当前位置：文档库 › 2010-2011学年高中数学第1章集合与函数概念章末复习课章末检测同步精品学案新人教A版必修1

2010-2011学年高中数学第1章集合与函数概念章末复习课章末检测同步精品学案新人教A版必修1

章末复习课

1．正确理解集合的概念必须掌握构成集合的两个必要条件：研究对象是具体的，其属性是确定的．

2．在判定给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”；在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”．

3．在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质．

4．若集合中的元素是用坐标形式给出的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之．

5．若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时要不重不漏．

6．相同函数的判定方法：(1)定义域相同；(2)对应关系相同(两点必须同时具备)．

7．函数的定义域的求法：使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域．常涉及的依据为：(1)分母不为0；(2)偶次根式中被开方数不小于0；(3)零指数幂的底数不等于零；(4)实际问题要考虑实际意义等．

8．函数值域的求法：(1)配方法(二次或四次)；(2)数形结合；(3)函数的单调性法等．9．单调性的判断步骤：(1)设x1，x2是所研究区间内的任意两个自变量，且x1

10．奇偶性的判断步骤：(1)先求函数的定义域，若定义域关于坐标原点对称，继续以下步骤，若不对称，则为非奇非偶函数；(2)计算f(－x)的值；(3)判断f(－x)与±f(x)中的哪一

个相等；(4)下结论.

一、集合中空集的特殊性及特殊作用

空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集合之间的关系问题时，它往往易被忽视而引起解题失误．

例1 已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数a 组成的集合C

分析 B ?A 包括两种情况，即B ＝?和B ≠?.

解 (1)当B ≠?时，由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或2. 当x ＝1时，a ＝2；当x ＝2时，a ＝1.

(2)当B ＝?时，即当a ＝0时，B ＝?，符合题设，故实数a 组成的集合C ＝{0,1,2}．

二、集合中元素的互异性

集合中元素的互异性是集合中元素的重要属性，这一属性在解题过程中常被忽略而造成错误．因此在涉及集合中元素的有关性质时，要有问题被解决后作检验这一意识．

例2 已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ac ，ac 2}，若A ＝B ，求c 的值．

分析要求c 的值，根据集合相等，转化为解方程问题来解决．集合A ，B 有公共元素a ，所以使余下的元素相等即可．

解若a ＋b ＝ac ，且a ＋2b ＝ac 2，消去b ，则有a －2ac ＋ac 2＝0.

显然a ≠0，否则集合B 的元素均为0，与集合中元素的互异性矛盾，所以1－2c ＋c 2＝0，得c ＝1，这时B ＝{a ，a ，a }，

仍与集合中元素的互异性矛盾；若a ＋b ＝ac 2，且a ＋2b ＝ac ，

消去b ，则有2ac 2－ac －a ＝0，又a ≠0，则有2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0，

又c ≠1，所以c ＝－1

三、函数的性质及应用

研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性及解析式等方面入手，通过对函数性质的应用使问题得以解决．

例3 已知函数f (x )＝mx 2＋23x ＋n

是奇函数，且f (2)＝5

(1)求实数m 和n 的值；

(2)判断函数f (x )在(－∞，0)上的单调性，并加以证明．解 (1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴mx 2＋2－3x ＋n ＝－mx 2＋23x ＋n ＝mx 2＋2－3x －n . 比较得n ＝－n ，n ＝0.

又f (2)＝5

3，∴4m ＋26＝53

，解得m ＝2.

即实数m 和n 的值分别是2和0.

(2)函数f (x )在(－∞，－1]上为增函数，在(－1,0)上为减函数．

证明如下：由(1)可知f (x )＝2x 2＋23x ＝2x 3＋2

设x 1

则f (x 1)－f (x 2)＝2

(x 1－x 2)????1－1x 1x 2 ＝2

3(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2

. 当x 10，x 1x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)

∴函数f (x )在(－∞，－1]上为增函数；当－1

x 1－x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2－1<0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴函数f (x )在(－1,0)上为减函数．

四、函数图象及应用

函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．

函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点，在历届高考试题中，常出现有关函数图象和利用图象解题的试题．

例4 设函数f (x )＝x 2－2|x |－1 (－3≤x ≤3)， (1)证明f (x )是偶函数； (2)画出这个函数的图象；

(3)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数； (4)求函数的值域．

(1)证明 f (－x )＝(－x )2－2|－x |－1 ＝x 2－2|x |－1＝f (x )，

即f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．

(2)解当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，

当x<0时，f(x)=x2+2x-1

=(x+1)2-2，

即f(x)=()()()()

?????<≤--+≤≤--03,2130,212

x x x x

根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图． (3)解函数f(x)的单调区间为 [-3，-1)，[-1,0)，[0,1)，[1,3]． f(x)在区间[-3，-1)和[0,1)上为减函数，

在[-1,0)，[1,3]上为增函数．

(4)解当x ≥0时，函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2，最大值为f(3)=2；

当x<0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2，最大值为f(-3)=2.故函数f(x)的值域为[-2,2]

一、选择题

1．若偶函数f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )

A ．f ???

?－3

解析由f (x )是偶函数，得f (2)＝f (－2)，又f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，

且－2<－3

<－1，则f (2)

2．有下列四个命题：

①函数f (x )＝|x |

|x －2|

为偶函数；

②函数y ＝x －1的值域为{y |y ≥0}；

③已知集合A ＝{－1,3}，B ＝{x |ax －1＝0，a ∈R }，若A ∪B ＝A ，则a 的取值集合为?

???－1，13；

④集合A ＝{非负实数}，B ＝{实数}，对应法则f ：“求平方根”，则f 是A 到B 的映射．你认为正确命题的序号为：________. 答案 ②④

解析函数f (x )＝|x |

|x －2|

的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，它关于坐标原点不对称，所

以函数f (x )＝|x |

|x －2|既不是奇函数也不是偶函数，即命题①不正确；

函数y ＝x －1的定义域为{x |x ≥1}，当x ≥1时，y ≥0，即命题②正确；因为A ∪B ＝A ，所以B ?A ，若B ＝?，满足B ?A ，这时a ＝0；

若B ≠?，由B ?A ，得a ＝－1或a ＝1

因此，满足题设的实数a 的取值集合为???

