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正则

有一段时间,正则表达式学习很火热很潮流,当时在CSDN一天就能看到好几个正则表达式的帖子,那段时间借助论坛以及Wrox Press出版的《C#字符串和正则表达式参考手册》学习了一些基础的知识,同时也为我在CSDN大概赚了1000分,今天想起来,去找《C#字符串和正则表达式参考手册》时,已经不知所踪了。现在用到正则的时候也比较少,把以前的笔记等整理一下,以志不忘。

(1)“@”符号

符下两ows表研究室的火热,当晨在“@”虽然并非C#正则表达式的“成员”,但是它经常与C#正则表达式出双入对。“@”表示,跟在它后面的字符串是个“逐字字符串”,不是很好理解,举个例子,以下两个声明是等效的:

string x="D:\\My Huang\\My Doc";

string y = @"D:\My Huang\My Doc";

事实上,如果按如下声明,C#将会报错,因为“\”在C#中用于实现转义,如“\n”换行:string x = "D:\My Huang\My Doc";

(2)基本的语法字符。

\d 0-9的数字

\D \d的补集(以所以字符为全集,下同),即所有非数字的字符

\w 单词字符,指大小写字母、0-9的数字、下划线

\W \w的补集

\s 空白字符,包括换行符\n、回车符\r、制表符\t、垂直制表符\v、换页符\f

\S \s的补集

. 除换行符\n外的任意字符

[…]匹配[]内所列出的所有字符

[^…]匹配非[]内所列出的字符

下面提供一些简单的示例:

string i ="\n";

string m ="3";

Regex r =new Regex(@"\D");

//同Regex r = new Regex("\\D");

//r.IsMatch(i)结果:true

//r.IsMatch(m)结果:false

string i ="%";

string m ="3";

Regex r =new Regex("[a-z0-9]");

//匹配小写字母或数字字符

//r.IsMatch(i)结果:false

//r.IsMatch(m)结果:true

(3)定位字符

“定位字符”所代表的是一个虚的字符,它代表一个位置,你也可以直观地认为“定位字符”所代表的是某个字符与字符间的那个微小间隙。

^ 表示其后的字符必须位于字符串的开始处

$ 表示其前面的字符必须位于字符串的结束处

\b 匹配一个单词的边界

\B 匹配一个非单词的边界

另外,还包括:\A 前面的字符必须位于字符处的开始处,\z 前面的字符必须位于字符串的结束处,\Z 前面的字符必须位于字符串的结束处,或者位于换行符前

下面提供一些简单的示例:

string i ="Live for nothing,die for something";

Regex r1 = new Regex("^Live for nothing,die for something$");

//r1.IsMatch(i) true

Regex r2 = new Regex("^Live for nothing,die for some$");

//r2.IsMatch(i) false

Regex r3 = new Regex("^Live for nothing,die for some");

//r3.IsMatch(i) true

string i =@"Live for nothing,

die for something";//多行

Regex r1 = new Regex("^Live for nothing,die for something$");

Console.WriteLine("r1 match count:" + r1.Matches(i).Count);//0

Regex r2 = new Regex("^Live for nothing,die for something$", RegexOptions.M ultiline);

Console.WriteLine("r2 match count:" + r2.Matches(i).Count);//0

Regex r3 = new Regex("^Live for nothing,\r\ndie for som ething$"); Console.WriteLine("r3 match count:" + r3.Matches(i).Count);//1

Regex r4 = new Regex("^Live for nothing,$");

Console.WriteLine("r4 match count:" + r4.Matches(i).Count);//0

Regex r5 = new Regex("^Live for nothing,$", RegexOptions.Multiline); Console.WriteLine("r5 match count:" + r5.Matches(i).Count);//0

Regex r6 = new Regex("^Live for nothing,\r\n$");

Console.WriteLine("r6 match count:" + r6.Matches(i).Count);//0

Regex r7 = new Regex("^Live for nothing,\r\n$", RegexOptions.Multiline); Console.WriteLine("r7 match count:" + r7.Matches(i).Count);//0

Regex r8 = new Regex("^Live for nothing,\r$");

