中考数学相似的综合热点考点难点附答案解析

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AH⊥BC于点H，过点C作CD⊥AC，连接AD，点M为AC上一点，且AM=CD，连接BM交AH于点N，交AD于点E．

（1）若AB=3，AD= ，求△BMC的面积；

（2）点E为AD的中点时，求证：AD= BN ．

【答案】（1）解：如图1中，

在△ABM和△CAD中，∵AB=AC，∠BAM=∠ACD=90°，AM=CD，∴△ABM≌△CAD，

∴BM=AD= ，∴AM= =1，∴CM=CA﹣AM=2，∴S△BCM= ?CM?BA= ×23=3．

（2）解：如图2中，连接EC、CN，作EQ⊥BC于Q，EP⊥BA于P．

∵AE=ED，∠ACD=90°，∴AE=CE=ED，∴∠EAC=∠ECA，∵△ABM≌△CAD，∴∠ABM=∠CAD，∴∠ABM=∠MCE，∵∠AMB=∠EMC，∴∠CEM=∠BAM=90°，

∴△ABM∽△ECM，∴，∴，∵∠AME=∠BMC，∴△AME∽△BMC，

∴∠AEM=∠ACB=45°，∴∠AEC=135°，易知∠PEQ=135°，∴∠PEQ=∠AEC，∴∠AEQ=∠EQC，∵∠P=∠EQC=90°，∴△EPA≌△EQC，∴EP=EQ，∵EP⊥BP，EQ⊥BC

∴BE平分∠ABC，∴∠NBC=∠ABN=22.5°，∵AH垂直平分BC，∴NB=NC，∴∠NCB=∠NBC=22.5°，∴∠ENC=∠NBC+∠NCB=45°，∴△ENC的等腰直角三角形，∴NC= EC，∴AD=2EC，∴2NC= AD，∴AD= NC，∵BN=NC，∴AD= BN．

【解析】【分析】（1）首先利用SAS判断出△ABM≌△CAD，根据全等三角形对应边相等得出BM=AD= ，根据勾股定理可以算出AM，根据线段的和差得出CM的长，利用

S△BCM= ?CM?BA即可得出答案；

（2）连接EC、CN，作EQ⊥BC于Q，EP⊥BA于P．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AE=CE=ED，根据等边对等角得出∠EAC=∠ECA，根据全等三角形对应角相等得出∠ABM=∠CAD，从而得出∠ABM=∠MCE，根据对顶角相等及三角形的内角和得出∠CEM=∠BAM=90°，从而判断出△ABM∽△ECM，由相似三角形对应边成比例得出BM∶CM= AM∶EM,从而得出BM∶AM= CM∶EM，根据两边对应成比例及夹角相等得出△AME∽△BMC，故∠AEM=∠ACB=45°，∠AEC=135°，易知∠PEQ=135°，故∠PEQ=∠AEC，∠AEQ=∠EQC，又∠P=∠EQC=90°，故△EPA≌△EQC，故EP=EQ，根据角平分线的判定得出BE平分∠ABC，故∠NBC=∠ABN=22.5°，根据中垂线定理得出NB=NC，根据等腰三角形的性质得出∠NCB=∠NBC=22.5°，故∠ENC=∠NBC+∠NCB=45°，△ENC的等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边之间的关系得出NC= EC，根据AD=2EC，2NC= AD，AD= NC，又BN=NC，故AD= BN．

2．如图，在中，，点M是AC的中点，以AB为直径作

分别交于点．

（1）求证：；

（2）填空：

若，当时， ________；

连接，当的度数为________时，四边形ODME是菱形．

【答案】（1）证明：∵∠ABC=90°，AM=MC，∴BM=AM=MC，∴∠A=∠ABM．∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠ADE+∠ABE=180°，又∠ADE+∠MDE=180°，∴∠MDE=∠MBA，同理证明：∠MED=∠A，∴∠MDE=∠MED，∴MD=ME