??－1，0，13，即命题③不正确．

依据映射的定义知，命题④正确．三、解答题 3．已知集合A ＝{x |－20}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，满足A ∩B ＝{x |0－2}．求a 、b 的值．

解将集合A 、A ∩B ，A ∪B 分别在数轴上表示，如图所示

由A ∩B ＝{x |0－2}知－2

综上可知：a ＝－1，b ＝2.

4．设全集U ＝R ，A ＝{x |x >1}；B ＝{x |x ＋a <0}，且B ?U A ，求实数a 的取值范围．解

∵U=R ，A={x|x>1}， ∴?UA={x|x ≤1}．

∵x+a<0，x<-a ，∴B={x|x<-a}．又∵B ?UA ，∴-a ≤1，∴a ≥-1.

5．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }至多有一个真子集，求a 的取值范围．解集合A 是关于x 的方程的解集．至多有一个真子集的集合有两种情况：一是恰有一个真子集，二是没有真子集，即集合A 为空集．

若A ＝?，则集合A 无真子集，这时关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0无实数解，则a ≠0，且Δ＝4－4a <0，解得a >1.

若集合A 恰有一个真子集，这时集合A 必为单元素集．可分为两种情况：

(1)a ＝0时，方程为2x ＋1＝0，x ＝－1

；

(2)a ≠0时，则Δ＝4－4a ＝0，a ＝1.

综上，当集合A 至多有一个真子集时，实数a 的取值范围为a ≥1或a ＝0.

6．已知f (x )＝????

x 2

－2x ＋4， x <－1，－2x ＋5，－1≤x <1，3， x ≥1，

(1)求：f (－2)，f (0)，f (1)，f (4)；

(2)画出函数图象； (3)指出函数的值域．

解 2

，x ≠0，x ∈R ；

＝－2包含在区间(－∞，－1)中， ∴f (－2)＝(－2)2－2(－2)＋4＝12. x ＝0包含在区间[－1,1)中，∴f (0)＝5. x ＝1包含在区间[1，＋∞)中，∴f (1)＝3. x ＝4包含在区间[1，＋∞)中，∴f (4)＝3. (2)如图所示

(3)由图象知，函数的值域为[3，+∞)．

7．已知函数f (x )＝x ＋m

，且f (1)＝2，

(1)判断f (x )的奇偶性；

(2)判断f (x )在(1，＋∞)上的增减性，并证明； (3)若f (a )>2，求a 的取值范围．

解 (1)∵f (1)＝2，∴f (1)＝1＋m ＝2，∴m ＝1，

＝－????x ＋1x ＝－f (x )，又f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，

∴函数f (x )是奇函数． (2)设1

则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1

x 2

＝x 1－x 2＋1x 1－1

x 2＝x 1－x 2＋x 2－x 1x 1x 2

＝(x 2－x 1)????1x 1x 2－1＝(x 2－x 1)(1－x 1x 2)x 1x 2

. ∵10，x 1x 2>0，x 1x 2>1， ∴1－x 1x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，

即f (x 1)

同理可证f(x)在(0,1)上是减函数，由于函数是奇函数，可得简图． ∵f(a.)>2，即f(a.)>f(1)， ∴a.>1或0

∴a 的取值范围是(0,1)∪(1，+∞)．

章末检测

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．设集合U ＝{1,2,3,4,5}，M ＝{1,2,3}，N ＝{2,5}，则M ∩(?U N )等于( ) A ．{2} B ．{2,3} C ．{3} D ．{1,3} 答案 D

解析 ?U N ＝{1,3,4}，M ∩(?U N )＝{1,2,3}∩{1,3,4}＝{1,3}． 2．下列集合不同于其他三个集合的是( ) A ．{x |x ＝1} B ．{y |(y －1)2＝0} C ．{x ＝1} D ．{1} 答案 C

解析 A 、B 、D 都表示元素是1的集合，C 表示元素为“x ＝1”的集合． 3．下列集合不能用区间形式表示的是( ) ①A ＝{1,2,3,4}；②{x |x 是三角形}； ③{x |x >1，且x ∈Q }；④?；

⑤{x |x ≤0，或x ≥3}；⑥{x |2

解析根据区间的意义知只有⑤能用区间表示，其余均不能用区间表示． 4．下列各图中，可表示函数y ＝f (x )的图象的只可能是图中的( )

答案 A

解析根据函数的概念知，只有“一对一”或“多对一”的对应才能构成函数关系． 5．下列函数表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x

B ．f (x )＝|x |，g (x )＝?????

x ，x ≥0

－x ，x <0

C ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2

D ．f (x )＝x (x －1)，g (x )＝x 2－x (x >1) 答案 B

解析选项A 中两函数的对应关系不同，选项C 、D 中两函数的定义域不同． 6．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )

,1x x x x ，由分段函数的作图方法可知选项B 正确．

7．设f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7 答案 B

解析 g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1. ∴g (x )＝2x －1.

8．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1

C ．y ＝1

D ．y ＝－|x |

答案 B

解析 y ＝3－x 在(0,2)上为减函数，y ＝1

在(0,2)上为减函数，y ＝－|x |在(0,2)上亦为减函

x 2 (x <0)，则f (f (－2))的值是( )

解析 ∵x ＝－2<0，∴f (－2)＝(－2)2＝4，又4>0，∴f (f (－2))＝f (4)＝4.

??x |x ＝m ＋16，m ∈Z ，N ＝?

???

??x |x ＝n 2－13，n ∈Z ，P ＝?

