高三数学一轮复习资料 立体几何专题

侧（左）视图

正（主）视图

俯视图

2

4

2013届高三数学(理)一轮复习资料-- 立体几何

一、选择题

1 (2012湖南).某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是 ( D )

2 .已知某空间几何体的主视图、侧视图、俯视图均为如图所示的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为( D )

A.

22 B.3＋22 C.3

2 D.3＋32

3 已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中为假命题的是 ( D ) A ．若a ∥b ，则α∥β B ．若α⊥β，则a ⊥b

C ．若a ，b 相交，则α，β相交

D ．若α，β相交，则a ，b 相交

4 (2012安徽)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥ 则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ A ）

()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充要条件

()D 即不充分不必要条件

5 (2012安师大附中三模)．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于

（ D ）

2 2

A ． 12

B ．

83

3 C ．

56

3

D ． 4

6 (2012北京) 某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ B ）

A. 28+65

B. 30+65

C. 56+ 125

D. 60+125

7(2012全国) 下列命题正确的是（ C ）

A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

8 (2012全国)已知直二面角l αβ--，点,A AC l α∈⊥,C 为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 C (A)

23 (B)3 (C)6 (D) 1

9．已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为4、4、7，若此三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积是 ( A) A ．81π B ．36π C.81π

4

D ．144π

10 .如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB =1，D 在棱BB 1上，且BD =1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为 ( A ) A.64 B.34 C.62 D.72

二、填空题

11．(2012浙江)已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三

棱锥的体积等于___________cm 3．

12 (2012四川)、如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，M 、N 分

别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是________90 ____。

13．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．

则该几何体的体积为 4 m 3.

14．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于43π，则该圆锥的体积为___45

18π

_____．

15 .如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论中正确的是______________

① BD ∥平面CB 1D 1； ② AC 1⊥平面CB 1D 1；

③ AC 1与底面ABCD 所成角的正切值是2； ④ CB 1与BD 为异面直线；

N M

B 1

A 1

C 1

D 1

B

D C

三、解答体

16 (2012四川)如图，在三棱锥P ABC -中，

90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，平面

PAB ⊥

平面ABC 。

（Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成角的大小； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小。

解法一：

（I ）设AB 的中点为D ，AD 的中点为O ，连接

PO CO CD 、、，

由已知，PAD 为等边三角形， 所以PO AD ⊥

又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ?平面

ABC AD =，

所以PO ⊥平面ABC

所以OCP ∠为直线PC 与平面ABC 所成的角

不妨设4AB =，则2,23,1,3PD CD OD PO ==== 在Rt OCD 中，2213CO OD CD =+=

A

B

C

P

所以，在Rt POC 中，339

tan 13

PO OCP CO ∠=

==

故直线PC 与平面ABC 所成的角的大小为39

arctan 13

………………………….6分 （II ）过D 作DE AP ⊥于E ，连接CE

由已知可得，CD ⊥平面PAB 根据三垂线定理知，CD PA ⊥

所以CED ∠为二面角B AP C --的平面角 由（I ）知，3DE = 在Rt CDE 中，23

tan 23

CD CED DE ∠=

== 故二面角B AP C --的大小为arctan 2…………………………………………12分

解法二：

（I ）设AB 的中点为D ，作PO AB ⊥于点O ，连结CD

因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ?平面ABC =AD ， 所以PO ⊥平面ABC 所以PO CD ⊥

由AB BC CA ==，知CD AB ⊥

设E 为AC 中点，则//EO CD ，从而,OE PO OE AB ⊥⊥

如图，以O 为坐标原点，OB OE OP 、、所在直线分别为x y z 、、轴建立空间直角坐标系

O xyz -，不妨设2PA =，由已知可得，4,1,3,23AB OA OD OP CD =====

所以(0,0,0),(1,0,0),(1,23,0),(0,0,3)O A C P -

所以(1,23,3)CP =--，而(0,0,3)OP =为平面ABC 的一个法向量 设a 为直线PC 与平面ABC 所成的角， 则3sin |

|||4163

CP OP a CP OP ?===?? 故直线PC 与平面ABC 所成的角的大小为3

arcsin

…………………………….6分

（II ）由（I

）有，(1,0,3),(2,AP AC ==

设平面APC 的一个法向量为111(,,)n

x y z =，则

111111(,,)000(,,)(2,0x y z n AP n AP n AC n AC x y z ????=⊥?=???

