三角形角度证明与计算教案

三角形中角度的证明与计算教案

教材分析：

本节复习课是在学生学习了三角形、等腰三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的全等等知识后，对所学知识进行系统的整理、归纳、提升。本节课选择三角形中的角度证明与计算作为小专题进行复习，虽然仅是三角形问题的一个侧面，但整个教学设计是以数学思想方法为主线来安排的。数学思想与方法是数学的灵魂，学生一旦拥有它，将长期受益。所以专题虽小，却可以由小及大。同时选择一个侧面来组织教学，不仅使课堂更紧凑，也有利于现阶段学生的思维发展。

我们学过的四边形、平行四边形、多边形，都可以转化为三角形的边、角、线问题，华师大教材九年级上册中的三角形的相似、解直角三角形等内容，仍然是三角形中的边、角、线问题。有关圆的问题，也仅仅是以圆为载体，最终转化为三角形、四边形问题。因此边、角、线是整个初中几何体系中的关键因素，角又是由边与线构成的，三者是融合在一起的，所以角度问题虽是一个侧面，却是一个综合问题。可以由点及面。掌握基本的角度证明与计算，有利于学生顺利进行后续的学习。

教学重点：

1、三角形知识框架的构建。

2、类比、归纳、转化的数学思想和方法。

教学难点：

1、归纳求证角度相等的主要方法。

2、根据角的位置不同选择角度的不同转化方式。

教学目标：

1、熟练掌握三角形中证明角度相等的主要方法

2、熟练掌握三角形中求角度的主要方法

3、通过操作、讨论、合作等解决问题的数学活动，探索灵活应用各种数学思想方法的技巧、

培养学生探索、归纳、转化的数学思想。

教学流程

1．自主预习，交流提升

（1）引导学生构建三角形知识框架

教师展示如下框图

一般三角形

等腰三角形

直角三角形

30度）

此示意图展示了三角形由一般到特殊的演变过程，每一次进化都有新的“基因’产生，

在这一演变过程中，可以让学生试着从边、角、线角度写出每一进化阶段的所有特征。可采取学生互相口述、补充、合作交流，然后学生口答，师生共同完善。对等腰三角形可以加入底边上的高，直角三角形可添加斜边上的高以及中线后让学生继续添加结论。同时让学生整理两个三角形的特殊关系——全等的判定及性质。

复习课不同于新授课，教师应把复习的步子迈大一点。把问题的范围提的大一些，留给

学生一个比较广阔的探究空间，充分发挥自己的聪明才智。

（这一图表改变了对三角形进行分类的传统做法，更清晰、形象的反映了一般三角形与特殊三角形的关系——每一次进化都保留了原有图形的一切性质，同时又有新的特殊性质产生）

（2）引导学生整理有关角的概念

因为涉及角的概念比较多，可以在个人整理的基础上安排小组合作整理，充分调动每位

学生的主动性与积极性，发挥集体的智慧。学生列举角的概念并不困难，经过互相补充可以列举出内角、外角、对顶角、底角、同位角、内错角、同旁内角、全等三角形的对应角、余角、补角、直角、周角、平角等概念。教师要引导学生对这些不同的角进行分类：一类是根据位置或位置关系命名的，比如内角、同位角等。另一类是根据数量关系命名的，比如余角、周角等。准确说出这些角的概念及其含义，有助于学生顺利利用这些角进行转化。

本过程要求学生将学过的旧知不断提取而再现，这是学生独立联想的有利时机，应尽

最大可能让他们独立完成。回忆既是提取旧知的过程，同时也是进一步强化记忆的过程，还是互相启发获得联想结果的过程。如果学生的回忆整理不完整，这时可让其他学生或由教师补充。

在这一环节中要让学生自主的选择一定的角度梳理知识的内在联系，教师加以指导。

梳理，就是将旧知识点按一定标准分类、汇总、联系。梳理要完成两项任务：一是将知识点联接起来（求同），二是把各知识点分化开来（求异）。梳理过程，实质上是将知识条理化、系统化的思考过程，其间应用的思考方法主要是“分类”，即根据一定的标准将知识分化。

2、精讲点拨，归纳总结。

此阶段学生先独立完成典型例题，然后分组交流体验和收获，最后师生共同剖析典型例

题，真正弄懂、弄通典型例题。通过对精选典型例题体验和剖析，能进一步巩固复习内容，提高学生分析问题、解决问题的能力。为此设计如下两组题目，分别是角度的证明与角度的计算。

