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吉林省吉林市实验中学2014-2015学年高二上学期模块检测数学试卷(文科)

吉林省吉林市实验中学2014-2015学年高二上学期模块检测数学试卷(文科)

一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(5分)准线为x=2的抛物线的标准方程是()

A.y2=﹣4x B.y2=﹣8x C.y2=4x D.y2=8x

2.(5分)曲线与曲线(k<9)的()

A.焦距相等B.长、短轴相等C.离心率相等D.准线相同

3.(5分)下列说法错误的是()

A.命题“若a>﹣3,则a>﹣6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为2个

B.对于命题p:?x∈R,使得x2+x+1<0;则?p:?x∈R,均有x2+x+1≥0

C.命题“若m>0,则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题为“若方程x2+x﹣m=0无实根,则m≤0”

D.命题“若xy=0,则x、y中至少有一个为零”的否定是“若xy≠0,则x、y都不为零”

4.(5分)甲:动点P到两定点A,B的距离之和为|PA|+|PB|=2a(a>0且a为常数);乙:点P的轨迹是椭圆,且A,B是椭圆的两个焦点,甲是乙的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.(5分)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,它的长轴长等于圆C:x2+y2﹣2x﹣15=0的半径,则椭圆的标准方程是()

吉林省吉林市实验中学2014-2015学年高二上学期模块检测数学试卷(文科)

A.+=1 B.+=1

吉林省吉林市实验中学2014-2015学年高二上学期模块检测数学试卷(文科)

C.+y2=1 D.+=1

6.(5分)下列椭圆的形状哪一个更圆()

吉林省吉林市实验中学2014-2015学年高二上学期模块检测数学试卷(文科)

A.9x2+y2=36 B.+=1

C.x2+9y2=36 D.+=1

7.(5分)已知椭圆和双曲线有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是()

吉林省吉林市实验中学2014-2015学年高二上学期模块检测数学试卷(文科)

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A.x=±B.y=C.x=D.y=

8.(5分)已知曲线左、右焦点分别为F1、F2,若双曲线的左支上有一点M到

右焦点F2的距离为18,N是MF2的中点,O为坐标原点,则|NO|等于()

A.3B.1C.2D.4

9.(5分)方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1(|m|>|n|>0)的曲线在同一坐标系中的示意图应是()

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A.B.C. D.

10.(5分)过双曲线﹣=1的左焦点F作直线l交双曲线于A、B两点,若|AB|=5,则

这样的直线共有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

11.(5分)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1、F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|=4:3:2,则曲线C的离心率等于()

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A.或B.或2 C.或2 D.或

12.(5分)已知P为椭圆+=1(a>b>0)上的任意一点,F1,F2为其焦点,则以PF1

为直径的圆与圆x2+y2=a2的位置关系为()

A.相交B.内切C.内含D.不确定

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.

13.(5分)抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是.

14.(5分)人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,卫星近地点、远地点离地面的距离分别是r1,r2,则卫星轨道的离心率=.

15.(5分)已知p:m>2;q:1<m<3,若p或q为真,p且q为假,则m的取值范围是.16.(5分)定义m*n=﹣km﹣2,则方程x*x=0有唯一解时,实数k的取值范围是.

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三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(10分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为,过F1的直线l交C于A、B两点,且△ABF2的周长是16,求椭圆C的方程.

18.(12分)已知△ABC的三个顶点都在椭圆+=1上,点A的坐标为(0,4),若△ABC 的重心是椭圆的右焦点,求直线BC的方程.

19.(12分)已知动圆与⊙C1:(x+3)2+y2=9外切,且与⊙C2:(x﹣3)2+y2=1内切,求动圆圆心M的轨迹方程.

20.(12分)已知直线y=x﹣1和椭圆+=1交于A、B两点,如果以AB为直径的圆经过椭圆的左焦点,求m的值.