Console.WriteLine("r8 match count:" + r8.Matches(i).Count);//0

Regex r9 = new Regex("^Live for nothing,\r$", RegexOptions.Multiline); Console.WriteLine("r9 match count:" + r9.Matches(i).Count);//1

Regex r10 =new Regex("^die for som ething$");

Console.WriteLine("r10 match count:" + r10.Matches(i).Count);//0

Regex r11 =new Regex("^die for som ething$", RegexOptions.Multiline); Console.WriteLine("r11 match count:" + r11.Matches(i).Count);//1

Regex r12 =new Regex("^");

Console.WriteLine("r12 match count:" + r12.Matches(i).Count);//1

Regex r13 =new Regex("$");

Console.WriteLine("r13 match count:" + r13.Matches(i).Count);//1

Regex r14 =new Regex("^", RegexOptions.Multiline);

Console.WriteLine("r14 match count:" + r14.Matches(i).Count);//2

Regex r15 =new Regex("$", RegexOptions.Multiline);

Console.WriteLine("r15 match count:" + r15.Matches(i).Count);//2

Regex r16 =new Regex("^Live for nothing,\r$\n^die for som ething$", RegexO ptions.Multiline);

Console.WriteLine("r16 match count:" + r16.Matches(i).Count);//1

//对于一个多行字符串,在设置了Multiline选项之后,^和$将出现多次匹配。

string i ="Live for nothing,die for something";

string m ="Live for nothing,die for som e thing";

Regex r1 = new Regex(@"\bthing\b");

Console.WriteLine("r1 match count:" + r1.Matches(i).Count);//0

Regex r2 = new Regex(@"thing\b");

Console.WriteLine("r2 match count:" + r2.Matches(i).Count);//2

Regex r3 = new Regex(@"\bthing\b");

Console.WriteLine("r3 match count:" + r3.Matches(m).Count);//1

Regex r4 = new Regex(@"\bfor something\b");

Console.WriteLine("r4 match count:" + r4.Matches(i).Count);//1

//\b通常用于约束一个完整的单词

(4)重复描述字符

“重复描述字符”是体现C#正则表达式“很好很强大”的地方之一:

{n} 匹配前面的字符n次

{n,} 匹配前面的字符n次或多于n次

{n,m} 匹配前面的字符n到m次

? 匹配前面的字符0或1次

+ 匹配前面的字符1次或多于1次

* 匹配前面的字符0次或式于0次

以下提供一些简单的示例:

string x ="1024";

string y ="+1024";

string z ="1,024";

string a ="1";

string b="-1024";

string c ="10000";

Regex r =new Regex(@"^\+?[1-9],?\d{3}$");

Console.WriteLine("x m atch count:" + r.Matches(x).Count);//1

Console.WriteLine("y m atch count:" + r.Matches(y).Count);//1

Console.WriteLine("z m atch count:" + r.Matches(z).Count);//1

Console.WriteLine("a m atch count:" + r.Matches(a).Count);//0

Console.WriteLine("b match count:" + r.Matches(b).Count);//0

Console.WriteLine("c m atch count:" + r.Matches(c).Count);//0

//匹配1000到9999的整数。

(5)择一匹配

C#正则表达式中的(|) 符号似乎没有一个专门的称谓,姑且称之为“择一匹配”吧。事实上,像[a-z]也是一种择一匹配,只不过它只能匹配单个字符,而(|)则提供了更大的范围,(ab|xy)表示匹配ab或匹配xy。注意“|”与“()”在此是一个整体。下面提供一些简单的示例:

string x ="0";

string y ="0.23";

string z ="100";

string a ="100.01";

string b = "9.9";

string c ="99.9";

string d = "99.";

string e ="00.1";

Regex r =new Regex(@"^\+?((100(.0+)*)|([1-9]?[0-9])(\.\d+)*)$"); Console.WriteLine("x m atch count:" + r.Matches(x).Count);//1

