第一章 极限与连续

第一章 极限与连续

函数、极限、连续是《微积分》中最重要的基本概念 函数是《微积分》的主要研究对象。

极限方法是《微积分》研究变量的最基本方法。 连续是函数的主要特性之一。 一、本章基本要求 第一节 函数

1.弄清常量、变量的概念及表示法；理解函数的概念及表示法。

2.会求已知函数在某一点的函数值。会求函数的定义域。

3.理解分段函数的概念。会求分段函数在某一点的值及分段函数的定义域。会做简单函数的图像。

4.了解反函数的概念。弄清反函数与直接函数的关系。会求已知函数的反函数。

5.了解函数的主要性质。如：奇偶性、有界性、周期性、单调性。会判断已知函数的奇偶性、有界性等。并熟悉其图形特征。

6.理解基本初等函数的概念。掌握六类基本初等函数的表示、定义域、值域、图象、性质。《微积分》所研究的函数均是以这六类基本初等函数为基本的。

7.理解复合函数、初等函数、简单函数的概念。熟练地掌握把一个复合函数分解成基本初等函数或由基本初等函数经四则运算后得到的函数。分解得到的函数不能多也不能少。会根据几个中间变量写出复合函数。会判断一个函数是不是初等函数。 第二节 数列的极限

1.了解数列及数列极限、收敛、发散、有界的概念。

2.弄清有极限、有界、收敛三者的关系。

3.会根据数列的通项判断数列的敛散性。 第三节 函数的极限

1.了解∞→x ,+∞→x ,-∞→x ,0x x →,+→0x x ,-→0x x 各表示什么。

2.了解∞→x 及0x x →时，函数的极限及表示法。会根据已知函数的图形观察其极限是否存在。

?=∞

→A x f x )(lim =-∞

→)(lim x f x =+∞

→)(lim x f x A

3.了解左极限与右极限的概念及表示法。会根据函数在某一点处极限存在的充要条

件?=→A x f x x )(lim 0

=-→)(lim 0x f x x A x f x x =+

→)(lim 0

来判断分段函数在分段点处的极限是否存在。

第四节 无穷小量与无穷大量

1.了解无穷小量、无穷大量的概念；无穷小量与无穷大量的关系。

2.弄清函数极限与无穷小量的关系。

?=A x f )(lim α+=A x f ）（ （0lim =α）

3.熟记无穷小量的四个性质。并由其性质求函数极限。

4.了解无穷小量阶的概念。会比较两个无穷小量的阶。 第五节 极限的性质与运算法则

1.记住极限的三个性质。极限的四则运算法则及二个推论。注意极限四则运算法则成立的前提条件。

2.熟练掌握利用四则运算法则求函数的极限的方法。记住几个特殊函数的求极限方法。

（1） 当)(x f 为多项式函数时，)()(lim 00

x f x f x x =→

（2） 当n n n n a x a x a x a x p ++++=-- 22110)(

m m m m b x b x b x b x q ++++=-- 22110)(时

1.

，)

()

(00x q x p 当0)(0≠x q 2．∞ ， 当0)(0=x q 但0)(0≠x p 时

=→)

()

(lim

x q x p x x 3．当0)(0=x q ，0)(0=x p 时 （1）分子和分母分解出无穷小量（0x x -），约去后求极限 （2）若分子或分母中含有根式时，先有理化，后用（1）法 （3）洛比达法则（第三章将要介绍）

b a , 当m =n 时 =∞

→)

()

(lim

x q x p x ∞ ,当m n 时

（3）对∞-∞型 ，是分式的，先通分，后求极限。是根式的，先有理化，后求极限。 第六节 两个重要极限

1.知道极限存在的两个准则，熟记两个重要极限的形式。

重要极限Ⅰ： 1sin lim

0=→x x x 或1sin lim 0=→x

x

x

重要极限Ⅱ：e x

x

x =+∞→)11(lim 或e x x x =+→1

0)1(lim

2.熟练掌握用两个重要极限求函数的极限。 记住：（1）重要极限Ⅰ：[][

][]

1sin lim

=→ 或

[][][]

1sin lim

0=→的形式。

使用的三个条件：①是由三角函数和幂函数或三角函数与三角函数构成的分

式形式。

②分子与分母均为无穷小量。

③将函数化为重要极限Ⅰ的形式，对应[]内的变

量要相同。

（2）重要极限Ⅱ：e x

x x =+∞→)1

1(lim 或e x x x =+→1

0)1(lim 的形式。

使用的三条件：①是幂指函数。

②底为（1+无穷小量），指数为无穷大量。 ③括号内的无穷小量与指数互为倒数。

推广：）（x u 是x 的连续函数，则：

e x u x u x u =+∞→）（）（）

（)1

1(lim 或e x u x u x u =+→）（）（）

（1

0)1(lim 且有：

αβ

βα

e x

b

x x =+

+∞

→）

（1lim 或 αββ

αe x b

x

x =++→）

（1lim 0

（3）了解重要极限Ⅱ在复利计算中的应用。

第七节 函数的连续性 1.理解函数在0x 点的连续性的概念及两个表示形式。

①0lim 0

=?→?y x ②）（）（00

lim x f x f x x =→

2.弄清左连续、右连续的概念。并会用来判断分段函数在分段点处的连续性。

在0x 点左连续：则）（）（00

lim x f x f x x =-

→

在0x 点右连续：则）（）（00

lim x f x f x x =+

→ 3.弄清函数在某点连续与在某点极限存在的关系。

即：)(lim 0

x f x x → 存在)(x f 在0x 点连续。

4.记住函数在0x 点连续的两个结论：

（1）)(lim 0

x f x →=)(0x f 即若函数)(x f 在0x 点连续，则极限值等于函数值，用

此结论可以求函数在某一点的极限。

（2）)(lim 0

x f x →=)lim (0

x f x x → 即若函数)(x f 在0x 点连续，则极限符号与函数符号

可交换。可用于求极限。

5.弄清函数在（a ,b ）内连续与[a ,b ]上连续概念。

6.牢记：一切初等函数在其定义域都连续。用此结论可以求函数的极限及判断函数在某点及某区间上的连续性。

7.了解函数间断点的概念及类型。会求初等函数的间断点。会判断分段函数在区间端点处的连续性。

8.记住闭区间上连续函数的两个性质及推论。会用推论来判断方程在某区间上是否有实根。 第八节 常用经济函数

1.记住几个常用的经济函数及表示法，之间的关系。

2.会根据已知条件，建立经济变量之间的函数关系。 二、 本章重点

1.函数、分段函数、基本初等函数、复合函数、初等函数的概念。

2.极限的一般性定义；0x 点极限存在的充要条件；无穷小量阶的概念及其阶的比较。

3.求极限的各种方法。

4.函数连续性的定义。 三、 本章难点

函数的定义域的确定，复合函数的分解，求极限。 四、 自学中应注意的问题

1.在函数的定义中，定义域和对应法则是确定函数的两个要素，两个函数只要它们的定义域和对应法则相同，那么就是同一个函数，否则就是两个不同的函数。 例1 判断下列函数是否是同一个函数。