21.(12分)设双曲线的两个焦点分别为F1、F2,离心率为2.

(Ⅰ)求此双曲线的渐近线l1、l2的方程;

(Ⅱ)若A、B分别为l1、l2上的点,且2|AB|=5|F1F2|,求线段AB的中点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

22.(12分)点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右顶点,点F是椭圆的右焦点.点P

在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.

(1)求P点的坐标;

(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M 的距离d的最小值.

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参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(5分)准线为x=2的抛物线的标准方程是()

A.y2=﹣4x B.y2=﹣8x C.y2=4x D.y2=8x

考点:抛物线的简单性质.

专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:根据准线方程求得p,则抛物线方程可得.

解答:解:∵准线方程为x=2

∴﹣=2

p=﹣4

∴抛物线方程为y2=﹣8x

故选B

点评:本题主要考查了抛物线的标准方程.属基础题.

2.(5分)曲线与曲线(k<9)的()

A.焦距相等B.长、短轴相等C.离心率相等D.准线相同

考点:圆锥曲线的共同特征.

专题:计算题;分类讨论.

分析:先利用椭圆的性质可分别求得两个曲线的长,短轴的长、焦距、离心率和准线方程,进而比较可推断出答案.

解答:解:对于曲线,a=5.b=3,c==4,离心率e=,准线方程为x=,曲线,c==4,a=,b=,e=,准线

方程为x=

∴当k≠0时,两个曲线的焦距相等.长、短轴、离心率和准线方程均不相同,

当k=0时两个曲线的方程相同,则焦距、长、短轴、离心率和准线方程均相同,

∴综合可知,两个曲线的焦距一定相等

故选A

点评:本题主要考查了圆锥曲线的共同特征,椭圆的简单性质.考查了学生对椭圆基础知识的掌握.

3.(5分)下列说法错误的是()

A.命题“若a>﹣3,则a>﹣6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为2个

B.对于命题p:?x∈R,使得x2+x+1<0;则?p:?x∈R,均有x2+x+1≥0

C.命题“若m>0,则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题为“若方程x2+x﹣m=0无实根,则m≤0”

D.命题“若xy=0,则x、y中至少有一个为零”的否定是“若xy≠0,则x、y都不为零”

考点:命题的真假判断与应用.

专题:简易逻辑.

分析:分别根据四种命题以及命题的否定的定义分别进行判断即可得到结论.

解答:解:A.若a>﹣3,则a>﹣6命题正确,则逆否命题正确,逆命题为若a>﹣6,在a>﹣3为假命题,则否命题为假命题,故真命题的个数为2个,故A正确.

B.根据特称命题的否定可得命题的否定为:?x∈R,均有x2+x+1≥0,故B正确.

C.命题“若m>0,则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题为“若方程x2+x﹣m=0无实根,则m≤0”,故C正确.

D.命题“若xy=0,则x、y中至少有一个为零”的否定是“若xy=0,则x、y都不为零”,故D 错误.

故选:D

点评:本题主要考查命题的真假判断,根据四种命题之间的关系是解决本题的关键.

4.(5分)甲:动点P到两定点A,B的距离之和为|PA|+|PB|=2a(a>0且a为常数);乙:点P的轨迹是椭圆,且A,B是椭圆的两个焦点,甲是乙的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.

专题:圆锥曲线的定义、性质与方程;简易逻辑.

分析:根据椭圆的定义可得:乙?甲,反之不成立,例如取点P为线段AB上的点.即可判断出.

解答:解:根据椭圆的定义可得:乙?甲,反之不成立,例如取点P为线段AB上的点.因此甲是乙的必要不充分条件.

故选:B.

点评:本题考查了椭圆的定义、简易逻辑的判定,考查了推理能力,属于基础题.5.(5分)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,它的长轴长等于圆C:x2+y2﹣2x﹣15=0的半径,则椭圆的标准方程是()

吉林省吉林市实验中学2014-2015学年高二上学期模块检测数学试卷(文科)

A.+=1 B.+=1

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C.+y2=1 D.+=1

考点:圆的标准方程;椭圆的简单性质.

