高等数学极限习题500道汇总
．求证：存在，且，＝时，设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim
)()(1
1110x x x x x x o o x x 答（ ）
．． ． ． ．是等价无穷小，则与时，若当2
32123211cos )(1)1()(0312--=
-=β-+=α→D C B A a x x ax x x
（ ）
答 阶的是
时，下述无穷小中最高当x x D x C x B x A x sin 11cos 1022----→
[]之值．求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n ．求极限)11ln()21(lim n
n n ++∞→ _____________sin 1lim 3202
=--→的值x
x x e x x ．及求证：，，设有数列n n n n n n n n n n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+=
≠==lim )(lim lim 2)( 11221
．及，求记：， ．，设n n n n n
n n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+=
>>==lim lim 11
2)0(111221 求极限之值．lim ()cos sin x x x x x
→+-0212
设，；且试证明：．lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x B u x A A v x B u x A →→→=>==00
00
[] 答（ ）
． ． ． ．2
ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=
+-→
答（ ）
． ． ． ．2
1)21(lim 2sin 0D e C e B A x x x x =
+→ []的结果．之值，并讨论及求：设1)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1sin
1)(0012
----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f x x x u x x u
_____________6
9lim 223的值等于---→x x x x
．不存在 ． ． ．D C B A e e e e x x x x x 123
1234lim =++--∞→ 答：（ ）
lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-?2361112335
8
53
不存在 答：（ ）
____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于x
x x e e x -→- ．求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值．lim ()
x x x x x →+--+03
416125 已知：，问？为什么？lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=00
00
关于极限结论是：
不存在 答（ ）
lim x x e A B C D →+01
5353054
答（ ）
，则极限式成立的是，设 )(lim .)()(lim .)
()(lim .0)
()(lim .)(lim )(lim )(0
0000
0∞=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f
是不是无穷大量．时，，问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→=
答（ ） 不存在 2
.2.
..0.1arctan tan lim 0π-π=?→D C B A x
x x
答（ ） 2
.
1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A x
x x
答（ ）
不存在 .2.2.2.3
1
2lim 2D C B A x x x ±-=++∞→
___________)0(23)(1=-+=
f e x f x ，则设 答（ ） 不存在 2
.
...0.1cot arc lim 0ππ=→D C B A x
x lim cos ln ....x a x x
a A B C D →--==0100123，则其中 答（ ）π
____________cos 13lim 20的值等于x x e e x x x ----→
lim (cos ).....x x x
A B C D →-=-0212220
不存在 答：（ ）
设，其中、为常数．问：、各取何值时，； 、各取何值时，； 、各取何值时，．f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞
→25
55
112031
求极限．lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222222211 求极限．lim ()()x x x →∞++322323
32
[]
之值．
、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)1()1()1(3lim 2241=--+-+-+→
之值．
，，，试确定常数．，，满足已知d c b a x f x f x x d cx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2
)(1223==-++++=→∞→ 之值．，，试确定已知b a x x b
x b a x 43
13)(lim 1=+-+++→ 为什么？＂上述说法是否正确？，则＂若∞=α=α→→)(1lim 0)(lim 00
x x x x x x
当时，是无穷大，且，证明：当时，也为无穷大．x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000
()lim ()()()
．用无穷大定义证明：+∞=-+→112lim 1x x x ．用无穷大定义证明：-∞=+
→x x ln lim 0 +∞=-π→x x tan lim 02用无穷大定义证明： ．用无穷大定义证明：+∞=-+→11lim 0
1x x
＂当时，是无穷小＂是＂＂的：充分但非必要条件
必要但非充分条件充分必要条件
既非充分条件，亦非必要条件
