必修三 统计与概率人教A

统计

第一讲统计与统计案例

§1.1 简单随机抽样

1.定义：设一个总体含有N个个体，从中__________________抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都________，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

2．最常用的简单随机抽样的方法：________和__________．

(1)[教材习题改编]2017年1月6日～8日某重点中学在毕业班进行了一次模拟考试，为了了解全年级1 000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，下面说法：①1 000名学生是总体；②每名学生是个体；③1 000名学生的成绩是一个个体；④样本的容量是100.其中正确的序号是__________．

(2)[教材习题改编]在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是()

A．总体

B．个体

C．样本的容量

D．从总体中抽取的一个样本

频数问题：频数＝样本容量×频率．

[2017·湖北武汉武昌区模拟]已知某地区中小学生人数和近视情况如下表所示.

为了解该地区中小学生近视形成的原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，

则(1)样本容量为__________；

(2)抽取的高中生中，近视的人数为________．

【典题1】(1)老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是()

A．随机抽样B．分层抽样

C．系统抽样D．以上都不是

(2)下面的抽样方法是简单随机抽样的是()

A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖

B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格

C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见

D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验

§1.2 系统抽样

系统抽样

(1)定义：在抽样时，将总体分成________的几个部分，然后按照________的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样(也称为机械抽样)．

(2)适用范围：适用于________很多且________总体抽样．

(1)[教材习题改编]为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应为() A．13 B．19 C．20 D．51

(2)[教材习题改编]为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用系统抽样的方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是__________．(填序号)

①5,10,15,20,25 ②2,4,8,16,32 ③1,2,3,4,5 ④7,17,27,37,47

[典题2] (1)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )

A ．50

B ．40

C ．25

D ．20

(2)[2017·豫晋冀高三第二次调研]某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

§1.3 分层抽样

分层抽样

(1)定义：在抽样时，将总体______________的层，然后按照__________，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．

(2)分层抽样的应用范围：当总体是由__________几个部分组成时，往往选用分层抽样．

(1)[教材习题改编]一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是2

7

，则应抽取男运动员________人．

(2)[教材习题改编]某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．

分层抽样：差异明显；按比例抽样．

某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为k ∶5∶3，现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本，已知A 种型号的产品共抽取了24件，则C 种型号产品抽取的件数为__________．

[典题3] (1)[2017·云南统一复习检测]某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度，有1位对户外运动持“不喜欢”态度，3位持“一般 ”态度．那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的人数为( )

A ．36

B ．30

C ．24

D ．18

).

兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．

第二讲样本估计总体

§2.1 频率分布直方图

频率分布直方图

(1)作频率分布直方图的步骤

①求极差(即一组数据中________与________的差)；

②决定________与________；

③将数据________；

④列_______________；

⑤画________________．

(2)频率分布折线图和总体密度曲线

①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的________，就得到频率分布折线图．

②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时____________增加，________减小，相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．

(1)[教材习题改编]如图是容量为150的样本的频率分布直方图，则样本数据落在[6,10)内的频数为__________．

(2)[教材习题改编]有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；[23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5)，3.根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)内的概率约是__________．

频率分布直方图：中位数与众数的区别；平均值

某次月考后，从所有考生中随机抽取50名考生的数学成绩进行统计，得到频率分布直方图如图所示，则该次考试数学成绩的中位数的估计值是__________．

[典题1](1)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．

①直方图中的a＝________；

②在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．

§2.2 茎叶图

1.统计中还有一种被用来表示数据的图叫茎叶图，茎是指中间一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．

当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便．

2．茎叶图的优点

茎叶图的优点是可以________原始数据，而且可以________记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．

[教材习题改编]对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图

所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是__________．

茎叶图：分不清茎、叶数字代表的意义．

[2017·河南郑州质量检测

]已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m

，n

的比值m

n

＝__________.

§2.3 样本数据的特征

(1)众数、中位数、平均数

(2)标准差、方差

①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，s ＝1

n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. ②方差：标准差的平方．

s 2＝1

n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x i (i ＝1,2,3，…，n )是________，n 是

________，x 是___________．

(3)平均数、方差公式的推广

若数据x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，则数据mx1＋a，mx2＋a，…，mx n＋a的平均数为m x＋a，方差为m2s2.

[考情聚焦]样本的数字特征是每年高考的热点，且常与频率分布直方图、茎叶图等知识相结合考查．

主要有以下几个命题角度：

角度一

与频率分布直方图交汇命题

[典题3]某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260，280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．

(1)求直方图中x的值；

(2)求月平均用电量的众数和中位数；

(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？

角度二

与优化决策问题交汇命题

[典题5] (1)甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方

A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁

第三讲 变量间的相关关系、统计案例

§3.1 变量间的相互关系

(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是________；与函数关系不同，________是一种非确定性关系．

(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为________，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为________．

对回归系数的理解：解释变量；预报变量．

某工厂工人月工资y (元)依劳动产值x (万元)变化的回归直线方程为y ^

＝600＋900x ，下列判断正确的是__________．

①劳动产值为10 000元时，工资为500元； ②劳动产值提高10 000元时，工资提高1 500元； ③劳动产值提高10 000元时，工资提高900元； ④劳动产值为10 000元时，工资为900元．

[典题1] (1)下列四个散点图中，变量x 与y 之间具有负的线性相关关系的是( )

A B C D

§3.2 线性回归分析

1.回归分析

(1)对具有________的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析．其基本步骤是：①画散点图；②求_________________；③用回归直线方程作预报．

2．回归直线

如果散点图中点的分布从整体上看大致在____________附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

3．回归直线方程的求法——最小二乘法

设具有线性相关关系的两个变量x ，y 的一组观察值为(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，则回归直

线方程y ^＝b ^x ＋a ^

的系数为：?????

b ^＝∑i ＝1

n (x i

－x )(y i

－y )

∑i ＝1

n (x i

－x )

2

＝ ，

a ^＝y －

b ^

x ，

其中x ＝

1n ∑i ＝1n x i ，y ＝1n ∑i ＝1n

y

i ，(x ，y )称为样本点的____________．

[教材习题改编]已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为_______________．

变量的相关关系：散点图；回归直线过(x ，y )．

某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)有如下几组样本数据.

0.7，那么当产量x ＝10吨时，估计相应的生产能耗为__________吨标准煤．

[点石成金] 1.求线性回归方程的步骤

2.对变量值的预测

若已知回归直线方程(方程中无参数)，则(1)可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值；(2)b ^值是自变量每增加一个单位，因变量的变化值，因此可以求出自变量变化情况下对应的因变量的变化值．若回归直线方程中有参数，则根据回归直线一定过点(x ，y )求出参数值，得到回归直线方程，进而完成预测.

[2017·甘肃联合诊断]对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^

＝1

3x ＋a ，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数

a 的值是( )

A.116

B.18

C.14

D.12