1.3.1函数的基本性质(一)单调性与最値
1.3函数的基本性质 1.3.1单调性与最大（小）値
学习目标：1.理解函数单调性的概念及最値的定义，学会运用单调性的定义判断简单函数的单调性；能求单调函数和二次函数的最值. 2.自主学习，合作探究，学会求数形结合及分类讨论的数学思想方法. 3.认识到事物的特殊性与一般性的关系.培养良好的思维习惯，养成积极探索的良好品质.
重点：函数单调性概念的理解. 难点：函数单调性的判断.
课前预习案
使用说明与学法指导： 1.用15分钟的时间阅读探究课本上的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力.2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题.3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到“我的疑惑”处。 一、相关知识
1.复习初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数的图象，直观感受函数的变化情况.
2.请同学们回忆初中画函数图象的步骤.
学习建议：请同学们回忆初中的知识并作出回答。 二、教材助读
1.你能借助图象的图象来描述它在某个区间上的“上升”或“下降”情况吗？
2.增函数、减函数是怎样定义的？
3.函数的单调区间包括哪两个方面？
4.函数的最大（小）値是如何定义的？
5.是不是每个函数都有最值？ 三、预习自测
学习建议：自测题体现一定的基础性，又有一定的思维含量，只有“细心才对，思考才会”.
1.函数2
=-6+10y x x 在区间（2,4）上是（ ）
A.减函数
B. 增函数
C. 先减后增
D. 先增后减 2. 下列函数中，在区间（0,2）上为增函数的是（ ） A. =5-y x B. 2
=+1y x C. 1
=
y x
D. =-y x 3. 若()f x 在R 上是增函数，且12()>()f x f x ，则12,x x 的大小关系是_________. 4. 函数2
=++1y x x 的最小值是___________.
我的疑惑：请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决.
课堂探究案
一、学始于疑-------我思考，我收获
1.在证明函数的单调性时，所取的两个变量应具有什么特征？
2.一般的，函数的单调区间能写出并集的形式吗？
3.函数1
=
y x
有最值吗？ 4.函数的最值与定义域、单调性之间有什么样的关系？
学习建议：请同学们用5分钟的时间认真思考这些问题，并结合预习中自己的疑惑开始下面的探究学习。
二、质疑探究——质疑解疑、合作探究 （一）基础知识探究
探究点：单调性、最值的有关概念
请同学们探究下面的问题，并在题目的横线上填出正确答案： 1.函数2
=y x 的图象是如何变化的？. 2.单调性的概念：
一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ?，如果对于区间D 内的_________________,当12 D 上是增函数；当12 上是减函数. 3.如果一个函数在区间D 上是_________或 ________,那么就说这个函数在区间D 上具有（严格的）单调性，区间D 称为这个函数的_________________. 4.最值的概念：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有__________M ；（2）存在0x I ∈，使得_________M.那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值. 你能仿照函数最大值的定义，给出函数()y f x =的最小值的定义吗？ 归纳总结： （二）知识综合应用探究 探究点一 单调性、最值概念的应用（重点） 例1.画出函数2 y x = 的草图，观察图象，你能写出它的单调区间吗?它在(,0)-∞上是增函数还是减函数？请证明你的结论. 思考1：此函数的图象是什么形状？它有几个单调区间？ 思考2：在使用函数的单调性定义判断时，12,x x 是给定区间上的两个固定的値还是任意取值？ 思考3：用单调性定义判断单调性的步骤是怎样的？ 拓展提升1：除了反比例函数，初中还研究过哪些函数？你能各分别举出实例吗？请通过图象发现其单调区间，并用单调性定义试着证明. 学习建议：自主探究后小组交流，试着归纳出一般结论. 拓展提升2：例1中，如果分别令[3,1],[3,),[3,0)(0,1]x x x ∈--∈+∞∈- ，函数存在最值吗？最大值是多少？最小值呢？ 学习建议：自主探究后合作交流. 拓展提升3：判断函数1 ()=f x x x + 在区间 [1,)+∞上的单调性并求其最值. 探究点二 函数单调性的综合应用（难点） 例 2.已知函数2 ()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞是减函数，求实数a 的取值范围. 思考1：二次函数的单调区间有几个？思考2：对称轴与区间端点之间是什么关系？ 学习建议：自主探究后谈谈你的分析思路. 规律方法总结： 拓展提升：已知函数()f x 是[1,1]-上的增函数，求不等式(1)(1-3)f x f x -<的解集. 思考1：增函数的函数值随自变量的增大而发生什么变化？ 思考2：1x -和13x -是否在定义域内？它们的大小关系确定吗？ 学习建议：探究后谈谈你的解题思路. 探究点三 求函数的单调区间（难点） 例3. 求函数 ()f x =. 思考１.该函数的定义域是什么？ 思考２.函数y =22u x x =-+分别有怎样的单调性？ 学习建议：探究后初步了解复合函数单调性的判断方法. 