E26.关于凸四边形最小个数的问题
《四边形之间的关系》教案
第5单元平行四边形和梯形 第6课时四边形之间的关系 【教学内容】：教材第66页例4 【教学目标】: 巩固平行四边形和梯形的概念及特征，探讨学过的几种四边形之间的 【重点难点】: 【教学过程】: 1. 2. 3.长方形和正方形可以看成是特殊的平行四边形吗？这些图形之间 （板书课题 1.出示例4 2. 师：同学们，每一个图形都有自己的特点，请你仔细观察一下，这几
教师演示：一个平行四边形框，手拿它的两个对角拉动它，边拉边问是什么图形，继续拉到四个角变为直角的位置。问学生：现在是什么 师：有同学说是长方形，有同学说是平行四边形，那我们一起来看：平行四边形两组对边分别互相平行，现在这个图形的两组对边分别互 师：它符合平行四边形的特点，它就是平行四边形，只不过它比起刚 师：这种特殊的平行四边形叫做长方形，现在你知道长方形和平行四 师：同学们通过观察、思考，理解了正方形、长方形、平行四边形、梯形之间的关系，我们能不能用一种形式清楚地表示出来呢？请大家 学生用各种形式表示：语言叙述、画图表示 师：大家一起来看（点击课件），我们就可以把四边形看成是一个大 家庭，但其中不仅仅包括这四种图形，还有任意四边形。教师用集合图的形式表示这些图形之间的相互关系，你有什么问题吗？用语言叙
3.巩固练习： 教材“练习十一”第8 1.教材“练习十一”第9 学生动手摆一摆，小组内互相说一说，重叠的部分是什么图形？有没有不同的意见？ 2.教材“练习十一”第10 先说说各是什么图形，再量出各图形中每个角的度数，并填表，你发 学生动手测量，小组内合作完成，检查交流测量结果，再议一议：发 四边形四个角的度数和是360 3.教材“练习十一”第14* 图中有哪些我们学过的图形？每种图形有几个？看谁最细心，数得又
凸多边形最优三角剖分
凸多边形最优三角剖分 一、问题描述 多边形是平面上一条分段线性的闭曲线。也就是说，多边形是由一系列首尾相接的直线段组成的。组成多边形的各直线段称为该多边形的边。多边形相接两条边的连接点称为多边形的顶点。若多边形的边之间除了连接顶点外没有别的公共点，则称该多边形为简单多边形。一个简单多边形将平面分为3个部分：被包围在多边形内的所有点构成了多边形的内部；多边形本身构成多边形的边界；而平面上其余的点构成了多边形的外部。当一个简单多边形及其内部构成一个闭凸集时，称该简单多边形为凸多边形。也就是说凸多边形边界上或内部的任意两点所连成的直线段上所有的点均在该凸多边形的内部或边界上。 通常，用多边形顶点的逆时针序列来表示一个凸多边形，即P={v0 ,v1 ,… ,v n-1}表示具有n条边v0v1， v1v2，… ,v n-1v n的一个凸多边形，其中，约定v0=v n。 若v i与v j是多边形上不相邻的两个顶点，则线段v i v j称为多边形的一条弦。弦将多边形分割成凸的两个子多边形{v i ,v i+1 ,… ,v j}和{v j ,v j+1 ,… ,v i}。多边形的三角剖分是一个将多边形分割成互不相交的三角形的弦的集合T。图1是一个凸多边形的两个不同的三角剖分。 图1 一个凸多边形的2个不同的三角剖分 在凸多边形P的一个三角剖分T中，各弦互不相交，且弦数已达到最大，即P的任一不在T中的弦必与T 中某一弦相交。在一个有n个顶点的凸多边形的三角剖分中，恰好有n-3条弦和n-2个三角形。 凸多边形最优三角剖分的问题是：给定一个凸多边形P={v0 ,v1 ,… ,v n-1}以及定义在由多边形的边和弦组成的三角形上的权函数ω。要求确定该凸多边形的一个三角剖分，使得该三角剖分对应的权即剖分中诸三角形上的权之和为最小。 可以定义三角形上各种各样的权函数ω。例如：定义ω(v i v j v k)=|v i v j|+|v i v k|+|v k v j|，其中，|v i v j|是点v i到v j 的欧氏距离。相应于此权函数的最优三角剖分即为最小弦长三角剖分。 二、算法思路
多边形与多边形内凸多边形周长大小关系的探索
