四年级春季班(八级下 4.1
第四讲几何计数
一、计数问题宗旨:不重不漏
两大思想:有序(分步 ;分类二、“模型”类 1、
( 条线段 ( 个锐角 ( 个三角形 ( 个长方形
以前方法:若基本图形有 n 个,用公式 n + (n-1 + (n-2 + … + 2 + 1计算即可组合方法:C n 2
——数线段中 n 代表点的数目
数锐角中 n 代表射线的数目
数三角形和长方形是数线段的延伸。
2、多层长方形及长方体
3、正方形
横×竖
即:横着的线段数×竖着的线段数如左图应该是 6×3=18(个长方形
长×宽×高即:“长”的线段数ד宽”的线段数ד高”的线段数如左图应该是10×10×10=1000(个长方体
4、金字塔型三角形图
5、格点套正方形
顶点 2×2 3×3 4×4 5×5 正向 1 5 14 30 斜向 0 1 6 20 总数 1 6 20 50
个顶点时的斜向正方形的数目等于(n-1×(n-1 个顶点时的正方形总数
(提高学案 4 4×4的方格纸上放了 16枚棋子,以棋子为顶点的正方向有多少个? 解析: 对照模型,不难得出正方形总数为 20个。具体是
3×3+2×2+1×1=14(个
42个
根据规律:
1×1的: 5×4个
2×2的:4×3个
3×3的:3×2个
4×4的:2×1个
(1数火柴棍——数正立的小三角形
该三角形数量:1+2+3+……+n (n是层数 (2数单位面积——数小三角形
n 2(n是层数
(3共有多少三角形——正立的:递减“1”
倒立的:递减“2”
四年级春季班(八级下 4.2
四年级春季班(八级下 4.3
三、组合类
1、基本方法:先基本图形,再逐个组合 (先数 1个基本图形的,再数 2个基本图形的…… 参见例 4
2、“标准”+“标准” ,要注意+“新” 参见课前连环画
3、“标准”+“标准” ,要注意 -“重” (容斥原理参见例 6
4、排除法
参见基础学案 2
5、递推法
参见尖子学案 1
四、方块涂色
对于多层长方体/正方体,我们可按照涂色面的多少 ,将方块分为 1、看不见的(0
2、中心块 (1
3、棱块 (2面涂色
4、角块 (3面涂色
例 2 把一个大长方体木块表面上涂满红色后, 分割成若干个同样大小的小长方体, 其中只有两个面涂上红色的小长方体恰好是 12块,那么至少要把这个大长方体分割成多少个小长方体?
解析:总块数不会太少;一种是多层的情况,两个面都涂上红色的方块就应该是棱块, 要总块数少, 其他块就尽可能节省, 但 8个角块是省不掉的,而“中心块”和“看不见的”都能省掉。如右图,所以最少要分成 8+12=20(块
五、例题解析
例 1 在图(2中,共有多少个正方形?在图(2中形如图(1的图形共有多少个?
图(1 图(2
四年级春季班(八级下 4.4
解析:(1不难数出:1×1的正方形有 15个,2×2的有 7个,3×3的有 2个,共 24个。(2方法一:对于图形(1 ,要注意共有 4种变形(分别转 90度 ,可以按这四种变形分类,在图(2中按顺序逐个数出,共 11个。
方法二:我们要学会利用“标准”图形,这样能帮助快速计算个数。本题中, 可把3×3的正方形当成标准图形,因为这里面不难看出共 4个图形(1 。图(2共 2个标准图形,那么就有 4×2=8个。另外,还要看看“标准” 之外的图形还能不能组成图形(1 ,很容易数出,余下的三个小方块分别都能再组成一个图形(1 ,所以共有
8+3=11(个
例 3 下图中共有多少个圆?把紧挨在一起的两个圆称为一对,例如圆 A,B,C 可以看成是 3对(AB,AC,BC 。图中这样的圆对共有多少对?
解析:我们连接圆对的圆心,得到右上图,圆对的数量不就是基本线段(火柴棍的数量吗? 根据前面的模型,数火柴棍,就先数正立的小三角形,是 1+2+3+4+5=15(个那么火柴棍就有 3×15=45(根 ,即圆对有 45对。
例 4 下图中的三角形共多少个?
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解析:分类,包含 1个基本三角形的,有类似于△AGH 的有 6个,类似于△AFG 的有 6个; 包含 2个基本三角形的,类似△AFH,有 2×6=12个(针对一条线 FB 就有 2个这样的三角形, 共 6条线,那用 2× 6计算就比一个一个数快多了 ;
包含 3个基本三角形的,类似△AFB,有 1×6=6个(一条线 FB 有 1个,共 6条线包含 4个基本图形的,类似△AEC,有 2个共计 12+12+6+2=32(个
连环画共有多少个三角形?
图(1 图(2
解析:对于图(1 ,参照例 4,不难数出包含 1个基本图形的三角形:10个
包含 2个基本图形的三角形:2×5=10个包含 3个基本图形的三角形:2×5=10个包含更多基本图形的三角形:5个共计:10+10+10+5=35(个
对于图(2 ,同学们要注意了,还是按照包含基本图形的个数多少分类数吗?有什么更简单的方法吗?它和图(1有什么联系?不难看出,图(2里有两个图(1 ,既然我们都
知道图(1有 35个,那就把图(1当成一个“标准”图形,1个“标准”里是 35个,2个“标准”就有 35×2=70(个 ,但还需要注意什么呢?两个“标准”图形不是孤立存在的,它们有
连接,因此产生了一些新的三角形,我们再把这一部分新的加上就可以了。
这样的有 10个, 这样的有 5个,最终共计 70+10+5=85(个小结:“标准”+“标准” ,要注意+“新”
例 6 下图中有多少个长方形?多少个正方形?