答（ ）x x f x A f x A A B C D x x →-=→00
()lim ()()()()()
若，，但．证明：的充分必要条件是 ．
lim ()lim ()()lim ()
()
lim ()()
()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-?=00
00
0000 ．其中，：用数列极限的定义证明)10(0lim <<=∞→a a n n ． ：用数列极限的定义证明)10(1
lim 1
<<=∞→a a n
n ．：用数列极限的定义证明21
52)2(lim 2=++∞→n n n n ___________)1ln(2)
cos(sin 1lim 20的值等于x x x +-→
[]
之值．求极限3sin 01)(cos lim x x x
x -→
设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适
含不等式；的一切
、，都有成立。
lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<0
00010201221εδδδε ．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim 0)(lim 00
{}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x + 求的表达式f x x x x n n n ()lim =-+→∞+2121
设 其中、为常数，，求的表达式；确定，之值，使，．f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()lim
sin cos()()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-21211
2
1
021211ππ
．求极限应用等阶无穷小性质，x x x x )1arctan()1arctan(lim
0--+→ 求极限．lim x x x x x →+--+0215132 求极限．lim ()()x x x x →--+01
2131416 求极限 为自然数．．lim ()()x n ax x
n a →+-≠01110 求极限．lim
()x x x x →-+--3135223
设当时，与是等价无穷小，
且，，证明：．x x x x f x x a f x x g x A f x x g x A x x x x x x →=≠-=-=→→→00001αβααβ()()lim
()()lim ()()()
lim ()()()
设当时，，是无穷小
且证明：．
x x x x x x e e x x x x →-≠--00
αβαβαβαβ()()()()~()()()()
若当时，与是等价无穷小，
是比高阶的无穷小．
则当时，与是
否也是等价无穷小？为什么？
x x x x x x x x x x x x →→--0101ααβααβαβ()()()()()()()()
[][]
设当时，、是无穷小，
且证明： 与是等价无穷小．
x x x x x x x x x x →-≠+-+-0011αβαβαβαβ()()()().
ln ()ln ()()()
设当时，是比高阶的无穷小．证明：当时，与是等价无穷小．x x f x g x x x f x g x g x →→+00()()()()()
吗？为什么？也是等价无穷小
与无穷小。试判定：
等价
是同阶无穷小，但不是与是等价无穷小，
与时，若)()()()()()()()(110x x x x x x x x x x β-αβ-αβααα→
lim sin ()()()()x x x
A B C D →∞=∞10 不存在但不是无穷大 答（ ）
lim sin ()()()()x x x
A B C D →∞===∞110之值 不存在但不是无穷大 答（ ） 已知 其中、、、是非常数则它们之间的关系为
答（ ）
lim tan (cos )ln()()()
()()()()x x A x B x C x D e A B C D A B D B B D C A C C A C
→-+--+-===-==-011211022222 )1()1)(1)(1(lim 1242n
x x x x x n ++++<∞→Λ计算极限设 设及存在，试证明：．lim lim n n n n n x x x a a →∞→∞+==≤011 求lim(sin cos )x x x x →∞+2
212 计算极限 lim ()()x a x a x a x a a →-++-≠322210 计算极限lim x x x x x x →-+---23223322 计算极限lim ln()cos x x x x e e x x →-?+021 ??
????∞→→)2cos 2cos 2(cos lim lim 20n n x x x x Λ计算极限
{}．，试证明及满足设有数列
0lim )10( lim 01
=<≤=>∞→+∞
→n n n
n n n n a r r a a a a
{}，试按极限定义证明：
，且满足设有数列)10( lim 0<≤=>∞
→r r a a a n n n n n ．0lim =∞
→n n a
．语言证明，试用 设A x f A A x f x x x x =δ-ε>=→→)(lim
"")0()(lim 0
试问：当时，，是不是无穷小？x x x x
→=01
2α()sin
的某去心邻域，使得
试证明：必存在，且，设0,)(lim )(lim 0
x B A B x g A x f x x x x >==→→．在该邻域为)()(x g x f >
设，试研究极限f x x x
f x x ()sin lim ()=→110 计算极限．lim ln()arcsin()x x x x →+---2
32312344
[]
答（ ）
大无界变量，但不是无穷小有界变量，但不是无穷无穷小量
无穷大量是时，则当，
设数列的通项为)()()()()1(12
D C B A x n n
n n x n n n ∞→--+=
以下极限式正确的是
答（ ）
()lim()()lim()()lim()()lim()A x e B x e C x e D x
x x x x x x x x →+→+-→∞-→∞-+=-=-=+=001
11111
1111
设， ，，，求．x x x n x n n n n 1110612==+=+→∞
()lim Λ
a
b A a D a A b a C b A b a B A b a A A b a A
x f x b x x e x f x ax ======??
