谈线段的和差倍分问题的证明

线段的和差倍分问题的证明

在初中几何中，证明线段的相等关系是一个重要的教学内容，而有关线段的和、差、倍、分问题，则是其中的教学难点。如何搞好线段的和差倍分的教与学？本文通过一些例题，谈谈它的一般证明方法。

一、运用定理法

即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC

于D ，M 为BC 中点.

求证：DM = 21AB 分析：如图，因为2

1AB 等于△ABC 的 中位线NM 的长，所以原命题就转化为证明DM ＝NM 。∵DN 为Rt △ADC 斜边上的中线，∴DN =NC ；∴∠2=∠C ，又∵2∠C =∠B =∠1=∠2+∠3,∴∠2=∠3=∠C ，∴DM =MN ，问题得证。

说明：证明线段的和差倍分问题，大都是采取间接的方法进行，即把线段的和差倍分问题转化为证明两条线段相等的问题。“转化”是证明线段的和差倍分问题的指导思想，它通过对原问题进行变形，促使矛盾的转移，从而达到化未知为已知，化难为易，化繁为简的目的，一般说来，运用定理法证明线段的和差倍分问题，就是根据有关定理将原命题转化后再证明。

二、割补线段法

这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍

分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。

例2 如图，在△ABC 中，BD =FC ，FG ∥DE ∥BA ，D 、F 在BC 上，E 、G 在AC 上. 求证：FG =AB -DE

分析：本题的关键在于构造一条线段，

使之等于（AB -DE ）,如图，在AB 上载取线

段AH =DE ，则AB -DE =BH ，从而把原命题转化

为证明FG =BH 的问题，进而通过证△BHD ≌FGC ，使原命题得证。

例3 如图，P 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点，AQ 平分∠PAD .

求证：AP =BP +DQ .

证明：延长PB 至E ，使BE =DQ ，

∵四边形ABCD 是正方形，

∴BA =AD ，∠EBA =∠QDA =90°

∴△ABE ≌△ADQ ，∴∠E =∠4，∠3=∠1，

∵∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴∠PAQ =∠BAQ =∠4

∴∠E =∠PAE ，∴PE =AP ，既BP +BE =AP ，

∴BP +DQ =AP

说明：例2通过“分割”的形式构造从两条线段之差，例3通过“添补”的形式构造从两条线段之和，从而将原命题转化为两条线段的问题，值得注意的是：在运用“割补法”证明线段的和差倍分关系时，是运用“添补”的形式构造线段的“和”或“倍”，还是运用“分割”的形式构造线段的“差”或“几分之几”，这不能取决于原命题的和差倍分形式。因为“和”与“差”，“倍”与“分”是可以互相转化的。因此，我们在选择割补的形式时要结合图形和题目的已知条件，即所割补的线段不是“孤立”的，而应能够与原来的图形产生联系。

从以上三个例题可知，在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，

构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。下面请看一个例子。

例4 如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AE 是经过点A 的一条直线，交BC 于F ，且B 、C 在AE 在的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，

求证：DB =DE +CE 。

分析：通过分析题目的已知条件可知：

△ABD ≌△CAE ,从而得AD =CE ，则DE +CE =AE ，

而BD =AE ，原命题得证。

三、比例线段法 即找出与所证明有关的比例式，通过对比例式进行变形或重新组合，从而得出线段之间的和差倍分关系。

例5 如图，在△ABC 中，BD 是∠B 的平分线，△ABD 的外接园交BC 于E ，若AB =21AC ， 求证：CE =2AD 。

分析与证：

因为“CE =2AD ”与“AB =2

1AC ”的倍分关系一致，因此想办法通过比例式将这些线段联系起来，连接DE ，则∠CDE =∠ABC ，故△CDE ∽△CBA ，得CE ：DE =AC ：AB =2，又由BD 为∠ABC 的平分线得DE =AD ，所以CE ：AD =2，即CE =2AD 。

运用定理法、割补法和比例线段法是证明线段的和差倍分问题常用的方法，它们的共同点是：通过变换，促使问题的转化从而达到证明的目的。鉴于几何问题的复杂多样性，在证明线段的和差倍分问题时，不应局限于这三种方法，而应积极开动脑筋，拓展思路，即能够运用定势思维进行思考，又要防止定势思维的局限性。

证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分(推荐文档)

证题技巧之三一一证明线段或角的和差倍分 一、证明线段或角的倍分 1、方法：①长（或大）折半 ②短（或小）加倍 2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问 题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。 3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或 利于利用已知条件而添。 4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与 被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。此时，添 线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。参考例 4、例 5、例6。 例1 AD 是^ ABC 的中线，ABEF 和ACGH 是分别以AB 和 AC 为边向形外作的正方形。求证：FH=2AD / BAC+ / ACN=180 证明：延长AD 至N 使AD=DN 则ABNC 是平行四边形 CN=AB=FA AC=AH 又/ FAH+ / BAC=180 ???△ FAHY NCA ??? FH=AN 例 2、△ ABC 中，/ B=2 / C , AD 是高，M 是BC 边上的中点。 $ ???

