立方根 知识讲解

立方根

【学习目标】

1. 了解立方根的含义；

2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.

【要点梳理】

立方根、实数，知识要点】

要点一、立方根的定义

如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果3

x a

=，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.

要点诠释：一个数a a是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.

要点二、立方根的特征

立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.

要点三、立方根的性质

=

=

a

3

=

a

要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左

移动1位.0.060.6660. 【典型例题】

类型一、立方根的概念

1、（优质试题春?吐鲁番市校级期中）下列语句正确的是（）

A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0

B．一个数的立方根不是正数就是负数

C．负数没有立方根

D．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0

【思路点拨】根据立方根的定义判断即可.

【答案】D；

【解析】A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或-1，故错误；

B．一个数的立方根不是正数就是负数，错误，还有0；

C．负数有立方根，故错误；

D．正确.

【总结升华】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义. 举一反三：

【高清课堂：389317 立方根 实数，例1】

【变式】下列结论正确的是（ ）

A ．64的立方根是±4

B ．12-是16-的立方根

C ．立方根等于本身的数只有0和1

D

=【答案】D.

类型二、立方根的计算

【高清课堂：389317 立方根 实数，例2】

2、求下列各式的值：

（1）327

102

-- （2）3235411+? （3）3364

18-? （4

（5）10033)1(4

12

)2(-+÷-- 【答案与解析】 解：（1

）（2

（3

）

43==

=9 1=241=2

???- ???- （4

）=331

=1

-++ （5

） 3=21247=1=33

÷++

【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方. 举一反三：

【变式】计算：（1=______；（2）=3

64611

______； （3）=--312719______．（4）=-335

11)(______. 【答案】（1）－0.2；（2）54；（3）23；（4）45

. 类型三、利用立方根解方程

3、（优质试题春?北京校级期中）（x ﹣2）3=﹣125．

【思路点拨】利用立方根的定义开立方解答即可．

【答案与解析】

解：（x ﹣2）3=﹣125，

可得：x ﹣2=﹣5，

解得：x=﹣3．

【总结升华】此题考查立方根问题，关键是先将x ﹣2看成一个整体． 举一反三：

【变式】求出下列各式中的a ：

（1）若3a ＝0.343，则a ＝______；（2）若3

a －3＝213，则a ＝______；

（3）若3a ＋125＝0，则a ＝______；（4）若()31a -＝8，则a ＝______． 【答案】（1）a ＝0.7；（2）a ＝6；（3）a ＝－5；（4）a ＝3．

类型四、立方根实际应用

4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643cm ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了

169πcm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？

【思路点拨】铁块排出的643cm 水的体积，是铁块的体积，也是高为

169π

cm 烧杯的体积. 【答案与解析】

解：铁块排出的643cm 的水的体积，是铁块的体积．

设铁块的棱长为y cm ，可列方程364,y =解得4y = 设烧杯内部的底面半径为x cm ，可列方程216649x ππ

?=,解得x =6. 答：烧杯内部的底面半径为6cm ，铁块的棱长 4cm .

【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.

举一反三：

【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________.(不计损耗)

.

实数(平方根、算术平方根、 立方根的概念及基本运算)

板块一：战前准备——打败拦路虎！ 作战目标： 1．______________________________ 2．______________________________ 3．______________________________ 装备： A ．______________________________ B ．______________________________ 第一作战目标：平方根 相关知识：平方 224,=2749,=211121,=221441,=2321024,= 4＝( )2 49＝( )2 121＝( )2 1024＝( )2 5＝( )2 250＝( )2 平方根的概念：____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________。 示例： 若22＝4，则2就叫做4的平方根； 若(-2)2＝4，则-2就叫做4的平方根； 若(±2)2＝4，则±2就叫做4的平方根。 练习：25的平方根为_______，81的平方根为_______，5的平方根为_______。 练习升级：0的平方根为_______。 练习再升级：-5的平方根为_______？ 帅哥徐老师总结： 1．只有非负数才有平方根！ 2．正数的平方根有两个，且互为相反数。 0的平方根只有一个，就是0。 负数没有平方根。 第二作战目标：算术平方根 算术平方根的概念： ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________。 实 数