1. 1y =x

x

x +2 2y =1+x

2. 1y =x 2sin +x 2

cos 2y =1 3. 1y =x sin 2y =1

4.1y =1

-x e x 2y =1-v e v

解：1. 不同。 因为1y 的定义域（-∞ 0）∪（0 +∞），2y 定义域为R. 2. 相同。

3. 不同。 因为对应关系不同。

4. 相同。

2.定义域是函数有意义的自变量x 取值范围。在求函数的定义域时，应遵循的原则是：

（1） 分式的分母不能等于零。 （2）负数不开偶次方。

（3）对数的真数必须大于零。 （4）反正弦函数与反余弦函数]1,1[-∈x 。 （5）正切tgx ，x ≠πk +

2

π

（k =0、+ 1、+ 2、 + 3、…）。余切ctgx ，x ≠πk （k =0、+ 1、+ 2、 + 3、…）

（6）由基本初等函数之间的加、减、乘、除构成的函数，取各定义域的交集。 （7）分段函数的定义域，取各区间段的并集。 例2 求下列函数的定义域

1. 4

)3lg(2--=

x x y 2. 53

arcsin 1

12-+-=

x x y

3.x x y -=1

4. ?????≤??-

=1

01

01

x x x

y

解：1. ??

?

>->-),(,04)

(,032

负数不开偶次方因为分母不为零

于零因为对数的真数必须大x x

??

??

-<><223x x x 或

∴D ：（2，3）

2. ??

?

??-≤-≤-≠-），为（因为反正弦的定义域（因为分母不能为零）]11[1531112x x ???

?≤≤-±≠8

21

x x

∴ D ：[-2，-1）?（-1，1）?(]81，

3. ???≥≠-方）（因为负数不能开偶次

（因为分母不能为零）00x x x

???

?≥≠≠0

1

0x x x 或

∴D ：（0，1）?（1，+∞） 4. D ：（-∞，0）?（0，1）(因为分段函数的定义域取各区间段的并集) 3.函数与自变量及因变量所选用的字母无关。这个概念在反函数的表示中已用到，在后面的积分中还会用到。如上例1的第4题。

4.对于复合函数，主要应掌握会把一个复合函数分解成几个简单函数。因为这方面的知识对于以后学习导数及不定积分都十分重要。 例3 分解下列复合函数为简单函数

1. )1ln(2-=x y

2. 5

23arcsin x

y -= 3. )1ln(2++

=x x y 4. x

a y 2

sin

=

解：1. u y ln = 12

-=x u

2. u y arcsin = 5

23x

u -=

3. u y ln = v x u += 12

+=x v 4. u a y = 2

v u = =v t sin x t =

注意：每一步分解得到的函数都应是一个简单函数，即基本初等函数或由基本初等函数的四则运算构成的函数。

5.无穷大量和无穷小量不是一个数，而是变量，是一类特殊的函数。它们的极限分别有如下特点。

0)(lim )

(0

=∞→→x f x x x 或 和 ∞=∞→→)(l i m )

(0

x f x x x 或 称)(x f 为0x x →（∞→x ）时的

无穷小量或称)(x f 为0x x →（∞→x ）时无穷大量.

特殊地：00lim 0=∞→→）

（x x x ， 0是一个数，也是无穷小量。

注：①一个函数是无穷大量还是无穷小量，与自变量的变化趋势密切相关。另外，不能把无穷小量的性质类推到无穷大量的运算中去，这一点必须注意，尤其在求极限的过程中。

②无穷大量与无界函数是两个不同的概念。若函数)(x f 在自变量的变化过程中为无穷大量，则它一定是某个区间上的无界函数，但，反之不然。 例4 ∞=→x x 1lim

0 , 即x

1

是0→x 时的无穷大量。 01l i m =∞→x x , 即x

1

是∞→x 时的无穷小量。

例5 x y ln =在+∞→x 时是无穷大量，也是无界函数；在区间（），∞+1上是无

界函数，非无穷大量。

6.无穷小量的界是用来比较两个无穷小量趋向零的快慢程度的。

若：0lim =α，0lim =β

?????

?

?∞=是等价无穷小。与，则是同阶无穷小。

与，则的高阶无穷小。是，则的低阶无穷小。是，则βαβαβαβαβα1

0lim c 7.本章求极限方法的总结

（1） 利用极限的四则运算法则求极限

例6 求)

1(1lim 2

3-+→x e x x x

解：原式=

)1(lim )

1(lim 3

23

-+→→x e x x

x x =

)

1lim lim (lim lim 1lim 3

3

3

2

3

3→→→→→-+x x x

x x x x e x

=)1lim lim (lim )lim (13

3

3

2

3

→→→→-?+x x x x x x e x =)13(313

2

-?+e =3210e

（2） 利用函数的连续性求极限

例7 求)

1arcsin(cos lim 0x x

e x x +→

解：)(x f =)

1arcsin(cos x x

e x +是初等函数，且在0=x 处有定义，由一切初等函数在其

定义域都连续的结论及连续的定义，则极限值等于函数值。即：

)1arcsin(cos lim

20x x e x x +→=)0(f =)