1 求证：DM=2 AB / 2=Z B ???/ 2=2Z 1 ???/ 1 = / DNM 又 AN=DN=ND ? DM=2 A B 1 贝J BFAC ??? BF=AE ???△ AEC 心 BFD ?DF 二CE 二 CD=2CE 作业: 1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的延长 1 线交AC 于F ,求证：AF=2 FC 2、AB 和AC 分别切? O 于B 和C, BD 是直径。求证/ BAC 二Z CBD 3、圆内接△ ABC 的AB=AC ,过C 作切线交AB 的延长线于D , DE 垂直于AC 的延长线于E 。求证：BD=2CE 例4从平行四边形的钝角顶点 A 向BC 边作垂线，垂足为E , 证明：取AB 的中点N ，连接MN 、DN 贝J MN // AC / 1 = / C ??? DM=DN 例 3 △ ABC 中，AB=AC , E 是 AB 的中点，D 在AB 的延长线上，且 DB=AC 。求证：CD=2CE 证明：过B 作CD 的中线BF V AB=AC , E 是AB 的中点 又 DB=AC

中考数学复习知识点专题讲解34---线段和差倍分问题的求解策略

中考数学复习知识点专题讲解 线段和差倍分问题的求解策略 在几何问题中，要证明一条线段是另外几条线段的和差，或是另一线段的几倍或几分之几，我们统称为线段的和差倍分问题，处理这类问题的指导思想是化归为线段的相等问题．本文举例说明几种常见的求解策略． 一、利用全等形或相似形 对于线段的倍分问题，通常可利用图形中特殊的分点为解题的突破口，找出图形中较短线段的倍分线段，再用全等三角形证明它与较长线段相等，或围绕特殊分点对应线段所在三角形寻找相似三角形，利用相似形对应线段的比例关系达到求证的目的． 例1如图1，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连CF． (1)求证：BF＝2AE； (2)若CD，求AD的长． 分析由图形的对称性，不难发现点E为AC的中点，即AC＝2AE，故问题(1)只要证明BF＝AC．

(2)略． 例2如图2，点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于点F． (1)求证：△AEB∽△OFC； (2)AD＝2OF．

二、取长补短法 对于线段的和差问题，通常采用延长较短线段或截取较长线段的方式，化归为线段的相等问题（俗称取长补短法）． 例3 如图3，已知点A、B、C、D顺次在⊙O上，且AB＝BD，BM ⊥AC于点M，求证：AM＝CD＋CM． 证明（延长法） 延长DC至点N，使CN＝C M，下面只要证明AM＝DN即可．连 BN，则由AB＝BD，得 ∠ACB＝∠ADB＝∠BAD＝∠BCN， 又CN＝CM，BC为公共边，

例4 如图4，在菱形ABCD中，F为BC边的中点，DF与对角线AC交于点M，过点M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2． (1)若CE＝1，求BC的长； (2)求证：AM＝DF＋ME． 解(1)略；(2)证法1（截取法） 如图4，连BD交AC于点O，分别证明AO＝DF，OM＝ME即可． 证法2（延长法） 如图5，延长DF至点N，使FN＝ME，只要证AM＝DN即可．

线段和差问题证明

线段的和差证明的问题 已知在△ ABC 中，/ B=60°, AD CE 分别平分/ BAC 和/ BCA 求证：AE+CD=AC 如图，在正方形 ABCD 中，点E 在BC 上移动，/ EAF=45°, AF 交CD 于 F ,连接EF ,求证: BE+DF=EF 在厶ABC 中，AB=CB / ABC=90 , AD 为角平分线交 CB 于点 AE 的数量关系，请说明理由 已知在△ ABC 中，/ B=2/ C,Z BAC 的平分线 AD 交BC 于点D,求证： AB+BD=AC 如图，/ ACB=90 ,

变式：已知 AF 平分/ DAE 求证：AE=BE+DF 变式：已知 EF=BE+DF 求证：/ EAF=45 已知在△ ABC 的BC 边上取两点D F , E 、G,求证： AB=ED+GF 如图，点A B C D 顺次在O O 上 , 如图，已知△ ABC 和△ BED 都是等边三角形，且 A 、E 、D 在一条直线上，求证： AB=BD+CD

如图，在梯形 ABCD 中, AD//BC , / BAD 和/ ABC 的平分线交于 E,且CD 过点E ,求证：AB=AD+BC 在四边形ABCD 中，对角线AC 平分/ DAB 1） 如图 1,当/ DAB=120 时，/ B=Z D=90° 时，求证： AB+AD=AC 2） 如图2.当/ DAB=120时，/ B 与/ D 互补时，线段 AB AD AC 有怎样的数量关系？写 出你的猜想并证明 3） 如图3,当/ DAB=90时，/ B 与/ D 互补时，线段 AB AD AC 有怎样的数量关系？写 △ ABC 为等边三角形，点D 为BC 边上一点，连接AD,以AD 为边作等边△ ADE （图1），连接CE, 易证：CE+DC=AC 当点D 在BC 延长线（或反向延长线）上时，其他条件不变，如图 2、3两 种情况下，上述结论是否成立？若成立，给予证明。若不成立，请写出 CE DC AC 之间的 关系，并证明 如图，已知在厶 ABC 中，/ A=108° 出你的猜想并证明 ,AB=AC