(完整)菱形(提高)知识讲解

菱形 【要点梳理】 要点一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 要点二、菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称 中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高； 另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）. 实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘 积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 要点三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【典型例题】 类型一、菱形的性质 1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF的度数． 【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°． 【答案与解析】

压强(提高)知识讲解

压强（提高） 责编：武霞 【学习目标】 1、了解压力，通过实验探究，知道影响压力作用效果的因素； 2、理解压强的定义、公式及单位，能运用压强公式进行简单计算； 3、知道增大压强和减小压强的方法。 【要点梳理】 要点一、压力 垂直作用在物体表面上的力叫做压力。 要点诠释： 1、产生的条件：相互接触的两个物体相互挤压。例如：静止在地上的篮球和地面间有相互挤压的作用，篮球对地面有压力；静止在竖直墙壁旁的篮球与墙壁之间没有相互挤压，所以没有压力。 2、方向：与受力物体的受力面垂直，并指向受力面，由于受力物体的受力面可能是水平面，也可能是竖直面，还可能是角度不同的倾斜面，因此压力的方向没有固定指向，它可能指向任何方向，但始终和受力物体的受力面相垂直。 3、单位：牛顿，符号：N 4 压力重力 施力物体物体地球 受力物体支持物物体 大小决定于相互挤压所发生形变大小G=mg 方向垂直于受力物体表面，并指向受力面竖直向下 作用点在支持面上物体重心 力的性质接触的物体间相互挤压而发生形变产 生的，属于弹力 来源于万有引力，是非接 触力 受力示意图 要点二、压强（高清课堂《压强》388900） 表示压力作用效果的物理量。 要点诠释： 1、压力的作用效果与压力和受力面积有关。 探究实验 提出问题：压力的作用效果跟什么因素有关。 猜想和假设：跟压力的大小有关，跟受力面积的大小有关。 进行实验： ①照图甲那样，把小桌腿朝下放在泡沫塑料上；观察泡沫塑料被压下的深度； ②再照图乙那样，在桌面上放一个砝码观察泡沫塑料被压下的深度； ③再把小桌翻过来，如图丙，观察泡沫塑料被压下的深度。

实验步骤①、②是受力面积一定，改变压力的大小，步骤②、③是压力一定，改变受力面积。 实验结果：泡沫塑料被压下的深度与压力的大小和受力面积的大小有关。压力越大，效果越明显，受力面积越小效果越明显。 2、定义：物体所受压力的大小与受力面积之比叫做压强。 3、计算公式及单位 ①公式：(定义公式) ②单位：国际单位为帕斯卡(Pa)，简称帕。 1Pa=1N/m2。表示1m2面积上所受的压力是1N，Pa是一个很小的单位，一张报纸平放时对桌面的压强约1Pa。实际应用中常用千帕(kPa) 兆帕(MPa)作单位，气象学中常用百帕(hPa)作单位，换算 =，，。 4、注意：压强大小是由压力和受力面积共同决定的，不仅仅决定于压力大小。压力F和受力面积S 之间不存在因果关系，但压强p和F、S之间有着密切联系，在S一定时，p与F成正比，在F一定时，p与S成反比。 要点三、增大和减小压强的方法（高清课堂《压强》388900） 在生活中我们常常会遇到要增大或减小压强的问题，根据影响压强大的两个因素，可以从两个方面来增大或减小压强。 要点诠释： 1、增大压强的方法 2、减小压强的方法 【典型例题】 类型一、基础知识

立方根典型例题重难点和练习

实数(二)立方根 重点：1、开立方与立方的互逆运算关系并能灵活运用 2、理解立方根的概念，会用立方运算求某些数的立方根 3、明确平方根与立方根的区别 难点：明确立方根与平方根的区别，知道立方根定义与空间形体有密切的联系 知识点： 1、立方根的概念： ，表示为 2、立方根的性质：正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0。（任意数都有立方根，且只有一个） 例题： 例1：求下列各数的立方根： ⑴-64；⑵0.125；⑶-27 512；⑷64 例2：求下列各式的值： ⑴327--； ⑵3343125- ； ⑶3729.0-； ⑷333643218164+ ---+-； ⑸327 102-- 例3：若A=323+-+b a b a 是b a 3+的算术平方根，B=1221---b a a 为21a -的立方根，试求A+B 的平方根 例4：⑴填写下表： 上表中已知数点a 的小数点的移动与它的立方根3a 的小数点的移动间有何规律？这个规律用倍数关系的语言应怎样叙述？ ⑵利用规律计算：已知的值求n m n m b b ,,12000,012.0,1233=== ⑶如果x b x 求,1003=