第一组：

1、如图，ABC 中，AB=AC ，两底角平分线BD 、CE 相交于点O 。

（1）∠OBC 与∠OCB 相等吗？

（2）若把“两底角平分线”改为“两条腰上的高”，其他条件不变，问∠OBC 与∠OCB 还相等吗？请说明你的理由；

（3）若把“两底角平分线”改为“两条腰上的中线”，其他条件不变，问∠OBC 与∠OCB 还相等吗？请说明你的理由

D E O C B A

D

E O B A

D E O C B A

（1）图 （2）图 （3）图

（4）若把“两底角平分线”改为“两条腰的垂直平分线”，其他条件不变，问∠OBC 与∠OCB 还相等吗？请说明你的理由；若把“AB=AC ” 去掉呢？

第二组

2、如图，ABC 中，AB=AC ，两底角平分线BD 、CE 相交于点O ，∠A=50o ,求 ∠BOC 的

度数。若把条件“AB=AC ”去掉，其他条件不变，∠BOC 的度数还能求出吗 ? 请说明理由 。

（1）如图，把“两底角平分线”改为“两条腰上的高线”，其他条件不变。试问上述题目还能解决吗？

（2）如图，把“两底角平分线”改为“两边AB 、 AC 的垂直平分线”，其他条件不变。试问上述题目还能解决吗？

B

B

D E O C B A

A C D E O

C B A

B

B

两组题目均从等腰三角形过渡到一般三角形，体现由特殊到一般的设计理念，培养学生从特殊到一般的归纳能力和探究问题的能力。同时穿插“线”的各种变化，通过这种“线”的不断变化，引导学生体会类比、转化、整体代入的数学思想与方法。

上述题组选择时遵循了以下原则：

①题目类型要有代表性，题目涉及的知识点要尽量覆盖复习的内容，具有一定的综合性。要让学生归纳出此类题目的主要解决方式。比如第一组题目，每一种变形都代表一种证明角度相等的方法。但重要的是如何对这几种方法进行选择，由归纳到应用，即让学生学会什么情况下使用什么方法才是最重要的。

②要选择能体现“通性通法”，即包含最基本的数学思想方法的题目，不要追求偏、怪、难，最好是“一题多解，一题多变”式的训练。第一组题目的几种变形，恰好可以让学生归纳出求证两角度相等的主要方法：1、利用全等2、利用等量代换3、利用互余或互补4、利用等边对等角。以后还会继续丰富求证角度相等的方法，比如利用相似或者利用与圆有关的角等。对于第二组题目，学生可以通过题目中角度求法的多样性，深刻体会求角度时转化的数学思想，同时归纳出角度转化的几种主要途径——作为外角转化、作为内角转化、作为对顶角转化、作为周角或平角的一部分进行转化、作为同位角转化等。

③题目的编排要按逻辑顺序排列，以便学生由浅入深地学习。本节课两组题目中最后一种变形均与中垂线有关，需要添加辅助线，利用整体代换的方法，这对学生来说是有一定难度的。所以按照这一原则编排在最后。

④题目设计不要贪多，别指望一节课解决所有的问题。其次，要考虑本班的学情，所选的题目应有不同的层次与梯度。使基础好的学生能解高档题，基础差的学生能解低档题，争取中档题，使知识发生发展的规律与学生的认识规律有机结合起来，使教学目标指向每个学生的“最近发展区”。

此环节具体操作时应先由学生独立完成例题的求解，再由师生共同交流总结，交流时要注意分析过程要强化，“轻结果，重过程”。注意引导学生如何“审题”，思考题目特点，掌握解题思路，重视过程分析。在交流时还要注意解题规律的总结，例题解答之后，要引导学生交流反思解题过程，总结解题经验。

3、有效训练，课堂总结。

课内练习的设计要与复习课的内容密切相关，紧扣教学主题，以使学生进行相关迁移和巩固，将本节课所学知识与方法进行内化。因此我设计了两道题目，题目一涉及到角度的证明，学生可以从所学的方法中选择一种进行解决。题目二涉及角度的求法，考察学生整体代换以及转化的数学思想方法。

题目如下：

练习一：

如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ACB的平分线交AD于E，?交AB于F，请猜测∠AEF与∠AFE之间有怎样的数量关系，并说明理由．

B

D C

练习二：

（1）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，ME和NF分别垂直平分AB和AC，求∠MAN?的度数．（2）在（1）中，若无AB=AC的条件，你还能求出∠MAN的度数吗？若能，请求出；?若不能，请说明理由．

本环节是对复习的数学知识和思想方法的运用，是培养学生解题能力的又一次升华。期间要求学生迅速完成巩固练习，然后对学习和练习结果进行评价、反馈，对其中暴露的缺陷和不足应及时矫正、补偿，同时规范解题过程。

专题训练结束后要及时进行课堂总结，课堂总结是整节课系统的概括，是全部教学活动的落足点和归宿。应该包括：（1）站在整个中学数学体系的高度，完整地归纳概括复习内容。（2）概括总结数学思想方法，说明适应范围和应注意的问题。（3）对复习过程中暴露出的问题，要进行强调，同时选配一些有针对性的课外练习等。