利用三角形全等证明线段和差倍分问题

利用三角形全等证明线段和差倍分问题 1. 已知：D 是AB 中点，∠ ACB=90°，求证：12 CD AB 2. 已知：AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证： AC=AB+BD 3. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE C D B

4·如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD 上。求证：BC=AB+DC。 5·已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE

6．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于 D ．求证：AD +BC =AB ． 7．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于 过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ． 8·在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ， MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. P E D C B A F E D C B A

9·如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD 相等吗？请说明理由 10·如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E． （1）若BD平分∠ABC，求证CE=1 2 BD； （2）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围； 若不变，求出它的度数，并说明理由。 E D C B

中考几何证明---线段的和差 根号

线段和差根号 1.已知∠AOB=900，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：OD+OE=2 OC．当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明． 图1 图2 图3 2.已知等腰△ABC中，AB=AC, ∠ACB=900 ,D为AB的中点，点E为平面内一点，连接DF、BE 。过点D作DE的垂线 交直线BE于点F ,且∠DEF=∠ABC ,连接CF .当点E在△ABC内时，如图1 ，易证：BF=CF+2DF . 当点E在△ABC外时，如图2、3两种情况，线段BF、CF、DF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对图3加以证明。 3.在△ABC中，∠ABC=450 , CD⊥AB ,BE⊥AC ,垂足分别为DE ,连接DE . 当点E与点C重合时，此时EC=0 (如图1) ，易证：EB－EC=2DE . 当点E与点C不重合时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，EBECDE又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。 4.如图，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是直线AC上的一动点，过点P作PF⊥CD ,交直线CD于F . (1)如图1，若点P在线段AO上（不与点A、O重合）时，PE⊥PB ,且PE交CD于点E.求证：DF=EF . (2) 若点P在线段OA上（不与点A、O重合）, PE⊥PB ,且PE交直线CD于点E ，求证：PC=PA+2CE . (3) 若点P在直线AC上（不与点A、C重合），PE⊥PB ,且PE交直线CD于点E ，（2）中的结论是否成立？若成立，说明理由。若不成立，请直接写出线段PC、PA、CE间的一个等量关系。 A B C D E F A B C D E F A B C D A B C D E A B C D E

线段和差倍分

部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ 怎样证明线段的和差倍分问题 怎样证明线段的倍分问题 【典型例题】 常规题型1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ?的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 2 1 = ． 常规题型2、已知：如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，?=∠120A ，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N ．求证：CM=2BM ． 能力挑战1、如图所示，在ABC ?中，BC AB 2 1 =，D 是BC 的中点，M 是BD 的中点．求证：AC=2AM ． 能力挑战2、已知：如图所示，在ABC ?中，BD 是AC 边上的中线，BH 平分BH AF CBD ⊥∠,，分别交BD 、BH 、BC 于E 、G 、F ．求证：2DE=CF ． A D P C B Q M A D B A M N B C A E G B D H

部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ 【经典练习】 1、如图所示，已知ABC ?中，21∠=∠，AD=DB ，AC DC ⊥．求证：AB AC 2 1 = ． 2、已知：如图所示，D 是ABC ?的边BC 上一点，且CD=AB ，BAD BDA ∠=∠，AE 是ABD ?的中线．求证：AC=2AE ． 3、已知：如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，?=∠120BAC ，D 是BC 的中点，AB DE ⊥于E ．求证：EB=3EA ． 4、已知：如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，?=∠120BAC ，P 是BC 上一点，且?=∠90BAP ．求证：PB=2PC ． 5、已知：如图所示，锐角ABC ?中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ． A B E D E CE A D E B C A D E B A P B C A D B C 1 2

证明线段和差练习题(三角形全等)

证明线段和差练习题 几何中有许多题目要证明一线段等于另两线段的和（或差），解决这类问题常用的方 法大体有五种，即，利用等量线段代换、截短法、接长法、利用面积证明、旋转等五种。下面分别列举几例逐一说明： 一、利用等量线段代换：证一线段等于另两线段的和（或差），只需证这条全线段的两部分，分别等于较短的两条线段，问题就解决了。 例1已知：如图，在△ABC 中，∠B 和∠C 的角平分线BD 、CD 相交于一点D ，过D 点作EF ∥BC 交AB 与点E ，交AC 与点F 。求证：EF=BE+CF 二、截短法或接长法：所谓截短法就是将长线段，截成几条线段，然后分别证明这几条线段等于要证明中的较短的线段，最后代入达到目的。所谓接长法是将较短的两条线段适当的连接起来，然后再证这条线段等于第三条线段，从而达到目的。 例2：如图所示已知 △ABC 中，0 90C ∠=，AC=BC ，AD 是∠BAC 的 角平分线.求证：AB=AC+CD.