???

??⊥?=?=????

??

从而1111020

x z x y ?=??+

=??

取1x =111,

1y z ==，所以(n = 设二面角B AP C --的平面角为β，易知β为锐角 而面ABP 的一个法向量为(0,1,0)m

=，则

cos |

|||||||5n m n m β?===

? 故二面角B

AP C --的大小为……………………………………

17 已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使DE ⊥EC .

(1)求证：BC ⊥平面CDE ； (2)求证：FG ∥平面BCD ； (3)求四棱锥D －ABCE 的体积.

解：(1)证明：由已知得：

DE ⊥AE ，DE ⊥EC ，∴DE ⊥平面ABCE . ∴DE ⊥BC .又BC ⊥CE ，CE ∩DE ＝E ， ∴BC ⊥平面DCE .

(2)证明：取AB 中点H ，连结GH ，FH ， ∴GH ∥BD ，FH ∥BC ，

∴GH ∥平面BCD ，FH ∥平面BCD . 又GH ∩FH ＝H ， ∴平面FHG ∥平面BCD ，

∴FG ∥平面BCD (由线线平行证明亦可). (3)V ＝13×1×2×3＝23

3.

18 (2012全国)如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，

2,1AB BC CD SD ====.

（Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面; （Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成角的大小. 计算SD=1，5,2AD SA =

=，于是222SA SD AD +=，利用勾股

定理，可知SD SA ⊥，同理，可证SD SB ⊥ 又SA

SB S =，

因此，SD SAB ⊥平面.

（II ）过D 做Dz ABCD ⊥平面，如图建立空间直角坐标系D-xyz ， A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),1

3(,0,

)2S

可计算平面SBC 的一个法向量是(0,3,2),

(0,2,0)n AB ==

||2321

|cos ,|||||27

AB n AB n AB n ?<>=

==?. 19 (2012北京)所以AB 与平如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，

AB 上的点，且DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD,如图2. (I)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；

(II)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；

(III)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由

解：（1）

CD DE ⊥，1A E DE ⊥

∴DE ⊥平面1

ACD ， 又

1A C ?平面1

ACD ， ∴1A C ⊥DE

又1

AC CD ⊥， ∴1A C ⊥平面BCDE 。

（2）如图建系C xyz -，则()200D -，，，()

0023A ，，，()030B ，

，，()220E -，， ∴(10323A B =-，，,()1210A E =--，， 设平面1A BE 法向量为()n x y z =，，

则1100

A B n A E n ??=???=?? ∴323020y z x y ?-=??--=?? ∴3

2

z y y x ?????=-??

∴(123n =-，， 又∵(103M -，， ∴(103CM =-，，

z

y

x

A 1 (0,0,23)D (-2,0,0)

E (-2,2,0)B (0,3,0)

C (0,0,0)

M

∴2

cos ||||14313222CM n CM n θ?=

===?++?+?，

∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45?。

（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为()00a ，，，则[]03a ∈，

则(1023A P a =-，，，()20DP a =，， 设平面1A DP 法向量为()1111n x y z =，，，

则111123020ay z x ay ?-=??+=?? ∴11

113

12

z x ay

?=????=-?? ∴(

)1363n a a

=-，，。

假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直，

则10n n ?=，∴31230a a ++=，612a =-，2a =-，

∵03a <<，∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直。 面SBC 所成角为21

arcsin 7

.