多边形与多边形内凸多边形周长的大小关系探究 温州市第八中学金开指导师：贾哲三 曾经看到过有如下一道题目： 问题1：D为△ABC内的一点，求AB+AC与BD+DC的大小关系。 解：延长BD交AC于点E ∵三角形两边和大于第三边 ∴AB+AE＞BD+DE① DE+EC＞CD② ①+②得 AB+AE+DE+EC＞BD+DE+CD ∴AB+AC＞BD+CD（※） ∴AB+AC +BC＞BD+CD+BC 也就是说三角形△ABC的周长大于三角形内△BDC的周长。 从图（1）看这个结论还是比较直观的，那么随着三角形内点数的增加，多边形的边数也会随之增加。那么这个结论是否还仍然成立呢？ 问题2：D1，D2为△ABC内的两个点，连接BD1， D1D2，D2C，求AB+AC与BD1+ D1D2+D2C的大小关 系。这个题目要分类讨论，因为它的图形有两种情况， 一种是凹四边形，如下（2-1）： 在这种情况下，可以通过实验法量出BD1长3cm，D1D2长2cm，D2C长5.2cm，AB 长3.3cm，AC长4.8cm，所以BD1+D1D2+D2C=10.2cm，AB+AC=8.1cm，AB+AC＜ BD1+D1D2+D2C，所以并没有研究价值。 再来看图（2-2） 解：延长BD1，CD2交于点E，延长BE交AC与点F 由（※）得AB+AC＞BE+CE
∵E D1+E D2＞D1D2 ∴AB+AC＞BE+CE=BD1+ D1E+CD2+ED2＞BD1+CD2+ D1D2 ∴AB+AC＞BD1+ D1D2+ D2C ∴△ABC的周长大于四边形BD1D2C的周长 问题3：那更深一步，D1，D2，D3为△ABC内的三点，是多边形BD1D2D3C是凸多边形，求AB+AC与BD1+ D1D2+D2 D3 +D3 C的大小关系 ，CD2交于点E，延长BE交AC于点F， 解：延长BD 连D1D3我们发现在△ABC和△EBC之间是一个与问题1类 似的结构，所以可以直接得出AB+AC＞BE+CE，又在△ ED1D3与△D2D1D3之间也有一个与问题1相似的结构，所以 我们又可以得出ED1+ED3＞D2D1+ D2D3，所以两式综合一下， 我们便可以得出AB+AC＞BD1+ D1D2+ D2 D3+ D3C 我们发现，不论是问题2或问题3，都可以通过添辅助线的方式，回归到问题1的结构，那这到底是巧合还是必然呢? 我们再看，如果△ABC内有四个点会怎么样？ 问题4：D1D2 D3 D4为△ABC内的四点，且多边形B D1D2 D3 D4C为凸多边形，求 AB+AC与BD1+ D1D2+ D2 D3+ D3 D4+ D4C的大小关系 解：延长D1D2，D4 D3交于点E，延长BD1，CD4交于点 F，连接D1D4，仔细观察，我们也可以发现在△ABC和 △FBC之间和△FD1D4与△ED1D4之间有类似于问题1结 构，所以我们又可以很轻松地得出AB+AC＞BD1+ D1D2+ D2 D3+ D3 D4+ D4C以此类推，我们不难发现，不论三角形内有几个点，我们都可以通过添辅助线使其构成一个或多个类似于问题1的结构。因此，我们可以得出以下结论1： 结论1：D1、D2、D3……D n为△ABC内的n个点，且多边形BD1D2 D3……D n C为凸多边形时，AB+AC＞BD1+ D1D2+D2D3+……D n C 探索完三角形内存在的n点问题后，我又想能否试着把三角形转换成其它多边形，
任意凸多边形的重心求解
模型的建立与求解 一、计算凸多边形的重心 对于任意凸多边形，我们以其重心为蛛网的中枢区中心，也即蜘蛛的等待猎物点，以此点出发，先发出放射丝，再织捕丝。 1.计算任意凸多边形重心的理论基础 1. 四边形的重心作法：连接出四边形的一条对角线，这样四边形就变成两个三角形的组合体，分别作出两个三角形的重心，并连接两个重心成一条线段AB ，同样，连接出四边形的另一条对角线，四边形就变成另外两个三角形的组合体，分别作出这两个三角形的重心，并连接两个重心成一条线段CD ，则线段AB ，CD 的交点就是四边形的重心。 2.五边形的重心作法：连接出五边形的任一条对角线，将五边形分为1个三角形与一个四边形组合体，分