练习： 1．下列各式中正确的是（ ）． （A ） （B ） （C ） （D ） 2． 的立方根是（ ）． （A ）－4 （B ）±4 （C ）±2 （D ）－2 3． ，则 的值是（ ）． （A ） （B ） （C ） （D ） 4．下列四种说法中：（1）负数没有立方根；（2）1的立方根与平方根都是1；（3） 的平方根是 ；（4） ．共有（ ）个是错误的． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 5．下列说法正确的是（ ） （A ）27的立方根是3±（B ）27102 -的立方根是3 4- （C ）2是-8的立方根（D ）-27的三次方根是3 6．下列说法：（1）只有正数才有平方根；（2）负数没有立方根；（3）一个数的立方根不是正数就是负数；（4）任何数的立方根都只有一个。其中正确的说法的个数有（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 7．若一个数的算术平方根与它的立方根相等，则这个数是（ ） （A ）1 （B ）0或1 （C ）0 （D ）非负数 8．若 ，则 叫做 的__________，记作___________．

立方根教案

13.2立方根（第一课时）教案 一、教学目标 知识与技能： 1、了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根，让学生体会一个数的立方根的唯一性. 2、了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根，分清一个数的立方根与平方根的区别。 3、能用有理数估计一个无理数的大致范围，使学生形成估算的意识，培养学生的估算能力。 过程与方法 1、帮助学生了解数的立方根的概念和性质，会用三次根号表示数的立方根，让学生体会一个数的立方根 的惟一性. 2、帮助学生了解开立方运算与立方运算之间的互逆关系，掌握用立方运算求一个数的立方根的方法，帮 助学生了解用计算器求某些数的立方根的方法.. 3、帮助学生认识平方根与立方根的区别. 情感、态度与价值观 1、通过立方根的学习，认识数学与人类生活的密切联系，激发学生的学习兴趣. 2、通过探究活动，锻炼克服困难的意志，增强自信心，激发学生的探索热情. 二、教学重难点 教学重点：了解数的立方根的概念和性质，会用三次根号表示数的立方根，用立方运算求一个数的立方根. 教学难点：用立方运算求一个数的立方根，认识平方根与立方根的区别. 三、教学方法：讨论比较法、讲练结合，合作，交流，探究. 四、教学用具：计算器、黑板、粉笔 五、教学过程： Ⅰ、复习 师：请同学们回忆上节课我们是怎样定义平方根的？它的符号怎么表示？ 生：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根（或二次方根）。符号表示：“a ±”其中0≥a （教师板书） 师：昨天我们还学习了一种新的运算，是什么运算呢？它是怎么定义的？ 生：开立方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。?平方（互为逆运算） 师：那么平方根有什么样的性质呢？ 生：正数有两个平方根，它们是互为相反数；0的平方根还是0；负数没有平方根。 教师引导学生回忆，并回答出平方根的定义、符号表示及性质，对定义及符号进行板书出来，性质利用表格的形式板书出来，有利于跟本节课的新知识进行对比。 被开方数 平方根 正数 2个，是互为相反数

三角形的内角和(提高)知识讲解

三角形的内角和（提高）知识讲解 【学习目标】 1．理解三角形内角和定理的证明方法； 2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质； 3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题. 【要点梳理】 要点一、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点二、三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点诠释： (1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．

要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 【典型例题】 类型一、三角形的内角和 1．在△ABC中，若∠A＝1 2 ∠B＝ 1 3 ∠C，试判断该三角形的形状． 【思路点拨】由∠A＝1 2 ∠B＝ 1 3 ∠C，以及∠A+∠B+∠C＝180°，可求出∠A、∠B和 ∠C的度数，从而判断三角形的形状． 【答案与解析】 解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x． 由于∠A+∠B+∠C＝180°，即有x+2x+3x＝180°． 解得x＝30°．故∠A＝30°．∠B＝60°，∠C＝90°． 故△ABC是直角三角形． 【总结升华】本题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为巧妙． 举一反三： 【变式1】三角形中至少有一个角不小于________度． 【答案】60 【变式2】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角有对相等的锐角 【答案】3,2． 2.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少