???

x |x ＝p 2＋16，p ∈Z ，则M 、N 、P 的关系是( ) A ．M ＝N P B ．M N ＝P C ．M N P D ．N P M 答案 B

解析 m ＋16＝6m ＋16，n 2－13＝3n －2

，

p 2＋16＝3p ＋16

， ∵m ，n ，p ∈Z ，∴3n －2、3p ＋1都是3的倍数加1,6m ＋1是6的倍数加1. ∴M N ＝P .

12．设f (x )＝1

1－x

，则f {f [f (x )]}的解析式为( )

A.11－x

B.1(1－x )3 C ．－x D ．x 答案 D

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

m |10m ＋1∈Z ，m ∈Z ＝________________________.

答案 {－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}

解析由10

m ＋1

∈Z ，且m ∈Z ，知m ＋1是10的约数，故|m ＋1|＝1,2,5,10，从而m 的值

为－11，－6，－3，－2,0,1,4,9.

15．已知集合{2x ，x ＋y }＝{7,4}，则整数x ＝________，y ＝________. 答案 2 5

解析由集合相等的定义知，

????? 2x ＝7x ＋y ＝4或?????

，又x ，y 是整数，所以x ＝2，y ＝5.

16．若函数f (x )＝kx 2＋(k －1)x ＋2是偶函数，则f (x )的递减区间是________．答案 (－∞，0]

解析 ∵f (x )是偶函数， ∴f (－x )＝kx 2－(k －1)x ＋2 ＝kx 2＋(k －1)x ＋2＝f (x )，

∴k ＝1，∴f (x )＝x 2＋2，其递减区间为(－∞，0]．三、解答题(本大题共6小题，共74分)

17．(12分)已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1a }，U ＝R . (1)求A ∪B ，(?U A )∩B ；

(2)若A ∩C ≠?，求a 的取值范围．解 (1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1

∵?U A ＝{x |x <2或x >8}． ∴(?U A )∩B ＝{x |1

18．(12分)若A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}，B ?A ，求实数m 的取值范围．

解 ∵B ?A ，当B ＝?时，得2m －1>m ＋1，m >2，

19．(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，求f (x )的值域．

解 ∵f (x )是偶函数，

∴定义域[a －1,2a ]关于原点对称．

∴??

??≤+-≥-+≥-a a a a a 1,312,112 ∴a ＝1

，b ＝0.

∴f (x )＝1

x 2＋1，x ∈????－23，23. ∴f (x )的值域为???

?1，3127. 20．(12分)判断并证明f (x )＝

1＋x 2

在(－∞，0)上的增减性．解在(－∞，0)上单调递增．证明如下：设x 1

f (x 1)－f (x 2)＝11＋x 21－1

1＋x 22

＝x 22－x 21

(1＋x 21)(1＋x 22)＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)(1＋x 21)(1＋x 22)

∵x 2－x 1>0，x 1＋x 2<0,1＋x 21>0,1＋x 2

2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)

21．(12分)定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－4x 2＋8x －

(1)求f (x )在R 上的表达式；

(2)求y ＝f (x )的最大值，并写出f (x )在R 上的单调区间(不必证明)．解 (1)设x <0，则－x >0，

f (－x )＝－4(－x )2＋8(－x )－3＝－4x 2－8x －3. ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，

∴当x <0时，f (x )＝－4x 2－8x －3.

∴f (x )＝?

???

－4x 2＋8x －3 (x ≥0)－4x 2

－8x －3 (x <0)，即f (x )＝?

????

－4(x －1)2＋1 (x ≥0)

－4(x ＋1)2

＋1 (x <0). (2)∵y ＝f (x )开口向下，

∴y ＝f (x )有最大值，f (x )max ＝f (－1)＝f (1)＝1.

函数y ＝f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．

22．(14分)已知函数f (x )的定义域为(－2,2)，函数g (x )＝f (x －1)＋f (3－2x )． (1)求函数g (x )的定义域；

(2)若f (x )是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g (x )≤0的解集．

2. 故函数g (x )的定义域为????

12，52.

(2)由g (x )≤0，得f (x －1)＋f (3－2x )≤0， ∴f (x －1)≤－f (3－2x )．

∵f (x )为奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)．而f (x )在(－2,2)上单调递减．

函数章末小结与提升

章末小结与提升函数{ 变量与函数{ 常量与变量函数与函数值函数图象的画法 { (1)列表(2) 描点 (3) 连线函数的表示方法{列表法解析式法图象法一次函数{ 正比例函数{图象性质一次函数{图象性质一次函数与方程、不等式的关系函数的应用类型1 变量与函数典例1 已知W=x+1, y=W 2 ,那么y 是不是x 的函数?若不是,请说明理由;若是,请写出y 与x 之间的函数关系式. 【解析】y 是x 的函数. ∵W=x+1,y=W 2,∴y= x+1 2 . 【针对训练】 1.下列平面直角坐标系中的曲线不能表示y 是x 的函数的是 (C ) 2.甲、乙两人以相同的路线前往离学校12千米的地方参加植树活动.图中l 甲,l 乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s (千米)随时间t (分钟)变化的函数图象,则每分钟乙比甲多行驶 3 5 千米.

3.已知直线m ,n 之间的距离是3,△ABC 的顶点A 在直线m 上,边BC 在直线n 上,求△ABC 的面积S 和BC 边的长x 之间的函数关系式,并指出其中的变量和常量. 解:由题意得S=3 2x ,变量是S ,x ;常量是3 2. 4.下表给出了菲菲家去年橘子的销售额(元)随橘子卖出质量(千克)的变化的有关数据: (1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)当橘子卖出5千克时,销售额是多少? (3)估计当橘子卖出50千克时,销售额是多少? 解:(1)表中反映了橘子的卖出质量与销售额之间的关系,橘子的卖出质量是自变量,销售额是因变量. (2)当橘子卖出5千克时,销售额为10元. (3)当橘子卖出50千克时,销售额估计为100元. 类型2 一次函数的图象和性质典例2 已知一次函数y=(2m+4)x+(3-n ),求: (1)当m 是什么数时,y 随x 的增大而增大? (2)当n 为何值时,函数图象与y 轴的交点在x 轴下方? (3)m ,n 为何值时,函数图象过原点? 【解析】(1)当2m+4>0时,y 随x 的增大而增大,解不等式2m+4>0,得m>-2. (2)当3-n<0时,函数图象与y 轴的交点在x 轴下方,解不等式3-n<0,得n>3. (3)当2m+4≠0,3-n=0时,函数图象过原点,则m ≠-2,n=3.

