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2011年高考数学第二轮复习数列教学案

2011年高考第二轮专题复习（教学案）：数列

考纲指要：

数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，通常以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，

考点扫描：

1．等差数列定义、通项公式、前n 项和公式。 2．等比数列定义、通项公式、前n 项和公式。

3．数列求通项的常用方法如： ①作新数列法；②累差叠加法；③归纳、猜想法；而对于递归数列，则常用①归纳、猜想、数学归纳法证明；②迭代法；③代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。

4．数列求和常用方法如：①公式法；②裂项求和；③错项相消法；④并项求和。

考题先知：例1. 已知()()211,01bx f x x a a ax +??

≠-> ??

?+，()()161log 2,21f f =-= ①求函数()f x 的表达式；

②定义数列))(1())2(1))(1(1(n f f f a n ---= ,求数列{}n a 的通项； ③求证：对任意的*

n N ∈有4

)21()21()21(22221<

-++-+-n a a a

解：①由()()()()21621141log 21112021112b f

a a

b b f

a +?=?

=+?=??????

??-=-=????=?-?

，所以 ()()2

1f x x =+ ②

()()2222111111112341111111111111223311221n a n n n n n ???

?????=---- ? ?????

???????

+??

????????????=-

+-+-+ ??????? ???++?

???????????

+ ③

不等式2222

1231111122224n a a a a ???????

?-+-+-++-< ? ? ? ????????

?等价于

()

2222111112341n ++++<+ 因为 ()()222211111111

23412233411111111111

22311

n n n n n n ++++<++++???++=-+-++-=-<++

例2．如图，已知一类椭圆：

)3,2,1,10(,1:2

22 =<<=+

n b b y x C n n

n ，若椭圆C n

上有一点P n 到右准线n l 的距离n d 是n n F P 与n n G P 的等差中项，其中F n 、G n 分别是椭圆的左、右焦点。（1）试证：)1(2

≥≤

n b n ；（2）取2

2++=

n n b n ，并用S n 表示n n n G F P ?的面积，试证：21S S <且)3(1≥<+n S S n n 。

证明：（1）由题设与椭圆的几何性质得：2n d =n n F P +n n G P =2，故n d =1，设2

1n n b c -=，则右准线n l 的方程为：n n c x 1=

，从而由

11+≤≤-n

n n c d c 得 121<≤n c ，即112

<-≤n b ，有)1(23≥≤n b n ；（2）设点),(n n n y x P ，则由n d =1得11

n c x ，从而)1(2

22n n n x b y -=)122(12

32-++-=n n n n

c c c c ，所以n n n y c S ??=

1=)122(2

3-++-n n n c c c ，

因函数122)(23-++-=x x x x f 中，由0226)(2

'=++-=x x x f 得6

1±=

x 所以S n 在区间]6131,

21[+上是增函数，在区间（1,6

1+）上是减函数，

由232++=

n n b n ，可得21112

+-=-=n b c n n ，知{}n c 是递增数列，

而325

4613143c c =<+<=

，故可证21S S <且)3(1≥<+n S S n n 。评注：这是一道较为综合的数列与解析几何结合的题目，涉及到的知识较多，有椭圆

的相关知识，列不等式与解不等式，构造函数，利用导数证明其单调性等，这也表明数列只是一个特殊函数的本原问题，提示了数列问题的函数思想方法。

复习智略：

例3 已知二次函数y =f (x )在x =2

+t 处取得最小值－42t (t ＞0),f (1)=0

(1)求y =f (x )的表达式；

(2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1［g (x )］为多项式，n ∈N *

),试用t 表示a n 和b n ；

(3)设圆C n 的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2

，圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 、S n

解 (1)设f (x )=a (x －2

2+t )2－42

t ，由f (1)=0得a =1

∴f (x )=x 2

－(t +2)x +t +1

(2)将f (x )=(x －1)［x －(t +1)］代入已知得

(x －1)［x －(t +1)］g (x )+a n x +b n =x n +1

，上式对任意的x ∈R 都成立，

取x =1和x =t +1分别代入上式得

?????+=++=++1

)