01arcsin(0

cos 2

0+e ==2

1ππ2

（3） 利用无穷小量的性质求极限

例8 求x

arctgx

x ∞→lim

解：在∞→x 时，分子、分母的极限均不存在，故不能用极限的四则运算法则求极

限。∞→x 时，x 1是无穷小量，arctgx ≤2

π

，即arctgx 是有界函数，由无穷小量

的性质：无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量。

故可得：x

arctgx x ∞→lim

=0.1

lim =∞→arctgx x x

（4） 利用两个重要极限求极限

例9 求下列函数的极限

1. x x x 3sin lim

0→ 2. )2

1ln(lim x

x x -∞→

解：1. 方法一：0→x 时，分子、分母均为无穷小量，不能用极限的四则运算法则

求极限，可利用重要极限Ⅰ求极限。x x x 33sin 3lim 0→=3x

x

x 33sin lim 0→ 令3x =t ，当

00→→t x 时， 则=3t

t

x sin lim

0→=3×1=3

方法二：可用第三章的洛比达法则求极限

x x x 3sin lim

0→ （0

型）

=x x x ''→)3(sin lim 0=133cos lim 0?→）（x x =313cos =?o 方法三：可利用等价无穷小量的性质（见后）

x

x

x 3sin lim

0→ 因为0→x 时，x 3sin ～3x

= x x x 3lim 0→=3 解:2.)21ln(lim x x x -∞→= x x x )21ln(lim -∞→=])21(lim ln[x x x -∞→=])21(lim ln[)

2(2-?-∞→-x

x x

=)ln(2

-e =-2

(5) 利用等价无穷小量代换定理求极限

定理：在自变量的某一变化过程中，若

α～α'，β～β' 则：

=∞→→βα)(0

l i m

x x x βα''

∞→→)

(0

l i m x x x

注意：此定理只能用在乘积和商的求极限运算中。

几种常用的等价无穷小量：0→x 时

x sin ～ x x tan ～x x arcsin ～x

x arctan ～x )1ln(x +～x 1-x e ～x

1-x cos ～2

2

x n x +1～1+n x

一般地：当[

]0→时

[]sin ～[] t a n []～[] arcsin

[]～[]

arctan

[]～[] []）+1l n (～[] []

1-e ～[]

1-[]cos ～[]22

[]n +1～1+

[]n

例10 求下列函数的极限

1. x x

tg x 3sin 5lim 0→ 2. )

3

(sin lim

220

x

x x →

3. 30sin lim

x x tgx x -→ 4. 2

02)

1ln(lim

x tg x x x +→

解： 1. x x tg x 3sin 5lim

0→=x x x 35lim 0→=3

5

(因为0→x 时，x tg 5～x 5 x 3sin ～x 3)

2. )3(sin lim 22

0x x x →＝2

20)3

(lim x x x →＝9

（因为0→x 时，3sin

x ~3

x

） 3. 30sin lim x x tgx x -→＝30sin cos sin lim x x x x x -→＝3

0)

1cos 1

(sin lim x x x x -→ ＝x x x x x x cos sin cos sin lim 30-→＝x

x x x x cos )

cos 1(sin lim 30-→

＝x x x x x cos 2lim 320?

→＝x x cos 21

lim 0→＝2

1

（因为0→x 时，x sin ～x 1-x cos ～2

2

x ）

4. 2

2)

1ln(lim

x tg x x x +→＝202lim x x x x ?→＝21 （因为0→x 时，)1ln(x +～x 2

2x tg ～22x ）

(6) 当)(x f 为多项式函数时，)()(lim 00

x f x f x x =→

例11 =-+→)13(l i m

2

2

x x x )2(f =3×22+2-1=13 (7)当)(x p 、)(x q 均为多项式函数时，求：)

()

(lim

x q x p x x → 例12 求下列函数的极限

1. 3512lim 33+-→x x x

2. 39lim 23--→x x x

3. 41lim 222-++→x x x x 解: 1. 18

53

3351323512lim 333=+?-?=+-→x x x

2. 6)3(lim )

3()3)(3(lim 39lim 3323=+=-+-=--→→→x x x x x x x x x

3. 41lim 222-++→x x x x 因为014

lim 2

22=++-→x x x x 所以4

1lim 222-++→x x x x =∞

(8) 当)(x p 、)(x q 均为多项式函数时，求：)

()

(lim

x q x p x ∞

→ 例13 求下列函数的极限

1.23

2lim 243--+-∞→x x x x x 2. 4315lim 22--+∞→x x x x 3. 3

125lim 3+-+∞→x x x x 解: 1. 232lim 243--+-∞→x x x x x = 4

2432113

21lim x x x x x x --+

-∞→=1

0=0 2. =--+∞→4315lim 22

x x x x 313151lim 2

2=--+∞→x

x x x

3. =+-+∞→3

1

25lim

3

x x x x =+-

+

∞→3

232311

25lim

x x x x x ∞ (9) 通过对根式有理化后，因式分解求极限 例14 求49

3

2lim

27---→x x x

解: 4932lim

27---→x x x =)

32)(49()

32)(32(lim

27-+--+--→x x x x x =)

32)(7)(7()3(4lim

7-++---→x x x x x =)32)(7(1

lim 7-++-→x x x =-561 (10) 利用三角函数的半角、倍角公式等

(11) 除上述外，求极限法还有“洛比达法则”。此法将在第三章介绍 7 .判断函数)(x f 在某点0x 是否连续

（1）若)(x f 为初等函数，看0x 是否在定义域内，若在定义域内，则在该点一定连续。否则，间断。

（2）若)(x f 为分段函数，0x 为分段点，若=-→)(lim 0

x f x x =+

→)(lim 0

x f x x )(0x f ，则)(x f 在0x 点一定连续。若有一个等式不成立，则间断。 例15 判断下列函数在已知点的连续性

1. 11-=

x y 在1=x 处 2. 1

2+=x x

y 在0=x 处 3. ??

????+=?-=0100

1x x x x x y 在x=1处 4. ???

??=≠--=121112x x x x y 在1=x 处

解：1. 当1=x 时，1

1

-=

x y 无意义。所以在1=x 处不连续。 2. 0=x 是1

2

+=

x x

y 的定义域内一点。所以在x=0处连续。 3. 因为1)1(lim )(lim 0

-=-=-

-→→x x f x o

x

)(lim 0

x f x +→=1)1(lim 0

=++

→x x )(lim x f o

x -→≠)(lim 0

x f x +

→ )(lim x f o

x →不存在

所以在0=x 处不连续。

4. 2)1(lim )

1()

1)(1(lim 11lim 1121=+=-+-=--→→→x x x x x x x x x

2)1(=f

=--→1

1

l i m

21x x x 2)1(=f 所以在1=x 处连续。 五、习题解答 1.设x x x f +-=11)(，求f(0)，f(-x)，f(x)+1，f(x+1)，)1

(x f 解：10101)0(=+-=

f ， x x

x x x f -+=-+--=-11)(1)(1)( x x x x f +=++-=

+121111)(， x

x

x x x f +-=+++-=+2)1(1)1(1)1( 1111

1111)1(+-=+-=+-

=

x x x

x x x x x x

f 2.设?