三、面积法：利用三角形的面积进行证明。 例3：所示已知△ABC中，AB=AC，P是底边上的任意一点，PE⊥AC， PD⊥AB，BF是腰AC上的高，E、D、F为垂足。 求证：①PE+PD=BF ②当P点在BC的延长线上时，PE、PD、PF之间满足什么关系式？ 四、旋转法：通过旋转变换，而得全等三角形是解决正 方形中有关题目类型的一种技巧 例4、如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，则有结论EF=BE+FD成立； （1）如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明？若不成立，请说明理由。 （2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，延长BC 到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。 D

线段的和差倍分问题的证明2017

线段的和差倍分问题的证明 一、运用定理法 即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点. 求证：DM = 2 1AB 对应练习 1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ?的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 2 1 = ． 2、如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，?=∠90BAC ，BE 平分ABC ∠，交AC 于D ，BE CE ⊥于E 点，求证：BD CE 2 1 =． 3、如图所示，在ABC ?中，BC AB 2 1 = ，D 是BC 的中点，M 是BD 的中点．求证：AC=2AM ． 4、已知：如图所示，D 是ABC ?的边BC 上一点，且CD=AB ，BAD BDA ∠=∠，AE 是ABD ?的中线．求证：AC=2AE ． Q A D P C B E M A D B A B E D C A

5、已知：如图所示，锐角ABC ?中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ． 二、割补线段法 这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。下面请看一个例子。 例2、P 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点，AQ 平分∠PAD . 求证：AP =BP +DQ . 例3、 如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AE 是经过点A 的一条直线，交BC 于F ，且B 、C 在AE 在的异侧，BD ⊥AE 于D ，求证：DB =DE +CE 。 对应练习 1、如图所示，已知ABC ?中，?=∠60A ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ．求证：BE+CD=BC ． A D E B C A O E B C D

怎样证明线段平方的和、差关系

怎样证明线段平方的和、差关系 1．如图所示，在ABC ?中，BC AD ⊥于D ，M 为AD 上任意一点，求证：2 2 2 2 AC AB MC MB -=-． 2．如图所示，已知ABC ?中，?=∠90A ，M 为AC 的中点，BC MD ⊥于D ，求证：2 2 2 CD BD AB -=． 3．已知：如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，?=∠90BAC ， D 是BC 上一点．求证：2 2 2 2AD CD BD =+． 4．如图所示，已知D 、E 为等腰ABC Rt ?斜边BC 上两点，且?=∠45DAE ，求证：2 22DE BE CD =+． A M B D C A M C D B A D C B A B E D

5．已知：如图所示，在四边形ABCD 中，?=∠+∠90CBA DAB ．求证：2 222AB CD BD AC +=+． 6．如图所示，在ABC Rt ?中，?=∠90C ，D 是AB 的中点，E 、F 分别在AC 和BC 上，且DF DE ⊥，求证：222BF AE EF +=． 7．如图所示，在ABC ?中，?=∠90ACB ，D 是AC 上任意一点，连结BD ，求证：2222AC BD AB CD +=+ 8．如图所示，在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，且?=∠90MDN ．如果2 2 2 2 DN DM CN BM +=+，求证：() 222 4 1 AC AB AD +=． A D B A F E C B C D A A M N C D B

9．已知：如图所示，AD 是ABC ?的中线，AB DE C ⊥?=∠,90于E ．求证：2 22AC BE AE =-． 10．已知：如图所示，在ABC ?中，?=∠90C ，D 是AC 的中点．求证：2 2 2 34BC AB BD +=． 11．已知：如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，M 是BC 上的点．求证：2 2 AB MC MB MA =?+． 12．已知：如图所示，在P 、Q 分别是ABC Rt ?两直角边AB 、AC 上的点，M 为斜边BC 的中点，且 MQ PM ⊥．求证：2222QM PM QC PB +=+． D E A C A C D B A B C A P Q M B C

三角形全等的应用3 证多条线段之间的和差倍分及不等关系(含详细解答)

四、利用全等三角形证线段之间的和差 倍分问题 证一条线段等于其它两条线段的和或差，常将其转化成证明线段的相等问题，常用的方法如下： (1)利用图形中已有的线段和差关系进行证明。 (2)延长一条线段，作出两条线段的和，然后证明这条线段等于第三条线段。 (3)在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后证余下的线段等于第二条线段。 后两种方法，就是通常所说的截长补短。 例1. 已知：如图在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB相邻外角∠ACG的平分线相交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F，求证：EF=BE-CF 分析：要证EF=BE-CF，而图中EF=ED-FD，若证出BE=ED，CF=FD，则此题可证出。（证明略） 例2. 已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB 于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 分析：要证AE=AD+BE，则可转化为证AE-BE=AD，则需找到一条线段使它等于AE-BE，再证其与AD相等，在EA上截取EF=BE，连结CF，问题转化为证AF=AD，即要证出△AFC≌△ADC 证明：在EA上截取EF=BE，连结CF ∵CE⊥AB于E（已知） ∴CF=CB（在线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等） ∴∠1=∠B（等边对等角） ∵∠1+∠2=180°（平角定义） ∠B+∠D=180°（已知）