规律方法总结； 三、我的知识网络图--------归纳梳理、整合内化 请同学们对本节所学知识归纳总结后，完成下面的问题： 1.本节课你学到了哪些判断函数单调性的方法？ 2.你认为函数的单调性有什么作用? 四、当堂检测——有效训练、反馈矫正 1.下列命题正确的是（ ）. Ａ．定义在(,)a b 上的函数()f x ，若存在12,(,)x x a b ∈，使得12 Ｂ．定义在(,)a b 上的函数()f x ，若存在无穷多对12,(,)x x a b ∈，使得12 12()<()f x f x ，那么()f x 在(,)a b 上为增函数 Ｃ．若()f x 在区间1I 上是增函数，在区间2I 上也为增函数，那么()f x 在区间12I I 上也是增函数 Ｄ．若()f x 在区间I 上是增函数，且1212()<()(,)f x f x x x I ∈，那么12 2.已知函数()f x 区间(0,+)∞上是减函数，那么2 (-+1)f a a 与3()4 f 的大小关系是______________________. 有错必改 我的收获（反思静悟、体验成功）： 课后训练案 学习建议：完成课后训练案需定时训练，时间不超过20分钟，独立完成，不要讨论交流，全部做完后再参考答案查找问题. 【基础知识检测】 1.若一次函数=+(0)y kx b k ≠在R 上是单调减函数，则点(,)k b 在直角坐标平面的（ ） A.上半平面 B.下半平面 C.左半平面 D.右半平面 2.若函数=()y f x 定义在区间[-1,2]上，且1-<(1)2f f ?? ??? ，则()f x 在区间[-1,2]上是（ ） A.增函数 B. 减函数 C. 先减后增 D. 无法判断其单调性 3. 如果函数()f x 在(,)a b 上为增函数，对于任意的12,(,)x x a b ∈12()x x ≠，则下列结论不正确的（ ） A. 1212()-()>0-f x f x x x B. 12 12->0()-() x x f x f x C. []1212-)()-()>0x x f x f x （ D. 12()<()<()<()f a f x f x f b 4.二次函数=()y f x 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是直线=3x ，则下列式子中错误的是（ ） A. (5)> (4)f f B.(2) 5.若函数()f x 在(-,+)∞∞上为增函数，则（ ）. A. ()>(2)f a f a B.2 ()<()f a f a C. 2 (+)<(-1)f a a f a D. 2(+1)<()f a f a 6.当[0,5]x ∈时，函数2 ()=3-4+f x x x c 的值域是（ ） A.[(0),(5)]f f B. 2[(0),( )]3f f C. 2 [(),(5)]3 f f D. [c,(5)]f 7. 已知函数2 ()=+2(1-2)+6f x x a x 在区间(-,-1)∞上为减函数. （1）求(2)f 的取值范围；（2）比较(2-1)f a 与(0)f 的大小 . 【拓展题目探究】 8. 已知函数()f x 是定义在(0,+)∞上的增函数，(2)=1f 且. ()=()+()f xy f x f y ，求满足不等式()+(-3)2f x f x ≤的x 的取值范围. 函数的基本性质——单调性与最大(小)值 【教学目标】 1．知识与技能：了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思 2．过程与方法：理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间 3．情感、态度与价值观：掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性 【教学重难点】 教学重点：函数的单调性的概念。 教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性 【教学过程】 一、复习引入。 1 分别画函数2x y =和3x y =的图象。2 x y =的图象如图1，3x y =的图象如图2． 2．引入：从函数2x y = 的图象（图1）看到： 图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x 在区间[0，+∞）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞），得到1y =)(1x f ，2y =)(2x f ，那么当 1x ＜2x 时，有1y ＜2y 。 这时我们就说函数y =)(x f =2x 在[0，+∞）上是增函数。图象在y 侧部分是下降的，也就是说，当x 在区间（－∞，0）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（－∞，0），得到1y =)(1x f ， 2y =)(2x f ，那么当1x ＜2x 时，有1y >2y 。 这时我们就说函数y =)(x f =2x 在（－∞，0）上是减函数。函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的。 二、讲解新课。 1．增函数与减函数。 定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 21,x x ，（1）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f ＜)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是 增函数（如图3）；（2）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f >)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）。 