?
??=≠-=→可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，且， 当，当设)()()(1)()(lim 001
)(0
答：(
)
a
A A b a D A
b a a C b A b a B a A b a A A b a A x f x b x x
ax d x f x ln )()()()()(lim 0 0)
1ln()(0
======??
?
??=≠+=→仅取可取任意实数，而，可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，，且当 ， ，当设
答：（
）
答（ ）
可取任意实数可取任意实数可取任意实数，可取任意实数，间正确的关系是，，则，且当，
，当设2
)(2)(2)(2)()(lim 0 0cos 1)(2
2
2
a A
b a D a
A b a C a A b a
B a
A b a A A b a A x f x b x x ax x f x =
==
==
==???
??=≠-=→
[][]设有，，且在的某去心邻域
内复合函数有意义。试判定是否
成立。若判定成立请给出证明；若判定不成立，请举出例子，并指明应如何加强已知条件可使极限式成立。
lim ()lim ()()lim ()x x u a
x x x a f A x f x f x A →→→===0
0????
设，当， 当 适合则以下结果正确的是仅当，，仅当，，可取任意实数，，可取任意实数，，都可能取任意实数
答（ ）
f x x x b
x x a x f x A
A a b A
B a A b
C b A a
D a b A x ()lim ()()()()()=++-≠=???
??===-====-=→21
21114344434
设 当 当 且，则，，，可取任意实数，可取任意实数
答（ ）f x bx x x a x f x A b a B b a C b a D b a x ()lim ()()()()()=+-≠=???
??=======→11
0033363
360
值。，试求时，且当，设a x x x e e x ax x x )(~)(0)(1)
1()(cos 3
12
βα→-=β-+=α 求．lim x x x
x x
e e e e →∞---+234
．，则设____________8)2(lim ==-+∞→a a
x a x x x ．____________)31(lim sin 2
0=+→x x x
当时，在下列无穷小中与不等价的是 答（ ）
x x A x B x C x x D e e
x
x
→-++--+--0121112
222
2
()cos ()ln ()()
当时，下列无穷小量中，最高阶的无穷小是 答（ ）
x A x x B x C x x D e e
x
x
→++---+--01112
22()ln()()()tan sin ()
计算极限lim
cos x x x e x →---0
2112
_____________________4sin 3
553lim 2
=?++∞
→x
x x x 1lim
2
1
1
--++++-→x n x x x
x n n
x Λ计算极限 131)1()1()1)(1(lim -→----n n
x x x x x Λ计算极限 ．计算极限x
x x π
+→)(cos lim 0
讨论极限的存在性。limarctan x x →-1
1
1 的存在性。研究极限x
x 1cot arc lim 0→
研究极限．lim x x x x →∞++-223
1
）
答（ 穷大的是时，下列变量中，为无当x D x C x B x
x A x 1
cot
arc )(1arctan )(ln )(sin )
(0+→ ________________1
ln 1
lim
1
=-→x x 。
时，恒有
，使当存在一正整数，试判定下述结论，且设N n N a a n n n >=>∞
→"0lim 0是否成立？"1n n a a <+
若试讨论是否存在？lim lim n n n n a A a →∞
→∞
=
{}存在的
极限，试判定能否由此得出满足设有数列n n n n n n a a a a ∞
→+∞
→=-lim 0)(lim 1结论。
{}0lim 1001
=<<≤>∞→+n n n
n n n a r r a a a a ，试证明，；满足设有数列
是否必存在？
存在，则存在，设)(lim )(lim )
()
(lim
000
x f x g x g x f x x x x x x →→→ ．
，则是否必有，若0)(lim 0)
()
(lim
0)(lim 00
=≠==→→→x g A x g x f x f x x x x x x
答（ ）
小量的是时，下列变量中为无穷当1
)
1)((ln 1)
()
1ln()(1
sin 1)(012
2-+-+→x
x D x C x B x x A x
．
是常数），试证明，时，设0)
()
(lim
()()(0
0=→∞→→→x f x g A A x g x f x x x x
若，且在的某去心邻域内，，则必等于，为什么？
lim ()()lim
()
()lim ()x x x x x x g x x g x f x g x A f x →→→=≠=0
0000
若，不存在，则是否必不存在？若肯定不存在，请予证明，若不能肯定，请举例说明，并指出为何加强假设条件，使可肯定的极限时必不存在。
lim ()lim ()lim ()()
()()()x x x x x x f x A g x f x g x f x g x x x →→→=??→0
lim ()()()()n n n n n
e e e
e A B e C e D e →∞
-??=
1212
1Λ 答（ ）
．
____))1(2121(lim =-+++-+++∞
→n n n ΛΛ
答（ ）
不存在，但不是无穷大为无穷大 等于 等于 .