电压(提高)知识讲解

电压（提高） 撰稿：肖锋编稿：雒文丽 【学习目标】 1.认识电压，知道电压的单位，并会进行单位换算； 2.理解电压的作用，了解在一段电路中产生电流，它的两端就要有电压； 3.了解常用电源的电压值； 4.知道电压表的符号、使用规则、读数。 【要点梳理】 要点一、电压的作用 1．电源是提供电压的装置。 2．电压是形成电流的原因，电压使电路中的自由电荷定向移动形成了电流。 3．电路中获得持续电流的条件：①电路中有电源（或电路两端有电压）；②电路是连通的。 4．电压的单位：国际单位伏特，简称伏，符号：V 常用单位：千伏（kV）、毫伏（mV）、微伏（μV）换算关系： 1kV＝1000V 1V＝1000mV 1mV＝1000μV 5．记住一些电压值：一节干电池的电压1.5V，一节蓄电池的电压2V，家庭电路的电压220V。 要点诠释： 1.说电压时，要说“用电器”两端的电压，或“某两点”间的电压。 2.电源的作用是使导体的两端产生电压，电压的作用是使自由电荷定向移动形成电流。电源将其它形 式的能转化成电能时，使电源的正极聚集正电荷，负极聚集负电荷。 要点二、电压的测量——电压表 1．仪器：电压表，符号： 2．读数时，看清接线柱上标的量程，每大格、每小格电压值。 3．使用规则：“两要；一不” ①电压表要并联在电路中。 ②应该使标有“—”号的接线柱靠近电源的负极，另一个接线柱靠近电源的正极。 ③被测电压不要超过电压表的最大量程。 危害：被测电压超过电压表的最大量程时，不仅测不出电压值，电压表的指针还会被打弯甚至烧坏电压表。 选择量程：实验室用电压表有两个量程， 0～3V和0～15V。测量时，先选大量程试触，若被测电压在3V～15V之间，可用15V的量程进行测量；若被测电压小于3V，则换用小的量程。 要点诠释： 1.电流表和电压表的相同点和不同点： 异 项目电流表电压表同 异符号 连接串联并联 直接连接电源不能能 量程0.6A，3A3V，15V 每大格0.2A，1A1V，5V 每小格0.02A，0.1A0.1V，0.5V 内阻很小，几乎为零，相当于短路。很大，相当于开路。

《平方根》典型例题及练习

《平方根》典型例题及练习

平方根练习题 1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式），算术平方根 2、平方根的性质：（1）一个正数有 个平方根，它们 （2）0的平方根 是 ；（3） 没有平方根． 3、重要公式： （1）=2 )( a （2）{==a a 2 4、平方表： 5.正数有_____________个立方根, 0有__________个立方根,负数有__________个立方根,立方根也叫做_______________. 6.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大_____________. 7.若一个数的立方根等于数的算术平方根,则这个数是_____________. 8. 0的立方根是___________.(-1)2005的立方根是______________.1827 26 的立方根是________. 例1、判断下列说法正确的个数为（ ） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是()26-的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0；

④ 0.01是0.1的算术平方根； ⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根． A ．0 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 例2、 36的平方根是（ ） A 、6 B 、6± C 、 6 D 、 6± 例3、下列各式中，哪些有意义？ （1） 5 （2）2- （3）4- （4） 2 )3(- （5） 310- 例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．()1+a B ．()1+±a C ．1 2+a D ．12+± a 强化训练 一、选择题 1．下列说法中正确的是（ ） A ．9的平方根是3 B 4 2 2． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ） A ．4 B ．18 C ．-14 D ．14 3．下列结论正确的是（ ） A 6)6(2-=-- B 9)3(2=- C 16)16(2±=- D 25 1625162 =? ?? ? ? ?-- 4．以下语句及写成式子正确的是（ ） A 、7是49的算术平方根，即749±= B 、 7是2 )7(-的平方根，即 7)7(2=- C 、7±是49的平方根， 即7 49=± D 、7±是49的平方根，即749±= 5．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根； (4)9的平方根是3，其中正确的有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个 6．下列说法正确的是（ ） A ．任何数的平方根都有两个 B ．只有正数才有平方根

