题，将思路打开，同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。 (二)新距离近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题，考生需要懂得坐标系中坐标差的原理，对于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。近两年高考大题中均涉及到了新距离问题，可是高考所考察的内容不再新距离本身，而在于建立新的数学模型情况下，考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。比如2019年压轴题，对于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题，由于每个位取值情况均相同，故只需考虑一个位就行了。在大题具体解题中笔者

会详细叙述。 (三)新名词对于题目中出现了新名词新性质，考生完全可以从新性质本身出发，从数学思维角度理解新性质所代表的数学含义。此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型，然后描述的简洁透彻，让考生通过此类描述去挖掘性质。新课标数学追求对数学思维的自然描述，即不会给学生思维断层、非生活常规思路(北京海淀区2019届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于非常规思路)。比如2009年北京卷文科填空压轴题，就是让学生直观形象的去理解什么叫做孤立元，这样肯快就可以得到答案。 (四)知识点性质结合此类题型主要结合函数性质、图象等知识点进行出题，此类题一般只要熟悉知识点网络结构与知识点思维方式就没有问题。比如2019年高考北京卷填空压轴题，需要考生掌握轨迹与方程思想，方程与曲线关于变量与坐标的一一对应关系。再比如2009年北京卷填空压轴题，就是对数列递推关系进行了简单的扩展，考生只要严格按照题目的规则代入就可得到答案。此类题型需要考生对于知识点的原理、思维方法有深层次的理解才能够很快做出答案。上面提到的两道题均没有考对应知识点的细节处理问题，而是上升的数学思维方法的层次。(五)情境结合题要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、

高考数学创新题型精选

2007年高考数学创新题型精选一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（06年山东）定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为( ) A ．0 B.6 C.12 D.18 2．（06年辽宁卷）设○ +是R 上的一个运算, A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○ +封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是（） A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集 3．(05天津)从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆22 221x y m n +=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是（） A. 43 B. 72 C. 86 D. 90 4．（05福建）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5．(06上海卷)如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（） A.48 B. 18 C. 24 D.36 6．点P 到点A(21，0)，B(a ，2)及到直线x ＝－2 1 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 ( ) A. 21 B.23 C.21或23 D.－21或2 1 7．如果二次方程 x 2 -px-q=0(p,q∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有（） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 8. 设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α （） A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个 9。（05全国Ⅲ）计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母 A .6E B. 72 C .5F D. B0 10．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ ABc PBC S S ??， λ2＝ABC PCA S S ??， λ3＝ ABC PAB S S ??，定义f (P)=(λ1, λ, λ3),若G 是△ABC 的重心，f (Q)＝（21，31，6 1 ），则（） A. 点Q 在△GAB 内 B. 点Q 在△GBC 内 C. 点Q 在△GCA 内 D. 点Q 与点G 重合二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。类比上述性质，请叙述在立体几何中相应地特性，并画出图形。不必证明。类比性质叙述如下：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 12．规定记号“?”表示一种运算，即+∈++=?R b a b a b a b a 、，. 若31=?k ，则函数()x k x f ?=的

高考数学解题技巧大揭秘专题函数导数不等式的综合问题

专题五函数、导数、不等式的综合问题 1.已知函数f (x )＝ln x ＋k e x (k 为常数，e ＝ 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间； (3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2 . 解 (1)由f (x )＝ ln x ＋k e x ，得f ′(x )＝1－k x －xln x xe x ，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝ 1 xe x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)，令h(x )＝1－x －xln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h(x )＜0. 又e x ＞0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0. 因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)因为g(x )＝xf ′(x )，所以g(x )＝1 e x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)，由(2)得，h(x )＝1－x －xln x ，求导得h′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e －2 )．所以当x ∈(0，e －2 )时，h′(x )＞0，函数h(x )单调递增；当x ∈(e －2 ，＋∞)时，h′(x )＜0，函数h(x )单调递减．所以当x ∈(0，＋∞)时，h(x )≤h(e －2 )＝1＋e －2 . 又当x ∈(0，＋∞)时，0＜1 e x ＜1，所以当x ∈(0，＋∞)时，1e x h(x )＜1＋e －2，即g(x )＜1＋e －2 . 综上所述结论成立．