2011 年四年级春季班第四讲几何计
数程雪解析:因为正方形是一种特殊的长方形,所以长方形的个数肯定比正方形多。我们先数正方形。怎么分类好呢?是直接按大小吗?不,该图里,有正着的和斜着的图形,这两个图形是互不干扰的,那就先分成正着的和斜着的两类,每类里再按大小分类。正方形:正着的:1×1 的:8 个 2×2 的:2 个斜着的:不就是一个 3×3 的“模型”
小学数学图形计算公式 (C :周长 S :面积 a :边长、长 、底、上底、棱长 b: 宽 、下底 h: 高 d :直径 r :半径 V:体积 ) 1、长方形周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 长方形面积=长×宽 S=ab 2、正方形周长=边长×4 C = 4a 正方形面积=边长×边长 S = a×a = a 2 3、平行四边形面积=底×高 s=ah 4、三角形面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积 ×2÷底 h = 2s ÷a 三角形底=面积 ×2÷高 5、梯形面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 6、圆的周长=直径×圆周率=2×圆周率×半径 C=лd=2лr d=C π r=C 2π 圆的面积=半径×半径×圆周率 S = πr 2 环形的面积=外圆的面积-内圆的面积 S 环=π(R 2-r 2) 7、长方体的棱长总和 = 长×4 + 宽×4 + 高×4 =(长 + 宽 + 高)×4 长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S = 2( ab + ah + bh ) 长方体体积=长×宽×高 = 底面积×高 V=abh = sh 8、正方体的棱长总和=棱长×12 正方体表面积=棱长×棱长×6 S 表 = a×a×6 = 6a 2 正方体体积=棱长×棱长×棱长=底面积×高 V = a×a×a = a 3 = sh 9、圆柱的侧面积=底面周长×高 s 侧=ch=πdh=2πrh 圆柱表面积=侧面积+底面积×2 s 表=s 侧+s 底×2 圆柱体积=底面积×高 V 柱 = sh =πr 2h 10、圆锥体体积=底面积×高×13 V 锥 = 13 sh = 1 3 πr 2h 小学数学图形计算公式 (C :周长 S :面积 a :边长、长 、底、上底、棱长 b: 宽 、下底 h: 高 d :直径 r :半径 V:体积 ) 1、长方形周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 长方形面积=长×宽 S=ab 2、正方形周长=边长×4 C = 4a 正方形面积=边长×边长 S = a×a = a 2 3、平行四边形面积=底×高 s=ah 4、三角形面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积 ×2÷底 h = 2s ÷a 三角形底=面积 ×2÷高 5、梯形面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 6、圆的周长=直径×圆周率=2×圆周率×半径 C=лd=2лr d=C π r=C 2π 圆的面积=半径×半径×圆周率 S = πr 2 环形的面积=外圆的面积-内圆的面积 S 环=π(R 2-r 2) 7、长方体的棱长总和 = 长×4 + 宽×4 + 高×4 =(长 + 宽 + 高)×4 长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S = 2( ab + ah + bh ) 长方体体积=长×宽×高 = 底面积×高 V=abh = sh 8、正方体的棱长总和=棱长×12 正方体表面积=棱长×棱长×6 S 表 = a×a×6 = 6a 2 正方体体积=棱长×棱长×棱长=底面积×高 V = a×a×a = a 3 = sh 9、圆柱的侧面积=底面周长×高 s 侧=ch=πdh=2πrh 圆柱表面积=侧面积+底面积×2 s 表=s 侧+s 底×2 圆柱体积=底面积×高 V 柱 = sh =πr 2h 10、圆锥体体积=底面积×高×13 V 锥 = 13 sh = 1 3 πr 2h 中小学教师信息技术考试理论试题 一选择题(40分,每一题1分) 1.下面选项是对信息的实质的理解和说明,其中错误的选项是________. A. 信息就是计算机的处理对象 B. 信息就是关于事物运动的状态和规律的知识 C. 信息就是信息,既不是物质,也不是能量 D. 信息就是人类同外部世界进行交换的内容的名称 2. 信息技术在教学中常用作获取学习资源的工具,人们常说,"因特网是知识的海洋".
44、几何图形的计数 【点与线的计数】 例1如图5.45,每相邻的三个圆点组成一个小三角形,问:图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多? (全国第二届“华杯赛”决赛试题) 讲析:可用“分组对应法”来计数。 将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。第一排三角形有1个,其下行线有2点; 第二排三角形有3个,其下行线有3点; 第三排三角形有5个,其下行线有4点; 以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。 所以是小三角形个数多。 例2 直线m上有4个点,直线n上有5个点。以这些点为顶点可以组成多少个三角形? (如图5.46) (哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题) 讲析:本题只要数出各直线上有多少条线段,问题就好解决了。 直线n上有5个点,这5点共可以组成4+3+2+1=10(条)线段。以这些线段分别为底边,m上的点为顶点,共可以组成4×10=40(个)三角形。 同理,m上4个点可以组成6条线段。以它们为底边,以n上的点为顶点可以组成6×5=30(个)三角形。