专题:计算题.

分析:利用配方化简x2+y2﹣2x﹣15=0得到圆的半径为4,所以椭圆的长轴为4,根据离心率求出c,根据勾股定理求出b得到椭圆的解析式即可.

解答:解:∵x2+y2﹣2x﹣15=0,

∴(x﹣1)2+y2=16,

∴r=4=2a,

∴a=2,

∵e=,∴c=1,∴b2=3.

故选A

点评:考查学生会根据条件求圆标准方程,以及灵活运用椭圆简单性质解决数学问题的能力.

6.(5分)下列椭圆的形状哪一个更圆()

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A.9x2+y2=36 B.+=1

C.x2+9y2=36 D.+=1

考点:椭圆的简单性质.

专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:根据椭圆的几何性质,找哪个椭圆更接近圆,只要找哪个椭圆的离心率更接近于0,所以根据椭圆的方程求离心率,看哪个更小即可.

解答:解:根据椭圆的几何性质,要找哪个椭圆更圆,只要看哪个椭圆的椭圆的离心率e 更接近0;

A.,e=

B.,e=

C.,e=

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D.=1,e=

∴B中的椭圆的离心率更接近0,∴B中椭圆更接近圆.

故选B.

点评:考查椭圆的标准方程,椭圆的离心率以及离心率的大小和它接近圆的关系.7.(5分)已知椭圆和双曲线有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是()

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A.x=±B.y=C.x=D.y=

考点:双曲线的标准方程;椭圆的标准方程.

专题:计算题.

分析:先根据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c,令二者相等即可求得m和n的关系,进而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程.

解答:解:∵椭圆和双曲线有公共焦点

∴3m2﹣5n2=2m2+3n2,整理得m2=8n2,

∴=2

双曲线的渐近线方程为y=±=±x

故选D

点评:本题主要考查了双曲线的标准方程,圆锥曲线的综合.考查了学生综合运用双曲线的基础的能力.

8.(5分)已知曲线左、右焦点分别为F1、F2,若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18,N是MF2的中点,O为坐标原点,则|NO|等于()

A.3B.1C.2D.4

考点:双曲线的简单性质.

专题:计算题.

分析:利用ON是△MF1F2的中位线,ON=MF1,再由双曲线的定义求出MF1,进而得到ON的值.

解答:解:∵曲线左、右焦点分别为F1、F2,

左支上有一点M到右焦点F2的距离为18,N是MF2的中点,

连接MF1,ON是△MF1F2的中位线,∴ON∥MF1,ON=MF1,

∵由双曲线的定义知,MF2﹣MF1=2×5,∴MF1=8.

ON=4,

故答案选D.

点评:本题考查双曲线的定义和性质.

9.(5分)方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1(|m|>|n|>0)的曲线在同一坐标系中的示意图应是()

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A.B.C. D.

考点:曲线与方程.

专题:作图题;分类讨论.

分析:当m和n同号时,抛物线开口向左,方程mx2+ny2=1(|m|>|n|>0)表示焦点在y 轴上的椭圆,

当m和n异号时,抛物线y2=﹣开口向右,方程mx2+ny2=1(|m|>|n|>0)表示双曲线.

解答:解:方程mx+ny2=0 即y2=﹣,表示抛物线,方程mx2+ny2=1(|m|>|n|>0)表

示椭圆或双曲线.

当m和n同号时,抛物线开口向左,方程mx2+ny2=1(|m|>|n|>0)表示焦点在y轴上的椭圆,无符合条件的选项.

当m和n异号时,抛物线y2=﹣开口向右,方程mx2+ny2=1(|m|>|n|>0)表示双曲

线,

故选A.