说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数。例如函数2 x y =（图1），当x ∈[0，+∞）时是增 函数，当x ∈（－∞，0）时是减函数。 2．单调性与单调区间。 若函数y=f （x ）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 说明：（1）函数的单调区间是其定义域的子集； （2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 那样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ， （3）除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f ＜)(2x f 或)(1x f >)(2x f ，”改为“)(1x f )(2x f 或) (1x f ≥ )(2x f ，”即可； （4）定义的内涵与外延： 内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减。 ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数。 三、讲解例题。 1 第二讲 函数的性质（一） 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2 当x 1 函数单调性的判定方法 1.判断具体函数单调性的方法 对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种： 1.1 定义法 首先我们给出单调函数的定义。一般地，设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、 D x ∈2，当21x x <时，总有 (1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数； (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。 给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数 )(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； （2）作差)()(21x f x f -； （3）变形（普遍是因式分解和配方）； （4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）； （5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。 例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则 ).)(()()()(212 221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212221>++ =++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(212 2211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在() +∞∞-,上是减函数。 例2.用定义证明函数x k x x f + =)()0(>k 在),0(+∞上的单调性。 证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则 )()()()(221121x k x x k x x f x f +-+ =-)()(2 121x k x k x x -+-= )( )(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2 12121x x k x x x x --=， 又210x x <<所以021<-x x ，021>x x ， 当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ?0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数； 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ?0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。 综上函数x k x x f + =)()0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。 此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。 用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当 21x x <时，容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直 接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。 1.2 函数性质法 函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x （1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是减函数。 