??+∞<<≤<∞-+=x x x x f x 020

1)( ，求f(-2)，f(-1)，f(0)，f(1)，f(2)

解：f(-2)=1+(-2)=-1 ()0,(2-∞∈- x x f x +=-=∴1)(2代入)

f(-1)=1+(-1)=0 ()0,(1-∞∈- x x f x +=-=∴1)(1代入) f(0)=1+0=1 (]0,(0-∞∈ x x f x +==∴1)(0代入)

f(1)=1

2 =2 (),0(1+∞∈ x x f x 2)(1==∴代入) f(2)=2

2 =4 (),0(2+∞∈ x x f x 2)(2==∴代入) 3.设f(x)=ax+b ，若f(0)=-2，f(3)=5，求a 和b 解：2)0(-=f 即：f(0)=a ?0+b=-2 (1)

5)3(=f 即：f(3)=a ?3+b=5 (2)

即：2,375

32-==????=+=b a b a b －

4.求下列函数的定义域： (1)1

1

2

＋x y =

解：D: ),(+∞-∞ (2)212

x x

y --=

解：???≤≤-≠???

?≥-≠1

10

0102

x x x x ]1,0()0,1[: -∴D (3) 211

log 3

++-=x x

y 解：?

??-≥-21

02011x x x x )1,2[:-∴D

(4) )(log log 23x y =

解：?

?

?>>????>>01

00log 2x x x x ),1(:+∞∴D (5)21

arcsin

-=x y 解：12

1

1≤-≤-x 即：31212≤≤-?≤-≤-x x ]3,1[:-∴D

(6) 1

)3lg(--=

x x y

解：??

?

-<>

??>->-1130103x x x x x 或 )3,1(:D ∴ 5.指出下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数？ (1)x x y sin 723-=

解：x x x x x f sin 72)sin(7)(2)(33+-=---=- )()sin 72(3

x f x x -=--=

∴此函数是奇函数

(2))0(>+=-a a a y x

x

解：)()()(x f a a a a

x f x x x x

=+=+=-----

∴此函数是偶函数

(3)2

2

11x x y +-=

解：)(11)(1)(1)(2

2

22x f x x x x x f =+-=-+--=-

∴此函数是偶函数

(4))1)(1(+-=x x x y

解：x x x x x y -=+-=3

)1)(1(

)()()()()(333x f x x x x x x x f -=--=+-=---=-

∴此函数是奇函数

(5)y=2+5cosx

解：f(-x)=2+5cos(-x)= 2+5cosx=f(x) ∴此函数是偶函数 (6))1lg(2x x y ++=

解：

)

1lg(])(1)lg[()(22x x x x x f ++-=-++-=-

2

2211lg

x x x x ++-+=＝

)()1lg(2

x f x x -=++- ∴此函数是奇函数 (7)x xe y =

解：x

xe x f --=-)( ∴此函数是非奇非偶函数

(8) x

x

y +-=11lg

解：

)(11lg )11lg(11lg )(1)(1lg

)(1x f x x

x x x x x x x f -=+--=+-=-+=-+--=--

∴此函数是奇函数 6.设x

x

x f -=

1)(，求f[f(x)] 解：x

x

x

x x x

x f x f x f f 21111)(1)()]([-=

---=-= 7.下列函数可以看成是由哪些简单函数复合而成？. (1)13-=x y

解：13,13-==?-=x u u y x y (2)5

)lg 1(x y +=

解：x u u y x y lg 1,)lg 1(5

5

+==?+= (3)x y lg =

解：u y x y =?=

lg ，v u lg =，x v =

(4))lg(arccos 3x y =

解：33,arccos ,lg )lg(arccos x v v u u y x y ===?= (5)1

+=x e

y

解：1,,1

+===?=+x v v u e y e

y u x

(6))32(sin 23+=x y

解：32,sin ,)32(sin 2323+===?+=x v v u u y x y 8.如果2u y =，x u 3log =将y 表示成x 的函数. 解：23)(log x y =

9.如果u y =，x v v u cos ,22=+=将y 表示成x 的函数. 解：x u 2

cos 2+=，x y 2cos 2+=

10.求下列函数的反函数： (1)2

2

-+=

x x y 解：xy-2y=x+2

x(y-1)=2y+2

1

2

2-+=

y y x 即：1

2

2)(1

-+=

-x x x f (2)23

+=x y

解：3322-=?-=y x y x 即：31

2)(-=-x x f

(3))32lg(1-+=x y

解：1

10

32)32lg(1-=-?-=-y x x y

23101+=-y x 即：2

310)(11

+=--x x f

11.作出下列函数的图像：

(1)5

4x y =（图一） (2)3

1x y =（图二） (3)4

1-=x y （图三） (4)3-=x y （图四）

(5)23x y =（图五）

12.求下列极限： (1))253(lim 2

2

+--→x x x

解：242)2(5)2(3)253(lim 2

22

=+---=+--→x x x

(2)1

3

lim 2423++-→x x x x 解：01

)3()3(3

)3(13lim 2422423=++-=++-→x x x x (3))3

2

1(lim 0

--

→x x

解：3

53021)321(lim 0

=--=--

→x x (4)2

3

lim 22--→x x x 解：03

4032lim 2

2=-=--→x x x ∞=--∴→23

l i m 22x x x (5)1

21lim 221---→x x x x 解：3

2

121lim )1)(12()1)(1(lim 121lim 11221=++=-++-=---→→→x x x x x x x x x x x x

(6)x

x x x x x 2324lim 2230++-→ 解：2123124lim )23()124(lim 2324lim 20202230=++-=++-=++-→→→x x x x x x x x x

x x x x x x x

(7)1

63

2lim

-+∞→x x x

解：3

1163

2lim 1632lim =-

+

=-+∞→∞→x

x x x x x (8)3

11000lim x x x +∞→ 解：011

1000lim 11000lim 3

23=+=+∞→∞→x x x x x x

(9)1

)1(lim 2

+-∞→n n n

解：∞=++-

=++-=+-∞→∞→∞→2

2

2

2

11121lim 1

12lim 1)1(lim n n n n n n n n n n n n (10) 5020

30)15()23()12(lim ++-∞→x x x x 解：5020305020305

32)15()23()12(lim =++-∞→x x x x (11)15

865lim 223+-+-→x x x x x

解：2

1

52lim )5)(3()2)(3(lim 15865lim 33223-=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x