所以,一共可以组成70个三角形。 【长方形与三角形的计数】 例1图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点,以其中不在一条直线上的3点为顶点,可以构成三角形。在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个? (全国第三届“华杯赛”复赛试题) 为3的三角形,或者高为2,底为3的三角形,都符合要求。 ①底边长为2,高为3的三角形有2×4×4=32(个); ②高为2,底边长为3的三角形有8×2=16(个)。 所以,包括图中阴影部分三角形共有48个。 例2 图5.48中共有______个三角形。 (《现代小学数学》)邀请赛试题) 讲析:以AB边上的线段为底边,以C为顶点共有三角形6个; 以AB边上的线段为底边,分别以G、H、F为顶点共有三角形3个; 以BD边上的线段为底边,以C为顶点的三角形共有6个。 所以,一共有15个三角形。 例3 图5.49中共有______个正方形。 (《现代小学数学》邀请赛试题) 讲析:可先来看看图5.50的两个图中,各含有多少个正方形。
一。几何图形及计算公式
平面几何图形和立体几何图形。包括面积体积表面积等等公式三角形 面积 1)S=1/2底*高 2)S=1/2*意两边的乘积*这两边夹角的正弦值(已知两边及其夹角的大小) 3)S=根号下p(p-a)(p-b)(p-c)---------------------(海伦公式:已知三边的长,p=周长/2) 分类:钝角直角锐角 特例:等边三角形:S=四分之一倍根号三*边长的平方
等腰直角三角形:S=1/2倍直角边的平方 注:顶角为36°的等腰三角形也很重要 性质:正弦定理: sinA/a=sinB/b=sinc/C 余弦定理: a^2=b^2+c^2-2bc cosA b^2=a^2+c^2-2ac cosB c^2=a^2+b^2-2ab cosA 三角形2条边向加大于第三边. 三角形内角和=180度 四边形 梯形:S=(上底+下底)*高/2 平行四边形:S=底*高 长方形:S=长*宽 正方形:S=边长*边长 内角和为360° 多边形:内角和为(n-2)*180° 面积:具体问题具体分析(可用切割法划为简单图形计算) 圆:s=πr^2 周长=2πr 性质:园内以直径为一边的圆周三角形为直角三角形,且直径所对的角为直角相同弧长所对的圆心角为其圆周角的两倍 弦切角=圆周角=1/2圆心角 过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直
立体 棱柱:V=底面积*高(四棱柱可切为6个三棱锥) 椎体:V=C底面积*高(C为一常数,三棱柱时为1/3;正三棱锥很重要) 球:S=4πr^2 V=4/3倍πr^3 提问人的追问 2010-01-03 16:18 很清晰。但好像还不是很完整,比如说扇形的,还有椎体,台体。还有像问一下,椎体哪里的c为一常数是怎么看的 回答人的补充 2010-01-03 16:36 嗯~2扇形:S=顶角/360°*(πr^2) 弓形:S=相应扇形的面积-相应三角形的面积 椎体体积的计算时始终记住底面积乘以高然后根据其特点确定C (因为底面积乘以高为四棱柱的体积所以只要确定几个这样的椎体构成一个四棱柱则 C=1/n)上面那个地方写错了应该是1/6 更为复杂的立体一定要用切割法或是互补法 几年没碰过了忘了好多还有什么遗漏的告诉我我再看一下能不能记起 提问人的追问 2010-01-03 16:43 弧长公式。用不同的公式表示 回答人的补充 2010-01-03 16:54 因弧度数=弧长/半径 所以1)弧长=弧度*半径 又 2)弧长=(圆心角/360°)*周长 3)在物理方面弧长=角速度*半径*时间 提问人的追问 2010-01-03 17:18 弦切角=圆周角=1/2圆心角可以帮我画个图吗 回答人的补充 2010-01-03 17:34
第4章几何图形初步拓展提高题课专用文档 --精品课程之提高课第4讲 1.经过一点可以画无数条直线,经过两点可以画一条直线,经过三点可以画三条直线………………() 2.两条直线如果有两个公共点,那么它们就有无数个公共点…………………() 3.射线AP与射线PA的公共部分是线段PA…………() 4.线段的中点到这条线段两端点的距离相等……() 5.互补的角就是平角………………………………………() 6.如图,图中有________条直线,有________条射线,有________条线段,以E为顶点的角有 ________个. 7.如图,点C、D在线段AB 上.AC=6 cm,CD=4 cm,AB=12 cm,则图中所有线段的和是_____cm. 8.线段AB=12.6 cm,点C 在BA 的延长线上,AC=3.6 cm,M 是BC 中点,则AM 的长是 ________cm. 9.如图,OB 平分∠AOC.且∠2∶∠3∶∠4=3∶5∶4,则∠2=________°, ∠3=________°,∠4=________°. 10. ∠A与∠B互补,∠A与∠C互余,则2∠B-2∠C=________°. 11.由2点30分到2点55分,时钟的时针旋转了________度,分针旋转了________度,此刻时针与 分针的夹角是________度.
12.已知线段AB=10 cm,AC+BC=12 cm,则点C 的位置是在:①线段AB 上;②线段AB 的延长线上; ③线段BA 的延长线上;④直线AB 外.其中可能出现的情况有………………………………………()(A)0种(B)1种(C)2种(D)3种 13.分别在线段MN的延长线和MN的反向延长线上取点P、Q,使MP=2NP.MQ=2MN.则线段MP 与NQ 的比是…………………………………………() (A)1/3 (B)2/3 (C) 1/2 (D)3/2 14.一条直线可以将平面分成两部分,两条直线最多可以将平面分成四部分,三条直线最多可以将平面分成n 部分,则n 等于………………………………() (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 15.若互补两角有一条公共边,则这两个角的平分线所组成的角………………() (A)一定是直角(B)一定是锐角 (C)一定是钝角(D)是直角或锐角 16.已知、∠1、∠2都是钝角,甲、乙、丙、丁四人计算1/5(∠1+∠2)的结果依次是30°、35°、60°、75°,其中恰有正确结果.这个正确结果是……() (A)30°(B)35°(C)60°(D)75° 17.如图,∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=30°.图中互补的角有……() (A)10对(B)6对(C)3对(D)4对 18. ∠1、∠2互为补角,且∠1>∠2,则∠2的余角是…………………………() (A)1/2(∠1+∠2) (B)1/2∠1 (C) 1/2(∠1-∠2) (D)1/2∠2 19.设时钟的时针与分针所成角是a ,则正确的说法是………………………() (A)九点一刻时,∠a是平角 (B)十点五分时,∠a是锐角