4．课后延伸

课后作业安排如下两题：第一题目的是让学生继续巩固本节所学。第二题与本节课所学内容并不吻合，作为探究性作业，可以让学生继续总结求角度的另一重要方法——方程法。

第一题：

如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线BE和∠ACD的角平分线CE相交于点E，

(1)如果∠A=60°，∠ABC=50°，求∠E的大小．

(2)如果∠A=70°，∠ABC=40°，求∠E的大小．

(3)根据（1）和（2）的结论，试猜测一般情况下，∠E和∠A的大小关系，并简要说明理由．

第二题：

在△ABC 中, AB = AC, 且有AD=BD=BC,求∠A的度数

E

C

A

三角形角度的计算专题

三角形角度的计算专题 一、 选择题 1. 等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40° C ．40° D ．80° 2. 等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 3.等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40° C ．40° D ．80° 4．如图2，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE=BD+CE ；③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和；④BF=CF ．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．①②③④ C ．①② D ．① E D C B H F E D C A B H F G 4题 5题 5.如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．108° 二、填空题 6．已知等腰三角形一个内角的度数为30°，那么它的底角的度数是_________． 7.等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________． 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求底角的度数 9.已知：△ABC 中，AB=AC ，BD 是AC 上的高，且∠CBD=35°，则∠A= . 10.如图，△ABC 中AB=AC ，EB=FC BD =CE ，∠A=52°，则∠DEF 的度数是____ 11.如图，D 、E 在BC 上，AD=BD ，AE=CE ，若∠ADE=45°，∠AED=110°， 则∠B= ，∠C= ； 若∠ADE=40°，则∠BAC= ； 若∠BAC=120°，则∠DAE= . 12. 如图，∠B=∠D=90°，C 是BD 的中点，MC 平分∠AMD ，∠DCM=35°，∠CAB 是 第10题 第11题 A B C D E F 12 D A C B M 第12题

三角形全等的证明教案

三角形全等的证明 【知识梳理】 （一）三角形概述： 1．定义（包括内、外角） 2．性质：三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n 边形内角和;④n 边形外角和。 ⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 ⑶角与边：在同一三角形中 3．三角形的主要线段 （1）定义：高线、中线、角平分线、中垂线 （2）××线的交点—-- 三角形的×心及性质 4．特殊三角形（等腰三角形、等边三角形）的判定与性质 等腰三角形： 定理：等腰三角形的两个底角相等，（简称：“等边对等角”） 定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，（简称：“三线合一”） 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，（简称“等角对等边”）。 等边三角形的性质及判定： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 5．全等三角形 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等； 全等的判定：SAS 、ASA 、AAS 、SSS ： 注意问题： （1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等； （2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA ；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA 。 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 寻找对应元素的方法： （1）根据对应顶点找 如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。 翻折 如图（1），?BOC ≌?EOD ，?BOC 可以看成是由?EOD 沿直线AO 翻折180?得到的； 等边 等角 大边 大角 小边 小角

三角形的有关证明单元测试题

三角形的有关证明单元测试题 时间: 120分钟满分:120分姓名: 一、选择题：（共12个小题，每小题4分，共48分） 1．一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 2．三角形ABC中，最多只有一个这个这样的∠A，则∠A的可能度数为（）A．40°B．80°C． 85°D．96° 3．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（）A．2,3,4 B．5,7,7 C．5,6,12 D．6,8,10 4．三角形的重心是（） A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点 C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平行线的交点 5．对三角形的高与三角形的形状描述正确的是（）A．三条高都在三角形的内部，这个三角形是直角三角形 B．两条高在三角形的外部，这个三角形是钝角三角形 C．三条高的交点在三角形的内部，这个三角形是直角三角形 D．三角形的三条高不能相交 6．下列不是全等三角形的性质的是（）A．全等三角形的面积相等 B．全等三角形的周长相等 C．全等三角形的对应边相等 D．全等三角形的角相等 7．若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（）A．6 B．7 C. 11 D．12 8．下列说法中，正确的是（）A．周长相等的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．三边对应相等的两个三角形全等 D．三角对应相等的两个三角形全等 9．下列说法中，正确的是（） A．两个等腰三角形一定全等 B．两个等边三角形一定全等 C．两个直角三角形一定全等 D．斜边相等的两个等腰直角三角形一定全等 10．一条直线把等腰三角形分成两个全等的三角形，则这条直线具有的性质是（）A．垂直等腰三角形的一条腰 B．平分等腰三角形的一条腰 C．垂直平分等腰三角形的一条腰 D．它是等腰三角形的对称轴 11．如图1，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，添加一个适当的条件，还不能使得△ABC≌△DEF．这个的条件是 （） A．AC=DF B．AB=ED C．∠A= ∠D D．AB∥DE 图 1

沪科版数学八年级上册专题：三角形的有关计算与证明

专题：三角形的有关计算与证明 三角形的有关计算和证明是中考的必考内容之一，这类试题解法比较灵活，通常以全等三角形、等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质和判定为考查重点，以计算题、证明题的形式出现，解答这类问题时，不仅要熟练掌握有关的公式定理，更要注意它们之间的相互联系. 例如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB 交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG. 求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE. 【思路点拨】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到； (2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF=BG，则只要证明BG=2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG=2DE，故证明DG=BG即可. 【解答】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC. ∴∠BCG＝∠CAB＝45°. 又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC， ∴△ACF≌△CBG(ASA), ∴CF＝BG，AF＝CG. (2)延长CG交AB于点H. ∵AC＝BC，CG平分∠ACB， ∴CH⊥AB，H为AB中点. 又∵AD⊥AB，∴CH∥AD, ∴G为BD中点，∠D＝∠EGC. ∵E为AC中点，∴AE＝EC. 又∵∠AED＝∠CEG， ∴△AED≌△CEG(AAS), ∴DE＝EG,∴DG＝2DE,∴BG＝DG＝2DE. 由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE. 方法归纳：解答与线段或角相等的有关问题时，通常将它转化为全等三角形问题来求解. 1.如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.

