初中九年级数学：切线长定理教学设计

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Tangent length theorem

教师：风老师

风顺第二中学

编订：FoonShion教育

切线长定理

1、教材分析

(1)知识结构

(2)重点、难点分析

重点:切线长定理及其应用.因切线长定理再次体现了圆的轴对称性,它为证实线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据,它属于工具知识,经常应用,因此它是本节的重点.

难点:与切线长定理有关的证实和计算问题.如120页练习题中第3题,它不仅应用切线长定理,还用到解方程组的知识,是代数与几何的综合题,学生往往不能很好的把知识连贯起来.

2、教法建议

本节内容需要一个课时.

(1)在教学中,组织学生自主观察、猜想、证实,并深刻剖析切线长定理的基本图形;对重要的结论及时总结;

(2)在教学中,以“观察——猜想——证实——剖析——应

用——归纳”为主线,开展在教师组织下,以学生为主体,活动式教学.

教学目标

1.理解切线长的概念,把握切线长定理;

2.通过对例题的分析,培养学生分析总结问题的习惯,提高学生综合运用知识解题的能力,培养数形结合的思想.

3.通过对定理的猜想和证实,激发学生的学习爱好,调动学生的学习积极性,树立科学的学习态度.

教学重点:

切线长定理是教学重点

教学难点:

切线长定理的灵活运用是教学难点

教学过程设计:

(一)观察、猜想、证实,形成定理

1、切线长的概念.

如图,p是⊙o外一点,pa,pb是⊙o的两条切线,我们把线段pa,pb叫做点p到⊙o的切线长.

引导学生理解:切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.

2、观察

利用电脑变动点p 的位置,观察图形的特征和各量之间

的关系.

3、猜想

引导学生直观判定,猜想图中pa是否等于pb. pa=pb.

4、证实猜想,形成定理.

猜想是否正确。需要证实.

组织学生分析证实方法.关键是作出辅助线oa,ob,要证实pa=pb.

想一想:根据图形,你还可以得到什么结论?

⊙opa=⊙opb(如图)等.

切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.

5、归纳:

把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质

6、切线长定理的基本图形研究

如图,pa,pb是⊙o的两条切线,a,b为切点.直线op交⊙o于点d,e,交ap于c

(1)写出图中所有的垂直关系;

(2)写出图中所有的全等三角形;

(3)写出图中所有的相似三角形;

(4)写出图中所有的等腰三角形.

说明:对基本图形的深刻研究和熟悉是在学习几何中关

键,它是灵活应用知识的基础.

(二)应用、归纳、反思

例1、已知:如图,p为⊙o外一点,pa,pb为⊙o的切线,

a和b是切点,bc是直径.

求证:ac⊙op.

分析:从条件想,由p是⊙o外一点,pa、pb为⊙o的切线,a,b 是切点可得pa=pb,⊙apo=⊙bpo,又由条件bc是直径,可得ob=oc,由此联想到与直径有关的定理“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等.于是想到可能作辅助线ab.

从结论想,要证ac⊙op,假如连结ab交op于o,转化为证ca⊙ab,op ⊙ab,或从od为⊙abc的中位线来考虑.也可考虑通过平行线的判定定理来证,可获得多种证法.

证法一.如图.连结ab.

pa,pb分别切⊙o于a,b

⊙pa=pb⊙apo=⊙bpo

⊙ op ⊙ab

又⊙bc为⊙o直径

⊙ac⊙ab

⊙ac⊙op (学生板书)

证法二.连结ab,交op于d

pa,pb分别切⊙o于a、b

⊙pa=pb⊙apo=⊙bpo

⊙ad=bd

又⊙bo=do

⊙od是⊙abc的中位线

⊙ac⊙op

证法三.连结ab,设op与ab弧交于点e

pa,pb分别切⊙o于a、b

⊙pa=pb

⊙ op ⊙ab

⊙ =

⊙⊙c=⊙pob

⊙ac⊙op

反思:教师引导学生比较以上证法,激发学生的学习爱好,培养学生灵活应用知识的能力.

例2、圆的外切四边形的两组对边的和相等.

(分析和解题略)

反思:(1)例3事实上是圆外切四边形的一个重要性质,请学生记住结论.(2)圆内接四边形的性质:对角互补.

p120练习:

练习1填空

如图,已知⊙o的半径为3厘米,po=6厘米,pa,pb分别切⊙o 于a,b,则pa=_____,⊙apb=____

练习2已知:在⊙abc中,bc=14厘米,ac=9厘米,ab=13厘米,

它的内切圆分别和bc,ac,ab切于点d,e,f,求af,ad和ce的长.

分析:设各切线长af,bd和ce分别为x厘米,y厘米,z厘米.后列出关于x , y,z的方程组,解方程组便可求出结果.

(解略)

反思:解这个题时,除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外,还要用到解方程组的知识,是一道综合性较强的计算题.通过对本题的研究培养学生的综合应用知识的能力.

(三)小结

1、提出问题学生归纳

(1)这节课学习的具体内容;

(2)学习用的数学思想方法;

(3)应注重哪些概念之间的区别?

2、归纳基本图形的结论

3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法.

(四)作业

教材p131习题7.4a组1.(1),2,3,4.b组1题.

探究活动

图中找错

你能找出(图1)与(图2)的错误所在吗?

在图2中,p1a为⊙o1和⊙o3的切线、p1b为⊙o1和⊙o2的切线、p2c为⊙o2和⊙o3的切线.

提示:在图1中,连结pc、pd,则pc、pd都是圆的直径,从