几何图形中的计数问题 (临泉田家炳实验中学 安庆旺 236400) 将两个计数原理(分类加法计数原理、分步计数原理)与几何图形相结合,解决几何图形中的计数问题。这类问题是在知识的交汇点处设计问题,具有一定的综合性和灵活性,是高考和竞赛考试的热点问题。能较好地考查学生对两个原理的理解与应用,同时也能考查学生的空间想象能力、转化问题能力、分析问题和解决问题的能力。下面举例说明。 1 适当分类 例1 (1998高中数学联赛)在正方体的8个顶点,12条棱的中点,6个面的中 心及正方体的中心共27个点中,共线的三点组的个数是( ) )(A 57 )(B 49 )(C 43 )(D 37 解析:按共线三点组的性质进行适当分类: ①两端都是正方体顶点的共线三点组有282 782 8=?=C 个; ②两端都是正方体各棱中点的共线三点组有182 312=?个; ③两端都是正方体各个面的中心的共线三点组有32 16=?个 且没有其他的共线三点组,所以共线三点组共有4932818=++个. 例2 在图1的86?方格中,点A ,则以这些直线为边,且过点 A 的矩形共有多少个? 解析:构成矩形需要两条水平的边和两条竖直的边,在本题中,可根据点A 所在 的位置进行分成三类: ①当点A 为所选矩形的顶点时,必选水平的边4n 和竖直的边3m ,再从另外的水平边123567,,,,,n n n n n n 任选一条,从另外的竖直 边12456789,,,,,,,m m m m m m m m 任选一条,一共 有116848C C ?=个矩形; ②当点A 在水平的边上,且不为顶点时,水 平的边4n 必选,而竖直的边3m 不选,否则, A 为顶点, n6n5n4n3n2n1
有思教育 初一数学讲义(第48期) 第十讲几何图形初步 姓名:___________成绩:___________ 知识点一几何图形 定义:把从实物中抽象出来的各种图形统称为几何图形。比如:正方形,圆形,球形,正方体等等。 几何图形的分类:1. 立体图形:各部分不都在同一平面内,他们是立体图形; 2. 平面图形:各部分都在同一平面内,他们是平面图形。 注意:常用虚线表示立体图形中被遮挡的部分,这也是区别立体图形与平面图形的标准之一。 知识点二常见的立体图形 注意:圆柱与棱柱的区别在于圆柱只有一个侧面,而棱柱有多个侧面。圆柱的底面是圆,棱柱的底面是多边形。圆柱、圆锥、球的横截面都是圆。
例1. 下列图形中,是三棱柱的是() A B C D 知识点三从不同方向看立体图形 例2. 如下图所示为7个正方体堆成的一个立体图形,分别画出从正面、左面、上面看这个几何体多看到的图形。
知识点四立体图形的展开与折叠 例3. 下面四个图形中,是三棱柱的平面展开图的是() A B C D 知识点五点、线、面、体 点:线和线相交的地方形成点。 线:面和面相交的地方形成线。(线有直线和曲线) 面:包围着体的是面(面有平面和曲面) 体:长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体。点、线、面、体的相互关系:点动成线,线动成面、面动成体。
例4. 如图是将三角形绕直线L旋转一周,可以得到图1中所示的立体图形的是() A B C D图1 知识点六直线
知识点七射线 射线:直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线,包括两部分:端点和方向。 如图所示为射线OA,射线用两个大写字母表示时端点的字母在前; 也可以用一个小写字母表示例如。 射线的特点:射线是直的,并且可以无限延长,不可以度量,没有长短。 例5 如图所示,下列语句不正确的是() A. 射线AB和射线BA不是同一条射线 B. 射线AB和射线AC是同一条射线 C. 射线BA和射线CA是同一条射线 D. 射线BA和射线BC不是同一条射线 知识点八线段 线段:直线上两个点和它们之间的部分叫做线段,这两个点叫做线段的端点。 也可以用一个小写字母表示如图。 线段的特点:有两个端点,不可延伸,可以度量。两点之间直线最短。 线段的中点:把一条线段分成两条相等的线段的点,叫做这条线段的中点。 比较线段的大小:比较线段的大小就是比较线段的长度,可以使用度量法、叠合法、圆规截取法。 例7. 如图,图中共有()条线段. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 知识点九直线、射线、线段的区别 ●端点个数不同,直线没有端点,射线一个,线段两个。 ●延伸性不同,直线向两边延伸,射线想一边延伸,线段不可延伸。 ●性质不同,两点确定一条直线,一个端点一个方向确定一条射线,两点之间的线。 ●只有线段可以度量。 ●作图叙述不同,直线表述为过A、B作直线AB。射线是以A为端点作射线AB。线段 则是连接AB。
几何图形计数问题 例一、 数一数,下图中包含几条线段。 解析: 数线段是几何图形计数问题的重点和基础。点和线段是基本的几何图形元素,一般可采取按照线段端点顺序分类 ..。 ..计数 ..加法 ○1编序号 .. 如图,我们先把题图线段上各点按顺序编序号,然 后从“0”号端点开始计数。 以“0”号端点为左端点的一类线段有4?0=4条; 以“1”号端点为左端点的一类线段有4?1=3条; 以“2”号端点为左端点的一类线段有4?2=2条; 以“3”号端点为左端点的一类线段有4?3=1条; 将各类线段的数目相加,便可得到题图中所包含的线段总数: 4+3+2+1=10 我们发现: 把题图左端点编为“0”,向右依次编号,一直到“4”,而题图中所包含的线段总数恰为4~1连续自然数的和:4+3+2+1=10; 若某一线段上共有包含两端点在内的10个点,按照上述方法可编号为0~9;那么,这条线段所包含的线段总数应为: 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 ○2数基本线段 .... 题图中,相邻两点间的线段,比如、等,这类线段内不包含其它已知点,姑且称之为基本线段。 题图中有4条基本线段:、、、; 相邻两条基本线段相加: +、+、+则组成3条线段; 相邻三条基本线段相加: AAAA+AABB+BBCC、AABB+BBCC+CCDD,则组成2条线段; 相邻四条基本线段相加: +++1条线段; 将各类线段数目相加,便可得到题图中所包含的线段总数: 4+3+2+1=10 答:图中共有10条线段