别作出三角形的重心，和四边形的重心，并连成线段AB；连接五边形的另外一条对角形，将五边形分为另1个三角形与四边形的组合体，分别作出三角形与四边形的重心，并连接成线段CD；则AB、CD的交点就是五边形的重心。 3、用数学归纳法，对于六边形、七边形，N边形，都可以用上述方法，先连接出一条对角线，将N边形化为一个三角形与(N-1)边形，或四边形与(N-2)边形，然后分别作出重心，并连接成线段，然后再连接另外一条对象线，分别作出两个组合体的重心并连接成线段，两条线段的交点就是N边形的重心。 2．重心计算的算法程序实现： 有了以上理论基础，我们通过C++语言编写了一个计算任意凸多边形的程序，算法思想如下，算法程序见附录一。
○1在平面上取一点(一般取原点)得到N个三角形OP[i]P[i+1](其中点的顺序为逆时针) ○2分别求出这N个三角形的重心Ci和面积Ai(注意此处面积是有向面积, 就是用叉乘求面积时保留其正负号) ○3求出A = A1+A2+...+AN(同样保留正负号的代数相加) ○4重心C = sigma(Ai+Ci)/A; 附录一：任意凸多边形重心C++算法 #include
新人教部编版小学四年级数学上册《四边形之间的关系》教案
四边形之间的关系 教学目标 1、认识平行四边形和梯形，掌握平行四边形和梯形的特征。 2、通过活动，在对各种四边形分类整理中，了解平行四边形与长方形和正方形的关系。 3、培养学生动手操作能力，发展空间观念和想像力。 教学重点 通过操作和讨论掌握平行四边形和梯形的特征。 教学难点 理解平行四边形与长方形和正方形的关系。 【教学过程】: 一、导入 师:同学们,你们喜欢做游戏吗?好,我们玩一个游戏,名字叫做猜图形。谁想来?其他同学们向他提供准确的信息,不能比图形的形状,信息里不能包括这个图形的名字。好,开始! 教师逐个板贴长方形、正方形、平行四边形和梯形,学生逐个提供信息逐个猜(在此过程中老师及时评价学生或纠正学生的错误) 师:长方形和正方形我们已经很熟悉了,大家提供的信息既准确又充分,(拿下长方形和正方形)今天这节课我们重点研究哪两种图形呢?平行四边形和梯形。(揭示课题:平行四边形和梯形) 【设计意图:立足于学生的学习起点,之前学生已经初步认识了平行四边形和梯形,通过猜图形唤醒学生的知识记忆,同时为下面的探究做好铺垫】
二、自主探究 1.出示例4。 根据学生前面的回答，出示几个不同的四边形。 2.探讨图形之间的关系。 师：同学们，每一个图形都有自己的特点，请你仔细观察一下，这几个图形之间又有什么联系呢？ 学生回答长方形、正方形和平行四边形的共同之处。 教师演示：一个平行四边形框，手拿它的两个对角拉动它，边拉边问是什么图形，继续拉到四个角变为直角的位置。问学生：现在是什么形状？ 师：有同学说是长方形，有同学说是平行四边形，那我们一起来看：平行四边形两组对边分别互相平行，现在这个图形的两组对边分别互相平行吗？ 师：它符合平行四边形的特点，它就是平行四边形，只不过它比起刚才的平行四边形特殊了一点，你知道它特殊在哪儿吗？ 学生回答出角的特点，四个角都是直角。 师：这种特殊的平行四边形叫做长方形，现在你知道长方形和平行四边形的关系吗？ 长方形是特殊的平行四边形。 （用同样的方法让学生发现正方形和长方形之间的关系） 师：同学们通过观察、思考，理解了正方形、长方形、平行四边形、梯形之间的关系，我们能不能用一种形式清楚地表示出来呢？请大家
凸多边形三角划分
一、问题描述 多边形是平面上一条分段线性的闭曲线。也就是说，多边形是由一系列首尾相接的直线段组成的。组成多边形的各直线段称为该多边形的边。多边形相接两条边的连接点称为多边形的顶点。若多边形的边之间除了连接顶点外没有别的公共点，则称该多边形为简单多边形。一个简单多边形将平面分为3个部分：被包围在多边形内的所有点构成了多边形的内部；多边形本身构成多边形的边界；而平面上其余的点构成了多边形的外部。当一个简单多边形及其内部构成一个闭凸集时，称该简单多边形为凸多边形。也就是说凸多边形边界上或内部的任意两点所连成的直线段上所有的点均在该凸多边形的内部或边界上。 通常，用多边形顶点的逆时针序列来表示一个凸多边形，即P={v0 ,v1 ,… ,v n-1}表示具有n条边v0v1，v1v2，… ,v n-1v n的一个凸多边形，其中，约定v0=v n。 