Console.WriteLine("y m atch count:" + r.Matches(y).Count);//1

Console.WriteLine("z m atch count:" + r.Matches(z).Count);//1

Console.WriteLine("a m atch count:" + r.Matches(a).Count);//0

Console.WriteLine("b match count:" + r.Matches(b).Count);//1

Console.WriteLine("c m atch count:" + r.Matches(c).Count);//1

Console.WriteLine("d match count:" + r.Matches(d).Count);//0

Console.WriteLine("e m atch count:" + r.Matches(e).Count);//0

//匹配0到100的数。最外层的括号内包含两部分“(100(.0+)*)”,“([1-9]?[0-9])(\.\d+) *”,这两部分是“OR”的关系,即正则表达式引擎会先尝试匹配100,如果失败,则尝试匹配后一个表达式(表示[0,100)范围中的数字)。

(6)特殊字符的匹配

下面提供一些简单的示例:

string x ="\\";

Regex r1 = new Regex("^\\\\$");

Console.WriteLine("r1 match count:" + r1.Matches(x).Count);//1

Regex r2 = new Regex(@"^\\$");

Console.WriteLine("r2 match count:" + r2.Matches(x).Count);//1

Regex r3 = new Regex("^\\$");

Console.WriteLine("r3 match count:" + r3.Matches(x).Count);//0

//匹配“\”

string x ="\"";

Regex r1 = new Regex("^\"$");

Console.WriteLine("r1 match count:" + r1.Matches(x).Count);//1

Regex r2 = new Regex(@"^""$");

Console.WriteLine("r2 match count:" + r2.Matches(x).Count);//1

//匹配双引号

(7)组与非捕获组

以下提供一些简单的示例:

string x ="Live for nothing,die for som ething";

string y ="Live for nothing,die for som ebody";

Regex r =new Regex(@"^Live ([a-z]{3}) no([a-z]{5}),die \1 some\2$"); Console.WriteLine("x m atch count:" + r.Matches(x).Count);//1

Console.WriteLine("y m atch count:" + r.Matches(y).Count);//0

//正则表达式引擎会记忆“()”中匹配到的内容,作为一个“组”,并且可以通过索引的方式进行引用。表达式中的“\1”,用于反向引用表达式中出现的第一个组,即粗体标识的第一个括号内容,“\2”则依此类推。

string x ="Live for nothing,die for som ething";

Regex r =new Regex(@"^Live for no([a-z]{5}),die for some\1$");

if (r.IsMatch(x))

{

Console.WriteLine("group1 value:" + r.Match(x).Groups[1].Value);//输出:thi ng

}

//获取组中的内容。注意,此处是Groups[1],因为Groups[0]是整个匹配的字符串,即整个变量x的内容。

string x ="Live for nothing,die for som ething";

Regex r =new Regex(@"^Live for no(?[a-z]{5}),die for som e\1$");

if (r.IsMatch(x))

{

Console.WriteLine("group1 value:" + r.Match(x).Groups["g1"].Value);//输出:thing

}

//可根据组名进行索引。使用以下格式为标识一个组的名称(?…)。

string x ="Live for nothing nothing";

Regex r =new Regex(@"([a-z]+) \1");

if (r.IsMatch(x))

{

x = r.Replace(x, "$1");

Console.WriteLine("var x:" + x);//输出:Live for nothing

}

//删除原字符串中重复出现的“nothing”。在表达式之外,使用“$1”来引用第一个组,下面则是通过组名来引用:

string x ="Live for nothing nothing";

Regex r =new Regex(@"(?[a-z]+) \1");

if (r.IsMatch(x))

{

x = r.Replace(x, "${g1}");

Console.WriteLine("var x:" + x);//输出:Live for nothing

}

string x ="Live for nothing";

Regex r =new Regex(@"^Live for no(?:[a-z]{5})$");

if (r.IsMatch(x))

{

Console.WriteLine("group1 value:" + r.Match(x).Groups[1].Value);//输出:(空) }

//在组前加上“?:”表示这是个“非捕获组”,即引擎将不保存该组的内容。

(8)贪婪与非贪婪

正则表达式的引擎是贪婪,只要模式允许,它将匹配尽可能多的字符。通过在“重复描述字符”(*,+)后面添加“?”,可以将匹配模式改成非贪婪。请看以下示例:

string x ="Live for nothing,die for som ething";