【北师大版初三数学】第1讲：三角形的证明-教案

知识讲解： 1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理： （1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论： 性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角； 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； 等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等． 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60°； 等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等． 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形； 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形． （2）与直角三角形有关的结论： 勾股定理的逆定理； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL) （3）与一般三角形有关的结论：

在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边也不相等（用反证法证明）． 2．命题的逆命题及其真假： 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．其中一个定理称为另一个定理的逆定理．例如勾股定理及其逆定理． 3．尺规作图 线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作线段的垂直平分线；已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形 角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作已知角的平分线． 课堂练习： 考点一：等腰三角形 【例题】 1、【14外国语期中】等腰三角形的一边为5另一边为9，这这个三角形的周长为（）A．19 B.23 C .14 D.19或23 2、【14外国语月考】等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是（） A．有一个内角是600 B.有一个外角是1200 C．有两个角相等 D.腰与底边相等 3、【经开一中月考】将两个全等的有一个角为３００的直角三角形拼成如图所示，其中两条直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（） Ａ．４Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．１ 4、【14外国语月考】腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为。 5、【经开一中月考】一个等腰三角形有一角是７００，则其余两角分别为。 6、【经开一中月考】等腰直角三角形一条边长是1cm,那么它斜边上的高是 cm. 7、【经开一中月考】已知：如图ＡＢ＝ＡＣ，DE∥AC求证：△ＤＢＥ是等腰三角形。 8、【14外国语月考】如图，等边△ABC中，AO是BC边上的中线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD 下方作等边△CDE，连结BE。 （1）求证：AD＝BE

2020年全国各地中考数学压轴题按题型(几何综合)汇编(一)三角形中的计算和证明综合(原卷版)

2020全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编 一、三角形中的计算和证明综合题 1.（2020贵州黔东南州）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形． 探究发现 （1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由． 拓展运用 （2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长． （3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长． 2.（2020黑龙江牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC， 交射线CA于点F．请解答下列问题：

（1）当点E 在线段AB 上，CD 是△ACB 的角平分线时，如图①，求证：AE +BC ＝CF ；（提示：延长CD ，FE 交于点M ．） （2）当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是△ACB 的角平分线时，如图②；当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是△ACB 的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE ，BC ，CF 之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若DE ＝2AE ＝6，则CF ＝ ． 3.（2020武汉）问题背景：如图（1），已知△ABC ∽△ADE ，求证：△ABD ∽△ACE ； 尝试应用：如图（2），在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ＝30°，AC 与DE 相交于点F ，点D 在BC 边上， AD BD = √3，求 DF CF 的值； 拓展创新 如图（3），D 是△ABC 内一点，∠BAD ＝∠CBD ＝30°，∠BDC ＝90°，AB ＝4，AC ＝2√3，直接写出AD 的长． 4.（2020湖南常德）已知D 是Rt △ABC 斜边AB 的中点，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，过点D 作Rt △DEF 使∠DEF ＝90°，∠DFE ＝30°，连接CE 并延长CE 到P ，使EP ＝CE ，连接BE ，FP ，BP ，设BC 与DE 交于M ，PB 与EF 交于N ． （1）如图1，当D ，B ，F 共线时，求证： ①EB ＝EP ； ②∠EFP ＝30°； （2）如图2，当D ，B ，F 不共线时，连接BF ，求证：∠BFD +∠EFP ＝30°．

初二数学三角形中相关角度的计算规律及应用专题(重要)

B A O C 1 2 例1 初二数学三角形中相关角度的计算规律及应用（理解性记忆并能熟练运用考试必考） 一、三角形内角和定理与角平分线规律及应用 例1：在△ABC 中，BO 与CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，且相交于点O ，探究∠O 与∠A 是否有关系？若有关系，试分析有怎样的关系？ 研究分析：∠O =180°- (∠1+∠2) 而∠1+∠2= 12 (180°-∠A) =90°- 12 ∠A ∴∠O=180°- (90°- 12 ∠A) =90°+ 12 ∠A 由例1总结出重要规律：三角形的两个内角平分线交 于一点，所形成角的度数等于90°加上第三角的一半，即为∠O = 90°+ 12 ∠A 。 例2:已知如图：在△ABC 中，BO 、CO 分别平分∠CBE 和∠BCF ，且交于点O ，则∠O 与 ∠A 的关系又如何呢? 分析：∠O = 180°-（∠1+∠2） 而∠1+∠2 = 12 (180°+ ∠A) ∴∠O =180°- [ 12 (180°+ ∠A)] = 180°- 90°- 12 ∠A = 90°- 12 ∠A 由例2总结出重要规律：三角形的两个外角平分线交于一点，所形成角的度数等于90°减去第三角的一半。即为 ∠O = 90°- 12 ∠A 。 例3：已知如图：PB 与PC 分别为内角∠ABC 和外角∠ACD 的平分线， 且交于点P ， 探究：∠A 与∠P 的关系。 分析：∠P=∠2-∠1， ∠2= 12 (∠A+∠ABC) ∠1= 12 (180°-∠A - ∠BCA ） ∴∠P= 12 (∠A+∠ABC ）- 12 (180°-∠A - ∠BCA ） = 12 ∠A + 12 ∠ABC - 90°+ 12 ∠A+ 12 ∠BCA =∠A - 90°- 12 (180°-∠A) = 12 ∠A 由例3总结出重要规律：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成角的度数等于第三角的一 半。即为∠P = 12 ∠A 。 规律的应用 1、 如图，在△ABC 中，外角∠CAE 和∠ACD 的平分线AP 与CP 交于点P ，且∠B=57°，则∠APC= 。 E F

