人教版九年级数学上册 第二十四章 圆 单元测试题
人教版九年级数学上册 第二十四章 圆 单元测试题
一、选择题（30分）
1．如图，在Rt OAB 中，o 90AOB ∠=，4OA =，3OB =.O 的半径为2，点P 是线段AB 上的一动点，过点P 作O 的一条切线PQ ，Q 为切点.设AP x =，2PQ y =，则y 与x 的函数图象大致是( )
A ．A
B ．B
C ．C
D ．D
2．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，其中AB ＝4，∠AOC ＝120°，P 为⊙O 上的动点，连AP ，取AP 中点Q ，连CQ ，则线段CQ 的最大值为( )
A ．3
B ．
C ．
D ．
3．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD 交AB 于E ，连接OD 、PC 、BC ，∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，过E 作弦GF⊥BC 交圆与G 、F 两点，连接CF 、BG ．则下列结论：①CD⊥AB；②PC 是⊙O 的切线；③OD∥GF；④弦CF 的弦心距等于12
BG ．则其中正确的是（ ）
A ．①②④
B ．③④
C ．①②③
D ．①②③④
4．如图，已知：点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，AB=CD ，下列结论：①∠AOC=∠BOD；②∠BOD=2∠BAD；③AC=BD；④∠CAB=∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO=180°．其中正确的个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5．如图，在Rt ABC 中，BC 3cm =，AC 4cm =，动点P 从点C 出发，沿C B A C →→→运动，点P 在运动过程中速度始终为1cm /s ，以点C 为圆心，线段CP 长为半径作圆，设点P 的运动时间为()t s ，当C 与ABC 有3个
交点时，此时t 的值不可能是（ ）
A ．2.4
B ．3.6
C ．6.6
D ．9.6
6．如图，Rt ABC 中，C 90∠=．O 为AB 上的点．以点O 为圆心作O 与BC 相切于点D ．若AD =，CAD 30∠=，则弧AD 的长为（ ）
A ．2π3
B ．4π3
C ．5π3
D ．5π6
7．如图所示，以正方形ABCD 的顶点A 为圆心的弧恰好与对角线BD 相切，以顶点B 为圆心，正方形的边长为半径的弧，已知正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ． 2π-
B ． 12π
- C ．5 14π
- D ．3 14
π
- 8．如图,☉O 内切△ABC 于D,E,F,∠B=50°
,∠C=60°,则∠FDE 的度数为( )
A ．50°
B ．55°
C ．60°
D ．70° 9．如图，已知，以为圆心，长为半径作，是上一个动点，直线交轴于点，则面积的最大值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，点C 在以AB 为半径的半圆上，AB ＝8，∠CBA ＝30°，点D 在线段AB 上运动，点E 与点D
关AC 对称，DF ⊥DE 于点D ，并交EC 的延长线与点F ．下列结论：①CE ＝CF ；②线段EF 的最小值为
③当AD ＝2时，EF 与半圆相切；④当点D 从点A 运动到点B 时，线段EF 扫过的面积是
确的结论（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题（15分） 11．如图，圆心都在x 轴正半轴上的半圆O 1，半圆O 2，…，半圆O n 与直线l 相切．设半圆O 1，半圆O 2，…，半圆O n
的半径分别是r1，r2，…，r n，则当直线l与x轴所成锐角为30°，且r1＝1时，r2018＝________.
AB ，以AB为边作正方形ABCD（点D，P在直线AB 12．如图，P的半径为5，A、B是圆上任意两点，且6
两侧）．若正方形ABCD绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为__________
13．在△ABC中，AB＝AC＝BC＝4，P是AB上一点，连接PC，以PC为直径作⊙M交BC于D，连接PD，作DE⊥AC于点E，交PC于点G，已知PD＝PG，则BD＝_____.