例二、如图,数一数,图中包含几个角。 解析: 角的计数,可与线段计数采用相同的方法,即采用分类加法计数。 ○1标注序号 .. 把题图中已知射线依序编号为0、1、2、3,如图所示。 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所 形成的图形,叫做角。比如,射线OA绕公共端点O,沿顺时针 方向旋转到射线OB的位置,便形成∠AOB .据此,则有: 以0号射线为始边,沿顺时针方向分别旋转到射线1、2、 3的位置所形成的角有3个; 以1号射线为始边,沿顺时针方向分别旋转到射线2、3的位置所形成的角有2个; 以2号射线为始边,沿顺时针方向旋转到射线3的位置所形成的角有1个; 把这三类角的数目相加,便得到题图所包含的角的总数: 3+2+1=6 ○2数基本角 ... 具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 在题图已知的四条具有公共端点的射线中,任取两条相邻 ..的射线都可以组成一个角,比如,射线OA与OB相邻,可构成∠AOB;不妨称这类角为“基本角”。 先数一数题图中有几个基本角,再按照不同的组合方式,用基本角来组成其他不同种类的角,最后各类数目相加。 题图中的基本角:∠AOB、∠BOC、∠COD,共有3个; 由两个相邻基本角所组成的角:∠AOB+∠BOC、∠BOC+∠COD,共有2个; 由三个相邻基本角所组成的角:∠AOB+∠BOC+∠COD,共有1个; 则题图所包含的角的总数为: 3+2+1=6. 答:题图中包含6个角。 我们发现: 题图所包含的角的总数等于由表示基本角数的数字开 始到1的连续自然数之和: 数数右图共包含多少角? 解:右图共有6个基本角,所包含角的总数是 6+5+4+3+3+1=21
启航学校几何图形初步复习汇编 第一板块:《几何图形初步》知识聚焦 第二板块:《几何图形初步》考点解析 第三板块:《几何图形初步》试题荟萃 第四板块:《几何图形初步》解题宝贝 第一板块:《几何图形初步》知识聚焦 4.1多姿多彩的图形 1.?? ? ??????? ??平面图形球体椎体(棱锥、圆锥)柱体(棱柱、圆柱)立体图形几何图形 2.研究立体图形的方法 (1)平面展开图:有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当剪开,可以展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 (2)从不同的方向看(“三视图”) 3.几何图形的形成:点动成线,线动成面,面动成体。 4.几何图形的结构:点、线、面、体组成几何图形。点是构成图形的基本元素。 4.2直线、射线、线段 1.点:表示一个物体的位置,通常用一个大写字母表示,如点A 、点B 。 2.直线 (1)直线的表示方法:①可以用这条直线上任意两点的字母(大写)来表示;②用一个小写字母来表示。 (2)直线的基本性质:经过两点有一条直线,并且只有一条直线。简述为,两点确定一条直线。 (3)直线的特征: ①直线没有端点,不可度量,向两方无限延伸; ②直线没有粗细; ③两点确定一条直线; ④两条直线相交有唯一一个交点。 (4)点与直线的位置关系: ①点在直线上(也可以说这条直线经过这个点); ②点在直线外(也可以说直线不经过这个点)。 (5)两条直线的位置关系有两种——相交、平行 3.射线:直线上一点和它一旁的部分叫做射线。 (1)射线的表示方法: ①用两个大写字母表示,表示端点的字母写在前面,在两个字母前加上“射线”; ②用一个小写字母表示。 (2)射线的性质: ①射线是直线的一部分; ②射线只向一方无限延伸,有一个端点,不能度量、不能比较长短; ③射线上有无穷多个点; ④两条射线的公共点可能没有,可能只有一个,可能有无穷多个。 4.线段:直线上两点和它们之间的部分叫做线段。 (1)线段的特点:线段是直的,它有两个端点,它的长度是有限的,可以度量,可以比较长短。 (2)线段的表示方法: ①用两个端点的大写字母表示;
几何图形初步 【知识梳理】 一、几何图形 1、立体图形:各部分(顶点,棱边)不都在同一个平面内。 2、平面图形:各部分(顶点,边长)都在同一个平面内。 3、展开图:立体图形表面剪开之后展开的平面图形。 4、不同方向观察立体图形:正面、左面、上面。 5、点、线、面、体的认识。 二、直线、射线、线段 1、直线、射线、线段的区别和表示 名称 端点个数 延伸情况 长度 表示方法 直线 0 向两方无限延伸 不确定,不可度量 直线l 或直线AB 射线 1 一端固定,一端无限延伸 不确定,不可度量 射线l 或射线OA 线段 2 两段固定,不延伸 确定,可以度量 线段a 或线段AB 方位角 点、线、面、体 立体图形 从不同的方向看物体---三视图 展开立体图形 平面图形 直线、射线、线段 直线的性质 线段的有关性质 几何图形 比较大小 两点之间线段最短 线段的中点 角 角的度量及分类 角的比较与运算,角平分线 余角和补角余角和补角的性质 作图: (尺规) 画一条线段等于已知线段 画一个角等于已知角
2、基本定理 (1)经过两点有一条直线,并且只有一条直线。(两点确定一条直线) (2)两点的所有线段中,线段最短,(两点之间线段最短)。又称为两点之间的距离。 3、画一条线段等于已知线段 (1)度量法 (2)用尺规作图法 4、线段的大小比较方法 (1)度量法 (2)叠合法 5、中点、三等分点、四等分点:将线段分别分成相等的2、3、4段。 三、角 1、角:由有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角. 2、角的表示法(3种):.1∠∠∠、、αAOB 3、角的度量单位及换算:度(°)、分(′)、秒(″) 1°=60′;1′=60″。 1周角=360°;1平角=180°; 4、角的分类 ∠β 锐角(小于90°)、 直角(等于90°)、 钝角(大于90°)、 平角(等于180) 周角 范围 0<∠β<90° ∠β=90° 90°<∠β<180° ∠β=180° ∠β=360° 5、角的比较方法 (1)度量法 (2)叠合法 6、角的和、差、倍、分 7、画一个角等于已知角 (1)确定公共顶点和一条边 (2)借助量角器能画出给定度数的角. 8、角的平分线 定义:从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线. 9、余角和补角 (1)若∠1+∠2=90°,则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角,∠2是∠1的余角. (2)若∠1+∠2=180°,则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角,∠2是∠1的补角. (3)余(补)角的性质:等角的补(余)角相等.