压强(提高)知识讲解

压强（提高） 【学习目标】 1、了解压力，通过实验探究，知道影响压力作用效果的因素； 2、理解压强的定义、公式及单位，能运用压强公式进行简单计算； 3、知道增大压强和减小压强的方法。 【要点梳理】 要点一、压力 垂直作用在物体表面上的力叫做压力。 要点诠释： 1、产生的条件：相互接触的两个物体相互挤压。例如：静止在地上的篮球和地面间有相互挤压的作用，篮球对地面有压力；静止在竖直墙壁旁的篮球与墙壁之间没有相互挤压，所以没有压力。 2、方向：与受力物体的受力面垂直，并指向受力面，由于受力物体的受力面可能是水平面，也可能是竖直面，还可能是角度不同的倾斜面，因此压力的方向没有固定指向，它可能指向任何方向，但始终和受力物体的受力面相垂直。 3、单位：牛顿，符号：N 4 要点二、压强 表示压力作用效果的物理量。 要点诠释： 1、压力的作用效果与压力和受力面积有关。 探究实验 提出问题：压力的作用效果跟什么因素有关。 猜想和假设：跟压力的大小有关，跟受力面积的大小有关。 进行实验： ①照图甲那样，把小桌腿朝下放在泡沫塑料上；观察泡沫塑料被压下的深度； ②再照图乙那样，在桌面上放一个砝码观察泡沫塑料被压下的深度； ③再把小桌翻过来，如图丙，观察泡沫塑料被压下的深度。 实验步骤①、②是受力面积一定，改变压力的大小，步骤②、③是压力一定，改变受力面积。

实验结果：泡沫塑料被压下的深度与压力的大小和受力面积的大小有关。压力越大，效果越明显，受力面积越小效果越明显。 2、定义：物体所受压力的大小与受力面积之比叫做压强。 3、计算公式及单位 ①公式：(定义公式) ②单位：国际单位为帕斯卡(Pa)，简称帕。 1Pa=1N/m2。表示1m2面积上所受的压力是1N，Pa是一个很小的单位，一张报纸平放时对桌面的压强约1Pa。实际应用中常用千帕(kPa) 兆帕(MPa)作单位，气象学中常用百帕(hPa)作单位，换算 =，，。 4、注意：压强大小是由压力和受力面积共同决定的，不仅仅决定于压力大小。压力F和受力面积S 之间不存在因果关系，但压强p和F、S之间有着密切联系，在S一定时，p与F成正比，在F一定时，p与S成反比。 要点三、增大和减小压强的方法 在生活中我们常常会遇到要增大或减小压强的问题，根据影响压强大的两个因素，可以从两个方面来增大或减小压强。 要点诠释： 1、增大压强的方法 2、减小压强的方法 【典型例题】 类型一、基础知识 1、如图甲所示，将一块质地均匀的长木板平放在水平桌面上，用水平力F向右缓慢推动木板，

(完整word版)立方根微课教案

立方根 一、复习 1．平方根是怎样定义的？它的符号怎么表示？ 2．算数平方根是怎样定义的？它的符号怎么表示？ 3．开平方与平方的关系是什么？ 二、设计情境，导入新课 27m的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少？你是怎么问题1：要制作一种容积为3 知道的？ x,则3x=27.这就是求一个数，使它的立方等于27. 设这种包装箱的棱长为m 因为33=27，所以x=3. 即这种包装箱的边长应为3 m. 思考：本题是已知一个数x的立方，求这个数的值，而平方根是已知一个数的平方，求这个数 问题：对比平方根的定义，你能归纳出立方根的定义是什么吗？ =，★概念归纳：如果一个数的立方等于a，这个数叫做a的立方根（也叫做三次方根），即如果3x a 那么x叫做a的立方根 33=，所以3是27的立方根，所以该种包装箱的棱长是3dm。 因此，在问题1中，因为27 类似开平方的运算，我们也可以定义出开立方运算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。因此，我们可以通过开立方与立方的这种关系来求一个数的立方根。 三、创设问题，探究新知 知识点1、立方根的性质 问题2：探究：根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？ =，所以8的立方根是（） ①因为328 -=-，所以8的立方根是（） ②因为()328