要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为 0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： 1. f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题） 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数； 函数的基本性质 一、单调性定义 1．单调性定义：设函数f(x)的定义域为A，区间M?A，若对于任意的x1，x2∈M，当x1 函数的单调性 知识点 1、增函数定义、减函数的定义： （1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间M ?A ，如果取区间M 中的任意两个值21,x x ,当改变量012>-=?x x x 时，都有0)()(12>-=?x f x f y ，那么就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数，如图（1）当改变量012>-=?x x x 时，都有0)()(12<-=?x f x f y ，那么就称 函 数)(x f y =在区间M 上是减函数，如图（2） 注意：单调性定义中的x 1、x 2有什么特征：函数单调性定义中的x 1,x 2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间． 1、 根据函数的单调性的定义思考：由f (x )是增(减)函数且f (x 1) 函数的单调性（教学设计） 一、本节内容在教材中的地位与作用： 《函数的单调性》系人教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 二、学情、教法分析： 按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。依据现有认知结构，学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。 三、教学目标与教学重、难点的制定： 依据课程标准的具体要求以及基于教材内容的具体分析，制定本节课的教学目标为： §1.3函数的基本性质 教材分析 函数性质是函数的固有属性，是认识函数的重要手段，而函数性质可以由函数图象直观的反应出来，因此，函数各个性质的学习要从特殊的、已知的图象入手，抽象出此类函数的共同特征，并用数学语言来定义叙述。基于此，本节的概念课教学要注重引导，注重知识的形成过程，习题课教学以具体技巧、方法作为辅助练习。 学情分析 学生对函数概念重新认识之后，可以结合初中学过的简单函数的图象对函数性质进行抽象定义。另外，为了方便学生做题及熟悉函数性质，还需要补充一些函数图象的知识，例如平移、二次函数图象、含绝对值函数的图象、反比例函数及其变形的函数图象。总之，本节课的教学要从学生认知实际出发，坚持从图象中来到图象中去的原则。 教学建议 以图象作为切入点进行概念课教学，引导学生对概念的形成有一个清晰的认识，尤其是概念中的部分关键词要做深入讲解，用函数图象指导学生做题。 教学目标 ?知识与技能 （1）能理解函数单调性、最值、奇偶性的图形特征 （2）会用单调性定义证明具体函数的单调性；会求函数的最值；会用奇偶性定义判断函数奇偶性 （3）单调性与奇偶性的综合题 （4）培养学生观察、归纳、推理的抽象思维能力 ?过程与方法 （1）从观察具体函数的图像特征入手，结合相应问题引导学生一步步转化到用数学语言形式化的建立相关概念 （2）渗透数形结合的数学思想进行习题课教学 ?情感、态度与价值观 （1）使学生学会认识事物的一般规律：从特殊到一般，抽象归纳 （2）培养学生严密的逻辑思维能力，进一步规范学生用数学语言、数学符号进行表达 课时安排 （1）概念课：单调性2课时，最值1课时，奇偶性1课时 （2）习题课：5课时 第一课时 单调性 教学重点 借助图象、自然语言和符号语言形成对增（减）函数的形式化定义，并能用定义解决简单函数的单调性问题 教学难点 （1）在形成增函数、减函数形式化定义的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到数学符号的语言表述 （2）用定义证明单调性的规范写法（主要是学生对“在定义域的指定区间上任意取21,x x ，且21x x <”的理解） 教学过程 一、由特殊到一般，引入课题 学生画图x y =与x y -=，老师引导观察图象特点，说出自己关于图象的直观感受. 提示：统一从左往右看，函数图象有什么图形特征？函数值有什么样的变化特点？能否借助函数定义中x 和y 的对应来表达这种变化的规律？ 二、新课教学 老师提问：上述两个函数图象仅仅是众多函数中比较典型的两类，那么对于一般的函数无非是从左往右或升或降，那么如何用数学语言描述一般函数的这种变化规律？（统一从左往右看意即我们规定自变量x 越来越大的情况下，上升意味着函数值y 越来越大，下降意味着函数值y 越来越小.） 一般地，设函数)(x f 的定义域为I ： 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有 v1.0可编辑可修改 函数单调性的判定方法 学生：日期 ;课时：教师： 1.判断具体函数单调性的方法 定义法 一般地，设 f 为定义在D上的函数。若对任何x1、x2 D ，当 x1x2时，总有 (1) f ( x1 ) f (x2 ) ，则称 f 为D上的增函数，特别当成立严格不等 f (x1 ) f ( x2 ) 时，称 f 为D上的严格增函数； (2) f (x1) f ( x2 ) ,则称 f 为D上的减函数，特别当成立严格不等式 f ( x1) f (x2 ) 时，称 f 为D上的严格减函数。 