人教版高中数学必修一《集合与函数概念》章末复习课(含答案)

第一章集合与函数概念章末复习课知识概览对点讲练分类讨论思想在集合中的应用分类讨论思想是高中的重要数学思想之一，分类讨论思想在与集合概念的结合问题上，主要是以集合作为一个载体，与集合中元素结合加以考查，解决此类问题关键是要深刻理解集合概念，结合集合中元素的特征解决问题． 1．由集合的互异性决定分类【例1】设A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，已知A∩B＝{9}，则实数a＝________. 分析由A∩B＝{9}知集合A与B中均含有9这个元素，从而分类讨论得到不同的a 的值，注意集合中元素互异性的检验．答案－3 解析由A∩B＝{9}，得2a－1＝9，或a2＝9，解得a＝5,3，－3. 当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}，

A ∩ B ＝{9，－4}，与A ∩B ＝{9}矛盾；当a ＝3时，a －5＝－2,1－a ＝－2，B 中元素重复，舍去；当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{9，－8,4}，满足题设． ∴a ＝－3. 规律方法 (1)本题主要考查了分类讨论的思想在集合中的具体运用，同时应该注意集合中元素的互异性在集合元素的确定中起重要作用． (2)本题在解题过程中易出现的错误：①分类讨论过于复杂；②不进行检验，导致出现增根；③分类讨论之后没有进行总结．变式迁移1 全集S ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a ＋11|,2}，?S A ＝{5}，求实数a 的值．解因为?S A ＝{5}，由补集的定义知，5∈S ，但5?A. 从而a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2或a ＝－4. 当a ＝2时，|2a ＋11|＝15?S ，不符合题意；当a ＝－4时，|2a ＋11|＝3∈S.故a ＝－4. 2．由空集引起的讨论【例2】已知集合A ＝{x|－2≤x ≤5}，集合B ＝{x|p ＋1≤x ≤2p －1}，若A ∩B ＝B ，求实数p 的取值范围．解 ∵A ∩B ＝B ，∴B ?A ， (1)当B ＝?时，即p ＋1>2p －1，故p<2，此时满足B ?A ； (2)当B ≠?时，又B ?A ，借助数轴表示知 ????? p ＋1≤2p －1－2≤p ＋1 2p －1≤5，故2≤p ≤3. 由(1)(2)得p ≤3. 规律方法解决这类问题常用到分类讨论的方法．如A ?B 即可分两类：(1)A ＝?；(2)A ≠?.而对于A ≠?又可分两类：①A B ；②A ＝B.从而使问题得到解决．需注意A ＝?这种情况易被遗漏．解决含待定系数的集合问题时，常常会引起讨论，因而要注意检验是否符合全部条件，合理取舍，谨防增解．变式迁移2 已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，集合B ＝{x|mx －2＝0}，若B ?A ，求由实数m 构成的集合．解 A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2} 当m ＝0时，B ＝?，符合B ?A ；当m ≠0时，B ＝{x|x ＝2m }，由B ?A 知，2m ＝1或2m ＝2.即m ＝2或m ＝1. 故m 所构成的集合为{0,1,2}．数形结合思想在函数中的应用数形结合是本章最重要的数学思想方法，通过画出函数的图象，使我们所要研究的问题更加清晰，有助于提高解题的速度和正确率．【例3】设函数f(x)＝x 2－2|x|－1 (－3≤x ≤3)， (1)证明f(x)是偶函数； (2)画出这个函数的图象； (3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数； (4)求函数的值域． (1)证明 f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x 2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数． (2)解当x ≥0时， f(x)＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，

集合章节复习(教师版)

1 1.4集合章节复习一、教学目标：（1）掌握集合、交集、并集、补集的概念及有关性质；（2）掌握集合的有关术语和符号；（3）运用性质解决一些简单的问题。二、教学重难点：教学重点：集合的相关运算。教学难点：集合知识的综合运用。三、基础知识（一）：集合的含义及其关系 1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图； 3.集合中元素与集合的关系：文字语言符号语言属于 ∈ 不属于 ? 4.常见集合的符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号 N *N 或+ N Z Q R C （二）：集合间的基本关系关系文字语言符号语言相等集合A 与集合B 中的所有元素都相同 B A ?且A ?B ? B A = 子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素 B A ?或A B ? 真子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素，且 B 中至少有一元素不是A 的元素 A B 补集全集是U,集合A U ?，全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合 {},U C A x x U x A =∈?且

2 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 A ?φ，φ B （φ≠B ）若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有真子集的个数是n 2－1, 所有非空真子集的个数是22-n （三）：集合的基本运算 1.两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; 2.两个集合的并集: A B ={}x x A x B ∈∈或; （四）：方法指导 1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法. 2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进行运算. 3.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理. 4.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想. 5.强化数形结合、分类讨论的数学思想. 四、典型例题考点一集合的相关概念理解例1：用适当的方法表示下列集合（1）非负奇数组成的集合；（2）小于18的既是奇数又是质数的数组成的集合；（3）方程( )( ) 01212 2 =++-x x x 的解组成的集合；（4）平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；（5）方程组? ??=+=-+10 12y x x x 的解集例2、求集合{} 1),(≤+y x y x ，所围成图形的面积？