八年级数学下册第一章三角形的证明回顾与思考教案1新版北师大版

《回顾与思考》 教学目标 1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思 路和方法，尺规作图等。 2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规 范的数学语言表达论证过程的能力。 教学重点 通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固 教学难点 本章知识的综合性应用。 教学过程 知识回顾 1、等腰三角形的性质：（边）_______________ ；（角）_______________ ；“三线合一”的 内容____________________________________ 。 2、等边三角形的性质：（边）_______________ ;（角）__________________ 。 3、判定等腰三角形的方法有：（边）_______________ ;（角）________________________ 。 4、判定等边三角形的方法有：（边）_______________ ;（角）________________________ 。 5、_________________________________________________ 线段垂直平分线的性质定理：。 逆定理：____________________________________________________________________ 。 三角形的垂直平分线性质：___________________________________________________ 。 6、_____________________________________________________________ 角的性质定理：。 逆定理：____________________________________________________________________ 。 三角形的角平分线性质：_____________________________________________________ 。 7、___________________________________________________ 三角形全等的判定方法有：。 8 30°锐角的直角三角形的性质： ______________________________________________ 。 9、方法总结： （1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性 质；5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 （2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。

三角形中的五种常见证明类型

专训一：三角形中的五种常见证明类型名师点金：学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后，与此相关的几何证明题的类型非常丰富，常见的类型有：证明数量关系、位置关系，线段的和差关系、倍分关系、不等关系等． 证明数量关系 题型1证明线段相等 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC 上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF. (第1题) 题型2证明角相等 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD 于F交BC于E. 求证：∠ADB＝∠CDE. (第2题) 证明位置关系 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，点G是EF的中点，求证：DG⊥EF.

(第3题) 证明倍分关系 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，且AE＝BE，求证：AH＝2BD. (第4题) 证明和、差关系 5．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.求证：AB＋BD＝AC. (第5题) 证明不等关系 6．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB ＞AC，求证：AB－AC＞PB－PC.

(第6题) 专训二：构造全等三角形的六种常用方法 名师点金：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题得以较轻松地解决．常见的辅助线作法有：构造法、平移法、旋转法、翻折法、加倍折半法和截长补短法，目的都是构造全等三角形． 构造基本图形法 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF. 求证：∠ADC＝∠BDF. (第1题) 翻折法

三角形中的角度计算

三角形中的角度计算 要进行三角形的角度计算，首先要搞清楚三角形角度之间的关系变化。 1、内角和定理 在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180° 2、外角定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 3、直角三角形的两锐角 直角三角形的两个锐角之和等于90° 4、等腰三角形的三角的关系 已知等腰三角形的顶角为n °，则两底角为2 1(180°－n °);已知等腰三角形的一个底角为 n °，则另一个底角也是n °,顶角为180°－2n °. 三角形中的角度计算主要分以下三种形式： 1、方程法， 2、推理代换法， 3、特殊值法 1、方程法 例1、在△ABC 中，AB=AC ，CD 平分∠C ，∠ADC=150°，求∠B [分析] (1)所求的∠B 在△DBC 内，已知的∠ADC 是△DBC 的外角，所以有∠ADC=∠B+∠BCD 。∠B 是等腰△ABC 的顶角，∠BCD 是底角的一半，可以用∠B 表示，所以可利用方程式求∠B 。 (2)因为∠A 是底角，∠ACD 是底角的一半， ∠ADC 是已知角，所以可以先求出∠A 。 解法1、设∠B=x ，则∠ACB=21(180°－x),∠BCD=4 1(180°－x),由三角形的内角和定理，可得∠B+∠BCD=∠ADC ，即 x+4 1(180°－x)=150° 所以x=140° 解法2、设∠A=x ，则∠ACB=x,∠ACD= 21x 。因为∠A+∠ACD+∠ADC=180°， 所以 x+2 1x+150°=180° 解得x=20°,即∠A=20° ∴∠B=180°－2×20°=140° 例2、在△ABC 中，∠A ：∠B=5：7，∠C 比∠A 大10°，求∠C 解：设∠C=x,则∠A=x －10°,∠B= 57(x-10°),所以有 x+(x －10°)+5 7(x －10°)=180° 解得x=60°,即∠C=60° 例3、D 是△ABC 的BC 边上一点，AD=BD ，AB=AC=CD ，求∠BAC [分析]因为AD=BD ，AB=AC=CD ，所以有∠B=∠BAD=∠C ， C B A

北师版八年级数学下册教案第一章三角形的证明

第一章三角形的证明 1等腰三角形 第1课时全等三角形及等腰三角形的性质 1．理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理． 2．经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步掌握证明的基本步骤和书写格式． 3．掌握等腰三角形性质定理的推论． 重点 掌握等腰三角形的性质定理及推论． 难点 证明等腰三角形的相关性质． 一、复习导入 1．请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条： (1)两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； (2)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； (3)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)； (4)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)； (5)三边对应相等的两个三角形全等(SSS)． 2．在此基础上回忆全等三角形的判定定理：(推论)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)，并要求学生利用前面所提到的公理进行证明． 3．回忆全等三角形的性质． 二、探究新知 1．等腰三角形的性质定理 问题1：什么是等腰三角形？ 问题2：你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形裁剪下来． 问题3 ：试用折纸的方法回忆等腰三角形有哪些性质． 引导学生得出等腰三角形的性质： 等腰三角形的两底角相等．(简称为“等边对等角”) 问题4：你能利用已有的基本事实和定理证明这些结论吗？ 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC. 求证：∠B＝∠C. 分析：方法一：作∠BAC的平分线，交BC边于点D；方法二：过点A作AD ⊥BC于点D；方法三：取BC的中点D. 证法一：取BC的中点D，连接AD. ?? ? ?? AB＝AC BD＝CD AD＝AD ?△ABD≌△ACD?∠B＝∠C.