Regex r1 = new Regex(@".*thing");

if (r1.IsMatch(x))

{

Console.WriteLine("match:" + r1.Match(x).Value);//输出:Live for nothing,di e for som ething

}

Regex r2 = new Regex(@".*?thing");

if (r2.IsMatch(x))

{

Console.WriteLine("match:" + r2.Match(x).Value);//输出:Live for nothing

}

(9)回溯与非回溯

使用“(?>…)”方式进行非回溯声明。由于正则表达式引擎的贪婪特性,导致它在某些情况下,将进行回溯以获得匹配,请看下面的示例:

string x ="Live for nothing,die for som ething";

Regex r1 = new Regex(@".*thing,");

if (r1.IsMatch(x))

{

Console.WriteLine("match:" + r1.Match(x).Value);//输出:Live for nothing, }

Regex r2 = new Regex(@"(?>.*)thing,");

if (r2.IsMatch(x))//不匹配

{

Console.WriteLine("match:" + r2.Match(x).Value);

}

//在r1中,“.*”由于其贪婪特性,将一直匹配到字符串的最后,随后匹配“thing”,但在匹配“,”时失败,此时引擎将回溯,并在“thing,”处匹配成功。

在r2中,由于强制非回溯,所以整个表达式匹配失败。

(10)正向预搜索、反向预搜索

正向预搜索声明格式:正声明“(?=…)”,负声明“(?!...)” ,声明本身不作为最终匹配结果的一部分,请看下面的示例:

string x ="1024 used 2048 free";

Regex r1 = new Regex(@"\d{4}(?= used)");

if (r1.Matches(x).Count==1)

{

Console.WriteLine("r1 m atch:" + r1.Match(x).Value);//输出:1024

}

Regex r2 = new Regex(@"\d{4}(?! used)");

if (r2.Matches(x).Count==1)

{

Console.WriteLine("r2 m atch:" + r2.Match(x).Value); //输出:2048

}

//r1中的正声明表示必须保证在四位数字的后面必须紧跟着“used”,r2中的负声明表示四位数字之后不能跟有“used”。

反向预搜索声明格式:正声明“(?<=)”,负声明“(?

string x ="used:1024 free:2048";

Regex r1 = new Regex(@"(?<=used:)\d{4}");

if (r1.Matches(x).Count==1)

{

Console.WriteLine("r1 m atch:" + r1.Match(x).Value);//输出:1024

}

Regex r2 = new Regex(@"(?

if (r2.Matches(x).Count==1)

{

Console.WriteLine("r2 m atch:" + r2.Match(x).Value);//输出:2048

}

//r1中的反向正声明表示在4位数字之前必须紧跟着“used:”,r2中的反向负声明表示在4位数字之前必须紧跟着除“used:”之外的字符串。

(11)十六进制字符范围

正则表达式中,可以使用"\xXX" 和"\uXXXX" 表示一个字符("X" 表示一个十六进制数)形式字符范围:

\xXX 编号在0到255 范围的字符,比如:空格可以使用"\x20" 表示。

\uXXXX 任何字符可以使用"\u" 再加上其编号的4位十六进制数表示,比如:汉字可以使用“[\u4e00-\u9fa5]”表示。

(12)对[0,100]的比较完备的匹配

下面是一个比较综合的示例,对于匹配[0,100],需要特殊考虑的地方包括

*00合法,00.合法,00.00合法,001.100合法

*空字符串不合法,仅小数点不合法,大于100不合法

*数值是可带后缀的,如“1.07f”表示该值为一个float类型(未考虑)

Regex r =new Regex(@"^\+?0*(?:100(\.0*)?|(\d{0,2}(?=\.\d)|\d{1,2}(?=($| \.$)))(\.\d*)?)$");

string x ="";

while (true)

{

x = Console.ReadLine();

if (x !="exit")

{

if (r.IsMatch(x))

{

Console.WriteLine(x +" succeed!");

}

else

{

Console.WriteLine(x +" failed!");

}

}

else

{

break;