点评:本题考查根据曲线的方程判断曲线的形状,体现了分类头论的数学思想,分类讨论是解题的关键.

10.(5分)过双曲线﹣=1的左焦点F作直线l交双曲线于A、B两点,若|AB|=5,则

这样的直线共有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

考点:双曲线的简单性质.

专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:先看当A、B都在左支上时,若AB垂直x轴,根据双曲线方程求得焦点的坐标,把焦点横坐标代入双曲线方程求得交点的纵坐标,进而求得AB的长等于5,则即为垂直于x轴的一条;再看若A、B分别在两支先看A,B为两顶点时,不符合题意进而可推断出符合题意的直线有两条,最后综合可得答案.

解答:解:①若A、B都在左支,

若AB垂直x轴,a2=4,b2=5,c2=9,所以F(﹣3,0)

则AB:x=﹣3,

代入双曲线﹣=1求得y=±,所以AB=|y1﹣y2|=5,

所以|AB|=5的有一条,即垂直于x轴;

②若A、B分别在两支

a=2,所以顶点距离为2+2=4<5,所以|AB|=5有两条,关于x轴对称.

所以一共3条

故选C.

点评:本题主要考查了双曲线的对称性和直线与双曲线的关系.考查了学生分析推理和分类讨论思想的运用.

11.(5分)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1、F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|=4:3:2,则曲线C的离心率等于()

吉林省吉林市实验中学2014-2015学年高二上学期模块检测数学试卷(文科)

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A.或B.或2 C.或2 D.或

考点:双曲线的简单性质;椭圆的简单性质.

专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:根据|PF1|:|F1F2|:|PF2|=4:3:2,不妨设|PF1|=4m,|F1F2|=3m,|PF2|=2m,再进行分类讨论,确定曲线的类型,从而求出曲线r的离心率.

解答:解:根据|PF1|:|F1F2|:|PF2|=4:3:2,不妨设|PF1|=4m,|F1F2|=3m,|PF2|=2m,

∴|PF1|+|PF2|=6m>|F1F2|=3m,此时曲线为椭圆,且曲线r的离心率等于=;

|PF1|﹣|PF2|=2m<|F1F2|=3m,此时曲线为双曲线,且曲线r的离心率等于=,

故选:D.

点评:本题主要考查了圆锥曲线的共同特征.关键是利用圆锥曲线的定义来解决.12.(5分)已知P为椭圆+=1(a>b>0)上的任意一点,F1,F2为其焦点,则以PF1

为直径的圆与圆x2+y2=a2的位置关系为()

A.相交B.内切C.内含D.不确定

考点:椭圆的简单性质.

专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,两圆的圆心距|OM|=(2a﹣|PF1|),即可判断两圆

的位置关系是什么.

解答:解:∵椭圆的另一焦点为F2,设PF1中点为M,连接PF2,

则OM是△PF1F2的中位线,

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∴两圆的圆心距|OM|=|PF2|,

根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,

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∴圆心距|OM|=(2a﹣|PF1|);

即两圆的圆心距等于半径差,

∴以PF1为直径的圆与以长半轴为直径的圆x2+y2=a2内切.

故选:B.

点评:本题考查了椭圆定义的应用问题,也考查了判断圆与圆的位置关系的问题,是基础题.

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.

13.(5分)抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是.

考点:抛物线的定义.

专题:计算题.

分析:根据点M到焦点的距离为1利用抛物线的定义可推断出M到准线距离也为1.利用抛物线的方程求得准线方程,进而可求得M的纵坐标.

解答:解:根据抛物线的定义可知M到焦点的距离为1,则其到准线距离也为1.

又∵抛物线的准线为y=﹣,

∴M点的纵坐标为1﹣=.

故答案为:.

点评:本题主要考查了抛物线的简单性质.抛物线中涉及点到焦点,准线的距离问题时,一般是利用抛物线的定义来解决.