③ 因为()3 0.50.125=，所以25.10的立方根是（ ） ④ 因为()30.50.125-=-，所以25.10-的立方根是（ ） ⑤ 因为()300=，所以8的立方根是（ ） ⑥ 因为328327 ??= ???，所以278的立方根是（ ） ⑦ 因为328327??-=- ???，所以278-的立方根是（ ） 总结：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 知识点2、立方根符号 问题3：根据探究的计算我们会发现，这样表述一个数的立方根太复杂了，是否立方根也能像平方根一样用一个符号来表示出来呢？ 类似于平方根，一个数”表示， 的立方根，用符号“3a a a a ”，其中读作“三次根号是被开方数，3是根指数（radical exponent ）. 现在我们学习了立方根的符号表示，就可以将探究中的数值用立方根的符号来表示出来： ① 因为328=，所以283= ② 因为()3 28-=-，所以283-=- ③ 因为()30.50.125=，所以.5025.103= ④ 因为()30.50.125-=-，所以.5025.103-=- ⑤ 因为()300=，所以003= ⑥ 因为3 28327??= ???，所以322783=

角(提高)知识讲解

角(提高) 责编：康红梅 【学习目标】 1掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的换算及运算； 2. 掌握借助三角尺或量角器画角的方法，并熟悉角大小的比较方法； 3. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算； 5.掌握余角、补角及对顶角的概念及性质，会用其性质进行有关计算； 6?了解方位角、钟表上有关角，并能解决一些实际问题. 【要点梳理】 要点一、角的概念及表示 1 ?角的定义： (1) 定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两 条射线是角的两条边?如图 图1 图2 (2 )定义二：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线 旋转时经过的平面部分是角的内部. 如图2所示，射线0A 绕它的端点0旋转到0B 的位置 时，形成的图形叫做角，起始位置 0A 是角的始边，终止位置 0B 是角的终边. 要点诠释： (1) 两条射线有公共端点，即角的顶点； 角的边是射线； 角的大小与角的两边的长短无关. (2) 平角与周角：如图1所示射线0A 绕点0旋转，当终止位置 0B 和起始位置0A 成一 条直线时，所形成的角叫做平角，如图 2所示继续旋转，0B 和0A 重合时，所形成的角叫 做周角. 平角 图I 2. 角的表示法：角的几何符号用"/”表示，角的表示法通常有以下 四种: 周角 图2

?示方法 图示 记法 '适范围 (1)用三个丸 垢字母表示 裁 A BOA 任柯情况都适 用，表示顶点的 字母写在中间 (2｝用一个大 写字母表示, / O AO 以某一点为顶点 的甬只有一个 时，可以用顶点 表示角 (各)用阿拉 伯數字表示 ￡1 任何情况那适用 (4)用希腊字 / /.a 任何情况都适用 1°的—为1分，记作“ 1 ‘” 1 ‘的—为1秒，记作“ 1 〃” .这种以度、分、秒为单位 60 60 的角的度量制，叫做角度制. 1 周角=360° , 1 平角=180°, 1°= 60’，1 '= 60〃. 要点诠释： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除 的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算， 在相乘或相加时，当低位得 数大于60时要向高一位进位. 2. 角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种. 方法1:度量比较法.先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. 方法2 :叠合比较法?把其中的一个角移到另一个角上作比较. 如比较/ AOB 和/A ‘ O ‘ B '的大小： 如下图，由图(1)可得/ AOB / A ‘ 0’ B ’. 3. 角的和、差关系 要点诠释： 在表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，再注上相应数字或字母. 3.角的画法 (1) 用三角板可以画出 30 °、45 °、60 °、90°等特殊角. (2) 用量角器可以画出任意给定度数的角. (3) 利用尺规作图可以画一个角等于已知角. 要点二、角的比较与运算 1. 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成 1 1 360等份，每一份就是1°的角，