函数章末复习课

章末复习课 [网络构建] [核心归纳] 1.幂函数的图象与性质函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x 1 2 y＝ 1 x y＝x－2 定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0}{x|x≠0} 值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}{y|y>0} 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数偶函数单调性在R上单增在(－∞， 0)上单减，在(0，＋ ∞)上单增在R上单增在[0，＋ ∞)上单增在(－∞， 0)和(0，＋ ∞)上单减在(－∞， 0)上单增，在(0，＋ ∞)上单减图象公共点(0，0)(1，1) (1，1) 2.指数函数的图象与性质 a>10

值域(0，＋∞) 性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1；当x<0 时，00时，01 在(－∞，＋∞) 上是增函数在(－∞，＋∞) 上是减函数注意(1)对于a>1与01时，a值越大，图象向上越靠近y轴，递增速度越快；010

人教版高一数学必修一第一章集合与函数概念知识点

高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

高一数学《第一章集合与函数概念》复习与小结

第一章集合与函数概念复习与小结一、内容与解析 (一）内容：复习与小结（二）解析：本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化.本章三部分内容是独立的，但是又相互联系，集合是基础，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体. 二、教学目标及解析通过总结和归纳集合与函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力. 教学重点：①集合与函数的基本知识. ②含有字母问题的研究. ③抽象函数的理解. 教学难点：①分类讨论的标准划分. ②抽象函数的理解. 三、教学过程问题1.①第一节是集合，分为几部分？ ②第二节是函数，分为几部分？ ③第三节是函数的基本性质，分为几部分？ ④画出本章的知识结构图. 活动：让学生自己回顾所学知识或结合课本，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按课本的章节标题来分类.对于画知识结构图，学生可能比较陌生，教师可以引导学生先画一个本班班委的结构图或学校各个处室的关系结构图，待学生了解了简单的画法后，再画本章的知识结构图. 讨论结果:①分为：集合的含义、集合间的基本关系和集合的运算三部分. ②分为：定义、定义域、解析式、值域四部分；其中又把函数的概念拓展为映射. ③分为：单调性、最值和奇偶性三部分. ④第一章的知识结构图如图1-1所示，

图1-1 应用示例 [例1] 1.已知集合M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}，N ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈R}，则M ∩N 等于( ) A ．(0,1)，(1,2) B ．{(0,1)，(1,2)} C ．{y |y ＝1或y ＝2} D ．{y |y ≥1} 2.定义集合A 与B 的运算A*B={x|x∈A 或x∈B,且x ?A∩B},则(A*B)*A 等于( ) A.A∩B B.A∪B C.A D.B [例2] 已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，求a ，b 的值． [例3] 1.设集合A ＝{a |a ＝3n ＋2，n ∈Z}，集合B ＝{b |b ＝3k －1，k ∈Z}，试判断集合A 、B 的关系． 2.集合A={x|x 2-3x-4=0},B={x|mx-1=0}，若B ?A ，则实数m ＝________. [例4] 已知函数的定义域为R ，且对任意m 、n ∈R ，恒有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1且f ? ?? ??－12＝0，当x >－12 时，f (x )>0，试判断函数f (x )的单调性．【例5】求函数()f x = [例6] 已知函数f (x )满足f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )(x ∈R ，y ∈R)，且f (0)≠0，试证f (x )是偶函数． [例7] 如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间? ????12，1上是增函数，求f (2)的取值范围．

高中数学第一章集合与函数概念知识点

高中数学第一章集合与函数概念知识点〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，N表示自然数集，N*或N + R表示实数集. （3）集合与元素间的关系 ?，两者必居其一. ∈，或者a M 对象a与集合M的关系是a M （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等

（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有 21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. （8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法（2）一元二次不等式的解法 0) 〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念

①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足 ,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域

北师大版数学高一-第二章函数章末小结(二) 教案(北师大必修一)

第二章函数章末小结（二）一、教学目标 1、知识与技能：（1）总结知识,形成网络；（2）掌握函数单调性的定义和函数奇偶性的定义；（3）会用定义判断函数的单调性和奇偶性；（4）掌握二次函数的图像与性质,并学会图像的变换；（5）了解简单的幂函数。 2、过程与方法：(1)通过例题讲解让学生回顾掌握函数的两条重要的性质单调性和奇偶性． (2)让学生归纳整理本章所学知识使知识形成网络． 3、情感．态度与价值：学生感受到学习函数的性质对研究函数的重要性，增强学好函数的信心。二、教学重点: 复习函数的单调性和奇偶性和二次函数．教学难点：判断函数的单调性和奇偶性．三、学法指导：学生通过自主整理、回顾复习．四、教学过程（一）、函数的知识导图: （二）、复习函数的基础知识 1．函数的单调性的定义及其应用 2．函数的奇偶性 3．二次函数的图像与性质 4．幂函数（三）、应用举例 1．函数的单调性例1．下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是（）． .()3A f x x =- 2.()3B f x x x =- .()||C f x x =- 3.()2 D f x x =-+

答案:D 解析:函数f(x)=3-x 为减函数, f(x)=x 2-3x 在3 (,)2-∞上为减函数,在3(,)2 +∞上是增函数, ? ??≥-<=-=)0()0(||)(x x x x x x f 在(0,+∞)上为减函数,只有函数f(x)=-23+x 在(-2,+∞)上是增函数,所以在(0,+∞)上为增函数．故选择D ．练习1．已知 f(x)=x 2 -2x+8,如果g(x)=f(x+2),则g(x)（）． A ．在区间(-∞,1)上是单调减函数,在区间[1,+∞]上是单调增函数 B ．在区间(-∞,0)上是单调减函数,在区间[0,+∞]上是单调增函数 C ．在区间(-∞,-1)上是单调减函数,在区间[-1,+∞]上是单调增函数 D ．在区间(-∞,3]上是单调减函数,在区间[3,+∞)上是单调增函数答案:C 解析:因为f(x)=x 2-2x+8,所以g(x)= f(x+2)=(x+2)2-2(x+2)+8=x 2+2x+8=(x+1)2+7,所以g(x)在区间(-∞,-1]上是单调减函数,在区间[-1, +∞)上是单调增函数．反思归纳：判断函数单调性的方法有①图象法；②按复合函数的判断方法同向增异项减；③定义法。 2．函数的奇偶性例2．函数9()1f x x =+是（）． A ．奇函数 B.偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数答案:B ．解析:函数9()1f x x =+的定义域为[-1,1], 又9()1f x x -=+-9()1f x x ==+,所以)(x f 为偶函数．练习2: 判断下列函数的奇偶性： ①x x x x f -+-=11)1()(, ②2211)(x x x f --=,③22(0)()(0) x x x f x x x x ?+?? 反思归纳：奇偶性的判断方法先判断定义域是否关于原点对称，再利用奇偶性的定义式或变形定义式验证。