三角形的证明-知识点汇总

三角形的证明知识点汇总 知识点1 全等三角形的判定及性质 判定定理简称 判定定理的内容 性质 SSS 三角形分别相等的两个三角形全等 全等三角形对应边相等、对应角相等 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 HL （Rt △） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 知识点2 等腰三角形的性质定理及推论 内容 几何语言 条件与结论 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等。简述为：等边对等角 在△ABC 中，若AB=AC ，则∠B=∠C 条件：边相等，即AB=AC 结论：角相等，即∠B=∠ C 推论 等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线及底边上的 高线互相垂直，简述为：三 线合一 在△ABC ，AB=AC ，AD ⊥BC ， 则AD 是BC 边上的中线，且 AD 平分∠BAC 条件：等腰三角形中已知顶点的平分线，底边上的中线、底边上的高线之一 结论：该线也是其他两线 等腰三角形中的相等线段：1、等腰三角形两底角的平分线相等；2、等腰三角形两腰上的高相等；3、两腰上的中线相等；4、底边的中点到两腰的距离相等 知识点3 等边三角形的性质定理 内容 性质定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度 解读 （1）等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质 （2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形 知识点4 等腰三角形的判定定理 内容 几何语言 条件与结论 等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等校对等边 在△ABC 中，若∠B=∠C 则AC=BC 条件：角相等，即∠B=∠C 结论：边相等，即AB=AC 解读 对“等角对等边”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一个三角形中” 拓展 判定一个三角形是等腰三角形有两种方法:1、利用等腰三角形；2、利用等腰三角形的判定定理，即“等角对等边” 知识点5 反证法 概念 证明的一般步骤

培优专题四 三角形中角度的证明与计算

三角形中角度的证明与计算 类型一：三角形中两个角的角平分线的夹角 1、两个内角平分线的夹角 如图，在△ABC 中，O 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，求∠O 与∠A 之间的关系。 2、一个内角平分线与一个外角平分线的夹角 如图，在?ABC 中，D 点是∠ABC 和∠ACE 的角平分线的交点，求∠D 与∠A 之间的关系。 3、两个外角平分线的夹角 如图，在?ABC 中，E 点是∠ABC 和∠ACD 的角平分线的交点，求∠E 与∠A 之间的关系。 练习1、如图，在?ABC 的三条内角平分线交于点I ，AI 的延长线与BC 交于点D ，BC IH ⊥于H ，试比较∠CIH 和∠BID 的大小 练习2、如图，在?ABC 中，∠A=n o ，∠ABC 和∠ACD 的平分线交 于点A 1，得∠A 1，∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2， 得2A ∠， BC A 2014∠和CD A 2014∠的平分线交于点2015A ， 求2015A ∠ = 。 类型二：三角形中两条边的高线的夹角 如图，在?ABC 中，O 点是BC 和AC 边上高的交点，求∠AOB 与∠ D C

类型三：三角形中同一顶点的高线与角平分线的夹角 如图，在 ABC 中，AD 是BC 边上高，AE 是∠BAC 的平分线，求∠DAE 与∠B 和∠C 之间的关系。 练习3、如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，∠B ＝40°，∠C ＝70°，F 为射线AE 上一点(不与E 点重合)，且FD ⊥BC. (1)若点F 与点A 重合，如图1，求∠EFD 的度数； (2)若点F 在线段AE 上(不与点A 重合)，如图2，求∠EFD 的度数； (3)若点F 在△ABC 外部，如图3，此时∠EFD 的度数会变化吗？是多少？ 类型四：三角形中两边中垂线的交点（锐角、直角、钝角三角形分类讨论） 如图，在△ABC 中，OD 垂直平分AB 交AB 于点D ，OE 垂直平分AC 交AC 于点E ，连接OB ，OC ，求∠BOC 与∠A 之间的关系。 练习4 （1）在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=100°，ME 和NF 分别垂直平分AB 和AC ，求∠MAN?的度数． （2）在（1）中，若无AB=AC 的条件，你还能求出∠MAN 的度数吗？若能，请求出；?若不能，请说明理由． 类型五：“8”字形图案的两条角平分线的夹角 如图，已知线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD ，CB ，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于点M ，N 如图2，试回答下列问题： 在图1中，直接写出∠A ，∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系 在图2中，∠D 与∠B 为任意角，试探究∠P 与∠D 、∠B 之间是否存在一定的数量关系，若存在，写出它们之间的关系并证明，若不存在，说明理由。