(12)5

18lim 24++-∞→x x x x 解：∞=++-

=++-∞→∞→424324

511

81lim 5

18lim x

x x x x x x x x (13)2

24

75lim 223+--→x x x x 解：02324

373522475lim

22223=+-?-?=+--→x x x x (14)23152lim 3234

1--+-→

x x x x x 解：12592)4

1(31

)41

(5)41(2)41(23152lim 32332

3

4

1-=-?-+-=--+-→

x x x x x

第二章-极限与连续--基础练习题(含解答)

第二章 极限与连续 基础练习题（作业） §2.1 数列的极限 一、观察并写出下列数列的极限： 1．4682, ,,357 极限为1 2．11111,,,,,2345--极限为0 3．212212?-??=?+???n n n n n n a n 为奇数为偶数极限为1 §2.2 函数的极限 一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞x x e 极限为零 2．2 lim tan x x π → 无极限 3．lim arctan →-∞ x x 极限为2 π- 4．0 lim ln x x +→ 无极限，趋于-∞ 二、设2221,1()3,121,2x x f x x x x x x +??=-+? ，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？ 211lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=；11 lim ()lim(21)3x x f x x --→→=+= 1 lim () 3.x f x →∴=

222lim ()lim(1)3x x f x x ++→→=-=；222 lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2 lim ()x f x →∴不存在。 三、设()1 1 1x f x e =+，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在． ()1001lim lim 01x x x f x e ++→→==+ ()1 001 lim lim 11x x x f x e --→→==+ 0 lim ()x f x →∴不存在。 四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在． 1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零 2．取整函数()[]=f x x 不存在 3．符号函数()sgn =f x x 不存在 §2.3 无穷小量与无穷大量 一、判断对错并说明理由： 1．1sin x x 是无穷小量． 错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当0x →时，1sin 0x x →；当1x →时，1sin sin1x x →不是无穷小量。 2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量． 对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。 3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量． 对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。 二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量： 1． 221 x x +-， 2x →-时，或x →∞时，为无穷小量； 1x →时，或1x →-时，为无穷大量。 2．1ln tan x ,k Z ∈

极限与配合第一章教案

第一章光滑圆柱形结合的极限与配合 §1-1 基本术语及其定义 一、孔和轴 孔——通常指工件各种形状的内表面，包括圆柱形内表面和其它由单一尺寸形成的非圆柱形包容面。 轴——通常指工件各种形状的外表面，包括圆柱形外表面和其它由单一尺寸形成的非圆柱形被包容面。 二、尺寸的术语及其定义 1．尺寸 尺寸——用特定单位表示长度大小的数值。长度包括直径、半径、宽度、深度、高度和中心距等。 尺寸由数值和特定单位两部分组成。例如30 mm。 注：机械图样中，尺寸单位为mm时，通常可以省略单位。 2．基本尺寸（D，d） 基本尺寸——由设计给定，设计时可根据零件的使用要求，通过计算、试验或类比的方法，并经过标准化后确定基本尺寸。 注：孔的基本尺寸用“D”表示；轴的基本尺寸用“d”表示。 3．实际尺寸（Da，da） 实际尺寸——通过测量获得的尺寸。

由于存在加工误差，零件同一位置的实际尺寸不一定相等。4．极限尺寸 极限尺寸——允许尺寸变化的两个界限值。 允许的最大尺寸称为最大极限尺寸； 允许的最小尺寸称为最小极限尺寸。 三、偏差与公差的术语及其定义 1．偏差 偏差——某一尺寸（实际尺寸、极限尺寸等）减其基本尺寸所得的代数差。 分类： （1）极限偏差——极限尺寸减其基本尺寸所得的代数差称为极限偏差。 （2）实际偏差——实际尺寸减其基本尺寸所得的代数差称为实际偏差。 （1）极限偏差 上偏差——最大极限尺寸减其基本尺寸所得的代数差。 孔： ES=Dmax － D 轴： es=dmax －d 下偏差——最小极限尺寸减其基本尺寸所得的代数差。 孔： EI=Dmin －D

轴： ei=dmin －d （2）实际偏差 实际尺寸减其基本尺寸所得的代数差称为实际偏差。合格零件的实际偏差应在规定的上、下偏差之间。 【例1－1】某孔直径的基本尺寸为φ50mm，最大极限尺寸为φ50.048mm，最小极限尺寸为φ50.009mm，求孔的上、下偏差。 【例1－2】计算轴φ60mm -0.012+0.018的极限尺寸。若该轴加工后测得实际尺寸为φ60.012mm，试判断该零件尺寸是否合格。

第一章函数、极限、连续

第一章 函数 极限 连续 1.1 数列极限的求法 一 基本概念 数列极限、数列收敛、数列发散 1. 数列极限：lim n n x a →∞ = 描述语言：当n 充分大时，数列一般项n x 无限趋于（无限接近，充分接近）某个确定的常数a ，则称a 就是数列{}n x 的极限． “N ε-”语言：0ε?>，N ?，当n N >时，有n x a ε-<． 二 基本结论 1. 收敛数列性质：唯一性；有界性；保号性；子序列的收敛性． 2. 单调有界原理：单调有界数列必有极限；或叙述为：单调增加有上界必有极限，单调减少有下界必有极限． 3. 夹逼法则：若n n n y x z ≤≤，n N >，且lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==，则lim n n x a →∞ =． 4. 数列极限运算法则：设lim n n x A →∞ =，lim n n y B →∞ =，那么 （1）lim()n n n x y A B →∞ ±=±； （2）lim n n n x y AB →∞ ?=； （3）lim (0)n n n x A B y B →∞ =≠． （4）lim() n y B n n x A →∞ = 5. 两个重要极限：10 lim(1)e x x x →+=；0sin lim 1x x x →=． 这两个极限公式可以推广为：当0x x →时，()0f x →，则 1() lim(1()) e f x x x f x →+=；0sin () lim 1() x x f x f x →=． 三 基本方法 数列极限的未定式（不确定型）有八种形式： 00；∞∞ ；0?∞；∞±∞；1∞；0 ∞；00；无限个无穷小的和．