∴∠2=∠D（等角的补角相等） （再往下证明略） 3.如图，△ABC是等边三角形，∠BDC=120°，且BD=CD,∠MDN=60°，AB=12cm. (1)证明MN=BM＋NC.（2）求△AMN的周长。（3）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，，请说明BM、MN、NC之间的关系。 分析：（1）证明MN=BM＋NC.是典型的三条线段之间的关系的题型，这种题型一般是采用“截长补短法”来证明。“截长法”是在最长的线段MN上找一点F，将MN截为两部分(如图4)，比如截为MN=MF＋NF,且使MF=BM（或NF=NC）.再求证剩余的线段NF=NC，从而得到MN=BM＋NC。证两条线段相等通常是通过两三角形全等来实现，本题是通过证明△BDM≌△FDM和△FDN≌△CDN来实现(如图4)；而本题给出的已知条件不能证明△BDM≌△FDM和△FDN≌△CDN，所以不适用于用截长法来证明。 “补短法”是将两条短线段中的任意一条NC（或BM）延长，比如延长NC到E，使CE=BM.(或延长MB到H,使BH=NC),再证明MN=NE(或证明MN=MH),从而得到MN=BM ＋NC。证两条线段相等通常是通过两三角形全等来实现，本题是通过证明△DBM≌△DCE和△MDN≌△EDN来实现。(如图3)；或者如图0通过证明△DBH≌△DCN和△MDH≌△MDN来实现。

线段和差问题证明

线段的和差证明的问题 如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，求证：DE=AD-BE ' 已知在△ABC 中，∠B=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 和∠BCA ，求证：AE+CD=AC 、 在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90°，AD 为角平分线交CB 于点E ，AD ⊥CD ，请判断线段CD 与AE 的数量关系，请说明理由 ； 已知在△ABC 中，∠B=2∠C ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，求证：AB+BD=AC | 如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 上移动，∠EAF=45°，AF 交CD 于F ，连接EF ，求证： A C

BE+DF=EF — 、 变式：已知AF 平分∠DAE ，求证：AE=BE+DF 变式：已知EF=BE+DF ，求证：∠EAF=45° { 如图，点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC ，垂足为M ，求证AM=DC+CM " 已知在△ABC 的BC 边上取两点D 、 F ，使BD=FC ，过D 、F 分别作BA 的平行线，依次交AC 于E 、 G ，求证：AB=ED+GF ~ 如图，已知△ABC 和△BED 都是等边三角形，且A 、E 、D 在一条直线上，求证：AB=BD+CD O B A M D B A G F E D C

\ 如图，在梯形ABCD 中，AD ∠DAB=120°时，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系写出你的猜想并证明 3）如图3，当∠DAB=90°时，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系写出你的猜想并证明 》 △ABC 为等边三角形，点D 为BC 边上一点，连接AD,以AD 为边作等边△ADE(图1)，连接CE,易证：CE+DC=AC.当点D 在BC 延长线（或反向延长线）上时，其他条件不变，如图2、3两种情况下，上述结论是否成立若成立，给予证明。若不成立，请写出CE 、DC 、AC 之间的关系，并证明 A D B C E A B C D

2021年中考数学热点专题复习：例析线段和差倍分问题的求解策略

2021年中考数学热点专题复习：例析线段和差倍分问题的求解策略在几何问题中，要证明一条线段是另外几条线段的和差，或是另一线段的几倍或几分之几，我们统称为线段的和差倍分问题，处理这类问题的指导思想是化归为线段的相等问题． 一、利用全等形或相似形 对于线段的倍分问题，通常可利用图形中特殊的分点为解题的突破口，找出图形中较短线段的倍分线段，再用全等三角形证明它与较长线段相等，或围绕特殊分点对应线段所在三角形寻找相似三角形，利用相似形对应线段的比例关系达到求证的目的．例1如图1，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD ＝45°，AD与BE交于点F，连CF． (1)求证：BF＝2AE； (2)若CD＝2，求AD的长． 分析由图形的对称性，不难发现点E为AC的中点，即AC＝2AE，故问题(1)只要证明BF＝AC． (2)略． 例2如图2，点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于点F． (1)求证：△AEB∽△OFC； (2)AD＝2OF．