若v i与v j是多边形上不相邻的两个顶点，则线段v i v j称为多边形的一条弦。弦将多边形分割成凸的两个子多边形{v i ,v i+1 ,… ,v j}和{v j ,v j+1 ,… ,v i}。多边形的三角剖分是一个将多边形分割成互不相交的三角形的弦的集合T。图1是一个凸多边形的两个不同的三角剖分。 图1 一个凸多边形的2个不同的三角剖分 在凸多边形P的一个三角剖分T中，各弦互不相交，且弦数已达到最大，即P的任一不在T中的弦必与T中某一弦相交。在一个有n个顶点的凸多边形的三角剖分中，恰好有n-3条弦和n-2个三角形。 凸多边形最优三角剖分的问题是：给定一个凸多边形P={v0 ,v1 ,… ,v n-1}以及定义在由多边形的边和弦组成的三角形上的权函数ω。要求确定该凸多边形的一个三角剖分，使得该三角剖分对应的权即剖分中诸三角形上的权之和为最小。
七巧板能拼出多少种凸多边形
七巧板能拼出多少种凸多边形 奉化市大堰初中董孟雄 一、问题的提出 问题：对正方形ABCD按如图1分划,其中E,F分别是 BC,AB的中点,M,N,G分别是OA,OC,EF的中点,沿分划线可以 剪出一副由七块部件组成的“七巧板”.设正方形OGFM的边长 为1.请用这幅七巧板既不留下一丝空隙,又不相互重叠,各拼出1 种周长最大与最小的凸多边形,画在下面,计算最大周长与最小 周长各是多少？ 参考答案：如图2,周长最大2 2 8+. 8+；如图3,周长最小2 4 图2中的多边形周长为什么是最大的？图3中的多边形周长为什么又是最小的？笔者亦是百思不得其解,只能换个角度思考：七巧板到底能拼出多少种凸多边形？ 二、问题的分析 1. 剪出的七块部件如下图4所示,出现了 1,2,2,2 2四类线段共23条,其中长度为1 的线段10条,长度为2的线段6条,长度为2 的线段5条,长度为2 2的线段2条. 2. 七块部件的内角总和1620°,其中9个 直角,12个45°角,2个135°角. 3. 不论拼成哪种多边形,其面积为常量 8. 4. 可以从凸多边形的边数分类讨论. 三、问题的解决 1. 拼成三角形 三角形的内角和等于180°,由七巧板角的特征,只有 180°=90°+45°+45°.所以拼成的三角形必为等腰直角三角 形（唯一）.因为面积为8,所以直角三角形的直角边长为4,如图5.
2. 拼成四边形. 四边形的内角和等于360°,由七巧板角的特征,有 360°= 90°×4 = 90°×2+45°×1+135°×1 =135°×2+45°×2. 2.1 360°= 90°×4 拼成的四边形为正方形或长方形. 若为正方形,则图形唯一确定,如图6. 若是长方形,因为面积是8,所以长,宽分别为4,2或2,24. 长,宽分别2,24的矩形拼不出来.理由如下：边长为2,24的矩形其周长为210,而七巧板中含2的线段总和也只有210,即所有长度含 2的线段都应成为矩形边的一部分.平行四边形的那块不可能做到.所以,长,宽分别2,24的矩形拼不出来. 长,宽分别为4,2的矩形如图7. 2.2 360°=90°×2+45°×1+135°×1 若两个直角相邻,则拼成的四边形为直角梯形. 直角梯形的高不可能为4,若高为4,则一腰长为52,不存在这类线段.直角若梯形的高为22,则上下底和为24,如图8. 若梯形的高为4,则上下底和为8,如图9. 若两个直角不相邻,则所得四边形如图10-1所示.过点A 作 AE ⊥CD 与E,过点B 作BF ⊥AE 于F,连结BD,如图10-2.设CE=n,ED=m,则AB=n 2,AD=m 2,BC=m-n,(n ＜m)因为四边形面积为8,所以 S △ABD +S △DBC =mn+ 2 1(m+n)(m-n)=8 ∴ m 2-n 2+2mn=16 ∵ n ＜m ∴ 16=m 2-n 2+2m n ＞m 2-n 2+2n 2 ＞2n 2 ∴ n 2＜8,∴n=2或n=1. 当n=2或n=1时,m 都不是整数.所以拼不出如图10-1所示的四边形. 2.3 360°=135°×2+45°×2 若两个135°角相邻,则拼成的四边形是等腰梯形,如图11所示. 若两个135°角相对,则拼成的四边形是平行四边形,如图12所示.