第四章几何图形初步 4.1几何图形 4. 1.1立体图形与平面图形( 3 课时 ) 第 1 课时认识几何体 1.通过实物和具体模型,了解从物体外形抽象出来的几何体、平面、直线和点的概念. 2.能识别一些基本几何体. 3.初步了解立体图形和平面图形的概念. 重点 识别一些基本几何体. 难点 了解从物体外形抽象出来的几何体、平面、直线和点的概念. 活动 1:创设情境,导入新课 1.打开电视,播放一个城市的现代化建筑,学生认真观看. 2.提出问题: 在同学们所观看的电视片中,有哪些是我们熟悉的几何图形? 活动 2:探究新知 1.学生在回顾刚才所看的电视片后,充分发表自己的意见,并通过小组交流,补充自己的意见,积累小 组活动经验.b5E2RGbCAP 2.指定一名学生回答问题,并能正确说出这些几何图形的名称. 学生回答:有圆柱、长方体、正方体等等. 教师活动:纠正学生所说几何图形名称中的错误,并出示相应的几何体模型让学生观察它们的特征. 3.立体图形的概念. (1)长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形. (2) 学生活动:看课本图 4.1 - 3 后学生思考:这些物体给我们什么样的立体图形的形象?( 棱柱和棱锥 ) (3)用幻灯机放映课本 4.1 - 5 的幻灯片. ( 或用教学挂图 ) (4)提出问题:在这个幻灯片中,包含哪些简单的平面图形? (5)探索解决问题的方法.①学生进行小组交流,教师对各小组进行指导,通 过交流,得出问题的答案.②学生回答:包含的平面图形有长方形、圆、正方 形、多边形和三角形等. 4.平面图形的概念. 长方形、正方形、三角形、圆等都是我们十分熟悉的平面图形. 注:对立体图形和平面图形的概念,不要求给出完整的定义,只要求学生能够正确区分立体图形和平面 图形. 活动 3:课堂小结
第一讲几何图形中的计数问题(一) 姓名:__________ 【教学目标】 1、经历解题理解图形计数的规律及特点。 2、通过学习体会线段计数的原理并能推广到角、共顶点的三角形,能够解决一些基本的几何图形中的计数问题。 线段计数原理:在一条线上如果共有n条基本线段,那么它上面的线段总条数为: 2)1 ( 1 2 3 )2 ( )1 (+ = + + +??? + - + - + n n n n n (线段计数原理:基本线段×基本点÷2) 3、通过学习,体会学习的数学乐趣,提高学生学习数学的兴趣。 教学过程: 一、趣味导入 在田径比赛中,你追上了第二名,你是第几名?(为下一题做铺垫)在田径比赛中,你追上倒数第一名,你是第几名? (通过这两个趣味提问活跃了课堂气氛) 二、旧识复习 1、线段的定义:线段AB与线段BA是不是同一条线段。 三、新课讲授 【例1】数一数,下图中有多少条线段?其中包含线段BC的线段有多少条? (1)先让学生尝试做:数线段 (2)根据学生数的列出线段。 (让学生发现其中每一条线段都重复了两次)总共:4×5=20 20÷2=10 从而引出:线段计数的原理基本线段×基本点÷2=线段数
第二问:(1)已知所有的—不包含的= 包含的 (2)以A 为首的有3条,以B 为首的有3条 (3)根据线段的定义:2×3 = 6(条) 〖巩固〗数出下图中共有多少条线段?其中包含线段54A A 的线段有多少条? (1)A1:19 A2:18…… 19+18+17+……+2+1=190(条) (2)先让学生独立根据公式来完成,从而理解并能应用。 20×19÷2 = 190(条) 第二问:同例1一样。 【例2】下图中共有多少条线段? 第一步:先找出有几条大线段 第二步:每条大线段中各有几条基本线段,几个基本点。 第三步:利用公式灵活运用 (鼓励学生先用自己的方法解决问题,通过旧识与新学的公式法进行比较从而接受新方法,并能灵活运用) 〖巩固〗如图所示,a 、b 、c 、d 、e 五条线段两两相交,有多少条线段,如果是10条 线段呢? 步骤同上 此题重点在:“两两相交” 拓展为10条线段时,主要能够找出有多少个基本点。 若是21、30、50条等等。
课题 4.1.1立体图形与平面图形(1) 【教学目标】 1.通过观察生活中的大量图片或实物,经历把实物抽象成几何图形的过程; 2.能由实物形状想象出几何图形,由几何图形想象出实物形状; 3.能识别一些简单几何体,正确区分平面图形与立体图形。 【重点难点】: 识别简单的几何体是重点;知道柱体与锥体;从具体事物中抽象出几何图形是难点。 一、导入课题 同学们,你仔细观察过我们生活的世界吗?我们生活的世界是丰富多彩的!随时随地看到的和接触到的物体都是立体的或平面的。那就让我们走进图象的世界去看看吧。 二、挑战知识 (一)自主学习 自学教材114~116页,独立解决下列问题 知识点一、立体图形 1.对于生活中各种各样的物体数学关注的是它们的,,和。 2.从实物中抽象的各种图形统称为。 3. 如图:(1)、(2)、(6)所表示的立体图形是柱体。(4)、(5)所表示的立体图形是锥体。(3)所表示的立体图形是球体。 归纳总结: 1.生活中规则的立体图形主要有。柱体包括,锥体分为。 2.(1)、(5)、(6)等立体图形的面是平的,这样的立体图形,又叫多面体 做一做:教材115图4.1-4思考 柱体有;锥体有;球体有。 知识点二、平面图形
1. 是平面图形。 2. 与 是两类不同的几何图形,但它们是相联系的。立体图形的某些部分是 ,如三棱柱的侧面是平面图形。 (二)合作交流 1. 交流自主学习中的问题 2.解答下列各题 ⑴下列几种图形:①长方形;②梯形;③正方体;④圆柱;⑤圆锥;⑥球. 其中属于立体图形的是( ) A. ①②③; B. ③④⑤; C. ① ③⑤; D. ③④⑤⑥ ⑵在如下图所示的图中,柱体有 ,锥体有 ,球体有 。 ⑶下图中,不是锥体的是( ). ⑷在球体、三棱锥、三棱柱、四棱锥、圆锥中,不是多面体的是 。 ⑸连一连 圆锥 球 正方体 长方体 圆柱 五棱锥 三、布置作业:教辅资料对应题类。
D C B A B A 第1题图 会社 谐和设 建 C B A β β βα α α 第3题图 七年级数学单元质量检测 几何图形初步 第Ⅰ卷(选择题 共30 分) 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.如图是一个小正方体的展开图,把展开图折叠成小正方体后,有“建”字一面的相对面上的字是( ) A.和 B.谐 C.社 D.会 2.下面左边是用八块完全相同的小正方体搭成 的几何体,从上面看该几何体得到的图是( ) 3.如图,四个图形是由立体图形展开得到的,相应的立体图形顺次是( ) A. 正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 B. 正方体、圆锥、 三棱柱、圆柱 C. 正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 D. 正方体、圆柱、四棱柱、圆锥 4.如图,对于直线AB ,线段CD ,射线EF ,其中能相交的是( ) 5.下列说法中正确的是( ) A.画一条3厘米长的射线 B.画一条3厘米长的直线 C.画一条5厘米长的线段 D.在线段、射线、直线中直线最长 6.如图,将一副三角尺按不同位置摆放,摆放方式中∠α 与∠β 互余的是( ) 7. 点E 在线段 CD 上,下面四个等式①CE =DE ;②DE = 2 1 CD ;③CD =2CE ; ④CD = 2 1 DE.其中能表示E 是线段CD 中点的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