14.(5分)人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,卫星近地点、远地点离地面的距离分别是r1,r2,则卫星轨道的离心率=.

考点:椭圆的简单性质.

专题:计算题;作图题.

分析:由题意画出图形,结合椭圆的定义,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定椭圆的离心率.

解答:解:椭圆的离心率:e=∈(0,1),(c,半焦距;a,长半轴)

所以只要求出椭圆的c和a,

由题意,结合图形可知,

a=,

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c=OF1==,

所以e===.

故答案为:.

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点评:本题是基础题,考查椭圆的离心率的求法,注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键,考查学生的作图视图能力.

15.(5分)已知p:m>2;q:1<m<3,若p或q为真,p且q为假,则m的取值范围是(1,2]∪∪∪∪.

考点:根的存在性及根的个数判断.

专题:计算题;作图题;函数的性质及应用.

分析:根据新定义,将方程x*x=0转化为方程﹣kx﹣2=0,分离成=kx+2,利用方程两边的函数图象有唯一公共点,可以解出k的取值范围.

解答:解:由题意,x*x=﹣kx﹣2=0,

即=kx+2,

作出函数y=和y=kx+2的图象如下:

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直线恒过点(0,2),当直线的斜率为±1时,直线与双曲线的渐近线平行,两个图象有唯一公共点,

当直线的斜率为±2时,直线过双曲线的顶点,刚好也是一个公共点,符合题意,

观察图象的变化,得直线的斜率的范围是k∈∪;

故答案为:∪.

点评:本题着重考查了零点存在性以及函数与方程的知识点,属于基础题.读懂新定义,将方程转化为无理方程再用数形结合的方法,结合函数的图象解决是本题的关键.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(10分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为,过F1的直线l交C于A、B两点,且△ABF2的周长是16,求椭圆C的方程.

考点:椭圆的标准方程;椭圆的简单性质.

专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:画出图形,结合图形以及椭圆的定义与性质,求出a、b的值,即可写出椭圆的方程.

解答:解:如图所示,

设椭圆的长轴是2a,短轴是2b,焦距是2c;

则离心率e==,

∴4a=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16;

∴a=4,

∴c=×4=2,

∴b2=a2﹣c2=42﹣=8;

∴椭圆的方程是.

点评:本题考查了椭圆的定义与简单的几何性质的应用问题,解题时应结合图形进行解答问题,是基础题.

18.(12分)已知△ABC的三个顶点都在椭圆+=1上,点A的坐标为(0,4),若△ABC 的重心是椭圆的右焦点,求直线BC的方程.

考点:椭圆的简单性质.

专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:设出点B、C的坐标,由重心坐标公式求出弦BC中点坐标;

再由B、C是椭圆上的点,代入椭圆方程,作差求出BC的斜率,即可写出BC的直线方程.解答:解:设B(x1,y1),C(x2,y2),

又∵椭圆的右焦点为F2(2,0),

由重心坐标公式得,

∴,

即弦BC的中点为(3,﹣2);

又∵,

∴16(x1+x2)(x1﹣x2)+20(y1+y2)(y1﹣y2)=0,

即16×2×3(x1﹣x2)+20×2×(﹣2)(y1﹣y2)=0,

∴==,

即;

∴直线BC的方程为y﹣(﹣2)=(x﹣3),

即6x﹣5y﹣28=0.

点评:本题考查了直线与椭圆的应用问题,也考查了三角形的重心坐标公式以及中点的坐标公式的应用问题,是中档题.

19.(12分)已知动圆与⊙C1:(x+3)2+y2=9外切,且与⊙C2:(x﹣3)2+y2=1内切,求动圆圆心M的轨迹方程.

考点:轨迹方程.

专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:设动圆圆心M(x,y),半径为r,则|MC1|=r+3,|MC2|=r﹣1,可得|MC1|﹣|MC2|=r+3﹣r+1=4<|C1C2|=6,利用双曲线的定义,即可求动圆圆心M的轨迹方程.