二、取长补短法 对于线段的和差问题，通常采用延长较短线段或截取较长线段的方式，化归为线段的相等问题（俗称取长补短法）． 例3 如图3，已知点A、B、C、D顺次在⊙O上，且AB＝BD，BM⊥AC于点M，求证：AM＝CD＋CM． 证明（延长法） 延长DC至点N，使CN＝C M，下面只要证明AM＝DN即可．连BN，则由AB＝BD，得 ∠ACB＝∠ADB＝∠BAD＝∠BCN， 又CN＝CM，BC为公共边， 例4 如图4，在菱形ABCD中，F为BC边的中点，DF与对角线AC交于点M，过点M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2． (1)若CE＝1，求BC的长； (2)求证：AM＝DF＋ME．

与线段的和差倍分有关问题的处理

与线段的和差倍分有关问题的处理 1. 如图，已知⊿ABC 中，0 90BAC ∠=，AB=AC ，点P 为BC 边上一动点（BP

3. 如图，正方形ABGE （四边相等，四个角都等于0 90）中，点D 在EG 上，点C 在BG 上，且045DAC ∠=，求证：CD=DE+CB. 一道老题. 4. 如图，在上题中，若点D 在EG 的延长线上，点C 在GB 的延长线上，其余条件不变. 求证：DE=BC+CD. G E A B D 先证明三角形BAC 全等于EA*,然后证明绿蓝两个图形全等,做等边转化. C G E D

5.如图，AB=AE ，AB⊥AE ，AD=AC ，AD⊥AC ，点M为BC的中点，求证：DE=2AM. M D E B A C 1.倍长中线是这道题的第一难点.辅助线做出来就做出了一大半. 2.证明角CAN和角EAD相等是本题的第二关键,在于角BAC和角AED+角ADE的相等转化到三角形ANC当中,做等量代换. 6.如图，AD是⊿ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB ，∠BAC=∠BCA，求 证：AE=2AD. 一. 倍长中线的使用,作AD等长的线段DE. 二. 证明蓝绿两三角形全等. A C

【初三】线段、角的和差倍分

【初三】线段、角的和 差倍分 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初中数学竞赛专题选讲 线段、角的和差倍分 一、内容提要 证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。 一.转化为证明相等的一般方法 ㈠通过作图转化 1.要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长 补短法） ⑴分解法――把大量分成两部分，证它们分别等于两个 小量 ⑵合成法――作出两个小量的和，证它与大量相等 2.要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2倍 ⑴折半法――作出大量的一半，证它与小量相等 ⑵加倍法――作出小量的2倍，证它与大量相等 ㈡应用有关定理转化 1.三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和 的一半 2.直角三角形斜边中线等于斜边的一半 3.直角三角形中，含30度的角所对的直角边等于斜边的一 半

4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和 5.等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍 6.三角形的重心（各中线的交点）分中线为2∶1 7.有关比例线段定理 二.用代数恒等式的证明 1.由左证到右或由右证到左 2.左右两边分别化简为同一个第三式 3.证明左边减去右边的差为零 4.由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论 二、例题 例1.已知：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高 求证：DC＝AB＋BD 分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB，BD 相等。 可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE，再证EC＝AE。∵∠AEB＝∠B＝2∠C且∠AEB＝∠C＋∠EAC，∴∠EAC＝∠C 辅助线是在DC上取DE＝DB，连结AE。 分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。 1

几何证明——线段和差模型(中级)

几何证明——线段和差模型(中级) 【知识要点】 在几何证明中，我们经常遇到要求证明两条线段之和等于一条线段（c b a +=），或者两条线段之差等于一条线段（c b a -=）。在处理这类线段和差关系的问题时，我们常用“截长”与“补短”的方法。 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何问题化难为易的一种思想。截长就是在一条线段上截取成两段（一分为二），补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边（合二为一）。 截长法：如果要证明线段等式c b a +=，可以在长的一条线段a 上截取一条线段等于b （或者c ），然后只需证明线段a 上去掉b （或者c ）之后剩下的线段等于c （或者b ）就行了。 补短法：如果要证明线段等式c b a +=，可以先将短的两条线段b 和c 拼接在一起形成一条长线段d ，然后只需要证明d a =就行了。 截长补短的方法比较灵活，要根据具体的题目条件，作出相应的辅助线。 对于一些经典的截长补短模型，希望同学们能记住并掌握其用法，以便在遇到类似的几何情境时能迅速作出反应。 【经典例题】 例1、（1）正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，ο 45=∠EAF 。求证：BF DE EF +=。 F （2）正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，ο 45=∠EAF 。请问现在 BF DE EF 、、又有什么数量关系？ E （3）正方形ABCD 中，点E 在DC 延长线上，点F 在CB 延长线上，ο 45=∠EAF 。请问现在 BF DE EF 、、又有什么数量关系？ 例2、正三角形ABC 中，E 在AB 上，F 在AC 上ο60=∠EDF 。ο 120=∠=BDC DC DB ，。

线段的和差倍分教案

线段的和差倍分教案 篇一：三角形专题线段的和差倍分 专题：三角形之线段的和差倍分 1、在△ABC中，∠ACB= 900，AC=BC，直线MN经过点C，且AD ⊥MN于D，BE⊥MN于E。 （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE。（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，问DE 、AD、BE 有何关系，并说明理由。 A 2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D. 求证：DE?AD?BE. 3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：（1）FC=AD； （2）AB=BC+AD 4、如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线 垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F． 求证：?BD=CF ?BD=2CE．