14．如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将该正六边形绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n=63时，顶点F的坐标为_____．
15．如图，在⊙O中，P为直径AB上的一点，过点P作弦MN，满足∠NPB＝45°，若AP＝2cm，BP＝6cm，则MN的长是_____cm．
三、解答题（75分）
16．如图，AB 是圆O 的直径，O 为圆心，AD 、BD 是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD ．延长PD 交圆的切线BE 于点E
(1)判断直线PD 是否为⊙O 的切线，并说明理由；
(2)如果∠BED=60°，，求PA 的长；
(3)将线段PD 以直线AD 为对称轴作对称线段DF ，点F 正好在圆O 上，如图2，求证：四边形DFBE 为菱形．
17．如图，AB 是O 的直径，点C 为BD 的中点，CF 为O 的弦，且CF AB ⊥，垂足为E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF ．
(1)求证：BFG CDG ???；
(2)若2AD BE ==，求BF 的长．
18．如图，在O 中，弦,AC BD 相交于点,,30,4M AC BD A B OA ⊥∠=∠=?=，求图中阴影部分的面积．
19．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象的顶点坐标是(2,1)，并且经过点(4,2)，直线112
y x =+与抛物线交于,B D 两点，以BD 为直径作圆，圆心为点C ，圆C 与直线m 交于对称轴右侧的点(,1)M t ，直线m 上每一点的
纵坐标都等于1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：圆C 与x 轴相切；
（3）过点B 作BE m ⊥，垂足为E ，再过点D 作DF m ⊥，垂足为F 求:BE MF 的值．
20． 若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为奇妙四边形．如图1，四边形ABCD 中，若AC=BD ，AC ⊥BD ，则称四边形ABCD 为奇妙四边形．根据奇妙四边形对角线互相垂直的特征可得奇妙四边形的一个重要性质：奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：
（1）矩形 奇妙四边形（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知⊙O 的内接四边形ABCD 是奇妙四边形，若⊙O 的半径为6，∠ BCD=60°．求奇妙四边形ABCD 的面积；
（3）如图3，已知⊙O 的内接四边形ABCD 是奇妙四边形作OM ⊥BC 于M ．请猜测OM 与AD 的数量关系，并证明你的结论．
21．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点E 是线段BC 延长线上一点，ED ⊥AB ，垂足为D ，ED 交线段AC 于点F ，点O 在线段EF 上，⊙O 经过C 、E 两点，交ED 于点G.
(1)求证：AC 是⊙O 的切线；
(2)若∠E ＝30°，AD ＝1，BD ＝5，求⊙O 的半径．
22．已知⊙O的半径为2，∠AOB=120°．
（1）点O到弦AB的距离为；．
（2）若点P为优弧AB上一动点（点P不与A、B重合），设∠ABP=α，将△ABP沿BP折叠，得到A点的对称点为A′；
①若∠α=30°，试判断点A′与⊙O的位置关系；
②若BA′与⊙O相切于B点，求BP的长；
③若线段BA′与优弧APB只有一个公共点，直接写出α的取值范围．
23．问题探究
()1请在图()1中作出两条直线，使它们将圆面积四等分，并写出作图过程；
拓展应用
()2如图()2，M是正方形ABCD内一定点，G是对角线AC、BD的交点．连接GM并延长，分别交AD、BC于P、N．过G做直线EF GM
⊥，分别交AB、CD于E、F．求证：PN、EF将正方形ABCD的面积四等分．
【参考答案】
1．A 2．D 3．A 4．C 5．B 6．B 7．D 8．B 9．B 10．C 11．32017
12．9π
13．12 11
14．（﹣2，-）
15．
16．解：（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：
如图1，连接OD，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠BDO=90°，
又∵DO=BO，
∴∠BDO=∠PBD，
∵∠PDA=∠PBD，
∴∠BDO=∠PDA，
∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，
∴直线PD 为⊙O 的切线；
（2）∵BE 是⊙O 的切线，
∴∠EBA=90°，
∵∠BED=60°，
∴∠P=30°，
∵PD 为⊙O 的切线，
∴∠PDO=90°，
在Rt △PDO 中，∠P=30°， ∴0tan 30OD
PD =，解得OD=1，
∴PO =，
∴PA=PO ﹣AO=2﹣1=1；
（3）如图2，
依题意得：∠ADF=∠PDA ，∠PAD=∠DAF ，
∵∠PDA=∠PBD ∠ADF=∠ABF ，
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF ，
∵AB 是圆O 的直径，
∴∠ADB=90°，
设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，
∵四边形AFBD 内接于⊙O ，
∴∠DAF+∠DBF=180°，
即90°+x+2x=180°，解得x=30°，
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°
， ∵BE 、ED 是⊙O 的切线，
∴DE=BE ，∠EBA=90°
， ∴∠DBE=60°
，∴△BDE 是等边三角形， ∴BD=DE=BE ，
又∵∠FDB=∠ADB ﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°
=60°， ∴△BDF 是等边三角形，
∴BD=DF=BF ，
∴DE=BE=DF=BF ，
∴四边形DFBE 为菱形.