初二数学三角形中相关角度的计算规律及应用专题 重要

B A O C 1 2 例1 初二数学三角形中相关角度的计算规律及应用（理解性记忆并能熟练运用考试必考） 一、三角形内角和定理与角平分线规律及应用 例1：在△ABC 中，BO 与CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，且相交于点O ，探究∠O 与∠A 是否有关系？若有关系，试分析有怎样的关系？ 研究分析：∠O =180°- (∠1+∠2) 而∠1+∠2= 12 (180°-∠A) =90°- 1 2 ∠A ∴∠O=180°- (90°- 12 ∠A) =90°+ 1 2 ∠A 由例1总结出重要规律：三角形的两个内角平分线交 于一点，所形成角的度数等于90°加上第三角的一半，即为∠O = 90°+ 1 2 ∠A 。 例2:已知如图：在△ABC 中，BO 、CO 分别平分∠CBE 和∠BCF ，且交于点O ，则∠O 与 ∠A 的关系又如何呢? 分析：∠O = 180°-（∠1+∠2） 而∠1+∠2 = 1 2 (180°+ ∠A) ∴∠O =180°- [ 1 2 (180°+ ∠A)] = 180°- 90°- 1 2 ∠A = 90°- 1 2 ∠A 由例2总结出重要规律：三角形的两个外角平分线交于一点，所形成角的度数等于90°减去第三角的一半。即为 ∠O = 90°- 1 2 ∠A 。 例3：已知如图：PB 与PC 分别为内角∠ABC 和外角∠ACD 的平分线， 且交于点P ， 探究：∠A 与∠P 的关系。 分析：∠P=∠2-∠1， ∠2= 1 2 (∠A+∠ABC) ∠1= 1 2 (180°-∠A - ∠BCA ） ∴∠P= 12 (∠A+∠ABC ）- 12 (180°-∠A - ∠BCA ） = 12 ∠A + 12 ∠ABC - 90°+ 12 ∠A+ 12 ∠BCA =∠A - 90°- 12 (180°-∠A) = 1 2 ∠A 由例3总结出重要规律：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成角的度数等于第三角的一半。即为∠P = 1 2 ∠A 。 规律的应用 1、 如图，在△ABC 中，外角∠CAE 和∠ACD 的平分线AP 与CP 交于点P ，且∠B=57°，则∠APC= 。 2、如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于点E ，且∠A=110°，求∠E= 。 3、如图：在△ABC 中,∠A=90°,∠B =32°,OA 、OB 、OC 分别平分∠A 、∠B 、∠C ， 例2 2 1 A B O E C F 例3 C P B A D 1 2

《三角形的证明》复习教案

第一章《三角形的证明》 1、性质和判定 2、尺规作图 垂直平分线的应用： （1）确定到两点（三点）距离相等的点的位置 （2）确定线段的中点 （3）过一点作已知直线或线段的垂线 角平分线的应用 （1）把一个角分成n2等份 （2）确定到角的两边或三角形三边距离相等的点 （3）与垂直平分线结合，解决实际问题 3、全等三角形的判定（AAS，SSS，SAS，ASA，HL） 双基训练： 1．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是____________. 2．一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是________________. 3．已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是________________. 4．在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是 . 5．已知⊿ABC中，∠A = 090，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC = . 6．在△ABC中，∠A=40°，AB=AC ，AB的垂直平分线交AC与D，则∠DBC 的度数为． 7．Rt⊿ABC中，∠C=90o，∠B=30o，则AC与AB两边的关系

是 ， 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300 ，腰长为6，则其底边上的高是 。 9. 如图，在△ABC 和△DEF 中，已知AC=DF ，BC=EF ， 要使△ABC ≌△DEF ，还需要的条件是（ ） A.∠A=∠D B.∠ACB=∠F C.∠B=∠DEF D.∠ACB=∠D 10．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为（ ） A.30° B.36° C.45° D.70° 11．如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论①AC ＝AF ；②∠FAB ＝∠EAB ；③EF ＝BC ；④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12． 如图， DC ⊥CA ，EA ⊥CA ， CD=AB ，CB=AE ．求证：△BCD ≌△EAB ． 13.如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC ； 14．如图，在△ABD 和△ACE 中，有下列四个等式： ①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE ．以其中．．三个条件为已知，填入已知栏中，一个为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程。 已知： . 求证： . 证明： 提升练习 16.如图，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，CE 与BF 相交于D ，且BD=CD. 求证：D 在∠BAC 的平分线上. D E C B A

三角形的证明知识点汇总

百度文库- 让每个人平等地提升自我 1 三角形的证明知识点汇总 判定定理简称判定定理的内容性质SSS 三角形分别相等的两个三角形全等 全等三角形对 应边相等、对 应角相等SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 HL（Rt△）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 知识点2 等腰三角形的性质定理及推论 内容几何语言条件与结论 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等。 简述为：等边对等角 在△ABC中，若AB=AC，则 ∠B=∠C 条件：边相等，即AB=AC 结论：角相等，即∠B=∠C 推论等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线及底边上的 高线互相垂直，简述为：三 线合一 在△ABC，AB=AC，AD⊥BC， 则AD是BC边上的中线，且 AD平分∠BAC 条件：等腰三角形中已知顶点的 平分线，底边上的中线、底边上 的高线之一 结论：该线也是其他两线 等腰三角形中的相等线段：1、等腰三角形两底角的平分线相等；2、等腰三角形两腰上的高相等；3、两腰上的中线相等；4、底边的中点到两腰的距离相等 知识点3 等边三角形的性质定理 内容 性质定理等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度 解读（1）等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质 （2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形 知识点4 等腰三角形的判定定理 内容几何语言条件与结论 等腰三角形的判定定理有两个角相等的三角形是等腰 三角形，简述为：等校对等边 在△ABC中，若∠B=∠C则AC=BC 条件：角相等，即∠B=∠C 结论：边相等，即AB=AC 解读对“等角对等边”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一个三角形中” 拓展判定一个三角形是等腰三角形有两种方法:1、利用等腰三角形；2、利用等腰三角形的判定定理，即“等角对等边” 知识点5 反证法 概念证明的一般步骤