利用定义来证明函数y f ( x) 在给定区间 D 上的单调性的一般步骤： （ 1）设元，任取x1,x2 D 且 x1x2； （2）作差f (x1) f (x2)； （3）变形（普遍是因式分解和配方）； （ 4）断号（即判断 f ( x1 ) f ( x2 ) 差与0的大小）； （ 5）定论（即指出函数 f (x)在给定的区间D上的单调性）。 例 1. 用定义证明 )3 f x x a a R ,) 上是减函数。 (() 在( 证明：设 x1,x2(,) ，且 x1x2，则 f ( x1 ) f (x2 )x13 a ( x23a)x23x13( x2x1 )( x12x22x1 x2 ). 由于 x12x22x1 x2(x1x2)23 x220 ， x2x10 24 则 f (x1 ) f ( x2 )( x2x1 )( x12x22x1 x2 )0 ，即f ( x1) f ( x2 ) ，所以 f (x) 在,上是减函数。 v1.0可编辑可修改 例 2. 用定义证明函数 f ( x)x k 0)在 (0,) 上的单调性。 ( k x 证明：设 x1、 x2 (0,) ，且x1x2，则 f ( x1 ) f (x2 )( x1k ) ( x2k )(x1x2 ) ( k k ) x1x2x1x2 (x1x2 ) k( x 2 x 1 ) ( x1x 2 ) k( x 1 x 2 ) ( x1x2)( x1 x2 k ) ，x1x2x1 x2x1 x2 又 0 x1x2所以 x1x20 ， x1 x20 ， 当 x1、x2(0,k ] 时x1x2k0 f ( x1 ) f (x2 )0 ，此时函数f ( x) 为减函数；当 x1、x2( k ,) 时x1x2k0 f ( x1 ) f ( x2 )0 ，此时函数 f (x) 为增函数。 综上函数 f ( x)x k (k0) 在区间(0,k ] 内为减函数；在区间 (k , ) 内为增函数。x 此题函数 f ( x) 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于x1 x2k 与0的大小关系 ( k0) 不是明确的，因此要分段讨论。 用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数x1 , x2当 x1x2时，容易得出 f ( x1 ) 与f( x2 ) 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比 较清晰，但通常过程比较繁琐。 函数性质法 函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性 结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表： 函数函数表达式单调区间特殊函数图像 一当 k0 时，y在R上是增函数； 次 函y kx b(k0) 0 时，y在R上是减函数。 数当 k 函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性） “定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。 1. 奇偶性 奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇； ③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称 （2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数 常用性质： 1．0)(=x f 是既奇又偶函数； 2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足) ()()(x f x f x f =-=； 4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称； 5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足： （1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶 （2） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数 2) ()()(x f x f x --= ?和一个偶函数 2) ()()(x f x f x -+= ψ的和。 2. 单调性 定义：函数定义域为A ，区间，若对任意 且 ①总有 则称 在区间M 上单调递增 ②总有则称在区间M 上单调递减 应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性 一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论 （二）求函数的单调区间 定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论 （1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减 函数单调性的定义及性质 例1 判断并讨论下列函数在其定义域上的单调性 （1）b x a x x f ++=)( （2）c bx ax x f ++=2)( （3）)0,()(≠+ =b a x b ax x f （4）1 )(2-=x ax x f 例2 （1）x x f 1 )(=的单调递减区间是 。 （2）已知? ??≥-<+-=1,)1(1 ,4)13()(x x a x a x a x f 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的 取值范围是 . （3）设函数ax x x f -+= 1)(2 ，其中0>a 。