)( ;)(;
2)( ; 0)(2
cos
lim 2
D C B A x x x +→
.
)(0)2(; )10()()1(sin 1)(是否成为无穷大时，当，内是否有界，在，试判断：设x f x x f x
x x f +→π
=
[
)设，试判断：在，上是否有界当时，是否成为无穷大
f x x x f x x f x ()cos ()()()()=+∞→+∞102
（ ）
答 高阶的无穷小是比高阶的无穷小是比是等价无穷小与等价无穷小是同阶无穷小，但不是与时（ ），则当，设.
)()()(; )()()(; )()()(; )()()(133)(11)(3x x D x x C x x B x x A x x x x
x
x αββαβαβα→-=β+-=
α
答（ ）
， ，， ，，则必有设.
104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(14lim 231=-=-==-=====-+--→A a D A a C A a B A a A A x x ax x x
）
答（ 不存在但不是无穷大 为等于 等于的极限
时，当. )( ; )(;
0)( ; 2)(1
1)(11
1
2D C B A e
x x x f x x ∞--=→-
的值。．试确定满足和，设当a x x x x ax x x )(~)(cos 1)(1)
1()(02
3
2βα-=β-+=α→
求，使a b x x ax b x lim()→∞++-+=321
12 之值。，试确定设b a b ax x x x , 0)743(lim 2=--+++∞→
n n n n x n x x x ∞
→+=+==lim )21(32111，求，，，设Λ
设， ，，，求．x x x n x n n n n 1142312==+=+→+∞
()lim ΛΛ
)(lim x x x x x --++∞
→计算极限 x
x x
x x x tan 2cos sin 1lim 0
-+→计算极限
计算极限lim
tan sin tan sin x x x x x e e
→+-+-0
44 研究极限的存在性。lim cos ()x ax
x a →->0220 {}．
收敛，并求极限，试证数列，，．，，设n n n n n n x x n x x x x ∞
→+=-=∈lim )21(2)20(2
11ΛΛ 设，，，，试研究极限．x x x x n x n n n n n 112
0212<=-=+→∞
()lim ΛΛ
．
，试研究极限，，，设n n n n n x n x x x x ∞
→+=-=>lim )21(222
11ΛΛ
n
n n n n b
n n n n
n n n n n b a b a n b a b b a a b a ∞
→∞
→→∞
→++==+==lim lim lim lim )21( 21111存在，且存在，试证明：，，，，是两个函数，令，设Λ
cos 20e e lim x x x
→-计算极限 x x x x x x x ???
??+-+++∞→lim 计算极限 x x x
x )121(lim 2+-∞→计算极限
至少有一
及，则能否得出＂，，且若0lim 0lim 000lim ==≠≠=∞
→∞
→∞
→n n n n n n n n n y x y x y x 式成立＂的结论。
{}{}{}反例。
，如否定结论则需举出如肯定结论请给出证明是否也必是无界数列。试判定：
，
都是无界数列，，设数列n n n n n n z y x z y x =
计算极限lim sinln()sinln()x x x x →∞+-+?