大一高数第一章--函数、极限与连续

第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤

【精品】高等数学习题详解第2章 极限与连续

习题2-1 1.观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1)1n n x n =+； （2)2(1)n n x =--; (3)13(1)n n x n =+-; （4）2 11n x n =-。 解：（1）此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+所以lim 1n n x →∞ =。 （2)12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--所以原数列极限不存在。 （3）1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+- 所以lim 3n n x →∞ =。 (4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=-所以lim 1n n x →∞ =- 2.下列说法是否正确： （1)收敛数列一定有界； （2）有界数列一定收敛； （3）无界数列一定发散；

（4）极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：（1)正确. （2）错误例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。 (3）正确。 (4)错误例如数列21(1)n n x n ??=+-???? 极限为1,极限大于零，但是11x =-小于零。 ＊3。用数列极限的精确定义证明下列极限： （1)1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=； （2)222lim 11 n n n n →∞-=++; (3）3 23125lim -=-+∞→n n n 证：(1）对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε >即可,所以可取正整数1 N ε≥. 因此，0ε?>，1N ε???=???? ,当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以

第二章极限习题及答案：函数的连续性

函数的连续性 分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21 )10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1 ==- - →→x x f x x 11lim )(lim 1 1 ==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 2 1)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 x f x f x f x x x x x x →→→+ - =才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2 +-= x x x f ， （1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象；

（2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2 -=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2 -=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ? ??-=--≠+-=)2(4)2(2 4 )(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致． 利用函数图象判定方程是否存在实数根 例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523 =+-x x 是否存在实数根．

第1章 函、极限与连续

第1章 函数、极限与连续 §1.1 函数 习题1-1 1．求下列函数的自然定义域： (1)1y x = (2)y =； (3)1 arcsin 2x y -=； (4)1arctan y x =； (5)y = ； (6)2 1log (16)x y x -=- (7)11ln 1x y x x -=+； (8)arcsin lg 10x y ??= ??? ． 2．下列各题中，函数是否相同？为什么？ (1)2()lg f x x =与()2lg g x x =； (2)()f x x = 与2()g x =； (3)21y x =+与21x y =+； (4)y = y x =； (5)y = y = (6)1y =与22sec tan y x x =-． 3．设sin ,3 ()0,3x x x x π?π?

是奇函数． 7．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)2 2 (1)y x x =-； (2)2 3 3y x x =-； (3)2 x x e e y -+= ； (4)cos sin x y x x e =； (5)tan sec 1y x x =-+； (6)(3)(3)y x x x =-+． 8．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： (1)cos(1)y x =-； (2)tan y x x =； (3)2sin y x =； (4)cos 4y x =； (5)cos y x x =； (6)1sin y x π=+． 9．设函数()f x 在数集X 上有定义，试证：函数()f x 在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界． 10．证明：()sin f x x x =在(0,)+∞上是无界函数． 11．某公司全年需购某商品1000台，每台购进价为4000元，分若干批进货，每批进货台数相同，一批商品售完后马上进下一批货，每进货一次需消耗费用2000元，如果商品均匀投放市场（即平均年存量为批量的一半），该商品每年每台库存费为进货价格的4﹪．试将该公司全年在该商品上的投资总额表示为批量的函数． 12．某运输公司规定某种商品的运输收费标准为：不超过200千米，每吨千米收费6元；200千米以上，但不超过500千米，每吨千米收费4元；500千米以上，每吨千米收费3元．试将每吨的运费表示为路程的函数． §1.2 初等函数 习题1-2 1．求下列函数的反函数： （1 ）y = （2） (0)ax b y ad bc cx d += -≠+； （3）11x y x -=+； （4）1ln(2)y x =++ ； （5）2sin 3 66y x x π π??=-≤≤ ??? ； （6）221x x y =+． 2．设1,0 ()0,00x f x x x ? ，求2 (1),(1)f x f x --．

《高等数学一》第二章极限与连续历年试题模拟试题课后习题(汇总)(含答案解析)

第二章极限与连续 [单选题] 1、 若x0时，函数f(x)为x2的高阶无穷小量，则=（） A、0 B、 C、1 D、∞ 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 本题考察高阶无穷小. 根据高阶无穷小的定义，有. [单选题] 2、 与都存在是函数在点处有极限的（）. A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、无关条件 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限. [单选题]

3、 （）. A、 B、1 C、 D、0 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 4、 如果则（）. A、0 B、1 C、2 D、5 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】

根据重要极限, [单选题] 5、 （）. A、0 B、∞ C、2 D、-2 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 分子分母同除以，即 [单选题] 6、 （）. A、0 B、∞ C、2 D、-2 【从题库收藏夹删除】

【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 7、 设，则（）. A、 B、2 C、 D、0 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 8、 当时，与等价的无穷小量是（）. A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题

第一章 函数、极限与连续

第一章 函数、极限与连续 (一) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞<

高等数学习题详解-第2章-极限与连续

习题2-1 1. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1 n n x n = + ; (2) 2(1)n n x =--； (3) 13(1)n n x n =+-； (4) 211n x n =-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451 n n x x x x x n =====+L L 所以lim 1n n x →∞=。 (2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--L L 所以原数列极限不存在。 (3) 1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+-L L 所以lim 3n n x →∞ =。 (4) 123421111 11,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-= -=-=-=-L L 所以lim 1n n x →∞=- 2.下列说法是否正确： (1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散； (4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。 (2) 错误 例如数列{} (-1)n 有界，但它不收敛。 (3) 正确。 (4) 错误 例如数列21(1) n n x n ?? =+-??? ? 极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。 *3.用数列极限的精确定义证明下列极限： (1) 1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=; (2) 22 2 lim 11 n n n n →∞-=++； (3) 3 2 3125lim -=-+∞→n n n 证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--= -=<，只要1 n ε >即可，所以可取正整数1 N ε ≥ . 因此，0ε?>，1N ε?? ?=???? ，当n N >时，总有 1(1)1n n n ε-+--<，所以