求a 的取值范围，使函数 )(x f 在区间),0[+∞上是单调函数。 （4）讨论函数2 1)(x ax x f -=在()1,1-∈x 上的单调性。 （5）已知奇函数)(x f 在区间[-b, -a ](b>a >0)上是一个恒大于0的减函数，判断函数|)(x f |在区间[a , b]上的单调性，并证明你的结论。 例3单调性结论的应用 （1）已知函数a x x y ++= 1 2在)2,(--∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 。 （2）若函数ax x x f 2)(2 +-=与函数1 )(+= x a x g 在区间]2,1[上都是减函数，则实数a 的取值范围是 。 （3 ）函数y 的单调递减区间为 （4）如果函数)(x f 在R 上是减函数，那么函数)2(2 x x f -的单调递减区间 是 。 （5）设函数)(x f y =是定义在)2,2 1(上的增函数，则函数)1(2-=x f y 的单调递减区间为 。 配套练习： （1）若f(x)= —x 2+2ax 与1 )(+=x a x g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的值范 围是 . （2）已知)(x f 是R 上的增函数，令)(),3()1()(x F x f x f x F 则+--=是 . （3）函数142+--=mx x y 在[2,)+∞上是减函数，则m 的取值范围是 . （4）若f (x )= 2 1 ++x ax 在区间（－2，＋∞）上是增函数，则a 的取值范围是 . 例4（1）已知)(x f 是定义在R 上的函数，它在),0[+∞上递减，试比较 )1()4 3 (2+-a a f f 与的大小关系。 （2）已知)(x f 是R 上的增函数，A （0，－1），B （3,1）是其图象上的两点，则不等式1|)1(|<+x f 的解集为____________________。 （3）函数4 ()([3,6])2 f x x x = ∈-的值域为____________。 （4）函数x x x f --+= 11)(的值域为____________。 （5）已知函数()f x 的定义域是),0(+∞，且满足()()()f xy f x f y =+,1()12 f =,如果对于0x y <<,都有()()f x f y >, ①求(1)f ； ②解不等式 2)3()(-≥-+-x f x f 。 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1 2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1 3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1 函数的性质练习(奇偶性，单调性，周期性，对称性) 1、定义在R 上的奇函数)(x f ，周期为6，那么方程0)(=x f 在区间[6,6-]上的根的个数可能是 A.0 B.1 C.3 D.5 2、f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( ) A ．1 B ．4 C ．3 D ．2 3、已知)(x f 是R 上的偶函数,)(x g 是R 上的奇函数,且)(x g =)1(-x f ,那么=)3120(f A.0 B.2 C. 2- D.2± 4、已知1 1 2)(-+ =x x x f ，那么=+++++-+-+-)8()6()4()2()0()2()4()6(f f f f f f f f A.14 B.15 C. 16- D.16 5、已知)(x f 的定义域为R ，若)1()1(+-x f x f 、都为奇函数，则 A.)(x f 为偶函数 B.)(x f 为奇函数 C.)(x f =)2(+x f D.)3(+x f 为奇函数 6、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)1()1(--=+x f x f ，则下列结论一定成立的是 A.)(x f 的周期为4 B. )(x f 的周期为6 C. )(x f 的图像关于直线1=x 对称 D. )(x f 的图像关于点(1 , 0) 对称 7、定义在R 上的函数)(x f 满足:)()(x f x f -=-,)1()1(x f x f -=+，当∈x [1-, 1] 时，3 )(x x f =，则=)2013(f A.1- B.0 C.1 D.2 8、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)2()2(x f x f -=+，并且)1(+x f 为 偶函数. 若3)1(=f ，那么=)101(f A.1 B.2 C.3 D.4 9、已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2 10、若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ???? 32 等于( ) A ．0 B ．1 C.12 D ．－1 2 11、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25) 辅导讲义 函数的基本性质 知识点一函数的单调性 [导入新知] 1．定义域为I的函数f(x)的增减性 2．单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． [化解疑难] 1．x1，x2的三个特征 (1)任意性，即x1，x2是在某一区间上的任意两个值，不能以特殊值代换； (2)有大小，即确定的两个值x1，x2必须区分大小，一般令x1 (4)并非所有的函数都具有单调性．