1()1(1

n n n n n t b a t b a 且t ≠0，解得a n =t

1［(t +1)n +1－1］，b n =

t t 1+［1－(t +1]n

) (3)由于圆的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2

，

又由(2)知a n +b n =1，故圆C n 的圆心O n 在直线x +y =1上，

又圆C n 与圆C n +1相切，故有r n +r n +1=2｜a n +1－a n ｜=2(t +1)n +1

设{r n }的公比为q ，则

n n

r r q t

?+=+

+=+

①

②

②÷①得

1+=t+1，代入①得r

n=2

(21

t n

∴S n=π(r12+r22+…+r n2)=

(

t t

r n

［(t+1)2n－1］

检测评估：

1．动点P的横坐标x、纵坐标y使lg y、lg x、lg

y x

成等差数列，则点P的轨迹图形是（）

1．解：由条件得

=，即0

x，又0

,0≠

y，

所以化为

y，故选C。

2、各项都是正数的等比数列{

a}的公比q≠1，且

a，

a成等差数列，则

的

值为（）

或

3．给定正整数n（2

n≥）按右图方式构成三角形数表：第一行依次写上数1,2,3,,n，在

下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上

面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第n行）

只有一个数．例如6

n=时数表如图所示，则当2007

n=时最后一行

的数是（）

A．2007

2512

?B．2006

20072

112

C ．20082512?

D ．200520072?

4．设等比数列{a n }的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，则数列{lg a n }的前几项和最大（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7

5．已知f （x ）＝x ＋1，g （x ）＝2x ＋1，数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝???f (a n ) (n 为奇数)，

g (a n ) (n 为偶数)，

则数列{a n }的前2007项的和为

A ．5×22008－2008

B ．3×22007－5020

C ．6×22006－5020

D ．6×21003

－5020 6.在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2，4依次成等差数列，而1，y 1，y 2，8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是_________ 7 已知a ,b ,a +b 成等差数列，a ,b ,ab 成等比数列，且0

8．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23

111=∈--=+a n a a n n 则.n a = 。 9、在等差数列{}n a 中，1a 为首项，n S 是其前n 项的和，将1()2

n n a a n

S +=

整理为 111

22n n S a a n =+后可知：点121122(,),(,),,(,),12n n n

S S S P a P a P a n

（n 是正整数）都在直线111

y x a =+上，类似地，若{}n a 是首项为1a ，公比为(1)q q ≠的等比数列，

则点111222(,),(,),

,(,),

n n n P a S P a S P a S （n 是正整数）在直线________上

10．假设实数1234,,,a a a a 是一个等差数列，且满足113a <<及34a =．若定义2n a

n b =，给出下列命题：①1234,,,b b b b 是一个等比数列；②12b b <；③24b >；④432b >；⑤

24256b b ?=．其中正确的命题序号为．

11、随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q 型车、R 型车的销量引起市场的关注。已知2006年1月Q 型车的销量为a 辆，通过分析预测，若以2006年1月为第1月，其后两年内Q 型车每月的销量都将以1%的比率增长，而R 型车前n 个月的销

售总量n T 大致满足关系式：()

101.12282-=n

n a T .

（1）求Q 型车前n 个月的销售总量n S 的表达式；

（2）比较两款车前n 个月的销售总量n S 与n T 的大小关系；

（3）试问到2007年底是否会出现两种车型中一种车型的月销售量小于另一种车型月销售量的20%，并说明理由.

12．已知}{),10(log )(n a a a x x f <<=，若数列{a n }

*)(42),(,),(),(),(,2321N n n a f a f a f a f n ∈+ 使得成等差数列. （1）求{a n }的通项a n ;

（2）设),(n n n a f a b ?= 若{b n }的前n 项和是S n ，且.312:,1122

224<-+<-+a

na S a a n n 求证

点拨与全解：

1．解：由条件得2

lg lg lg 2x y y x -+=，即022

2=-+y xy x ，又0,,0≠>>x x y y ，所以化为??

?<>=)

0(,)

0(,2x x x x y ，故选C 。

2.解：设公比为,q 由112

1a q a q a +=，从而2

1±-=

q （负值舍去），故选B 。 3.解：设第n 行的数为n a ，则)2(2

11---++=n n n n a a a ，从而

412211=---n n n n a a ，即数列?

???n n a 2是以

21为首项，41

为公差的等差数列，得)1(412

+=n a n

n ，所以20072007220084

??=

a ，故选A 。 4.设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *

,依题意有

???

?+=?--?=--?)