17．证明：(1)∵C 是BD 的中点，∴CD BC =，
∵AB 是O 的直径，且CF AB ⊥，∴BC BF =，
∴CD BF =，∴CD BF =，
在BFG ?和CDG ?中，
∵F CDG FGB DGC
BF CD ∠=∠??∠=∠??=?，
∴()BFG CDG AAS ???；
(2)解法一：如图，连接OF ，设O 的半径为r ，
Rt ADB ?中，222BD AB AD =-，即()22222BD r =-，
Rt OEF ?中，222OF OE EF =+，即()2222EF r r =--，
∵CD BC BF ==，∴BD CF =，∴BD CF =，
∴()222224BD CF EF EF ===，
即()()22222242r r r ??-=--??
， 解得：1r =(舍)或3，
∴()2
22222332212BF EF BE =+=--+=，
∴BF =；
解法二：如图，过C 作CH AD ⊥交AD 延长线于点H ，连接AC 、BC ，
∵CD BC =，∴HAC BAC ∠=∠，
∵CE AB ⊥，∴CH CE =，
∵AC AC =，∴Rt AHC Rt AEC ???，
∴AE AH =，
∵CH CE =，CD CB =，
∴()Rt CDH Rt CBE HL ???，
∴2DH BE ==，∴224AE AH ==+=，∴426AB =+=，
∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=，∴90ACB BEC ∠=∠=，
∵EBC ABC ∠=∠，∴BEC
BCA ??， ∴BC BE AB BC
=， ∴26212BC AB BE =?=?=，
∴BF BC ==
解法三：如图，连接OC ，交BD 于H ，
∵C 是BD 的中点，∴OC BD ⊥，∴DH BH =，
∵OA OB =，∴112
OH AD ==， ∵OC OB =，COE BOH ∠=∠，90OHB OEC ∠=∠=，
∴()COE BOH AAS ???，
∴1OH OE ==，3OC OB ==，
∴CE EF ===，
∴BF ===．
18．如图，过点O 作OG AC ⊥于点G ,OH BD ⊥于点H ，连接OM ．
在Rt AOG △和Rt BOH 中，
4,30OA OB A B ?==∠=∠=，
1
22
OG OH OA ∴=== AG BH ∴== ,,OG AC OH BD AC BD ⊥⊥⊥，且OH OG =，
∴四边形OGMH 是正方形．
2GM HM OG ∴=== 2AM BM ∴==+
∴1(2222
AOM BOM S S ?+?===+30,A B AC BD ?∠=∠=⊥于点M ，
360180180AOB AOM BOM AOM BOM ∴∠=?-∠-∠=?-∠+?-∠
303090150A AMO B BMO A B AMB =∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=?+?+?=?
2150420
2(243603AOM BOM
OAB S S S S ππ?∴=++=+?+=+扇形阴影．
19．解：（1）设抛物线方程为()2y a x h k =-+
∵抛物线的顶点坐标是()2,1
∴()221y a x =-+
∵抛物线经过点()4,2
∴()2
2421a =-+ ∴14
a = ∴抛物线的解析式是：()221121244
y x x x =-+=-+ （2）∵直线112
y x =+与抛物线交于B 、D 两点 ∴2124112y x x y x ?=-+????=+??
∴11352x y ?=-??=??
22352x y ?=+??=??
∴532B ? ?
，532D ?++ ?