《立方根》典型例题

《立方根》典型例题 例1 求下列各数得立方根: (1)27,(2)－125,(3)0、064,(4)0,(5) 解:(1),∴27得立方根就是3,记作 (2),∴－125得立方根就是－5,记作 (3),∴0、064得立方根就是0、4,记作. (4),∴0得立方根就是0,记作 (5),∴得立方根就是,记作 例2 求下列各式中得: (1) (2); (3); (4). 分析:将方程整理转为求立方根或平方根得问题、 解答:(1)∵,∴, 即,∴,即; (2)∵,∴,即,∴; (3)∵,∴,∴,即; (4)∵,∴,∴,即. 说明:求解过程中注意立方根与平方根得区别,最终结果解得个数不同、 例3圆柱形水池得深就是1、4m,要使这个水池能蓄水80吨(每立方米水有1吨),池得底面半径应当就是多少米？(精确到0、1米). 分析:圆柱得体积,由于蓄水80吨,每吨水得体积就是1立方米,因此水池得体积至少应为80立方米. 解:, ∴(米)(负值舍去). 答:水池底面半径为4、3米. 例4 阅读下面语句: ①得次方(k就是整数)得立方根就是. ②如果一个数得立方根等于它本身,那么这个数或者就是1,或者就是0. ③如果,那么a得立方根得符号与a得符号相同.

④一个正数得算术平方根以及它得立方根都小于原来得数. ⑤两个互为相反数得数开立方所得得结果仍然互为相反数. 在上面语句中,正确得有( ) A.1句 B.2句 C.3句 D.4句 分析:当时,,而当时,,可见①不正确;,这说明一个数得立方根等于它本身时,这个数有可能等于,所以②不正确;当时,就是正数,当时,就是负数,所以③就是正确得;,这个例子足以说明一个正数得算术平方根未必小于原来得数,得情况与此相同;课本中写到:“如果,那么”,这个关系式对时也就是正确得,只不过相当于等式两边调换了位置,所以⑤就是正确得. 解答: B 说明:考查立方根得定义及性质. 例5 设,则,,分别等于( ) A. B. C. D. 分析:, ∵∴ . ∵ ,∴. ∵,,∴. 解答: C 说明:考查平方根、立方根得求法. 例 6 有下列命题:①负数没有立方根;②一个实数得立方根不就是正数就就是负数;③一个正数或负数得立方根与这个数同号,0得立方根就是0;④如果一个数得立方根就是这个数本身,那么这个数必就是1与0. 其中错误得就是 A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 分析:一个正数得立方根就是一个正数,一个负数得立方根就是一个负数;0得立方根就是0.立方根等于本身得数有0,1与.所以①、②、④都就是错得,只有③正确. 解答:B

平方根(提高)知识讲解

平方根（提高） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方 根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x 的平方等于a ，即2 x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定 0的算术平方根还是0）；a a 的算术平方根”，a 叫做被开方数. 要点诠释： a 0，a ≥0. 2.平方根的定义 如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0) 的平方根的符号表达为0)a ≥， 是a 的算术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方 根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的 另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 (0)||0 (0)(0) a a a a a a >??===??-

【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值． 【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m － 1），解方程即可求解． 【答案与解析】 解：依题意得 2m －4＝－（3m －1）， 解得m ＝1； ∴m 的值为1． 【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三： 【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值. 【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22 212111a -=?-= ②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1， 所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=?--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义？ 2x 4x -11x x +-1x -． 【答案与解析】 解：(1)因为20x ≥，所以当x 2x (2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥4x - (3)由题意可知：1010x x +≥?? -≥?解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x +-义． (4)由题意可知：1030 x x -≥??-≠?，解得1x ≥且3x ≠． 所以当1x ≥且3x ≠1x -有意义． 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义． 举一反三：

梯形(提高)知识讲解

梯形（提高） 【学习目标】 1．理解梯形的有关概念，理解直角梯形和等腰梯形的概念． 2．掌握等腰梯形的性质和判定． 3．初步掌握研究梯形问题时添加辅助线的方法，使问题进行转化． 4. 熟练运用所学的知识解决梯形问题． 5. 掌握三角形，梯形的中位线定理. 【要点梳理】 知识点一、梯形的概念 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角. 要点诠释：（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行. （2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边 形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组 对边必不相等. （3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底. 知识点二、等腰梯形的定义及性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 要点诠释：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质. （2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行. （3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的. 知识点三、等腰梯形的判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 知识点四、辅助线 梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是： 方法作法图形目的 平移平移一腰 过一顶点作一腰的平行线 分解成一个平行四边形和一个 三角形 过一腰中点作另一腰的平 行线 构造出一个平行四边形和一对 全等的三角形