高等数学 第二章 极限与连续

第二章 极限与连续 教学要求 1.理解数列极限和函数极限(包括左、右极限)的概念，理解数列极限与函数极限的区别与联系。 2.熟练掌握极限的四则运算法则，熟练掌握两个重要极限及其应用。 3.理解无穷小与无穷大的概念，掌握无穷小比较方法以及利用无穷小等价求极限的方法。 4.理解函数连续性(包括左、右连续)与函数间断的概念，了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值与最小值定理和介值定理），并能灵活运用连续函数的性质。 教学重点 极限概念，极限四则运算法则；函数的连续性。 教学难点 极限定义，两个重要极限；连续与间断的判断。 教学内容 第一节 数列的极限 一、数列 1.数列的概念； 2.有界数列； 3.单调数列； 4.子列。 二、数列的极限 三、数列极限的性质与运算 1.数列极限的性质； 2.数列极限的运算法则。 第二节 函数的极限 一、函数极限的概念 1.自变量趋于有限值时函数的极限； 2.自变量趋于无穷大时函数的极限。 二、函数极限的性质 第三节 函数极限的运算法则 一、函数极限的运算法则 二、复合函数的极限运算法则 三、两个重要极限 1.重要极限1 1sin lim 0=→x x x ； 2.重要极限2 e x x x =+∞→)11(lim 或e x x x =+→1 0)1(lim 。

第四节无穷大与无穷小 一、无穷小 二、无穷大 第五节函数的连续性与间断点 一、函数的连续性概念 1.函数的增量； 2.函数的连续性 二、函数的间断点 第六节连续函数的性质 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、闭区间商连续函数的性质

(完整版)《高等数学一》极限与连续历年试题模拟试题课后习题(汇总)(含答案解析).doc

. 第二章极限与连续 [单选题 ] 1、 若 x0 时，函数 f (x )为 x 2的高阶无穷小量，则=（） A、0 B、 C、1 D、∞ 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 本题考察高阶无穷小. 根据高阶无穷小的定义，有. [单选题 ] 2、 与都存在是函数在点处有极限的（）. A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、无关条件 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等， 所以不一定有极限. [单选题 ] 3、 （） .

A、 B、 1 C、 D、 0 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题 ] 4、 如果则（）. A 、 0 B 、 1 C、 2 D、 5 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 根据重要极限 , [单选题 ] 5、

（） . A 、 0 B 、∞ C、 2 D、 -2 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 分子分母同除以，即 [单选题 ] 6、 （） . A 、 0 B 、∞ C、 2 D、 -2 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题 ] 7、 设，则（）.

A、 B、 2 C、 D、 0 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题 ] 8、 当时，与等价的无穷小量是（）. A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 由于故与等价, 推广，当时， [单选题 ] 9、 时，与等价的无穷小量是（）. A、 B、

第二章 极限与连续习题答案

第二章 极限与连续习题答案 练习题2.1 1. （1）1 （2）0 （3）不存在 （4）不存在 2. （1）0 （2）不存在 3. （1）不存在 （2）0 4. 5123 lim ()14,lim ()2,lim ()2,lim ()4x x x x f x f x f x f x →-→→→==== 练习题2.2 1. （1）0sin 7lim 7x x x →= （2）0tan 2lim 2x x x →= （3）0sin 55lim sin 33 x x x →= （4）3lim sin 3x x x →∞= 2. （1）55511lim(1)lim (1)x x x x e x x →∞→∞??+=+=??? ? （2）22211lim(1)lim (1)x x x x e x x ---→∞→∞??-=+=??-? ? （3）21 12200lim(12)lim (12)x x x x x x e ---→→??-=-=???? （4）2232 33 003lim()lim (1)33x x x x x x e ---→→??--=+=???? 练习题2.3 1. （1）无穷小 （2）无穷大 （3）无穷小 （4）无穷大 2. x →∞时函数为无穷小；2x →时函数为无穷大 3. （1）202lim sin 0x x x →=

（2）11lim(1)cos 01 x x x →-=- 练习题2.4 未定式及极限运算 1. （1）4233lim 01 x x x x →-=++ （2）223lim 2 x x x →-=∞- （3）322042lim 032x x x x x x →-+=+ （4）252lim 727 x x x →∞-=+ （5）2423lim 01 x x x x →∞-=++ （6）211113132lim()lim lim 11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x →→→+---===∞---+-+ 2. 22222 2lim ()lim(2)6,lim ()lim()2,lim (),4x x x x x f x x f x x m m f x m ++--→→→→→=+==+=+∴= 存在 练习题2.5函数的连续 1. 1y ?=- 2. （1）(1,)-+∞ （2）(,0)(0,)-∞+∞ 3. 12 x =连续 1x =不连续 2x =连续 4. （1）1x =-第二类间断点 （2）4x =第一类间断点 5. 证明：设5()31,f x x x =--则()f x 在(,)-∞+∞内连续，所以()f x 在[]1,2内也连续，而 (1)30,(2)250f f =-<=>，所以，根据零点定理可知，至少有一个12ξ∈（，） ，使得()0f ξ=，即方程531x x -=至少有一个实根介于1和2之间。 复习题二 1. 判断题 （1） X （2） √ （3） X （4） X （5） √ （6） √ （7） X （8） X （9） X （10）X （11）X （12）√ （13）X （14）X （15）√ （16）X （17）√ （18）√ （19）√（20）X （21）√ （22）X 2. 填空题

【精品】第一章极限与连续

第一章 极限与连续 第一节 函数 函数是微积分研究的对象,中学数学应用“集合”与“对应”已经给出了函数概念，并在此基础上讨论了函数的一些简单性质.在这里除对中学数学的函数及其性质重点复习外，根据需要将对函数作进一步讨论。 一、函数的概念 在日常生活、生产活动、经济活动中，经常遇到各种不同的量。这些量可分为两类。一类是常量，一类是变量.而在某个变化过程中往往会出现多个变量，这些变量之间不是彼此孤立的，而是相互联系和制约的，一个量的变化会引起另一个量的变化，如：球的半径r 与该球的体积V 的关系可用式子3 4π3 V r = 给出，当半径r 在[0,)+∞内任取一个值时，体积V 有确定的值与之对应,我们称体积V 是半径r 的函数。 1.函数的概念 定义1 设有两个变量x 、y ,如果变量x 在一个非空数集D 内每取一个数值时，变量y 按照某个对应法则f 都有唯一一个确定的数值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记作()y f x =.其中x 称为自变量，y 称为因变量或函数，f 是函数符号，表示y 与x 的对应规则，有时函数符号也可用其他字母表示，如