∵点C 是BD 的中点
∴点C 的纵坐标是12522
y y += ∵
5BD ==
∴C的半径
5
2 R=
∴圆心C到x轴的距离等于半径R
∴C与x轴相切
（3）过点C作CH m
⊥，垂足为H，连接CM，如图：
∵由（2）可知，
5
2
CM R
==，
3
1
2
CH R
=-=
∴2
MH===
∵12
2
x x
HF
-
==
∴2
MF HF HM
=-=-
∵
1
3
1
2
BE y
=-=
∴BE
MF
==
故答案是：（1）()22
11
212
44
y x x x
=-+=-+（2）见详解（3
）
BE
MF
= 20．解：（1）矩形的对角线相等但不垂直，
所以矩形不是奇妙四边形；
故答案为不是；
（2）
连结OB 、OD ，作OH ⊥BD 于H ，如图2，则BH=DH ，
∵∠BOD=2∠BCD=2×60°=120°，
∴在等腰△OBD 中，∠OBD=30°，
在Rt △OBH 中，∵∠OBH=30°， ∴1
321
26OH OB ==?=，
∴BH ==
∴2BD BH ==∵四边形ABCD 是奇妙四边形，
∴AC BD ==，AC BD ⊥
∴112542ABCD BD A S C =?==四边形；
（3）1
2OM AD =．
理由如下：
连结OB 、OC 、OA 、OD ，作OE ⊥AD 于E ，如图3，
∵OE ⊥AD ，
∴在等腰△AOD 中，1
2AE DE AD ==，
又∵22BOC BAC BOM ∠=∠=∠，
∴∠BOM=∠BAC ，
同理可得∠AOE=∠ABD ，
∵BD ⊥AC ，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AOE=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OBM=∠AOE ，
在△BOM 和△OAE 中
90
BMO OEA OBM AOE OB AO
?∠∠=?∠∠???＝＝＝
∴()BOM OAE AAS ≌，
∴OM=AE ， ∴1
2OM AD =．
21．(1)证明：连接CO ．
∵AB ＝AC ，
∴∠B ＝∠ACB ．
∵OC ＝OE ，
∴∠OCE ＝∠E ．
∵ED ⊥AB ，
∴∠BDE ＝90°．
∴∠B ＋∠E ＝90°．∴∠ACB ＋∠OCE ＝90°．
∴∠ACO ＝90°，即AC ⊥OC ．
∴AC 是⊙O 的切线．
(2)∵∠E＝30°，∴∠OCE＝30°．∴∠FCE＝120°．∴∠CFO＝30°．∴∠AFD＝∠CFO＝30°．
∵AD＝1，∴DF．
∵BD＝5，∴DE＝．∴EF＝．
∵OF＝2OC，∴EF＝3OE＝.
∴OE即⊙O
22．
解：（1）如图，过点O作OC⊥AB于点C；
∵OA=OB，
则∠AOC=∠BOC=1
2
×120°=60°，
∵OA=2，
∴OC=1．
故答案为1．
（2）①∵∠AOB=120°
∴∠APB=1
2
∠AOB=60°，
∵∠PBA=30°，
∴∠PAB=90°，
∴PB是⊙O的直径，
由翻折可知：∠PA′B=90°，
∴点A′在⊙O上．
②由翻折可知∠A′BP=∠ABP，
∵BA′与⊙O相切，
∴∠OBA′=90°，
∴∠ABA′=120°，
∴∠A′BP=∠ABP=60°；
∵∠APB=60°，
∴△PAB为正三角形，
∴BP=AB；
∵OC⊥AB，
∴AC=BC；而OA=2，OC=1，
∴AC=3，
∴．
③α的取值范围为0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．
23．()1过点O首先作一条直线b，进而过点O作直线b的垂线a，即可将圆面积四等分；
()2证明：在AGP和CGN中
PAG NCG
AG GC AGP CGN
∠=∠??=??∠=∠?，
∴()AGP CGN ASA ?，
同理可得出：GPD GNB ?，
AEG BNG CFG DPG ???，
AGP CGN BGE DGB ???，
∴AEGP EBNG CNGF DFGP S S S S ===四边形四边形四边形四边形，
∴PN 、EF 将正方形ABCD 的面积四等分．