实数知识点总结及典型例题练习

实数知识点总结 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8 等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现） 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数 小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 -a （a <0） ；注意a 的双重非负性： a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个

立方根和开立方知识讲解

立方根和开立方 【学习目标】 1. 了解立方根的含义； 2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 【要点梳理】 要点一、立方根的定义 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果3 x a =，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 要点诠释：一个数a a是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 要点二、立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 要点诠释：任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 要点三、立方根的性质 = a = 3 a = 要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左 移动1位.0.060.6660. 要点五、n次方根 如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根.当n 为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根. 求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数. 要点诠释：实数a的奇次方根有且只有一个，正数a的偶次方根有两个，它们互为相反 数；负数的偶次方根不存在.；零的n0 =. 【典型例题】 类型一、立方根的概念 1、下列结论正确的是（） A．64的立方根是±4 B． 1 2 -是 1 6 -的立方根 C．立方根等于本身的数只有0和1D=

角提高知识讲解

角(提高) 【学习目标】 1掌握角的概念及角的几种表示方法，并能进行角度的互换； 2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法； 3. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算； 4. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算; 5?了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题. 【要点梳理】 【要点梳理】 【高清课堂：角397364角的概念：】 知识点一、角的概念 1 ?角的定义： (1 )定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角 形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部. 如图2所示，射线OA绕它的端点0旋转到0B的位置时，形成的图形叫做角, 起始位置0A 是角的始边，终止位置0B是角的终边. 要点诠释： (1)两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关. (2)平角与周角：如图1所示射线0A绕点0旋转，当终止位置0B和起始位置0A成一条直线时, 所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，0B和0A重合时，所形成的角叫做周角. 2. 角的表示法：角的几何符号用"/”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母. 3. 角的画法 (1)用三角板可以画出30°、45 °、60°、90°等特殊角； (2)用量角器可以画出任意给定度数的角； (3)利用尺规作图可以画一个角等于已知角. 知识点二、角的比较与运算 1.角度制及其换算 1 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1 60 1 分，记作“ 1'”，1 '的丄为1秒，记作“ 1 〃”.这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度 60 制. 1 周角=360 °, 1 平角=180 ° , 1°= 60', 1 '= 60 〃. 要点诠释： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，

《平方根》典型例题及练习题

平方根练习题 1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式），算术平方根 2、平方根的性质：（1）一个正数有 个平方根，它们 （2）0的平方根是 ；（3） 没有平方根． 3、重要公式： （1）=2 )( a （2） { ==a a 2 4、平方表： { 5.正数有_____________个立方根, 0有__________个立方根,负数有__________个立方根,立方根也叫做_______________. 6.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大_____________. 7.若一个数的立方根等于数的算术平方根,则这个数是_____________. 8. 0的立方根是___________.(-1)2005的立方根是27 26 的立方根是________. 例1、判断下列说法正确的个数为（ ） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是()26-的算术平方根；

③ 0的算术平方根是0； ④ ^ ⑤ 是的算术平方根； ⑥ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根． A ．0 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 例2、 36的平方根是（ ） A 、6 B 、6± C 、 6 D 、 6± 例3、下列各式中，哪些有意义 （1） 5 （2）2- （3）4- （4） 2 )3(- （5） 310- 例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） - A ．()1+a B ．()1+±a C ．12 +a D ．1 2 +±a 强化训练 一、选择题 1．下列说法中正确的是（ ） A ．9的平方根是3 B 4 2 2． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ） A ．4 B ．18 C ．-14 D ．14 3．下列结论正确的是（ ） \ A 6)6(2-=-- B 9)3(2=- C 16)16(2±=- D 25 1625162 =? ?? ? ? ?-- 4．以下语句及写成式子正确的是（ ） A 、7是49的算术平方根，即749±= B 、 7是2 )7(-的平方根，即 7)7(2=- C 、7±是49的平方根，即7 49=± D 、7±是49的平方根，即749±= 5．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根； (4)9的平方根是3，其中正确的有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个