如函数f (x )＝?? ? 1，x 是有理数 ， 0，x 是无理数 就不具有单调性． 知识点二 函数的最大值与最小值 [提出问题] 观察下列函数图象： 问题1：该函数f (x )的定义域是什么? 问题2：该函数f (x )图象的最高点及最低点的纵坐标分别是什么? 问题3：函数y ＝f (x )的值域是什么? [导入新知] 1．最大值 一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M . 那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值． 2．最小值 一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M . 那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值． [化解疑难] 1．函数最大(小)值的几何意义 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应图象最低点的纵坐标． 2．函数的最大(小)值与值域、单调性之间的关系 (1)对一个函数来说，一定有值域，但不一定有最值，如函数y ＝1 x ．如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素． (2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调，则f (x )的最值必在区间端点处取得，即最大值是f (a )或f (b )，最小值是f (b )或f (a )． 3.4 函数的基本性质——单调性 【知识解读】 1、函数单调性的概念 对于给定区间I 上的函数)(x f y =，如果对于任意I x x ∈21,，当21x x <时，都成立 )()(21x f x f <，那么就称)(x f 在区间I 上是单调增函数，区间I 称为函数)(x f 的单调 增区间。 对于给定区间I 上的函数)(x f y =，如果对于任意I x x ∈21,，当21x x <时，都成立 ，那么就称)(x f 在区间I 上是单调减函数，区间I 称为函数)(x f 的 。 2、函数单调性的运算： 设)(x f 与)(x g 分别为1I 与2I 上的单调增函数，则)()(x g x f +在21I I I 上单调增 设)(x f 与)(x g 分别为1I 与2I 上的单调减函数，则)()(x g x f +在21I I I 上 3、单调性与奇偶性： 若奇函数)(x f 在区间],[b a 上单调递增，则它在区间],[a b --上 若偶函数)(x f 在区间],[b a 上单调递增，则它在区间],[a b --上 *4、复合函数单调性：同增异减。 【例题讲解】 例1、证明函数()23+=x x f 在区间()+∞∞-,上是增函数。 例2、判别函数24x y = 在区间),0(+∞上的单调性，并证明。 例3：判定函数()[]2,4,2-∈=x x x f 的单调性，并求出它的单调区间（不需证明）。 例4、已知函数x x x f +=3)( （1）判断并证明)(x f 在R 上的单调性 （2）方程1000)(=x f 有正整数解吗？为什么？ 例5、写出下列函数的单调区间（不需证明） （1）12)(+= x x f （2）2)1()(-=x x f （3）23)(2+-= x x x f （4）2 31)(-=x x f 例6、已知函数a x a x x f 2)1()(2++-=在区间]1,2[-上单调递减，求实数a 的取值范围。 例7、定义在()3,3-上的函数)(x f 为减函数,若)2()(2+>a f a f ,求实数a 的取值范围. （一）函数单调性的定义 1. 增函数与减函数 一般地，设函数y ＝f （x ）的定义域为I ， 增函数：如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说f （x ）在区间D 上是增函数。 减函数：如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）>f （x 2），那么就说f （x ）在区间D 上是减函数。 说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：x y 1 = 不能说 )0,(-∞ ),0(+∞是原函数的单调递减区间； 注意： ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1＜x 2时，总有f （x 1）＜f （x 2）或 f （x 1）＞f （x 2）。 2. 函数的单调性的定义 如果函数y ＝f （x ）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f （x ）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y ＝f （x ）的单调区间。 例1 观察下列函数的其图象，指出其单调性． （1）1 y x x =+ ； （2）1 1y x =-； 例2 指出下列常见函数的单调性： （1）y c =（c 为常数）； 【析】y 不随x 的增大而改变，无单调性． （2）y ax b =+（0a ≠）； 【析】0a >，函数在R 上递增；0a <，函数在R 上递减． （3）2y ax bx c =++（0a ≠）； 【析】0a >，函数在(,)2b a -∞- 上递减，在(,)2b a -+∞上递增；函数的基本性质——单调性与最大(小)值
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