推荐下载 -武中高2018级第四次月考参考答案
武中高2018级(上期)第三次月考
数 学（理科）参考答案
一、选择题
1—4：AABD 5—8：BACC 9—12：DCAC 二、填空题
13．84 14．]42,42[- 15．1+
2
21+------+
2
1n
17．解： ＝(cos14o，sin14o)， ＝(cos74o，sin74o)， (1) a · b ＝ cos14ocos74o＋sin14osin74o＝cos60o= 2 1 ．………………5分 (2) a 2 ＝2cos 14o＋2sin 14o＝1，b 2 ＝2 cos 74o＋2 sin 74o＝1，………………6分 ||2 ＝2 ＝（＋t ）2＝2 ＋2 t 2 ＋2t · ＝4 3 )21(122 ++=++t t t ，……9分 ∵ t ∈[?1, 1]，∴当t ＝1时，||max ＝3………………12分 18．解（I ）依题意，随机变量ξ的取值是2、3、4、5、6…………2分 因为P （ξ=2）=649 8322= ；P （ξ=3）=6418 8 322 2=? P （ξ=4）=64218232322=??+；P （ξ=5）=6412 82322=??； P （ξ=6）=644 8 222=；…………7分 所以，当ξ=4时，其发生的概率P （ξ=4）= 64 21 最大…………8分 （Ⅱ）E ξ=4 1564466412564214641836492=?+?+?+?+?………………12分 19.解 ⑴22222222()()a b y x x y a b a b a b x y x y ++=+++≥++2()a b =+， 故222()a b a b x y x y ++≥+．当且仅当22y x a b x y =，即a b x y =时上式取等号； ………………6分 ⑵由⑴ 222 23(23)()252122(12) f x x x x x +=+≥=-+-．………………9分 当且仅当 23212x x = -，即1 5 x =时上式取最小值，即min [()]25f x =．………………12分 20．解：（I ） )2)(1(612)21(662a x x a x a x y +--=+-+-='…………2分 由 y '=0，得a x x 2,1-==或………………3分 ①若2 1 ,21,2,12- =-=-==a a a 则βα 此时，0)1(62≤--='x y ，不存在极值；…………5分 ②若2 1 ,21,1)2(,1,22-== =-=-=a a a a 或得则βα（舍） 当),,1(;0),1,1(;0),1,(,2 1 +∞∈>'-∈<--∞∈=x y x y x a 时 0<'y 满足题设条件 综合①②，2 1 =a ………………7分 （Ⅱ）由（I ）知35 ,1,1=-=∴=-=极大极小y y βα ………………10分 所以 2-=+极大极小y y ………………12分 21．解：（1）抛物线 )32(3636362-=-=x x y 的项点为)0,32(…（文2，理1分） 准线为.2 3324 36= +-=x ………………………………………………………………（4分） 设双曲线G 为,12 2 22=-b y a x 则有2 3,322 = =c a c 又，可得，a 2=3， b 2=9. ∴双曲线G 的方程为93,19 3222 2=-=-y x y x 即.……………………………………（6分） （2）由 {9 332 2 =-+=y x kx y ，得0186)3(22 =---kx x k ………………………………（7分） 又由366,018)3(436032 22±≠<<-? ? ?>?-+=?≠-k k k k k 且得.………（8分） 设 2 2 12212211318 ,36),,(),,(k x x k k x x y x B y x A --=-= +则…………………………（9分） ∵若原点O 在AB 为直径的圆上，有OA ⊥OB ，K OA ·K OB =－1，02121=+∴y y x x ，即 0)3)(3(2121=+++kx kx x x ……（10分） 化简为09)(3)1(21212=++++x x k x x k 09363318)1(2 22=+-?+--? +∴k k k k k ………（11分）解得，1,12±=∴=k k . ),6,6(1-∈±=k Θ故，当k =±1时，原点O 在AB 为直径的圆上.………………（12分） 22．解：（I ）2212112+=+∴+=ka a a kS S Θ 又2 1 2 212,1,221 = ∴+=+==k k a a ………………2分 （Ⅱ）由（I ）知221 1 += +n n S S ① 当2≥n 时，221 1+=-n n S S ② ①－②，得)2(2 1 1≥=+n a a n n ………………4分 又12 2 1 a a = ，易见*)(2 1 *)(01N n a a N n a n n n ∈=∴ ∈≠+ 于是}{n a 是等比数列，公比为 2 1 ，所以 )211(42 11] )21 (1[2n n n S -=---?=………………6分 （Ⅲ）不等式 211<--+m S m S n n ，即21)2 11(4)21 1(41<----+m m n n 整理得6)4(22 <- 假设存在正整数n m ,使得上面的不等式成立，由于2n 为偶数，m -4为整数，则只能是 4)4(2=-m n ???=-=???=-=∴1 4,42;24,22m m n n 或………………10分 因此，存在正整数2 1 ,2,3;1,21<--====+m S m S n m n m n n 使 或…………14分