高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数

2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年：设函数2 ()1x f x e x ax =---。（1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围 2019年：已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=．（I ）求,a b 的值；（II ）如果当0x >，且1x ≠时， ln ()1x k f x x x >+-，求k 的取值范围． 2019年：已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-．（Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若b ax x x f ++≥2 2 1)(，求b a )1(+的最大值．

2019：一卷：已知函数()f x ＝2 x ax b ++， ()g x ＝()x e cx d +，若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点P (0， 2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ， b ， c ， d 的值；（Ⅱ）若x ≥－2时， ()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围． 2019一卷：设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点（1， (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >． 2015一卷：已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ ， ()ln g x x =-．（Ⅰ）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m ， n 中的最小值，设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ，讨论()h x 零点的个数．

高考数学创新题型

题型训练四创新题型一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（06年山东）定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为( ) A ．0 B.6 C.12 D.18 2．（06年辽宁卷）设○ +是R 上的一个运算, A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○ +封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是（） A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集 3．(05天津)从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆22 221x y m n +=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是（） A. 43 B. 72 C. 86 D. 90 4．（05福建）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0 在区间（0，6）内解的个数的最小值是（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5．(06上海卷)如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（） A.48 B. 18 C. 24 D.36 6．点P 到点A( 21，0)，B(a ，2)及到直线x ＝－2 1 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 ( ) A. 21 B.23 C.21或23 D.－21或2 1 7．如果二次方程 x 2 -px-q=0(p,q∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有（） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 8. 设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α （） A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个 9。（05全国Ⅲ）计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A .6E B. 72 C .5F D. B0 10．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ ABc PBC S S ??， λ2＝ABC PCA S S ??， λ3＝ ABC PAB S S ??，定义f (P)=(λ1, λ, λ3),若G 是△ABC 的重心，f (Q)＝（21，31，6 1 ），则（） A. 点Q 在△GAB 内 B. 点Q 在△GBC 内

高考数学创新题解题策略

高考数学创新题解题策略：高考数学创新题解题策略毕业论文创新推动着人类社会的不断进步，创新题在高考数学中能很好地把优秀考生和普通考生区分开来.数学创新试题相比于传统试题来说, 具有以下鲜明的特点: 背景新颖, 内涵深刻, 设问方式灵活，要求考生进行细致观察、认真分析、合理类比、准确归纳后才能实现, 它是以问题为核心, 以探究为途径、以发现为目的, 考查考生创新意识和创新能力的有效题型. 本文对高考数学创新试题的六种题型进行解析及揭秘其解题策略. 1. 新型定义型试题新型定义型试题背景新颖、构思巧妙，主要通过定义一个新概念或约定一种新运算，或给定一个新模型来创设新的问题情境，要求考生在阅读理解的基础上，依据题中提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，从而顺利地解决问题，能有效地区分考生的思维品质和学习潜力. 例1. 已知集合M?哿R，若实数x0满足：?坌t>0，?埚x∈M，0

在x=■（实际上任意比t小的数都可以），使得0■，那么取x=■，有0

2015新课标(1)高考理科数学21题别解

2015新课标（1）高考理科数学21题别解山石 2015新课标（1）高考理科数学21题已知函数f (x )＝31,()ln 4 x ax g x x ++ =- (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线； (Ⅱ)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),() (0)h x f x g x x => ，讨论h (x )零点的个数解： (Ⅰ)略（II ）当{}x (1,)()10,(),()()0,h()(1,)g x nx f x g x g x x ∈+∞=-<≤<+∞时，从而h(x)=min 故在无零点 {}55x 1(1)0,(1)min (1),(1)(1)0,x 44 a f a h f g g =≥-=+≥====当时，若则故1是 {}5()a ,(1),(1)(1)0,1(4 h x f g f x h x <-=<=的零点；若则f(1)<0,h(1)=min 故不是）的零点x (0,1)g ()10.f x n x ∈=->当时，所以只需考虑(x)在（0,1）的零点个数。即只需研究方程a x x -=+412解的问题。设=)(x t x x 412+，2412)(x x x t -='当?? ? ??∈21,0x ，0)(<'x t ，当??? ??∈1,21x ，0)(>'x t ，函数)(x t 在??? ??21,0上是增函数，在?? ? ??1,21 为4 3 当43<-a ，即43->a ，方程a x x -=+412无解，函数)(x h 有一个零点；当45>-a ，即45--=-=-或时，有一个零点；当或时，有两个零点 53h().44 a x -<<-当时，有三个零点