5、?如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D 点作EF∥BC交AB于E， 交AC于F，求证：EF=BE+CF． ?在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，过D点作EF∥BC 交AB于E，交AC于F， 试探究BE、EF与CF的数量关系． 篇二：【教案】2.4线段的和与差 2.4线段的和与差 教学目标 1．理解线段可以相加减，掌握用直尺、圆规作线段的和、差. 2．利用线段的和与差进行简单的计算。 教学重点和难点 重点：用直尺、圆规作线段的和、差。 难点：进行简单的计算。 教学时间：1课时 教学类型：新授 教学过程： 一、复习旧知，作好铺垫 1．已知线段AB，用圆规、直尺画出线段CD，使线段CD=AB. 2．两点间的距离是指（） A.连结两点的直线的长度； B.连结两点的线段的长度；

线段和差问题证明

线段的和差证明的问题 如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，求证：DE=AD-BE 已知在△ABC 中，∠B=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 和∠BCA ，求证：AE+CD=AC 在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90°，AD 为角平分线交CB 于点E ，AD ⊥CD ，请判断线段CD 与AE 的数量关系，请说明理由 已知在△ABC 中，∠B=2∠C ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，求证：AB+BD=AC 如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 上移动，∠EAF=45°，AF 交CD 于F ，连接EF ，求证：BE+DF=EF A C

变式：已知AF 平分∠DAE ，求证：AE=BE+DF 变式：已知EF=BE+DF ，求证：∠EAF=45° 如图，点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC ，垂足为M ，求证AM=DC+CM 已知在△ABC 的BC 边上取两点D 、F ，使BD=FC ，过D 、F 分别作BA 的平行线，依次交AC 于E 、G ，求证：AB=ED+GF 如图，已知△ABC 和△BED 都是等边三角形，且A 、E 、D 在一条直线上，求证：AB=BD+CD B C

如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠BAD 和∠ABC 的平分线交于E ，且CD 过点E ，求证：AB=AD+BC 如图，已知在△ABC 中，∠A=108°，AB=AC ，∠B 的平分线交AC 于D ，求证：AC+CD=BC 在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠DAB 1）如图1，当∠DAB=120°时，∠B=∠D=90°时，求证：AB+AD=AC 2）如图2.当∠DAB=120°时，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系？写出你的猜想并证明 3）如图3，当∠DAB=90°时，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系？写出你的猜想并证明 △ABC 为等边三角形，点D 为BC 边上一点，连接AD,以AD 为边作等边△ADE(图1)，连接CE,易证：CE+DC=AC.当点D 在BC 延长线（或反向延长线）上时，其他条件不变，如图2、3两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给予证明。若不成立，请写出CE 、DC 、AC 之间的关系，并证明 B

2012中考数学专题复习：证明线段的和差(教案)

专题学习：证明线段的和差 （王成.2012-04-19） 一、中考题回顾： （2011．泸州中考）如图，点P 为等边?ABC 外接圆劣弧BC 上的一点。求证：PA=PB+PC 。 按照这种思路，尝试完成下面这道题。 二、例题分析 例：如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB=AC+BD 。 评讲：容易得到∠AEB=900 。 法一：在AB 边上取点F ，使AF=AC ，证BF=BD 。→分析：这种方法就是把长线段AB 分割成两段，通过将AC 、BD 转化到AB 上，从而使问题获证。本题是利用什么来转化的？（线段相等）利用什么来证相等的？（三角形全等）在证BED ?≌BEF ?时之所以如此顺利是因为利用好了题目中的哪个条件？（EBF EBD ∠=∠）→可以看作是将ACE ?作了怎样的变换？（关于直线AE 成轴对称） 法二：延长AC 、BE 相交于点D ，证AD=AB 。→分析：这种方法就是把BD 转化到CD ，将两条短线段拼接在一起构成线段AD ，通过证明AD=AB ，从而使问题获证。本题是利用什么来实现转化的？（线段相等）利用什么来证相等的？（三角形全等）在证ABE ?≌ADE ?时之所以如此顺利是因为利用好了哪个条件？（AE 平分CAB ∠）在证BED ?≌DEC ?时之所以如此顺利是因为利用好了哪个条件？（BE DE =）→可以看作是将BED ?作了怎样的变换？（关于点E 成中心对称） 分析：若问题改成“求证：AB —AC=BD ”也可用这样的方法完成。 小结：像这样，证明线段的和或差大都采用转化的方法进行，就是将有关系的线段转化在一条线段上，转化时大都利用相等转化。（板书：证明证明线段的和差的思想：转化。） 证明线段相等时可能用到的定理： ①全等三角形的对应边相等； ②等腰三角形：等角对等边。 ③平行四边形对边相等；