}

}

(13)精确匹配有时候是困难的

有些需求要做到精确匹配比较困难,例如:日期、Url、Email地址等,其中一些你甚至需要研

究一些专门的文档写出精确完备的表达式,对于这种情况,只能退而求其次,保证比较精确的匹配。例如对于日期,可以基于应用系统的实际情况考虑一段较短的时间,或者对于像Email的匹配,可以只考虑最常见的形式。

麦克斯韦方程组的二阶一般拉氏量与新物理

麦克斯韦方程组的二阶一般拉氏量与新物理 麦克斯韦在前人的基础上将电磁规律总结为方程组,以极其简洁的形式概括了相关的电磁规律,揭示了电磁相互作用的统一,并以此为基础建立了经典场论。虽然麦克斯韦的方程组很好地揭示了电场与磁场之间优美的对称性,准确预测了电磁波的存在,但是在其他一些现象 的预测上仍存在一些缺陷。后来发展起来的量子电动力学(QED)在一些方面的研究中逐渐取代了经典场论。人们开始认识到:麦克斯韦方程组可以看作是量子力学在经典情况下的近似。量子电动力学是量子场论中发展时间最长也最为成功的一个理论,它完美地结合了量子力学和广义相对论。在电磁相互作用、带电粒子的产生和湮没等方面,量子电动力学实现了理论预测与实验数据的吻合,并给出了光与物质相互作用的本质[1]。在与此相关的理论研究中,研究者们一般都是从拉格朗日量出发,因此可以看出对于系统拉格朗日量的分析是大多数研究的基础和前提。 1导出麦克斯韦方程组的拉格朗日量 无论是在爱因斯坦场还是阿贝尔规范场中,比安基恒等式都有很重要的应用。从阿贝尔规范场的比安基恒等式出发,我们可以得到麦克斯韦方程组中的两个基本方程。在这个过程中,我们需要慎重考虑指标的升降问题,因为在电动力学中,我们一般都将指标写成下指标,而在 场论中,我们需要考虑指标的收缩问题。对于麦克斯韦方程组中的另外两个方程,我们可以通过把比安基恒等式作为约束补充到自由电磁场的拉氏量中,并求解该拉格朗日量的运动方程得到。在这里的运算中,我们要保持运算的自洽性,也就是要由与前面得出两个方程的定义相一致的条件得出麦克斯韦方程组的后两个方程。对自由电磁场的拉氏量进行补充后,我们得到了一个新的二阶一般拉氏量。通过计算它的Hess矩阵,我们可以知道它的Hess矩阵是退化的,也就是说这个拉格朗日量是奇异的。它所描述的动力学系统是一个存在固有约束的正则哈密顿系统。我们还可以将这一部分加入到旋量电动力学的拉氏量中,得到的也是一个奇异拉氏量。旋量电动力学拉格朗日量描述的是自旋1/2的粒子与电磁场相互作用的系统,它本身的拉氏量也是奇异的。含有奇异拉格朗日量的系统在自然界中很常见,引力场、电磁场、超对称、超引力和超弦理论等都属于这类系统[2][3],所有规范不变的的系统也都是用奇异拉格朗日量来描述的。因此对于这样一个系统的研究可以有广泛的应用。 2 拉格朗日量的特点 对于这种系统的量子化和正则对称性质的分析,目前已经有了比较完整的阐述[4]。从狄拉克对动力学齐次变量的分析开始,Bergmann等人阐述了约束和不变性关系。他们的研究为

4、场的正则量子化

§4、场的正则量子化 场的量子化的形式与质点系相似。场函数及正则共轭场函数过渡至算符,不再描写体系的态,而物理的态则由Hilbert 空间的矢量描述。力学量随时间演化的方程中,以量子Piosson 括号取代经典Piosson 括号:(仍在海森堡绘景中讨论,算符随时间变,而态不变): ][1 ],[1},{GF FG i G F i G F -≡→ (4-1) ],[1H F i F = (4-2) 当F 显含t 时,右边还有一项t F ??。 一、电磁场的量子化 经典电磁场满足Maxwell 方程: ??? ? ???????+=????- =??=??=??t c c t c E J B B E B E 14104ππρ (4-3) 用四度矢势),(?A 表为: J A A A c t c t c t c t c t c πφπρφφ4)1()1(4)1(1)1(222222=??+???-?-??=??+????-?-?? (4-4) 由电磁场B E,在以下规范变换下 χ?+→A A t c ??+ →χ ??1 (4-5) 具有不变性。通常有两种规范 Lorentz 规范 01=??+??t c φA (4-6) 此方程具有协不变性,然而与量子化不相容。 Coulomb 规范 0=??A (4-7) 此时,虽然矢势方程丧失了Lorentz 协变性,但不影响真正的物理量B E,,而且能很方便的进行量子化。在Coulomb 规范下,场方程成为