（2）2；

【解析】【解答】解：(2)①由（1）可知，∠A=∠MDE，∴DE∥AB，∴ =

．∵AD=2DM，∴DM：MA=1：3，∴DE= AB= ×6=2．

故答案为：2．

②当∠A=60°时，四边形ODME是菱形．理由如下：

连接OD、OE．

∵OA=OD，∠A=60°，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD=60°．∵DE∥AB，∴∠ODE=∠AOD=60°，∠MDE=∠MED=∠A=60°，∴△ODE，△DEM都是等边三角形，∴OD=OE=EM=DM，∴四边形OEMD是菱形．

故答案为：60°．

【分析】（1）要证MD=ME，只须证∠MDE=∠MED即可。根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=AM=MC，则∠A=∠ABM，由圆内接四边形的性质易得∠MED=∠A，∠MDE=∠MBA，所以可得∠MDE=∠MED；

（2）①由（1）易证得DE∥AB，可得比例式，结合①中的已知条件即可求解；

②当∠A=60°时，四边形ODME是菱形．理由如下：连接OD、OE，由题意易得△ODE，△DEM都是等边三角形，所以可得OD=OE=EM=DM，由菱形的判定即可求解。

3．

（1）问题发现

如图1，四边形ABCD为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，Rt△PEF

的两条直角边PE，PF分别交BC，DC于点M，N，当PM⊥BC，PN⊥CD时， =________（用含a，b的代数式表示）．

（2）拓展探究

在（1）中，固定点P，使△PEF绕点P旋转，如图2，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

如图3，四边形ABCD为正方形，AB=BC=a，点P在对角线AC上，M，N分别在BC，CD

上，PM⊥PN，当AP=nPC时，（n是正实数），直接写出四边形PMCN的面积是________（用含n，a的代数式表示）

【答案】（1）

（2）解：如图3，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，

则∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°

∵Rt△PEF中，∠FPE=90°

∴∠GPM=∠HPN

∴△PGM∽△PHN

∴

由PG∥AB，PH∥AD可得， ,

∵AB=a，BC=b

∴，即 ,

∴，

故答案为

（3）

【解析】【解答解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB⊥BC，

∵PM⊥BC，

∴△PMC∽△ABC

∴

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BCD=90°，

∵PM⊥BC，PN⊥CD，

∴∠PMC=∠PNC=90°=∠BCD，

∴四边形CNPM是矩形，

∴CM=PN，

∴，

故答案为；

（ 3 ）∵PM⊥BC，AB⊥BC

∴△PMC∽△ABC

∴

当AP=nPC时（n是正实数），

∴PM= a

∴四边形PMCN的面积= ，

故答案为：．

【分析】（1）由题意易得△PMC∽△ABC，可得比例式，由矩形的性质可得CM=PN，则结论可得证；

（2）过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，由辅助线和已知条件易得△PGM∽△PHN，则得比例式，由（1）可得比例式，即比值不变；

（3）由（2）的方法可得，则四边形PMCN的面积= .

4．如图,在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.

（1）球在地面上的影子是什么形状?

（2）当把白炽灯向上平移时,影子的大小会怎样变化?

（3）若白炽灯到球心的距离是1 m,到地面的距离是3 m,球的半径是0.2 m,则球在地面上影子的面积是多少?

【答案】（1）解：球在地面上的影子的形状是圆.

（2）解：当把白炽灯向上平移时,影子会变小.

（3）解：由已知可作轴截面，如图所示：

依题可得：OE=1 m，AE=0.2 m，OF=3 m，AB⊥OF于H，

在Rt△OAE中，

∴OA= = = (m)，

∵∠AOH=∠EOA，∠AHO=∠EAO=90°，

∴△OAH∽△OEA，

∴，

∴OH= == (m)，

又∵∠OAE=∠AHE=90°，∠AEO=∠HEA，

∴△OAE∽△AHE，

∴ = ，

∴AH= ==2625 (m).