(9)()(1)

1(1)1(3121311

22121q a q a q a q a q q q a q q a m m 化简得?????==

?????+==+1083

1 ),1(9114121

a q q q a q q 解得设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则

S n =lg a 1+lg a 1q 2+…+lg a 1q n －1=lg a 1n ·q 1+2+…+(n －1)

=n lg a 1+

21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21

n (n －1)lg3 =(－23lg )·n 2

+(2lg2+2

7lg3)·n

可见，当n =3

lg 3

lg 272lg 2+时，S n 最大而4

.024.073.043lg 3

lg 272lg 2??+?=

+=5,故{lg a n }的前5项和最大，故选B 5.解：∵a 2n ＋2＝a 2n ＋1＋1＝（2a 2n ＋1）＋1＝2a 2n ＋2，∴a 2n ＋2＋2＝＝2（a 2n ＋2），

∴数列{a 2n ＋2}是以2为公比、以a 2＝a 1＋1＝2为首项的等比数列．

∴a 2n ＋2＝2×2 n －1，∴a 2n ＝2 n

－2．

又a 2n ＋a 2n ＋1＝ a 2n ＋2a 2n ＋1＝3a 2n ＋1，∴数列{a n }的前2007项的和为

a 1＋（ a 2＋ a 3）＋（ a 4＋ a 5）＋（ a 6＋ a 7）＋ …＋（ a 2006＋ a 2007）＝ a 1＋（3a 2＋1）＋（3a 4＋1）＋（3a 6＋1）＋ …＋（3a 2006＋1）

＝ 1＋（3×2－5）＋（3×22－5）＋（3×23－5）＋ …＋（3×21003

－5）

＝ 1＋（3×2－5）＋（3×22－5）＋（3×23－5）＋ …＋（3×21003

－5）

＝ 3×（2＋22＋23＋…＋21003

＋1－5×1003

＝6×（21003－1）＋1－5×1003＝6×21003

－ 5020 ，故选D ．

6.解:由1,x 1,x 2,4依次成等差数列得 2x 1=x 2+1,x 1+x 2=5解得x 1=2,x 2=3

又由1，y 1,y 2,8依次成等比数列，得y 12

=y 2,y 1y 2=8,解得y 1=2,y 2=4,

∴P 1(2,2),P 2(3,4) ∴21),2,2(OP OP ==(3,4)

∴,5||,22,14862121===+=OP OP OP

1212

cos sin

1010||||

5OPOP POP POP OP OP ∴=

==∴=? 12121211||||sin 512210

OP P S OP OP POP ?∴=

=??= 7．解：由??

?=++=b

a b b

a a

b 222得??

?==4

b a ，原不等式化为18log 0<

8.解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.2

1123,1101=+=≠a b x a 数列}{n b 是以3

为公比的等比数列.于是 .N ,)3

(2112323,)31(211)3

(111

1∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n 9．利用等比数列的求和公式可知：q

a x q q

y -+-=111 10．可证①②③⑤正确。

11.解：（1）Q 型车每月的销售量{}n a 是以首项a a =1，公比01.1%11=+=q 的等比数列，

∴前n 个月的销售总量()

()

101.11001

01.1101.1-=--=n n n a a S ，（n *

N ∈，且24≤n ）.

（2）∵()()

101.1228101.11002---=-n

n n n a a T S

()()()101.1101.1228101.1100+---=n n n a a ()

??? ?

+?--=573201.1101.1228n n a ，又

0101.1>-n ，057

01.1>+

n ，∴n n T S <.

（3）记Q 、R 两款车第n 个月的月销售量分别为n a 和n b ，则1

01.1-?=n n a a ，

当2≥n 时，()()

101

.1228101.12282

221---=-=--n n n n n a a T T b (

)

222

01.15828.401

.1101.1228--=?-?=n n a a

()a a b 0201.02285828.41?=或，显然11%20a b

当2≥n 时，若n n b a ?<%20，221

01.15828.45

01.1--??<

?n n a a ， ()

11201.15828.4501

.1--?>n n ，()091036048.15828

.45

01.11≈>

-n ， 10≥n ，即从第10个月开始，Q 型车的月销售量小于R 型车月销售量的20%。（n n b a ?>%20不可能）

12．解：设2，f (a 1), f (a 2), f (a 3),……，f (a n ),2n+4的公差为d ，则2n+4=2+(n+2－1)d ?d=2,

22log 222)11(2)(+=?+=+=-++=∴n a n nd d n a f n a n .2

2+=∴n n a a （2）22222

2)22(log )(++++=?=?=n n a n n n n a n a a

a f a

b ， 2

2264)22(264+++?+++=∴n n n a n a n a a S

312

11111111)111(1212,0,112.

0,,012,0)1)(12(1210,112],)1(111[121)22(2)1()1(2,

1,)22(][24)1()22(2)22(642

2222222424222

4222242

22424242224422264242222862=+-<+-<-++-<-+---=-+∴><-<<<-<+-=-+?<<<-+-+---=-+-+--=∴≠+-+++=-++?+?-+++=∴++++++a

a a a a a a a a a na S a a

a a a a a a a a a

a a n a a a a a a n a a a a S a a n a a a S a a n a n a n a a S a n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n 又解得故又

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