集合与函数概念复习教案一对一教案

教师姓名学生姓名填写时间年级高一学科数学上课时间阶段基础（√）提高（）强化（）课时计划第（）次课共（）次课教学目标1、通过复习熟练掌握集合概念及其运算，以及集合的几种表示方法 2、通过复习熟练掌握函数的概念以及函数的性质，进一步体会运动变化、数形结合、代数转化以及集合与对应的数学思想方法教学重难点教学重点：集合的概念与表示、集合的运算、函数的概念以及函数的性质教学难点：集合的运算、函数的概念以及性质的具体运用教学过程课后作业：教学反思：

知识点一：集合的性质与运算例1、已知集合{}2 1,1,3A x x =--,求实数x 应满足的条件. 例2、设{} 022=+-=q px x x A ，{} 05)2(62 =++++=q x p x x B ，若? ?????=21B A ，则=B A （）（A ）??????-4,31 ,21 （B ）??????-4,21 （C ）??????31,21 (D)? ?????21 例3、如图U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（） A 、 ()M P S B 、 ()M P S C 、()u M P C S D 、 ()u M P C S 例4、设集合{}21<≤-=x x M ，{} 0≤-=k x x N ，若M N M = ，则k 的取值范围（）（A ）(1,2)- （B ）[2,)+∞ （C ）(2,)+∞ (D)]2,1[- 例5、设{ }{} I a A a a =-=-+241222 ，，，，，若{}1I C A =-，则a =__________。知识点二：判断两函数是否为同一个函数例6、试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）2)(x x f =，33)(x x g =；（2）x x x f =)(，?? ?<-≥=; 01 , 01 )(x x x g （3）1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *）；（4）x x f =)(1+x ，x x x g += 2)(；（5）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g

19-20 第1章章末复习课

集合的并、交、补运算【例1】已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝ {x∈R|x2－3x＋2＝0}． (1)用列举法表示集合A与B； (2)求A∩B及?U(A∪B)． [解](1)由题知，A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1,2}． (2)由题知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3,4}，所以?U(A∪B)＝{0,5,6}．集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得.有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式，再进行集合运算.还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解. 1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)＝() A．{1,3,4}B．{3,4}

C ．{3} D ．{4} D [∵A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{1,2,3}， ∴?U (A ∪B )＝{4}．] 集合关系和运算中的参数问题【例2】已知集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}． (1)若(?R A )∪B ＝R ，求a 的取值范围； (2)是否存在a 使(?R A )∪B ＝R 且A ∩B ＝?？ [解] (1)A ＝{x |0≤x ≤2}， ∴?R A ＝{x |x <0或x >2}． ∵(?R A )∪B ＝R ， ∴??? a ≤0，a ＋3≥2. ∴－1≤a ≤0. (2)由(1)知(?R A )∪B ＝R 时，－1≤a ≤0，而2≤a ＋3≤3， ∴A ?B ，这与A ∩B ＝?矛盾．即这样的a 不存在．根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A ?B 的问题转化为A B 或A ＝B ，进而列出不等式组，使问题得以解决.在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体.要注意作图准确，分类全面. 2．已知集合A ＝{x |－3≤x ＜2}，B ＝{x |2k －1≤x ≤2k ＋1}，且B ?A ，求实数k 的取值范围. [解] 由于B ?A ，在数轴上表示A ，B ，如图，

第十九章一次函数章末小结教案

第十九章一次函数章末小结教案一、教学目标 1、知识与能力目标：进一步巩固一次函数的相关知识，初步学会从数学的角度提出问题，理解问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展应用意识。 2、过程与方法目标：（1）经历提出问题，收集和整理数据，获取信息，处理信息（画出函数的图象），形成如何决策的具体方案。（2）在利用图像探究方案的决策过程中，体会“数形结合”思想在数学应用中的重要地位。 3、情感态度与价值观：在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。二、问题的引入：用火柴棒搭一行三角形，小明按图（1）搭一个三角形需3支火柴棒，搭2个三角形需6支火柴棒，搭3个三角形需9支火柴棒.小花按图（2）搭一个三角形需3支火柴棒，搭2个三角形需5支火柴棒，搭3个三角形需7支火柴棒，…，照这样的规律搭下去，你能用所学知识表示出小明和小花搭x 个三角形各需要的火柴棒数. 三、知识要点回顾 1.一次函数的概念：函数y=_______(k 、b 为常数，k______)叫做一次函数。当b_____时，函数y=____(k____)叫做正比例函数. ★理解一次函数概念应注意下面两点： ⑴解析式中自变量x 的次数是___次， ⑵比例系数 _____. 2. 平移与平行的条件（1）把 y =kx 的图象向上平移b(b>0)个单位得y = ，向下平移b 个单位得y = （2）若直线y =k 1x +b 与y =k 2x +b 平行，则 ______， .反之也成立（1）