?
????1311
极限．； ． ．； ．． 答（ ）
lim(cos )x x x A B C D e →-
=
1
12
2
01
极限的值为（ ）
．； ．； ．； ．． 答（ ）
lim ()x x x
e e x x A B C D →--+0210123
答（ ）
．．； ．； ．； ．的值为（ ）
极限2
3
326103sin 3cos 1lim
0D C B A x
x x
x -→
下列极限中不正确的是
．； ．；．；．．
答（ ）
A x x
B x
x C x x D x
x x x x x lim tan sin lim cos
lim sin()lim arctan →→-→→∞=+=---==011232322121120π
π
极限．； ．； ．； ．． 答（ ）
lim ln()ln()x x x x x x
A B C D →+++-+=022*******
极限．； ．； ．； ．． 答（ ）
lim(cos )x x
x A B e C D e →-
=
112
12
01
答（ ）
．
．；．；．； ．为等价无穷小量的是时，与当 )sin ( 11)1ln( 2sin 0x x x D x x C x B x A x x +--+-→
）
答（ ．低阶无穷小量．
．高阶无穷小量；量；
．同阶但非等价无穷小．等价无穷小量；的是无穷小量－时，无穷小量
当D C B A x x
x
x 12111-+→
为常数，则数组，等价，其中与时，无穷小量当n m mx x x x n 2sin sin 20-→的值为，）中，（n m n m
答（ ）
．
，．； ，．； ，．； ，．)13()31()23()32(D C B A
已知，则的值为
．； ．； ．； ．． 答（ ）
lim()
x x
kx e k A B C D →+=-0
1
1111
2
2
极限的值为
．； ．； ．； ． 答（ ）
lim()x x
x
A e
B e
C e
D e
→∞---11
22141
4
下列等式成立的是
．； ．；
．；．．
答（ ）
A x e
B x e
C x e
D x
e x x x x x x x x lim()lim()lim()lim()→∞→∞→∞+→∞++=+=+=+=1211
1111
22222212
答（ ）
．
．； ．； ．； ．极限2210
1
)
21(lim e D e C e
B e A x x
x -→=
-
极限的值为（ ）
．； ．； ．； ．．
答（ ）
lim(
)x x x x A e B e C e D e →∞+---+11
4
2244
极限的值是
．； ．； ．； ．． 答（ ）
lim x x x x A B e C e D e →∞----+?? ?
?
?2121121
1
2
2
下列极限中存在的是
．； ．；．； ． 答（ ）
A x x
B e
C x x
D x x x x x x lim lim lim sin lim →∞→→∞→++-201011111
21
极限的值为．；． ． ．． 答（ ）lim
tan sin x x x
x
A B b C D →-∞03011
2
极限．； ．； ．； ．．
答（ ）
lim
sin x x
x A B C D →-=
-∞ππ
101
已知，则的值为
．； ．； ．； ．．
答（ ）
lim
cos sin x a x x x a A B C D →-=-01
2
0121
已知，则的值为
．； ．； ．； ．． 答（ ）lim
sin ()
x kx
x x k A B C D →+=----02333
2
66
答（ ）
．，．； ，．； ，．； ，．为，的值所组成的数组，，则常数设)11()11()10()01()(0)1
1
(lim 2-=--++∞→D C B A b a b a b ax x x x
答（ ）
，．； ，．； ，．； ，．）可表示为，的值，用数组（，，则
，若设)
44()44()44()44(0)(lim 1
3
4)(2----=++-+=∞→D C B A b a b a x f b ax x x x f x
高等数学求极限的常用方法附例题和详解
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推 论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f
高等数学下册典型例题精选集合.doc
最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)
法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ，T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<
而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以
高数典型例题解析
第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设
解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： 例 f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定
高等数学试题库
高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数
关于高等数学经典方法与典型例题归纳
2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自 动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；
(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22 +- ++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过 于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。 【解】22 21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有：
高等数学经典求极限方法
求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】) sin 1tan 1(sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 x x x x x x x x x x +++-=+-+→→