1 乙 甲 N M P D C B A B ()D C A D C B A 第9题图B A 第19题D C B A O 第20题 C B A 8. C 是线段AB 上一点,D 是BC 的中点,若AB =12cm ,AC =2cm ,则BD 的长为( ) A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 9.如图是一正方体的平面展开图,若AB =4,则该正方体A 、B 两点间的距离为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10.用度、分、秒表示91.34°为( ) A. 91°20/24// B. 91°34/ C. 91°20/4// D. 91°3/4// 11.下列说法中正确的是( ) A.若∠AOB =2∠AOC ,则OC 平分∠AOB B.延长∠AOB 的平分线OC C.若射线OC 、OD 三等份∠AOB ,则∠AOC =∠DOC D.若OC 平分∠AOB ,则∠AOC =∠BOC 12.甲、乙两人各用一张正方形的纸片ABCD 折出一个45°的角(如图), 两人做法如下: 甲:将纸片沿对角线AC 折叠,使B 点落在D 点上,则∠1=45°; 乙:将纸片沿AM 、AN 折叠,分别使B 、D 落在对角线AC 上的一点P , 则∠MAN =45° 对于两人的做法,下列判断正确的是( ) A.甲乙都对 B.甲对乙错 C.甲错乙对 D.甲乙都错 二、填空题(每小题3分,共24分) 13.下列各图形中, 不是正方体的展开图(填序号). 14.已知M 、N 是线段AB 的三等分点,C 是BN 的中点,CM =6cm ,则AB = cm. 15.已知线段AB ,延长AB 到C ,使BC =2AB ,D 为AB 的中点,若BD =3cm ,则AC 的长为 cm. 16.若时针由2点30分走到2点55分,则时针转过 度,分针转过 度. 17.一个角的补角是这个角的余角的4倍,则这 个角的度数是 . D C B A O
第六讲几何图形的计数趣谈 一、常用的几个简单几何图形的计数公式 1.数线段、三角形、(锐)角的公式 数出图 6-1 中各条线段上线段的总条数。 图 6-1(a)中只有两个点 A、B、只有一条线段。 图6-1(b)中有A、B、C 三个点,这三个点将线段 AC 分割成AB、BC 两条小线段,这两条小线段连起来组成一条新线段 AC,所以图 6-1(b)中有三条线段算式为 2+1=3。 图6-1(c)中有A、B、C、D 四个点,这四个点将线段 AD 分割成AB、BC、CD 三条小线段;把相邻的两条小线段连起来组成两条新线段 AC、BD,然后相邻的三
条小线段连起来组成一条新线段 AD,所以图 6-1(c)中共有 6 条线段,算式为 3 +2+1=6。 图6-1(d)中在有A、B、C、D、E 五个点,这五个点将线段 AE 分割成AB、BC、 CD、DE 四条小线段;把相邻的两条小线段连起来组成三条新线段 AC、BD、CE;再将相邻 的三条小线段连起来又组成两条新线段 AD、BE;最后相邻的四条小线段连起来又组成 一条新线段 AE。所以图6-1(d)中共有 10 条线段。算式为4+3+2+ 1=10。 图6-1(e)中有A、B、C、D、E、F 六个点,这六个点将线段分割成 AB、BC、 CD、DE、EF 五条小线段;这五条小线段中的任意相邻两条小线段连起来又组成四条新线段AC、BD、CE、DF;然后将相邻三条小线段连在一起又组成三条新线段 AD、 BE、CF;再将相邻四条小线段连起来又组成两条新线段 AE、BF;最后五条相邻小线 段连起来又组成一条新线段 AF。所以图6-1(e)中共有15 条线段。算式为5 +4+3+2+1=15。 将上述几种情况一般化,如果某条线段上共有 n 个点(包括两个端点),那么 这 n 个点将线段分割成 n-1 条小线段,这 n-1 条小线段中,任意相邻两条小线段连 起来又都可以组成一条新线段,这样的新线段共有 n-2 条。 另外,这n-1 条小线段中,任意三条相邻小线段连起来又都可以组成一条新线段,这样的新线段共有 n-3 条。 依此类推,可得:
第四章几何图形初步 部分都在同一个平面内,它们是平面图形。 3.展开图:有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当剪开,可以展开成平面图形,这样的平面图形称为相应立体图形的展开图. 正方体的展开图:11种 4.立体图形的三视图:①主视图:从正面看;②左视图:从左面看;③俯视图:从上面看。(会判断简单物体的三视图,能根据三视图描述基本几何体或实物原型) 1.长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体
3.直线、射线、线段的表示方法?? (1)直线:用一个小写字母表示,如:直线l,或用两个大些字母(直线上的)表示,如直线AB(A、B两点是直线上的点). (2)射线:直线的一部分,用一个小写字母表示,如:射线l,或用两个大些字母表示,如:射线OA(O、A两点是射线上的点,用两个字母表示时,端点的字母放在前边). (3)线段:直线的一部分,用一个小写字母表示,如线段a;用两个表示端点的字母表示,如:线段AB(或线段BA). 4.尺规作图:在数学中,我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图,这就是尺规作图。 5.中点:点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB,点M叫做线段AB的中点。三等分点、四等分点…… 6.关于线段的基本事实:两点之间的所有连线中,线段最短.简单说成:两点之间,
7.比较两条线段长短的方法有两种:度量比较法、重合比较法. 8.距离:连接两点间的线段的长度,叫做这两点间的距离。(平面上任意两点间的距离指的是连接这两点的线段的长度,强调最后的两个字“长度”,也就是说,它是一个量,有大小,区别于线段,线段是图形。线段的长度才是两点的距离)。如图:A、B两点之间的距离就是线段AB的长度。 1.角的定义:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,角的符号是∠。这 个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边。如下图1.定点为O,射 线OA和射线OB??为两条边。 2.平角、周角:角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形, 当始边与终边成一条直线时形成平角,当始边与终边旋转重合时,形成周角. 1.角的四种表示方法:
1.掌握计数常用方法; 2.熟记一些计数公式及其推导方法; 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数. 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等,并渗 透分类计数和用容斥原理的计数思想. 一、几何计数 在几何图形中,有许多有趣的计数问题,如计算线段的条数,满足某种条件的三角形的 个数,若干个图分平面所成的区域数等等.这类问题看起来似乎没有什么规律可循,但是通过认真分析,还是可以找到一些处理方法的.常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法 以及递推法等.n 条直线最多将平面分成 21223(2)2 n n n ++++=++……个部分;n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2;n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分;n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分…… 在其它计数问题中,也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等.解题时 需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解. 排列问题不仅与参加排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关;组合问题与 各事物所在的先后顺序无关,只与这两个组合中的元素有关. 二、几何计数分类 数线段:如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)(或含有n 个“基本线段”),那 么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条 数角:数角与数线段相似,线段图形中的点类似于角图形中的边. 数三角形:可用数线段的方法数如右图所示的三角形(对应法),因为DE 上有15条线 段,每条线段的两端点与点A 相连,可构成一个三角形,共有15个三角形,同样一边在BC 上的三角形也有15个,所以图中共有30个三角形. E D C B A 数长方形、平行四边形和正方形:一般的,对于任意长方形(平行四边形),若其横边 上共有n 条线段,纵边上共有m 条线段,则图中共有长方形(平行四边形)mn 个. 模块一、立体几何计数 【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形,那么一共用了__________块 小正方体。 教学目标 例题精讲 知识要点 7-8-3.几何计数(三)
(此文档为word格式,下载后您可任意编辑修改!) 第四章几何图形初步 4.1 几何图形 § 4.1.1 立体图形与平面图形 一、教学目标 1、知识与技能 (1)初步了解立体图形和平面图形的概念. (2)能从具体物体中抽象出长方体、正方体、球、圆锥、棱锥、棱柱等立体图形;能举出类似长方体、正方体、球、圆锥、棱锥、棱柱的物体实体. 2、过程与方法 (1)过程:在探索实物与立体图形关系的活动过程中,对具体图形进行概括,发展几何直觉. (2)方法:能从具体事物中抽象出几何图形,并用几何图形描述一些现实中的物体. 3、情感、态度、价值观:形成主动探究的意识,丰富学生数学活动的成功体验,激发学生对几何图形的好奇心,发展学生的审美情趣. 二、教学重点、难点: 教学重点:常见几何体的识别 教学难点:从实物中抽象几何图形. 三、教学过程 1.创设情境,导入新课. 让我们一起来看看北京奥运会奥运村模型图.(出示章前图) 展示丰富多彩的图形世界.
2直观感知,识别图形 (1)对于各种各样的物体,数学中关注是它们的形状、大小和位置. (2)展示一个长方体教具,让学生分别从整体和局部抽象出几何图形.观察长方体教具的外形,从整体上看,它的形状是长方体,看不同的侧面,得到的是正方形或长方形,只看棱、顶点等局部,得到的是线段、点. (3)观察其他的实物教具(或图片)让学生从中抽象出圆柱,球,圆等图形. (4)引导学生得出几何图形、立体图形、平面图形的概念. 我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.比如长方体,长方形,圆柱,线段,点,三角形,四边形等.几何图形是数学研究的主要对象之一. 有些几何体的各部分不都在同一平面内,它们是立体图形.如长方体,立方体等. 有些几何图形和各部分都在同一平面内,它们是平面图形.如线段,角,长方形,圆等. 3. 实践探究. (1) 引导学生观察帐篷,,金字塔的图片,从面抽象出棱柱,棱锥.
全国初中数学竞赛辅导第19讲几何图形的计数 问题 在几何中,有许多有味的计数问题,如运算线段的条数,满足某种条件的三角形的个数,若干个图分平面所成的区域数等等.这类问题看起来看起来没有什么规律可循,然而通过认真分析,依旧能够找到一些处理方法的.常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等. 例1如图1-65所示,数一数图中有多少条不同的线段? 解关于两条线段,只要有一个端点不同,确实是不同的线段,我们以左端点为标准,将线段分5类分别计数: (1)以A为左端点的线段有AB,AC,AD,AE,AF共5条; (2)以B为左端点的线段有BC,BD,BE,BF共4条; (3)以C为左端点的线段有CD,CE,CF共3条; (4)以D为左端点的线段有DE,DF共2条; (5)以E为左端点的线段只有EF一条. 因此,不同的线段一共有 5+4+3+2+1=15(条). 一样地,假如一条线段上有n+1个点(包括两个端点),那么这n+1 个点把这条线段一共分成的线段总数为 n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2 例2图1-66中有多少个三角形? 解以OA为一边的三角形有△OAB,△OAC,△OAD,△OAE,△OAF 共5个;以OB为一边的三角形还有4个(前面已计数过的不再数,下同),它们是△OBC,△OBD,△OBE,△OBF;以OC为一边的三角形有△OCD,△OCE,△OCF共3个;以OD为一边的三角形有△ODE,△ODF共2个;以OE为一边的三角形有△OEF一个.因此,共有三角形 5+4+3+2+1=15(个).
说明事实上,不同的三角形数目等于线段AF中不同线段的条数.一样地,当原三角形的一条边上有n+1个点(包括两端点)时,它们与另一顶点的连线所构成的三角形总数为n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2. 例3(1)图1-67中一共有多少个长方形? (2)所有这些长方形的面积和是多少? 解(1)图中长的一边有5个分点(包括端点),因此,长的一边上不同的线段共有 1+2+3+4=10(条). 同样,宽的一边上不同的线段也有10条. 因此,共有长方形 10×10=100(个). (2)因为长的一边上的10条线段长分别为 5,17,25,26,12,20,21,8,9,1, 宽的一边上的10条线段长分别为 2,6,13,16,4,11,14,7,10,3. 因此,所有长方形面积和为 (5×2+5×6+…+5×3) +(17×2+17×6+…+17×3)