3. 求交点坐标. 如何求直线 y =kx +b 与坐标轴的交点坐标？ 4.正比例函数的图象与性质（1)图象:正比例函数y = kx (k 是常数，k ≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y = kx . (2)性质:当k >0时,直线y = kx 经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k <0时,直线y = kx 经过第二,四象限，从左向右下降，即随着 x 的增大y 反而减小. 5.一次函数的图象及性质. （1）一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象是过点（0，___),（____，0)的__________. (2)性质:当k >0时, 从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k <0时, 从左向右下降，即随着 x 的增大y 反而减小. 6. 一次函数y =kx +b (k ≠0)k 的作用及b 的位置. k 决定直线的方向和直线的陡、平情况 k ＞0，直线左低右高，b ＞0，直线交y 轴正半轴（x 轴上方）； k ＜0，直线左高右低，b ＜0，直线交y 轴负半轴（x 轴下方）； k 的绝对值越大直线越陡。 7、用待定系数法求一次函数解析式的步骤：四、复习检测 1．函数中，自变量x 的取值范围是 ( ) A. x < 3 3 C. x > 3 D. x ≥3 2．下列各图表示y 是x 的函数的是（） 3．在夏天，一杯开水放在桌面上，其水温T 与放置时间t 的关系，大致可表示为 ( ) 4.已知一次函数y =kx +b , y 随着x 的增大而减小，且kb <0，则在直角坐标系内它的图象大致为（） A B D C y =

2018版高中数学人教版a版必修一学案：第三单元章末复习课含答案

章末复习课网络构建核心归纳 1．函数的零点与方程的根的关系函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解，函数f(x)的零点的个数与方程f(x)＝0的解的个数相等，也可以说方程f(x)＝0的解就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，即函数f(x)的函数值等于0时自变量x的取值．因此方程的解的问题可以转化为函数问题来解决．讨论方程的解所在的大致区间可以转化为讨论函数的零点所在的大致区间，讨论方程的解的个数可以转化为讨论函数的零点的个数． 2．函数零点的存在性定理 (1)该定理的条件是：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的；② f(a)·f(b)<0，即f(a)和f(b)的符号相反．这两个条件缺一不可． (2)该定理的结论是“至少存在一个零点”，仅仅能确定函数零点是存在的，但是不能确定函数零点的个数． 3．函数应用

(1)要解决函数应用问题，首先要增强应用函数的意识．一般来说，解决函数应用问题可分三步：第一步，理解题意，弄清关系；第二步，抓住关键，建立模型；第三步，数学解决、检验模型．其中第二步尤为关键． (2)在解题中要充分运用数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想及策略，寻求解题途径． (3)根据已知条件建立函数解析式是函数应用的一个重要方面．一般分为两类：一类是借助于生活经验、函数知识等建立函数模型，以二次函数模型为主，一般是求二次函数的最值．另一类是根据几何、物理概念建立函数模型．要点一函数的零点与方程的根函数的零点与方程的根的关系及应用 1．函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y ＝f(x)的图象与x 轴有交点?函数y ＝f(x)有零点． 2．确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断．【例1】 (1)函数f(x)＝????? x 2－2，x ≤0， 2x －6＋ln x ，x>0的零点个数是________． (2)若函数f(x)＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．解析 (1)①当x ≤0时，由f(x)＝0，即x 2－2＝0，解得x ＝ 2或x ＝－ 2. 因为x ≤0，所以x ＝－ 2. ②法一 (函数单调性法)当x>0时，f(x)＝2x －6＋ln x.

2016-2017学年高中数学第三章函数的应用章末复习课新人教版必修1

【金版学案】2016-2017学年高中数学第三章函数的应用章末复习课新人教版必修1 [整合·网络构建] [警示·易错提醒] 1．正确认识零点存在定理，要抓住两个关键点：(1)函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线．(2)f (a )·f (b )<0，否则极易出错． 2．在用二分法求函数的零点的近似值或方程的近似解时，要注意精确度的要求． 3．在建立函数模型解决实际问题时，先作散点图，根据散点图来选择模拟函数，可避免盲目性，是较好的方法．专题一函数的零点与方程的根根据函数零点的定义，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实根，有几个实根．函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决函数、方程与不等式的问题． [例1] (1)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2 －3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A ．{1，3} B ．{－3，－1，1，3} C ．{2－7，1，3} D ．{－2－7，1，3} (2)函数f (x )＝? ????x 2 －2，x ≤0， 2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是______．解析：(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2 －3x ，所以 f (x )? ????x 2 －3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x <0，所以 g (x )＝? ????x 2 －4x ＋3，x ≥0，－x 2 －4x ＋3，x <0.由?????x ≥0， x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝ 3；

三角函数章节总结

三角函数知识总结知识点一：理解终边相同的角的关系，能够表示象限角与轴线角，会判断角所在象限考题1：已知α是第一象限角，那么2α是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限知识点二：了解弧度的定义，掌握弧长公式和扇形的面积公式，会进行角度和弧度的换算考题2：已知扇形周长为6cm ，面积为22 cm ，则扇形圆心角的弧度数为（） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4 知识点三：理解任意角的正弦，余弦，正切的定义，了解三角函数线，会用定义推导每个象限对应的三角函数值的正负号及诱导公式（一）考题3：已知角α的终边经过)3,2(P 点，则有（） A ．13132sin =α B ．1313cos =α C ．13133sin =α D ．3 2tan =α 考题4：求值o o 405cos 300tan + 知识点四：掌握同角三角基本关系式1cos sin 22=α+α，αα= αcos sin tan ，1cot tan =α?α，灵活运用这些关系处理α?αα±ααααcos sin ,cos sin ,tan ,cos ,sin 间的求值问题，以及可化为分式齐次式的求值问题。考题5：已知α为第二象限角，且21)2tan(- =π+α，则_____cos =α 考题6：已知θ是三角形的内角，5 1cos sin =θ+θ，求θ-θcos sin ，θtan 的值。考题7：已知5 5sin =α，求α-α44cos sin 的值。考题8：已知2tan =α，求α +αα-αcos 2sin cos sin 2，α-α?α+α22cos cos sin sin 2的值知识点五：掌握诱导公式并能熟练运用，能够敏锐判断何时该用诱导公式，理解诱导公式的作用考题9：求o 585sin 的值考题10：设)cos()sin()(β+π+α+π=x b x a x f ，其中βα,,,b a 均为常数，且 5)2000(=f ，求)2003(f 考题11：已知31)6cos(=α-π，求)3 2sin()65cos(α-π?α+π的值