微积分十大经典问题
这里入选原则是必须配得起“经典”二字。知识范围要求不超过大二数学系水平， 尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。排名不分先后。 1）开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试，用不着太多的专 业知识，不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！ 2）最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。答案是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。其解答一般变分 书上均有。本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。最速降线问题通过引入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。 3）曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。 如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。德国数学家H.A.Schwarz 举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。 4）处处连续处处不可导的函数。长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。 5）填满正方形的连续曲线。数学总是充满神奇与不可思议，以前人们总是以为曲线是一维的，但是皮亚诺却发现了一条可以填满正方形的连续曲线。结果人们不得不重新审视以往对曲线的看法。 BTW：先写到这里，明天接着写另外5个。1345中的例子可以在《数学分析新讲》中找到。
高等数学基础典型例题解析
高等数学基础典型例题解析 例1 计算极限3 2)1sin(lim 21-+-→x x x x ． 解 利用重要极限1sin lim 0=→x x x ，及极限的运算法则得 )1)(3()1sin(lim 3 2)1sin(lim 121-+-=-+-→→x x x x x x x x )1()1sin()3(1lim 1--?+=→x x x x )1()1sin(lim )3(lim 111--?+= →→x x x x x 41141=?= 例2 计算极限12 76lim 223+---→x x x x x ． 解 利用极限的运算法则得 5)4(lim )2(lim )4)(3()2)(3(lim 1276lim 3 33223-=-+=--+-=+---→→→→x x x x x x x x x x x x x x 例3 设x y x ln e sin -=，求y '． 解 利用导数的运算法则和复合函数求导法则得 )(ln )e (sin )ln e (sin '-'='-='x x y x x x x x 1e c o s e -= 例4 设2cos x x y =，求y '． 解 利用导数的运算法则和复合函数求导法则得 )(cos cos )cos (222'+='='x x x x x y )(s i n s i n 222'-=x x x x 2 22s i n 2s i n x x x -= 例5 计算?x x x d e 21． 解 利用换元积分法得 ???-=--=)1d(e d e 1d e 11221x x x x x x x x c u u u u x +-===?=e d e 1c x +-=1 e
《高等数学》中部分典型习题、较难习题解答(或提示)
《高等数学》中部分典型习题、较难习题解答（或提示） （二）
167页第24题 提示：根据罗尔定理容易知道()0f x '=至少有4个实根。同时注意到()f x 是5次多项式，则()0f x '=是4次方程，它最多有4个实根。 167页第26题 证明：由于(())()0f x ax f x a ''-=-=，根据拉格朗日定理的推论1，()f x ax -为一常数，不妨设此常数为b,则有 (). f x a x b =+ 167页第27题（2）（3）（4） （2）证明：设()ln(1).f t t =+显然0,x ?> ()f t 在[0，x]上连续，在（0，x ）内可导，根据拉格朗日中值定理，()f t 在（0，x ）内至少存在一点0,x 使得 1ln(1)ln1(0)1x x x +-=-+ 即0 ln(1)1x x x +=+ 注意到00,x x <<所以， 11x x x x x <<++，即得到 ln(1).1x x x x <+<+ （3）证明：设(),().t f t e g t t ==显然0,x ?>()f t ，()g t 在[0，x]上连续，在（0，x ）内可导，且()0g t '≠. 根据柯西中值定理，()f t ,()g t 在（0，x ）内至少存在一点0,x 使得 00110x x x e e e e x x --==>-,所以, 1,x e x -> 即1.x e x >+ （当x<0时可以类似得证．） （4）提示：和上例类似，设(),t f t e = (),g t et =在区间[1，x]上用柯西定理。 168页第29题（6）（7）（10） 解：（6） 2222222tan33sec 33cos lim lim lim tan sec cos 3x x x x x x x x x πππ→→→==
微积分典型例题和重点知识点
微积分典型例题和重点知识点 1. 重点掌握定义域-习题1-2中的2,4(17页) 2. 习题1-3中的1-2-3-6-8(23页) 3. 左右极限法-例6,课后习题1. 4.6 4. 无穷小与无穷大---定义1/定理3习题4 5. 极限运算法则--定理1,例5/习题中1的2-5-610-14-15/2 的3/3 6. 单调有界准则中的准则2/两个重要极限/习题1的3,4/2的4,7/4 7. 无穷小的比较---习题1/2/3/5的2-3-5 8. 函数的连续与间断---定义1/定义2/习题2 的2/4的3/6 9. 连续函数的运算与性质-习题1/2/4/6 10. 总习题1的1-8-26-29-33-34-35 11. 导数的概念-例2/例3 12. 函数的求导法则-定理1/复合函数的求导法则/例9-注意化简/例10/基本求导公式/习题1的2-4-5-9-10/2 的1/4 的3-5-6-8/5的1-2-5-8/6的2 13. 高阶导数==与隐函数求导结合出题---习题1的4-5/4/6的3 14. 隐函数的求导数---例2/例3/习题中1 的2-5,2的2-3,3的3 15. 