? ππρ ????+=?-??=?t c c t c 14)1(42 2222J A (4-8) 下面考虑自由场:0=ρ,0=J ,因而0=?,于是 0)1(222 2=?-??A t c (4-9) A B ??= t c ??- =A E 1 (4-10) 拉格朗日量 ?∑??-??=})()(1{812 2 2ij j i x A t c d L A x π (4-11) A 的共轭场量 i i i i E c A c A πππ41 412-==??= (4-12) 相应的Hamilton 函数 )(81})(81 2{2 22 2 2 B E d x A c d H ij j i +=??+ =??∑x x ππ ππ (4-13) 在量子化以后,),(t x A 成为算符。为了与0=??A 相容,我们把对易关系中的 )(x x '-δ修正为)(x x '-tr ij δ。即: 0)],(),([='t A t A j i x x , (4-14a ) 0)],(),([='t t j i x x ππ, (4-14b ) )()],(),([1x x x x '-='tr ij j i t t A i δπ, (4-14c ) 其中 )(2)(1 )(x x k x x '-?-≡ '-∑i j i k ij tr ij e k k k V δδ | |1 41)(x x x x '-???- '-=j i ij x x πδδ (4-15) 否则 0)()],(),([≠'-?? ='??x x x x A δπj j x i t t ,

正则表达式量词

java正则表达式中的数量词 java中的正则位于java.util.regex包中,这个包中只有一个MatchResult接口和Matcher、Pattern两个类。正则中的数量词有Greedy (贪婪)、Reluctant(懒惰)和Possessive(强占)三种。 Greedy数量词: X ?---X,一次或一次也没有。 X*---X,零次或多次。 X+---X,一次或多次。 X{n}---X,恰好n次。 X{n,}---X,至少n次。 X{n,m}---X,至少n次,但是不超过m次。 Greedy是最常用的,它的匹配方式是先把整个字符串吞下,然后匹配整个字符串,如果不匹配,就从右端吐出一个字符,再进行匹配,直到找到匹配或把整个字符串吐完为止。 Matcher m=https://www.wendangku.net/doc/fa9238729.html,pile("a.*b").matcher("a====b=========b====="); while(m.find()){ System.out.println(m.group()); } 输出: a====b=========b 因为总是从最大匹配开始匹配,故称贪婪。 Reluctant数量词: X??--- X,一次或一次也没有。 X*?--- X,零次或多次。 X+?--- X,一次或多次。 X{n}?--- X,恰好n次。 X{n,}?--- X,至少n次。 X{n,m}?--- X,至少n次,但是不超过m次。 Reluctant正好和Greedy相反,它先从最小匹配开始,先从左端吞入一个字符,然后进行匹配,若不匹配就再吞入一个字符,直到找到匹配或将整个字符串吞入为止。 Matcher m=https://www.wendangku.net/doc/fa9238729.html,pile("a.*?b").matcher("a====b=========b====="); while(m.find()){ System.out.println(m.group()); } 输出:

量子场论笔记

量子场论笔记 WangHongyu June22,2011 1Why Quantum Field Theory is So Di?cult?The key point 对于量子场论有两种比较容易的理解,一是标准量子力学的相对论形式:传统量子力学是非相对论的,为了处理高能量粒子的运动,必须引入相对论效应,将量子力学改写成协变形式;然而在这修改过程中必然出现反粒子问题和粒子对的产生过程,于是原来针对单粒子的量子力学转变成了粒子数可变(随时增减)体系的量子力学,为了处理粒子数的改变,需要使用将原来的波函数改写成算符,这就是所谓“二次量子化”过程,完成了二次量子化的量子理论被看作量子场论。 第二种理解要更加简单而直接:许多物理体系都是场体系,例如光本身就是一种电磁场,为了研究其量子效应,需要按照量子力学的原则对电磁场运动方程进行量子化。由于场是全空间分布的连续目标,其量子力学理论将是具有无穷自由度体系的量子理论;为了求解这样的体系,需要对自由度进行分解,得到的平面波解称为粒子或者量子,而这种理论就是量子场论。 1.1量子化 我们采用第二种理解。和传统量子力学一样,量子场论也是基于量子化的手续,比较流行的方案包括正则量子化手续和路径积分量子化。在大部分情况下,两种手续都要交替使用。 正则量子化的基本手续就是写出场的拉格朗日量,定义正则坐标和正则动量,引入正则坐标和正则动量之间的对易关系: [?(x,t),Π(x′,t)]=iδ3(x?x′) 原则上就完成了正则量子化步骤。 在实践中,由于自由度之间可能存在复杂的耦合,上述量子化需要对独立的正则动量来完成,因此首先要分解出独立的自由度。对于连续存在于平直空间的的场,最简单的方法是进行傅立叶分解。对场变量的傅立叶分解得到一系列平面波态,而自由场的哈密顿变成所有平面波哈密顿的和。对每个平面波态求解得到其能量和动量,结果表明每个态的能量和动量都是分立的,于是将这种平面波态称为“粒子”。 1

正则化参数λ

正则化参数λ或者α如何选择? 1Tikhonov (吉洪诺夫)正则化 投影方程Ax=b (1) 在多种正则化方法中,Tikhonov 正则化方法最为著名,该正则化方法所求解为线性方程组众多解中使残差范数和解的范数的加权组合为最小的解: (2) 式中22. 表示向量的 2 范数平方;λ 称为正则参数,主要用于控制残差范数22 Ax b 与解的范数22Lx 之间的相对大小; L 为正则算子,与系统矩阵的具体形式有关。 Tikhonov 正则化所求解的质量与正则参数λ 密切相关,因此λ 的选择至关重要。确定正则参数的方法主要有两种:广义交叉验证法和 L-曲线法。 (1)广义交叉验证法(GCV ,generalized cross-validation ) 广义交叉验证法由 Golub 等提出,基本原理是当式Ax=b 的测量值 b 中的任意一项i b 被移除时,所选择的正则参数应能预测到移除项所导致的变化。经一系列复杂推导后,最终选取正则参数λ 的方法是使以下 GCV 函数取得最小值。 (3) 式中T A 表示系统矩阵的转置; trace 表示矩阵的迹,即矩阵中主对角元素的和。 (2)L-曲线法(L-curve Method ) L-曲线法是在对数坐标图上绘制各种可能的正则参数所求得解的残差范数和解的范数,如图1所示,所形成的曲线一般是 L 形。 图1 L 曲线示意图 L 曲线以做图的方式显示了正则参数变化时残差范数与解的范数随之变化的情况。从图

中知道当正则参数λ 取值偏大时,对应较小的解范数和较大的残差范数;而当λ 取值偏小时,对应较大的解范数和较小的残差范数。在 L 曲线的拐角(曲率最大)处,解的范数与残差范数得到很好的平衡,此时的正则参数即为最优正则参数。 另外一种方法 Morozov 相容性原理 是一种应用非常广泛的选取策略,它是通过求解非线性的Morozov 偏差方程来得到正则化参数。 投影方程 Kx=y 考虑有误差的右端观测数据 y Y δ∈ 满足y y δδ-≤,Tikhonov 正则化方法是通过极小化Tikhonov 泛函。 来得到正则化解,其中,α为正则化参数。当0α>时,泛函()J x α 在空间X 上存在唯一的极小元,x αδ,且该极小元恰为方程 的唯一解,其中,*K :Y X → 为算子K 的伴随算子。 Morozov 相容性原理选取正则化参数()ααδ=是通过保证正则化解,x αδ满足方程 来实现的。

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