解答:解:设动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r,则|MC1|=r+3,|MC2|=r﹣1,

∴|MC1|﹣|MC2|=r+3﹣r+1=4<|C1C2|=6,

由双曲线的定义知,点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支,且2a=4,a=2,

双曲线的方程为:=1(x≥2).

点评:本题考查圆与圆的位置关系,考查双曲线的定义,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

20.(12分)已知直线y=x﹣1和椭圆+=1交于A、B两点,如果以AB为直径的圆经过椭圆的左焦点,求m的值.

考点:椭圆的简单性质.

专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:由题意可求出c,联立方程再用韦达定理简化运算,由题意可知,从

而求出m.

解答:解:由题意,a2=m,b2=m﹣1,c2=1,

联立直线方程和椭圆方程可得

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消y化简可得,

(2m﹣1)x2﹣2mx+2m﹣m2=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

由韦达定理可得,x1+x2=,x1x2=;

∵,

∴(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,

又∵y1y2=(x1﹣1)(x2﹣1)=x1x2﹣(x1+x2)+1,

∴x1x2+1=0,

即+1=0,

解得,

又∵m﹣1>0,

∴m=2+.

点评:本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系,化简比较有技巧,属于中档题.21.(12分)设双曲线的两个焦点分别为F1、F2,离心率为2.

(Ⅰ)求此双曲线的渐近线l1、l2的方程;

(Ⅱ)若A、B分别为l1、l2上的点,且2|AB|=5|F1F2|,求线段AB的中点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

考点:双曲线的简单性质;直线与圆锥曲线的关系.

专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:(Ⅰ)利用离心率为2,结合c2=a2+3,可求a,c的值,从而可求双曲线方程,即可求得渐近线方程;

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x,y),利用2|AB|=5|F1F2|,建立方程,根据A、B分别为l1、l2上的点,化简可得轨迹方程及对应的曲线.

解答:解:(Ⅰ)∵e=2,∴c2=4a2

∵c2=a2+3,∴a=1,c=2

∴双曲线方程为,渐近线方程为

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x,y)

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∵2|AB|=5|F1F2|,∴|AB|=|F1F2|=×2c=10,∴=10 ∵,,2x=x1+x2,2y=y1+y2

∴,

∴,对应的曲线为椭圆.

点评:本题考查轨迹方程的求解,考查双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,属于中档题.

22.(12分)点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右顶点,点F是椭圆的右焦点.点P

在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.

(1)求P点的坐标;

(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M 的距离d的最小值.

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考点:椭圆的简单性质;点到直线的距离公式;椭圆的应用.

专题:计算题.

分析:(1)先求出PA、F的坐标,设出P的坐标,求出、的坐标,由题意可得

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,且y>0,

解方程组求得点P的坐标.

(2)求出直线AP的方程,设点M的坐标,由M到直线AP的距离等于|MB|,求出点M 的坐标,再求出椭圆上的点到点M的距离d的平方得解析式,配方求得最小值.

解答:解:(1)由已知可得点A(﹣6,0),F(4,0),设点P(x,y),则=(x+6,y),

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=(x﹣4,y).

由已知可得,2x2+9x﹣18=0,解得x=,或x=﹣6.

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由于y>0,只能x=,于是y=.∴点P的坐标是(,).

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(2)直线AP的方程是,即x﹣y+6=0.

设点M(m,0),则M到直线AP的距离是.

于是=|6﹣m|,又﹣6≤m≤6,解得m=2,故点M(2,0).

设椭圆上的点(x,y)到点M的距离为d,有d2=(x﹣2)2+y2 =x2﹣4x+4+20﹣x2 =(x ﹣)2+15,

∴当x=时,d取得最小值.

点评:本题考查椭圆的简单性质和点到直线的距离公式,两个向量垂直的性质,求出点M 的坐标,是解题的难点.