函数的微分-例3 /例4 16. 总复习题1-2-10-13-14-21-23-25 17. 中值定理---习题1-3-5(重点证明题)-10的1-11========[证明一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,可用原函数找辅助函函数]=========[注意洛必达法则失败的情况]==习题1 的3-5-6-910-11-12-14-17 18. 函数凹凸性:定理2/例6/例8/习题4 的2-3,6的2 19. 习题3-5中的8 20. 导数在经济学中的应用---例3(应用题)/例4/例5 /例6/习题的5-9-10 21. 总复习题1 的2/13 的1-5/24的1 22. 不定积分----例4(可能与不定积分结合)/性质1性质2(可能出选择题)/基本积分表/例8/例9/习题1 的7-10-12/3/4====有一个会有第一类间断点的函数都没有原函数 23. 换元积分法---例2 /例3/例6/常用凑微分公式/习题2 的7-8-10-11-12/3的1/4 24. 分部积分法----按”反-对-幂-三-指”的顺序,在前的设为U,在后的设为V/例3/例4/例10/习题1的2-5-14/3 25. 注意---------------------微积分重点小节是:1.7-----1.8----2.2-----2.4-----3.2-----3.7------4.2------4.3----- 计算题4题分别是分步积分凑积分法极限隐函数的求导 应用题的是弹性函数和利用函数求最值 以上是其他老师划的一些重点知识和例题,习题,请各位同学根据老师讲的内容并结合自身复习情况,做适当的调整
2009年考研数学高数典型题型归纳
2009年考研数学高数典型题型归纳 一、函数、极限与连续 求分段函数的复合函数； 求极限或已知极限确定原式中的常数； 讨论函数的连续性，判断间断点的类型； 无穷小阶的比较； 讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。 二、一元函数微分学 求给定函数的导数与微分（包括高阶导数），隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论； 利用洛比达法则求不定式极限； 讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式； 利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足……”，此类问题证明经常需要构造辅助函数； 几何、物理、经济等方面的值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间； 利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。
三、一元函数积分学 计算题：计算不定积分、定积分及广义积分； 关于变上限积分的题：如求导、求极限等； 有关积分中值定理和积分性质的证明题； 定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等； 综合性试题。 四、向量代数和空间解析几何 计算题：求向量的数量积，向量积及混合积； 求直线方程，平面方程； 判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角； 建立旋转面的方程； 与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。 五、多元函数的微分学 判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续； 求多元函数（特别是含有抽象函数）的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数； 求二元、三元函数的方向导数和梯度； 求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，
关于高等数学方法与典型例题归纳
关于高等数学方法与典型 例题归纳 This manuscript was revised on November 28, 2020
2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其 自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；
(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重 要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】22 21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限
高等数学(下)典型习题及参考答案
第八章典型习题 一、 填空题、选择题 1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离是 2、平行于向量}1,2,1{a -= 的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为 且与平面过点=--+-z y x 4、.xoz y z y x :面上的投影柱面方程是在曲线?? ?==++Γ2 10222 5、()==-=+=+=-δ λ δλ则平行与设直线,z y x :l z y x : l 1111212121 ()23A ()12B ()32C ()21 D 6、已知k 2j i 2a +-=,k 5j 4i 3b -+=,则与b a 3 -平行的单位向量为 ( ) （A ）}11,7,3{（B ）}11,7,3{- （C ）}11,7,3{1291-± （D ）}11,7,3{179 1-± 【 7、曲线???==++2 z 9 z y x 222在xoy 平面上投影曲线的方程为（ ） （A ）???==+2z 5y x 22 （B ）???==++0z 9z y x 222（C ）???==+0 z 5y x 22 （D ）5y x 22=+ 8、设平面的一般式方程为0A =+++D Cz By x ，当0==D A 时，该平面必( ) (A)平行于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9、设空间三直线的方程分别为251214: 1+=+=+z y x L ，6 7 313:2+=+=z y x L ，4 1 312:3-= +=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L 10、设平面的一般式方程为0=+++D Cz By Ax ，当0==B A 时，该平面必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy 面 (D) 平行于xoy 面 11、方程05 z 3y 3x 2 22=-+所表示的曲面是（ ） （A ）椭圆抛物面 （B ）椭球面 （ （C ）旋转曲面 （D ）单叶双曲面