专题07 三角形及四边形的计算与证明(解析版)

专题07 三角形及四边形的计算与证明 一、三角形 1．三角形的概念及性质 概念：（1）由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．（2）三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形． 性质：（1）三角形的内角和是180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．（2）三角形的任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边． 2．三角形中的重要线段 （1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．特性：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心． （2）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高．特性：三角形的三条高线相交于一点． （3）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．特性：三角形的三条中线交于一点． 3．全等三角形的性质与判定 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等． 判定：（1）有三边对应相等的两个三角形全等，简记为（SSS）； （2）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为（SAS）； （3）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为（ASA）； （4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为（AAS）； （5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为（HL）． 4．等腰三角形 等腰三角形的有关概念及分类：有两边相等的三角形叫等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形． 等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“三线合一”）； （3）等腰三角形是轴对称图形．

等腰三角形中角度的计算.doc

等腰三角形中角度的计算 1.如图， CA=CB,DF=DB,AE=AD求∠ A 的度数 2.如图，△ ABC中，AB=AC，D 在 BC上， DE⊥AB 于 E，DF⊥ BC交 AC于点 F，若 ∠EDF=70°，求∠ AFD 的度数 3 如图，△ ABC中，AB=AC,BC=BD=ED=EA求∠ A 的度数 4. 如图，△ ABC 中， AB=AC， D 在 BC 上, ∠ BAD=30°,在 AC 上取点 E，使 AE=AD, 求∠ EDC 的度数

5 如图 11，△ ABC中，点 D 在 AC上，且 AB=AD，∠ ABC=∠ C+30°，则∠CBD等于（） A D B C 6)如图 ,在 Rt△ ABC 中 ,D,E 为斜边 AB 上的两个 .点 ,且 BD=BC,AE=AC,则∠ DCE的大小为 7．如图，在△ ABC中， AB=AC，点 D、 E、 F 分别在 BC、AB、 AC边上，且BE=CF， BD=CE．∠A=40 °则，∠ DEF的度数是 ______ 8．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于（） （A）顶角．（B）顶角的一半．（C）顶角的2倍．（D）底角的一半． 9 如图，在△ABC 中， AB=AC，点 D、 E、F 分别在 BC、 AB、 AC 边上，且BE=CF， BD=CE． ∠A=40 °则，∠ DEF的度数为）（） 10如图，在△ PAB中， PA=PB， M ，N，K 分别是 PA， PB， AB 上的点，且 AM=BK， BN=AK，若∠ MKN=44°，则∠ P=的度数为 A． 44°B． 66°C．88°D． 92° 12 如图，△ ABC 中， D 为 AB 上一点， E 为 BC 上一点，且 AC=CD=BD=BE，∠ A=50°，则∠CDE的度数为 A．50°B． 51° C．° D． 13 如图在△ ABC 中， DM ，EN 分别垂直平分AB 和 AC，垂足为M， N，分别交BC 于 D， E （1）若∠ DAE=30°，则∠ BAC=______．（ 2）若∠ BAC=120°，则∠ DAE= _____， （3）若 MD， NE 的延长线交于一点G，∠ G=50°，则∠ DAE= _____， 14 如图∠ DEF=36°， AB=BC=CD =DE =EF,求∠ A

第01讲-三角形的证明-教案

第01讲 三角形的证明 温故知新 三角形全等的条件 （1）三角形全等条件1：三条边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。 注意：①在运用“SSS”判定三角形全等，必须同时满足三边对应相等，只有一边或两边对应相等是不能得到全等的。②“SSS ”判定全等只适用于三角形，不能适用其他图形。 符号语言：已知△ABC 与△DEF 的三条边对应相等。 在△ABC 与△DEF 中，?? ? ??===DF AC EF BC DE AB ∴△ABC ≌△DEF （SSS ） （2）三角形全等条件2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。 注意：①用“ASA”判定两个三角形全等时，一定要说明两个角及夹边对应相等 ②在书写两个三角形全等的条件“ASA”时，一般把夹边相等写在中间的位置。 符号语言：已知∠D=∠E ，AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ．求证：△ABD ≌△ACE ． 证明：在△ABD 和△ACE 中， ∠D=∠E AD=AE ∠BAD ＝∠CAE ∴△ABD ≌△ACE （ASA ） （3）三角形全等条件3： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS”。 符号语言：如图：D 在AB 上，E 在AC 上，DC=EB,∠C=∠B ．求证：△ACD ≌△ABE 证明：在△ACD 和△ABE 中． ∠C=∠B ∠A=∠A DC=EB ∴△ACD ≌△ABE （AAS ）． 注意：“AAS”中的“S”是有限制条件的，必须是两组对应等角中一组等角的对边。 （4）三角形全等条件4：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。 符号语言：在△ABC 与△DEF 中，