20 (2012浙江)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面是边长为23BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝26M ，N 分别为PB ，PD 的中点．

(Ⅰ)证明：MN ∥平面ABCD ；

(Ⅱ) 过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A —MN —Q 的平面角的余弦值． 本题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。 (Ⅰ)如图连接BD ．

∵M ，N 分别为PB ，PD 的中点， ∴在?PBD 中，MN ∥BD ． 又MN ?平面ABCD ， ∴MN ∥平面ABCD ； (Ⅱ)如图建系：

A (0，0，0)，P (0，0

，，M

(，32，0)， N

，0，0)，C

3，0)．

设Q (x ，y ，z )

，则(33)(33CQ x y z CP =

--=-

-，，，，

． ∵(3)

CQ CP λλ

==-

-，

，∴33)Q λ-，． 由0OQ CP OQ CP ⊥?

?=，得：1

3λ=

． 即：2Q ． 对于平面AMN ：设其法向量为()n a b c =，，． ∵33

(0)=(300)2

AM AN

=

-

，，，，，

． 则3

0012

30

00a AM n b b AN n c ?=

??

???=+=?????

=???=??

?==???

． ∴31

(0)3n

=，，． 同理对于平面AMN 得其法向量为(31v =，，

． 记所求二面角A —MN —Q 的平面角大小为θ， 则10

cos n v n v

θ?=

=

?． ∴所求二面角A —MN —Q 21 (2012湖南)如图5，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E 是CD 的中点. （Ⅰ）证明：CD ⊥平面PAE ；

（Ⅱ）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P-ABCD 的体积.

解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC ，由AB=4，3BC =，90 5.ABC AC ∠==,得

5,AD =又Ｅ是ＣＤ的中点，所以.CD AE ⊥

,,PA ABCD CD ABCD ⊥?平面平面所以.PA CD ⊥

而,PA AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE. （Ⅱ）过点Ｂ作,,,,.BG CD AE AD F G PF //分别与相交于连接

由（Ⅰ）CD ⊥平面PAE 知，ＢＧ⊥平面PAE.于是BPF ∠为直线ＰＢ与平面PAE 所成的角，且BG AE ⊥.

由PA ABCD ⊥平面知，PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角.

4,2,,AB AG BG AF ==⊥由题意，知,PBA BPF ∠=∠

因为sin ,sin ,PA BF PBA BPF PB PB

∠=

∠=所以.PA BF = 由90//,//,DAB ABC AD BC BG CD ∠=∠=知，又所以四边形BCDG 是平行四边形，故

3.GD BC ==于是 2.AG =

在Rt ΔBAG 中，4,2,,AB AG BG AF ==⊥所以

22

2

85

25,5

25AB BG AB AG BF BG =+====

于是85

PA BF ==

又梯形ABCD 的面积为1

(53)416,2

S =

?+?=所以四棱锥P ABCD -的体积为

1185

128516.33515

V S PA =??=??=

解法2：如图（2），以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设,PA h =则相关的各点坐标为：

(4,0,0),(4,0,0),(4,3,0),(0,5,0),(2,4,0),(0,0,).A B C D E P h

（Ⅰ）易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CD AE AP h =-==因为

8800,0,CD AE CD AP ?=-++=?=所以,.CD AE CD AP ⊥⊥而,AP AE 是平面PAE 内的两

条相交直线，所以.CD PAE ⊥平面

(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，,CD AP 分别是PAE 平面，ABCD 平面的法向量，而PB 与

PAE 平面所成的角和PB 与ABCD 平面所成的角相等，所以

cos ,cos ,.CD PB PA PB CD PB PA PB CD PB

PA PB

??<>=<>=

??,即

由（Ⅰ）知，(4,2,0),(0,0,),CD AP h =-=-由(4,0,),PB h =-故

22

2

160000162516h h h

h

-++++=

?+?+

解得5

5

h =

.

又梯形ABCD 的面积为1

(53)4162

S =

?+?=，所以四棱锥P ABCD -的体积为

111633V S PA =??=?=.