高等数学常微分方程的基础知识和典型例题
常微分方程 一、一阶微分方程的可解类型 （一）可分离变量的方程与一阶线性微分方程 1.（05,4分）微分方程_________.1 2ln (1)9 xy y x x y '+==-满足的解为 2222223332.+ln ,=ln . 111 ln ln ln . 339 111 (1)0ln . 939 dx x dy y x e x dx x d x x x dx x x xdx C xdx C x x x y C y x x x ?==+=+-=-=?=-??分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为两边乘得 (y)= 积分得 y=C+由得 2.（06,4分） (1) y x x -'————.微分方程y = 的通解为 111 (1).ln ln .,C x x dy dx y x x C y e x e y x y Cxe C --=-=-+==分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得 积分得，即因此，原微分方程的通解为 其中为任意常数. （二）奇次方程与伯努利方程 1.（97,2,5分）2 2 2 (32)(2)0x xy y dx x xy dy +-+-=求微分方程的通解. 22223122+1-23 , 1ln 13ln ,1=..y xu dy xdu udx u u dx x u du u du dx u u x u u x C u u Cx y C u x xy y x x -=-+-+-=-++-= +-=解：所给方程是奇次方程.令 =,则=+.代入原方程得 3（1-）+(1-2)=0. 分离变量得 积分得 即以代入得通解 2.(99,2,7分) 1(0(0),0 x y dx xdy x y =?+-=>??=??求初值问题的解.
大一高数知识点与例题讲解
大一高数 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-
高等数学练习试题库及答案
《高等数学》练习测试题库及答案 一．选择题 1.函数y=1 12+x 是（） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（） A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B ．23，32，45，5 4 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的（） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 )1sin(lim 21x x x （） A.1 B.0 C.2 D.1/2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) A.1 B.2 C.6 D.1/6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） A.x 2-1 B. x 3-1 C.(x-1)2 D.sin(x-1)
9.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x0不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x0必不连续 B、f(x)×g(x)在点x0必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x0必不连续 D、在点x0必不连续 14、设f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x0连续，则下列复合函数在x0也连续的有（）
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的14种方法 令狐采学 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常 用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分 必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当
二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。 2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“0 0”“∞ ∞”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系， 所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即) (1) ()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f == 或； ) ()(1) (1 )(1)()(x g x f x f x g x g x f - = - (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还 取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )() () (=，这样就能把幂上的函数 移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ；
高等数学经典方法与典型例题归纳 2
2014年山东省普通高等教育专升本考试2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木 工程 2013年5月17日星期五 曲天尧编写
一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22 +- ++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+- ++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→