北师大版必修一课后作业：第一章集合章末复习课

学习目标 1.系统和深化对集合基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算． 1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性． 2．元素与集合有且只有两种关系：∈，?. 3．已经学过的集合表示方法有列举法，描述法，V enn图，常用数集字母代号． 4．集合间的关系与集合的运算符号定义Venn图子集A?B x∈A?x∈B 真子集A?B A?B且存在x0∈B但x0?A 并集A∪B {x|x∈A或x∈B} 交集A∩B {x|x∈A且x∈B} 补集?U A(A?U) {x|x∈U且x?A} 5. (1)??A； (2)A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝A?A?B. (3)A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝A?A?B. (4)A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?； ?U(?U A)＝A.

类型一集合的概念及表示法例1 下列表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(2,1)，(3,2)}，N ＝{(1,2)} B ．M ＝{2,1}，N ＝{1,2} C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈N } D ．M ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R } ★答案☆ B 解析 A 选项中M ，N 两集合的元素个数不同，故不可能相同； B 选项中M ，N 均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M ＝N ； C 选项中M ，N 均为数集，显然有M ?N ； D 选项中M 为点集，即抛物线y ＝x 2－1上所有点的集合，而N 为数集，即抛物线y ＝x 2－1上点的纵坐标，故选B. 反思与感悟要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．跟踪训练1 设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝0}，B ＝{(x ，y )|2x －3y ＋4＝0}，则A ∩B ＝________. ★答案☆ {(4,4)} 解析由????? x －y ＝0，2x －3y ＋4＝0，得????? x ＝4，y ＝4. ∴A ∩B ＝{(4,4)}．类型二集合间的基本关系例2 若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ?P ，求由a 的可能取值组成的集合．解由题意得，P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝?，满足S ?P ；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1 a ，为满足S ?P ，可使－1a ＝－3，或－1 a ＝2，即a ＝13，或a ＝－1 2. 故所求集合为? ?? ? ??0，13，－12. 反思与感悟 (1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．

中职数学第三章函数-函数章末复习

第23课时章末复习与小结（一）【目标导航】 1.通过整理全章知识的过程，掌握本章的基本知识，基本的数学思想及方法； 2.掌握本章的基本的数学题型，解题思路，熟练解题技巧。【要点整理】（一）函数的概念 1、概念：在某一个变化过程中有两个变量x 和y ，设变量x 的取值范围为数集D ，如果对于D 内的值，按照某个对应法则f ，y 都有值与它，那么，把x 叫做，把y 叫做x 的． 2.表示：将上述函数记作．变量x 叫做自变量，数集D 叫做函数的． 3.函数值的概念：函数值．记作 . 4.函数的定义域：。 5.定义域的求法：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）； 6.函数的值域：函数值的集合(){}|,y y f x x D =∈叫做函数的值域． 7.基本初等函数的值域的求法：。 8. 同一函数的理解：（1）函数的三要素：1）；2）；3）。 2）什么是同一函数：。（二）函数的表示 1. 函数的三种表示：（1）；（2）；（3）。 2. “描点法”画图的基本步骤：（1）；（2）；（3）。 3.三种表示法的优缺点比较：

（1）常见解析式的设法：一次函数：；正比例函数；反比例函数：；二次函数：。（2）待定系数法求解析式的一般步骤： 1）设；。 2）列；。 3）解；。 4）写；。（3）简单的抽象函数的解析式的求法：① ② 。（三）函数的性质 1.单调性：（1）单调增函数的定义：在区间(),a b 内，随着的增加，函数值，图像呈趋势．即对于的 ()12,,x x a b ∈，当时，都有成立．这时把函数()f x 叫做区间(),a b 内的，区间(),a b 叫做函数()f x 的．此时，区间(,)a b 叫做函数()f x 的。（2）单调减函数的定义：在区间(),a b 内，随着的增加，函数值，图像呈趋势．即对于的()12,,x x a b ∈，当时，都有成立．这时把函数()f x 叫做区间(),a b 内的，区间(),a b 叫做函数()f x 的．（2）单调性的概念： ①单调性：。 ②单调区间：。（3）单调性的判定： ①判定的二种方法：；。 ②利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤：设元：；作差：；变形；断号；定论。（4）单调性的应用： ① “正用”若)(x f 在区间D 上单调递增，D x x ∈21,,且12x x ? 。

2017_2018学年高中数学第四章函数应用章末复习课学案北师大版必修1

第四章函数应用学习目标 1.体会函数与方程之间的联系，会用二分法求方程的近似解.2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异.3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应用． 1．对于函数y＝f(x)，x∈D，使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)，x∈D的零点． 2．方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． 3．函数的零点的存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0. (1)函数y＝f(x)在区间[a，b]内若不连续，则f(a)·f(b)＜0与函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在性定理仅对连续函数适用)． (2)连续函数y＝f(x)若满足f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点不一定有f(a)·f(b)＜0，若y＝f(x)为单调函数，则一定有f(a)·f(b)＜0. 4．二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验． 5．解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面．求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：类型一函数的零点与方程的根的关系及应用例1 已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是____________．反思与感悟(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． (2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图像研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数进行判断．

2010-2011学年高中数学 第1章 集合与函数概念 章末复习课章末检测同步精品学案 新人教A版必修1

2010-2011学年高中数学第1章集合与函数概念章末复习课章末检测同步精品学案新人教A版必修1