依题可得：△AHO∽△CFO，

∴ AHCF=OHOF ，

∴CF= AH?OFOH = 2625×32425=64 (m)，

∴S影子=π·CF2=π· (64)2 = 38 π=0.375π(m2).

答：球在地面上影子的面积是0.375π m2.

【解析】【分析】（1）球在灯光的正下方，根据中心投影的特点可得影子是圆.

（2）根据中心投影的特点：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小.

（3）作轴截面（如图）由相似三角形的判定得三组三角形相似，再根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得阴影的半径，再根据面积公式即可求出面积.

5．如图1，过等边三角形ABC边AB上一点D作交边AC于点E，分别取BC，DE 的中点M，N，连接MN．

（1）发现：在图1中， ________；

（2）应用：如图2，将绕点A旋转，请求出的值；

（3）拓展：如图3，和是等腰三角形，且，M，N分别是底边BC，DE的中点，若，请直接写出的值．

【答案】（1）

（2）解：如图2中，连接AM、AN，

，都是等边三角形，，，

，，

，，

，

，

，

∽，

（3）解：如图3中，连接AM、AN，延长AD交CE于H，交AC于O，

，，，，

，，

，

，

，

，

，，

，

，

∽，

，

，

，

，，

≌，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

【解析】【解答】解：（1）如图1中，作于H，连接AM，

，，

，

时等边三角形，

，

，

，

，

平分线段DE，

，

、N、M共线，

，

四边形MNDH时矩形，

，

，

故答案为：；

【分析】（1）作DH ⊥BC 于H，连接AM.证四边形MNDH时矩形，所以MN=DH，则MN：BD=DH：BD=sin60°，即可求解；

（2）利用△ABC ，△ADE 都是等边三角形可得AM：AB=AN：AD，易得∠BAD = ∠MAN ，从而得△ BAD ∽△ MAN，则NM：BD=AM：AB=sin60°，从而求解；

（3）连接AM、AN，延长AD交CE于H，交AC于O.先证明△BAD ∽△MAN可得NM：BD=AM：AB=sin∠ABC；再证明△ BAD ≌△ CAE，则∠ ABD = ∠ ACE ，进而可得∠ ABC = 45°，可求出答案.

6．如果三角形的两个内角与满足＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝________°；

（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC 是“准互余三角形”．求对角线AC的长．

【答案】（1）15°

（2）解：存在，

如图①，连结AE，

在Rt△ABC中，

∴∠B+∠BAC=90°，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAC=2∠BAD，

∴∠B+2∠BAD=90°，

∴△ABD是“准互余三角形”，

又∵△ABE也是“准互余三角形”，∴∠B+2∠BAE=90°，

∵∠B+∠BAE+∠EAC=90°，

∴∠EAC=∠B,

又∵∠C=∠C,

∴△CAE∽△CBA，

∴ ,

即CA2=CB·CE，

∵AC＝4，BC＝5，

∴CE= .

∴BE=BC-CE=5- = .

（3）解：如图②，

将△BCD沿BC翻折得到△BCF,

∵CD＝12，

∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD,∠CBD=∠CBF,

又∵BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，

∴∠CBD+∠BCD=90°，

∴2∠CBD+2∠BCD=180°，

即∠ABD+∠CBD+∠CBF=180°，

∴A、B、F三点共线，

在Rt△AFC中，

∴∠CAB+∠ACF=90°，

即∠CAB+∠ACB+∠BCF=90°，

∴∠CAB+2∠ACB≠90°，

∵△ABC是“准互余三角形”,

∴2∠CAB+∠ACB=90°，

∴∠CAB=∠BCF，

∵∠F=∠F,

∴△FCB∽△FAC，

∴ ,

即FC2=FA·FB,

设BF=x，

∵AB=7,

∴FA=x+7,

∴x（x+7）=122,

解得：x1=9，x2=-16（舍去）

∴AF=7+9=16.

在Rt△AFC中，

∴AC= = =20.