()y g x =,()y x ?=等.数集D 称为函数的定义域。 当自变量x 在其定义域内取定某确定值0x 时，因变量y 按照所给函数关系 ()y f x =求出的对应值0y 称为当0x x =时的函数值，记作0|x x y =或0()f x .函数值 的集合称为函数的值域. 例1 已知2()321f x x x =-+，求(0)f ，1 ()2 f ,()f x -，(1)f a +. 解：2(0)302011f =?-?+= 21113()3()2()12224 f =?-?+= 22()3()2()1321f x x x x x -=?--?-+=++ 22(1)3(1)2(1)1342f a a a a a +=?+-?++=++ 例2 求下列函数的定义域 （1)2 ()531f x x x =++ （2)2()23 x f x x x =-- （3）()f x = （4)()ln(21) f x x =-

同济大学(高等数学)_第一章_函数极限

第一篇 函数、极限与连续 第一章 函数、极限与连续 高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识. 第1节 集合与函数 1.1 集合 1.1.1 集合 讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素. 通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合，用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素. 如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ?，读作“a 不属于A ”. 一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ. 集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成 A ={1,2,3,4,5}； 第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为 {}P x x M 具有性质|=. 例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为 {} 02|2<--=x x x A . 由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有： （1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即 {} ,,,3,2,1,0n N =； （2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+ N ，即 {} ,,,3,2,1n N =+； （3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即 {} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=；

第一章函数、极限与连续习题

第一章 函数、极限与连续 一、 选择题 1、 )(x f 与)(x g 不表示同一函数的是（ ） A x x f =)(与0,00 ,{)(=≠=x x x x g B x x f =)(与2)(x x g = C x x x f -+=11)(与22 )1(1)(x x x g --= D x x f arcsin )(=与x x g arccos 2)(-= π 2、 函数51arcsin )(-=x x f 的定义域是（ ） A []6,4- B []5,5- C []1,1- D []∞+,0 3、下列函数中，奇函数是（ ） A x x y cos += B 2x x e e y -+= C x x y cos = D )1ln(2x x y += 4、 下列极限存在的有（ ） A 10lim x x e → B 01lim 21 x x →- C 01lim sin x x → D 2(1)lim x x x x →∞+ 5、若232lim 43 x x x k x →-+=-，则k =( ) A 3 B -3 C 1 D -1 6、函数()y f x =在点a 处连续是()f x 在a 点有极限的( ) A 必要条件 B 充分条件 C 必要充分条件 D 无关条件

7、 ()x f x x =在0x →时的极限是( ) A 1 B -1 C 0 D 不存在 8、极限=∞→x x x sin lim （ ） A.1 B.∞ C.不存在 D.0 9、=+∞→x x e 1lim （ ） A.∞+ B. 不存在 C.0 D.1 10、1sin y x =( ) A 当0x →时为无穷小量 B 当0x →时为无穷大量 C 在区间()01内为无界变量 D 在区间()01内为有界变量 11、 若lim ()x f x →∞ 存在，lim ()x g x →∞不存在，则以下正确的是( ) A lim(()())x f x g x →∞+与lim ()()x f x g x →∞ 都存在； B lim(()())x f x g x →∞+与lim ()()x f x g x →∞ 都不存在； C lim(()())x f x g x →∞+必不存在，lim ()()x f x g x →∞可能存在； D lim ()()x f x g x →∞ 必不存在，lim(()())x f x g x →∞+可能存在； 12、 若0 lim () 1 x x f x →=，则( ) A 0() 1 f x = B 0 () 1 f x > C 0() 1 f x < D 0()f x 可能不存在 13、当0x →时，下面四个无穷小量中，( )是比其他三个更高阶的量。 A 2x B 1cos x -1 D 2 (1)x x e - 14、设x cos 1-=α，22x =β，则当0→x ，则（ ）

微积分第二章-函数极限与连续答案

函数极限与连续函数的性质习题解答 1． 用函数极限的定义证明： （1）2 221lim 2.3 x x x →∞ +=- 证明： 0,ε?> 欲使 2 2 2 2172,3 3 x x x ε+-= <--易见当||3x >时，有 2 2 77|3|||.|3| || x x x x ->? < - 于是，只要 7,|| x ε<即7 ||x ε > 时，有 2 2 21 23x x ε+-<-成立。取7m ax 3,.M ε?? =???? 故对0,ε?>7m ax 3,.M ε?? ?=???? 对||,x M ?>有 2 22123x x ε+-<-，即2 2 21lim 2.3x x x →∞+=- （2）1 1lim arc .12 x tg x π- →= - 证明：0(0),2 πεε?><< 要使不等式 11arc arc 12 2 1tg tg x x π π ε- = -<-- (1)x < 成立，解得1 1.() 2 x tg π ε-< - 取δ=1 ( ) 2 tg π ε-，于是 10,0,(1,1),( ) 2 x tg εδδπ ε?>?= >?∈--有1arc ,12 tg x π ε- <- 即1 1lim arc .12 x tg x π- →= - （3 ）lim (sin sin 0x →∞ =。 证明：

( ) 1sin 2sin lim 11sin 2sin 11011 21 122 1 2sin 21 2cos 21sin 2sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =+-+∴<< +-+>?+??? ???=>?< ++ += +- +<+- +++ +=+-+∞ →x x x x x N x N x x x x x x x x x x x x ε εε有，，取 2. 求下列极限： (1) 11lim (sin cos ).x x x x →∞ + 解： 2 22 2sin 1 22 sin 11112lim (sin cos )lim[(sin cos )]lim (1sin )2lim[(1sin ) ] . x x x x x x x x x x x x x x x e x →∞ →∞→∞ →∞ +=+=+=+= 或： . 11cos 1sin 1lim 1cos 1sin lim ] 12111sin [ lim 11 1cos 1sin 11cos 1sin 1 2 e e x x x x x x x x x x x x x x x x x ==? ? ? ?? ?????????????? ??-++=??? ??+- -+-+∞→∞→∞ → (2) 1 20 lim (1sin ).x x x →+ 解：1 1 sin 2sin 20 lim (1sin ) lim[(1sin ) ] x x x x x x x x →→+=+= (3) 2 10 ln(1)lim .ln(1) x x x x x →∞ -+++ 解：

(完整版)函数、极限与连续习题及答案

第一章 函数、极限与连续 (A) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞<