2015-2019近五年全国1卷文科数学真题分类汇编

2015—2019年新课标高考全国Ⅰ卷文科数学分类汇编

第一部分 客观题

专题一：函 数

1.【2016课标1，文8】若0,01a b c >><<,则( ) A. log log a b c c < B.log log c c a b < C.c

c a

b < D. a b

c c >

2.【2016课标1，文9】函数2

2x y x e =-在[2,2]-的图象大致为（ ）

3.【2017课标1，文8】函数sin 21cos x

y x

=

-的部分图像大致为（ ）

4.【2017课标1，文9】已知函数，则( )

A.()f x 在（0,2）单调递增 C.()f x 的图像关于直线1x =对称

B.()f x 在（0,2）单调递减 D.()f x 的图像关于点（1,0）对称

5.【2018课标1，文12】设函数2,0

()1,0

x x f x x -?≤=?>?，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值

范围是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

6.【2018课标1，文13】已知函数2

2()log ()f x x a =+，若(3)1f =，则________．

7. 【2019课标1，文3】已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（ ） A.a b c << B.a c b << C.c a b << D.b c a << 8.【2019课标1，文5】函数2

sin ()cos x x

f x x x +=

+在[,]ππ-的图像大致为（ ）

A. B. C. D.

专题二：导数的应用

1.【2015课标1，文14】已知函数3()1f x ax x =++的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，则a = .

2.【2016课标1，文12】若函数1()sin 2sin 3

f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（ ）

()ln ln(2)f x x x =+-(]1-∞，(

)

0+∞，()10-，()0-∞，a =

A.[1,1]-

B. 1[1,]3-

C. 11[,]33-

D. 1[1,]3

--

3.【2017课标1，文14】曲线21

y x x

=+

在点(1,2)处的切线方程为 . 4.【2018课标1，文6】设函数32

()(1)f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线

()f x 在点（0,0）处的切线方程为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

5. 【2019课标1，文13】曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为 .

专题三：三角函数及解三角形

(一)三角函数

1.【2016课标1，文14】已知θ是第四象限角，且3sin()45

πθ+=，则

tan()4πθ-=

.

2.【2016课标1，文6】若将函数 2sin(2)6y x π

=+的图象向右平移的图像向右平移14

个

周期后，所得图像对应的函数为( )

A.2sin(2)4y x π=+

B.2sin(2)3y x π=+

C.2sin(2)4y x π=-

D.2sin(2)3

y x π=- 3.【2017课标1，文15】已知(0,),tan 22π

αα∈=，则cos()4

πα-= .

4.【2018课标1，文8】已知函数，则（ ）

A ．()f x 的最小正周期为，最大值为3

B ．()f x 的最小正周期为，最大值为4

C ．()f x 的最小正周期为，最大值为3

D ．()f x 的最小正周期为，最大值为4 5.【2018课标1，文11】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终

边上有两点A (1,a )，B (2,b )，且2

cos 23

α=

，则a b -=（ ） A ． B ． C

D ．

6.【2018课标1，文7】tan 255?=（ ）

A.2-2-+2 D.2+

7．【2019课标1，文15】函数3()sin(2)3cos 2

f x x x π=+-的最小值为___________． （二）解三角形

1.【2016课标1，文4】 ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知

2

2,cos 3

a c A ===

，则b =( )

2.【2017课标1，文11】 ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知

sin sin (sin cos )0B A C C +-=，2,a c ==，则C=( )

A.

12π B. 6π C. 4π D. 3

π 3.【2018课标1，文16】ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知

2y x =-y x =-2y x =y x =()22

2cos sin 2

f x x x =-+ππ2π2παx 151

，，则ABC ?的面积为________．

4.【2019课标1，文11】ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知

sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则b

c

=（ ）

A.6

B.5

C.4

D.3

专题四：平面向量 1.【2016课标1，文13】设向量(,1),(1,2)a x x b =+=r r ，且a b ⊥r r

，则x = .

2.【2017课标1，文13】已知向量(1,2),(,1)a b m =-=r r ，若向量a b +r r

与a r 垂直，则m = .

3.【2018课标1，文7】在ABC ?中，为边上的中线，为的中点，则（ ）

A.

B ． C.

D ．

4.【2019课标1，文8】已知非零向量a r ，b r 满足||2||a b =r r ，且()a b b -⊥r

r v ，则a r 与b r 的

夹角为（ ）

A.6

π B.3

π C.23

π D.56

π

专题五：数 列

1.【2015课标1，文7】已知}{

n a 是公差为1的等差数列，n S 为}{

n a 的前n 项和，则

84104,S S a ==（ ）

A.172

B. 192

C.10

D.12

2.【2015课标1，文13】在数列}{

n a 中，112,2n n a a a +== , n S 为}{

n a 的前n 项和，若

126n S =，则n = .

3. 【2019课标1，文14】记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，3

34

S =，则

4S = .

专题六：圆锥曲线

1.【2016课标1,文15】设直线2y x a =+与圆2

2

:220C x y ay +--=相交于A ，B 两点，

若AB =C 的面积为 .

2.【2016课标1,文5】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的

1

4

，则该椭圆的离心率为( ) A. 13 B. 12 C. 23 D.34

3.【2017课标1，文12】设A 、B 是椭圆22

:13y x C m

+=长轴的两个端点，若C 上存在点M

满足120AMB ∠=o

，则 m 的取值范围是（ ）

A.(0,1][9,)?+∞

B.[9,)?+∞

C.(0,1][4,)?+∞

D.[4,)?+∞

4.【2017课标1，文5】已知F 是双曲线2

2

:13

y

C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，且A 的坐标是(1,3)，则APF ?面积为( )

sin sin 4sin sin b C c B a B C +=2228b c a +-=AD BC E AD EB =

u u u r

3144AB AC -u u u

r u u u r 1344

AB AC -u u u

r u u u r 3144AB AC +u u u

r u u u r 1344AB AC +u u u

r u u u r

A. 13

B. 12

C. 23

D. 32

5.【2018课标1,文4】已知椭圆22

2:14

x y C a +=的一个焦点为（2,0），则C 的离心率

（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

6.【2018课标1,文15】直线与圆交于A ,B 两点，则AB =

________．

7. 【2019课标1,文10】双曲线22

221(0,0)x y C a b a b

-=>>：的一条渐近线的倾斜角为130?，

则C 的离心率为（ ）

A.2sin 40?

B.2cos40?

C.

1sin 50? D.1

cos50?

8.【2019课标1,文12】已知椭圆C 的焦点坐标为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C

交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为（ ）

A. 2212x y +=

B.22132

x y += C.

22143x y += D.22

154x y += 专题七：立体几何

1.【2016课标1，文11】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，

α?平面ABCD =m ，α?平面11ABB A =n ，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）

A.3

B. 2

C. 3

D. 13

2.【2016课标1，文7】如图，某几何体的三视图是三个半径相等 的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283

π，则

它的表面积是( )

A.17π

B. 18π

C. 20π

D. 28π

3.【2017课标1，文16】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，,SA AC SB BC ==，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为 .

4.【2018课标1，文5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为12,O O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A ． B ． C ． D ．

5.【2018课标1，文9】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ） A ． B ． C.3 D ．2

6.【2018课标1，文10】在长方体1111ABCD A B C D -中,2AB BC ==，

1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为（ ）

A.8

B ．

C ．

D ．

1312222

1y x =+22

230x y y ++-=122π12π82π10π21725628283

7. 【2019课标1，文4】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐

至足底的长度之比是51-（51

0.618-≈称为黄金分割比例）

，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51- .若

某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为cm 26，

则其身高可能是（ ）

A.165cm

B.175cm

C.185cm

D.190cm

8.【2019课标1，文16】已知90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到

ACB ∠两边,AC BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为 .

专题八：概率与统计

1.【2016课标1，文3】为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )

A. 13

B.

1

2 C. 2

3 D. 56

2.【2017课标1，文2】为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的

亩产量（单位：kg ）分别为12,,,n x x x ???，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )

A ．12,,,n x x x ???的平均数

B ．12,,,n x x x ???的标准差 C. 12,,,n x x x ???的最大值 D ．12,,,n x x x ??? 的中位数.

3.【2017课标1，文4】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ) A.

14 B. 2π C. 12 D. 4

π

4.【2018 课标1文3】 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少

B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

5.【2019 课标1文6】某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为

1,2,3,,1000L ，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ）.

A.8号学生

B.200号学生

C.616号学生

D.815号学生

专题九：程序框图

1.【2016课标1，文10】执行如下的程序框图，如果输入的0,1,1

x y n

===，则输出的,x y满足（）

A．2

y x

= B.3

y x

= C．4

y x

= D．5

y x

=

（第1题）（第2题）

2.【2017课标1，文10】下图程序框图为了求出满足1000

32

n n

->的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填（）

A．1000,1

A n n

>=+ B．1000,2

A n n

>=+ C.1000,1

A n n

≤=+ D1000,2

A n n

≤=+

3.【2019课标1，文9】右图是求

1

1

2+

1

2+

2

的程序框图，

图中空白框中应填入（）

A.1

2

A

A

=

+

B.1

2

A

A

=+

C.1

1

2

A

A

=+ D.1

12

A

A

=

+

专题十：线性规划

1.【2016课标1,文16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元。该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为

元.

2.【2017课标1,文7】设,x y满足约束条件33

1

x y

x y

y

+≤

?

?

-≥

?

?≥

?

，则z x y

=+的最大值为（）

A.0

B.1

C.2

D.3

3.【2018课标1，文14】若,x y满足约束条件，则的最大值为

________．

专题十一：推理与证明

1.【2014课标1，文14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,

甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市.

由此可判断乙去过的城市为 .

220

10

x y

x y

y

--

?

?

-+

?

?

?

≤

≥

≤32

z x y

=+

第二部分 解答题

专题一：三角函数及解三角形

1.【2015课标1，文17】已知,,a b c 分别为ABC ?内角,,A B C 的对边，

2sin 2sin sin B A C =.

(1)若a b =，求cos B ； (2)设90B =o ，且2a =，求ABC ?的面积.

专题二：数 列

1.【2016课标1，文17】已知满足}{

n a 是公差为3的等差数列，数列}{n b 满足

12111

1,,3

n n n n b b a b b nb ++==+=

(1) 求}{

n a 的通项公式； (2)求数列}{

n b 的前n 项和.

2.【2017课标1，文17】记n S 为等比数列}{

n a 的前n 项和，已知232,6S S ==-. (1)求}{n a 的通项公式； (2)求n S ，并判断12,,n n n S S S ++ 是否成等差数列.

3. 【2018全国1，文17】已知数列{}n a 满足111,2(1)n n a na n a +==+，设n n

a b n

=．

⑴求123,,b b b . ⑵判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； ⑶求{}n a 的通项公式．

4. 【2019全国1，文18】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =-； （1）若34a =，求{}n a 的通项公式；

（2）若10a >，求使得n n S a ≥的n 的取值范围.

专题三：概率统计

1.【2016课标1，文19】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数. （1）若n =19，求y 与x 的函数解析式；

（2）若要求“需更换的易损零

件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；

（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

2.【2017课标1，文19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔

30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.下面是检验员在

一天内依次抽取的16个零件尺寸：

经计算得16

1

19.97,0.21216i i x x s ===≈∑，

16

1

18.439,()(8.5) 2.78i i x x i =≈--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，.

（1）求(,)(1,2,,16)i x i i =???的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r |<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）． （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（ⅱ）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01）

附：样本(,)(1,2,,)i i x y i n =???的相关系数

．

3.【2018课标1，文19】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m 3

）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

⑴在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：

(3,3)x s x s -+(3,3)x s x s -+()()

n

i

i

x x y y r --∑0.09

⑵估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m 3

的概率；

⑶估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．

4. 【2019课标1，文17】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾

（1） （2） 能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

附：2

2

()()()()()

n ad bc a b c d a c b d κ-=++++

专题四：立体几何

1.【2016课标1，文18】如图，已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G .

（I ）证明G 是AB 的中点；

（II ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积

2.【2017课标1，文18】如图,在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ,且90BAP CDP ∠=∠=o . (1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

(2)若,90PA PD AB DC APD ===∠=o

，且四棱锥P ABCD -

的体积为8

3

，求该四棱锥的侧面积.

3.【2018课标1，文18】在平行四边形中，，，以为折痕将ACM ?折起，使点到达点的位置，且． ⑴证明：平面ACD ⊥平面ABC ；

⑵Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2

3

BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．

4.【2019课标1，文19】如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，

14,2AA AB ==，60BAD ∠=o ，,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点.

（1）证明：//MN 平面1C DE （2）求点C 到平面1C DE 的距离.

专题五：解析几何

1.【2016课标1，文20】在直角坐标系xoy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2

:2(0)C y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .

(I)求OH ON

.

(II)除H 以外，直线MH 与C 是否还有其它公共点？说明理由.

2.【2017课标1，文20】设,A B 为曲线21:4

C y x =上两点，A 与B 的横坐标之和为4.

(1)求直线AB 的斜率；

(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程.

ABCM 3AB AC ==90ACM =?∠AC M D AB DA ⊥

3.【2018课标1，文20】设抛物线2

:2C y x =，点A (2,0)，B (-2,0)，过点的直线与交于，两点．

⑴当与轴垂直时，求直线的方程； ⑵证明：．

4.【2019课标1，文21】

已知点,A B 关于坐标原点O 对称，4AB =，M e 过点,A B 且与直线20x += 相切.

（1）若A 在直线0x y +=上，求M e 的半径；

（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值？并说明理由.

专题六：导数及其应用

1.【2016课标1，文21】已知函数2

()(2)(1)x

f x x e a x =-+- (1)讨论()f x 的单调性；

(2)若有两个零点，求a 的取值范围.

2.【2017课标1，文21】已知函数2

()()x

x

f x e e a a x =--

(1)讨论()f x 的单调性； (2)若()f x ≥0，求a 的取值范围.

3.【2018课标1，文21】已知函数． ⑴设是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间； ⑵ 证明：当1

,()0a f x e

≥≥．

4.【2019课标1，文20】

已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '是()f x 的导数. （1）证明：()f x '在区间(0,)π存在唯一零点； （2）若[0,]x π∈时，()f x ax ≥，求a 的取值范围.

专题七：坐标系和参数方程

1.【2016课标1，文23】在直线坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a t y a t

=??

=+? (t 为

参数,0a >).在以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=,

（1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；

（II ）直线3C 的极坐标方程为0θα=,其中0α满足0tan 2α=,若曲线1C 与2C 的公共点都在

3C 上,求a .

A l C M N l x BM ABM ABN =∠∠()ln 1

x f x ae x =--2x =

2.【2017课标1，文22】在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θ

θ

=??=?（θ为

参数），直线l 的参数方程为41x a t

t y t =+??

=-?

（为参数）

. (1)若1a =，求C 与l 的交点坐标；

(2)若C 上的点到l

a .

3.【2018课标1，文22】在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的方程为．以坐标原点

为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为

． ⑴求2C 的直角坐标方程；

⑵若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．

4. 【2019课标1，文22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22211()41t x t t t y t ?-=

??+?

?=?+?

为参数.

以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l

的极坐标方程为

2cos sin 110ρθθ++=.

（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值.

2

y k x =+2

2cos 30ρρθ+-=