【解析】【解答】（1）解：∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，∴2∠B+∠A=90°，

∴2∠B+60°=90°，

∴∠B=15°.

故答案为：15°

【分析】（1）根据“准互余三角形”，的定义，结合题意得2∠B+∠A=90°，代入数值即可求出∠B度数.

（2）存在，根据直角三角形两内角互余和角平分线定义得∠B+2∠BAD=90°，根据“准互余三角形”，定义即可得△ABD是“准互余三角形”；根据△ABE是“准互余三角形”，以及直角三角形两内角互余可得∠EAC=∠B,根据相似三角形判定“AA”可得△CAE∽△CBA，再由相似

三角形性质得 ,由此求出CE= .从而得BE长.

（3）如图②，将△BCD沿BC翻折得到△BCF,根据翻折性质、直角三角形性质、“准互余三

角形”定义可得到△FCB∽△FAC，再由相似三角形性质可得 ,设BF=x，代入数值即可求出x值，从而求出AF值，在Rt△AFC中，根据勾股定理即可求得AC长.

7．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，O为BC边中点，BC＝8，点E、G是线段AB上的动点（不与端点重合），点H、F是线段AC上的动点，且EF∥GH∥BC．设点O到EF、GH的距离分别为x、y．

（1）若△EOF的面积为S：

①用关于x的代数式表示线段EF的长；

②求S的最大值；

（2）以点O为圆心，当以OE为半径的圆与以OG为半径的圆重合时，求x与y应满足的关系式，并求x的取值范围．

【答案】（1）解：①如图1，连接OA，交EF于M，

∵AB＝AC，O为BC边中点，

∴OA⊥BC，

∵EF∥BC，

∴AM⊥EF，

∵BC＝8，

∴OB＝BC＝4，

在Rt△AOB中，根据勾股定理得，OA＝＝3，

∵点O到EF的距离为为x，

∴OM＝x，

∴AM＝OA﹣OM＝3﹣x，

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴，

∴，

∴；

②由①知，，

∴S＝S△OEF＝＝＝，∵﹣＜0，

∴当x＝时，S最大＝3

（2）解：如图2，

∵以OE为半径的圆与以OG为半径的圆重合，

∴OE＝OG，过点O作OD⊥AB于D，

∴DE＝DG，

连接OA，

由（1）知，OA⊥BC，OA＝3，

在Rt△AOB中，sin B= ，cos A＝，

过点E作EP⊥BC于P，PE＝x，

在Rt△BPE中，sin B＝，

∴BE＝，

过点G作DQ⊥BC于Q，GQ＝y，

在Rt△BQG中，BG＝，

∴DE＝＝，

在Rt△BDO中，BD＝OB?cos B＝，

∴DE＝BD﹣BE＝，

∴＝，

∴（Ⅰ）

∵点E、G是线段AB上的动点（不与端点重合），

∴0＜y＜3（Ⅱ），

由（Ⅰ）（Ⅱ）得，，

∵x＞0，

∴，

即：．

【解析】【分析】（1）①连接OA，判断出AO是△ABC的高，AM是△AEF的高，再利用相似三角形的对应边上的高的比等于相似比，即可得出结论；②利用三角形面积公式得出S与x的函数关系式，即可得出结论；（2）先判断出DE=DG，再用三角函数表示出BE，BD，BG，即可得出结论．

8．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点 .在线段上有一动点（不与重合），过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，过点作于点 .

（1）求直线的函数解析式；

（2）求证：；并求出当为何值时，和的相似比为 .

【答案】（1）解：令：，则，解得：，

（舍）∴

令，得，∴

设直线：，把，分别代入上式得：

解之得：

∴

（2）证明：∵

又∵

∴

∵，，，

∴，，

∵∴

∴，（舍）

【解析】【分析】(1) 设直线：，求出A、B点坐标，代入求出k,b即可.(2)利用两组对应角相等证明三角形相似，结合函数解析式，分别表示出AN、PN的长，再根据相似比列式计算即可.