七年级上期有关角和线段的和差倍分专项训练经典

线段有关的计算题 例1.由O 是线段A Ｂ的中点，你能得出哪些关系式? ∵O 是线段AB 中点(已知) ∴ＡO= ，或AO=2 1 ,或AB=２ 例2：（1）已知:O 是线段ＡＢ中点，ＡＢ=10cm ，求OA 的长度。 （2）已知:O 是线段AB 中点,ＯA=5cm ，则ＯB= ,AB= 。

例３：线段AB=8cm,C 是ＡＢ的中点，D 是BC 的中点,求A Ｄ的长度。 例4.已知线段ＡB=10，C 是线段AB 上的任意一点,M 是A Ｃ的中点，Ｎ是BC 的中点，求线段MN 的长。 例5．已知C 为线段AB 的中点，ＡB ＝10，D 是AB 上一点,若CD ＝２，求线段BD 的长。 1. 已知:O 是线段AB 中点,OA=３c ｍ，则 OB= ,AB= 。 2. 已知：O 是线段AB 中点，A Ｂ＝７cm ，则OA ＝ 。 3.如图,若CB=４ｃm ，ＤB ＝7c ｍ，且D 是AC 的中点,ＡＣ= 。 4.长为 ２2 ｃm 的线段 AB 上有一点 C ，求A Ｃ、BC 的中点间的距离。 【拔高例题】 [例１] 填空如图,把线段AB 延长到点C,使ＢＣ=2AB,再延长BA 到点D ，使AD=3A Ｂ，则 ① DC=＿____A Ｂ=____＿BC ② D Ｂ=____＿CD=_____B Ｃ [例2] 填空 如图,点M 为线段ＡC 的中点，点N 为线段BC 的中点 ① 若AC=2cm,B Ｃ＝３cm ，则MN=__＿__c ｍ ② 若AB=６cm,则MN ＝_____cm ③ 若A Ｍ=1cm ，BC=3ｃｍ,则AB=__＿__ｃm ④ 若AB ＝5cm ，ＭC=1ｃｍ，则ＮＢ=_____c ｍ [例3] 根据下列语句画图并计算 (1)作线段AB ，在线段AB 的延长线上取点C,使ＢC=2ＡB ，M 是线段B Ｃ的中点,若ＡＢ=30ｃm,求线段BM 的长 (2)作线段AB ，在线段AB 的延长线上取点Ｃ，使BC=2AB ，M 是线段ＡC 的中点，若AB ＝30c ｍ,求线段BM 的长 [例4] 如图，已知AB= ４０,点Ｃ是线段ＡＢ的中点，点D 为线段CB 上的一点,点E 为线段D Ｂ的中点，EB=６,求线段CD 的长。 [例5] 如图，AE=2 1EB ，点F 是线段B Ｃ的中点,BF=5 1 A Ｃ＝1．５,求线段E Ｆ的长。 A B C M N A B C D E A B C E F

(完整版)证明线段和差练习题(三角形全等)

证明线段和差练习题 一、【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC 中 方式1： 延长AD 到E ， AD 是BC 边中线 使DE=AD ， 连接BE 方式2：间接倍长 作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ， 连接BE 连接CD 二、利用平行线及等腰三角形性质 例1已知：如图，在△ABC 中，∠B 和∠C 的角平分线BD 、CD 相交于一点D ，过D 点作EF ∥BC 交AB 与点E ，交AC 与点F 。求证：EF=BE+CF 二、截短法或接长法：所谓截短法就是将长线段，等于要证明中的较短的线段，最后代入达到目的。所谓接长法是将较短的两条线段适当的连接起来，然后再证这条线段等于第三条线段，从而达到目的。 例2：如图所示已知 △ABC 中，0 90C ∠=，AC=BC ，AD 是∠BAC 的 角平分线.求证：AB=AC+CD. 三、面积法：利用三角形的面积进行证明。 例3：所示已知 △ABC 中，AB=AC ，P 是底边上的任意一点，PE ⊥AC ，

PD ⊥AB ，BF 是腰AC 上的高，E 、D 、F 为垂足。 求证：①PE+PD=BF ②当P 点在BC 的延长线上时，PE 、PD 、PF 之间满足什么关系式？ 例4、如图①，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF=45°，则有结论EF=BE+FD 成立；（1）如图②，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B=∠D=90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF 是∠BAD 的一半，那么结论EF=BE+FD 是否仍然成立？若成立，请证明？若不成立，请说明理由。 （2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°，延长BC 到点E ，延长CD 到点F ，使得∠EAF 仍然是∠BAD 的一半，则结论EF=BE+FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。 练习题1. 如图2—1—3所示已知 三角形ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ， 求证：AB+BD=AC. 2. 如图2—1—8所示已知△ ABC 中， 090ACB ∠=，AC=BC ，E 是AB 上的一点， BD ⊥CE ，AF ⊥CE ，垂足分别为D 、F ，∠B=2∠C ，求证：DF+AF=CF.