四边形知识点和题型归纳
对行 为一一为一四边形 两 组边平 一个 内角R t ∠一个内角为Rt ∠, 一组邻边相等组邻 边相等 组 对边平 行 且另一组对边 不平 行 一 个内角R t ∠组邻 边相等 四边形知识与题型总结 一.本章知识要求和结构 1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之 间的内在关系. （1）演变关系图： （2）从属关系 （依据演变关系图，将四边形，平行四边形，梯形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，直角梯形填入下面的从属关系图中，其中每一个圆代表 一种图形） 平行四边形
图2 F E D C B A 图1 F E D C B A 2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 名称 平行四边形 矩形 菱形 正方形 定 义 的四边形是平行四边形 的平行四边形是矩形 的平行四边形是菱形 的平行四边形是正方形 性 质 边 角 对角线 对 称性 判 定 边 角 对角线 面 积 周 长 3. （1）平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积. 如图1， ABCD S =BC·AE=CD·BF
30? 60? 60? （2）同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等.如图2， ABCD S =BCFE S 4.三角形中位线定理 定义: 叫做三角形中位线（与中线的区分）; 定理: 作用:可以证明两条直线平行;线段的相等或倍分. 拓展:三角形共有三条中位线，并且它们将原三角形分割成四个 的小三角形，其面积和周长分别为原三角形面积和周长的 和 ; （4）直角三角形的性质 定理: 直角三角形斜边上的中线 5.正方形： （1）对角线：若正方形的边长为a ，则对角线的长为2a ; 正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离相等 （3）面积：正方形的面积等于边长的平方; 等于两条对角线的乘积的 一半. 周长相等的四边形中， 正方形的面积最大. 6. ※梯形的中位线 （1）定义:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 （2）梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半. （3）梯形的面积S=12 ×（上底+下底）×高=中位线×高 7.几种特殊四边形的对角线 ① 矩形对角线交角为60?(120?)时,可得： 等边三角形和含30?角直角三角形 （① 图） ② 菱形有一个角为60?时, 可得： ③ 正方形中可得： 含30?角的四个全等直角三角形 四大四小等腰直角三角形
凸多边形的所有三角剖分数
回专题模式 回学习阶段模式 【题目名称、来源】 凸多边形三角剖分数 【问题描述】 在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，可以把多边形剖分成若干个三角形。现在的任务是输入凸多边形的边数N ，求不同的剖分方案数Sn 。例如 当n ＝7时，下面两个图就是两种不同的剖分方案。 输入： n 输出： 总剖分数 【所属专题】 递推，递归 【适合学习阶段】 第二阶段 【解题思路】 问题分析： 首先，根据凸多边形的特征可知，凸n 边形可以有n －3条互不相交的对角线，将多边形划分为n －2个三角形。 其次，假设Sn 表示凸n 边形的所有三角剖分数，可以看出从V0～V1这条边可以和其他n －2个点任意一个组成一个三角形，假设和k 点组成三角形V0～V1～Vk ，那么这个三角形将多边形分成了三个部分：多边形V1～V2…～Vk ，三角形V0～V1～Vk ，多边形Vk ～Vk ＋1…～V0。第一个多边形有k 个顶点，划分数为Sk ；第二个多边形有n －k ＋1个顶点，划分数为Sn －k ＋1。根据乘法原理确定V0～V1～Vk 这个三角形后，凸多边形的划分数为Sk ×Sn －k ＋1。又因为k 可以从2～n －1，所以根据加法原理， 凸多边形最优三角剖分 在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，可以把多边形剖分成若干个三角形。现在的任务是输入凸多边形的边数N ，和n 个点的平面坐标(x,y)，求一种剖分方案，使所有对角线长度之和最小。例如 当n ＝7时，下面两个图就是两种不同的剖分方案。 ∑-====+-=1 22 )4(1)3(1)2(),1(*)()(n k S S S k n S K S n S 其中
四边形知识题型总结
为 四边形两 组 对 边 平 行 一个 内角 R t∠ 一个内角为Rt∠, 一组邻边相等 一组邻 边相等 一组 对边 平行 且另 一组 对边 不平 行一个 内角 为R t∠ 一组邻 边相等 四边形知识与题型总结 一.本章知识要求和结构 1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的内在关系. （1）演变关系图： （2）从属关系 （依据演变关系图，将四边形，平行四边形，梯形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，直角梯形填入下面的从属关系图中，其中每一个圆代表一种图形）
2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和 常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 名称平行四边形矩形菱形正方形定 义的四边形是平行四 边形的平行四边形是矩 形 的平行四边形是 菱形 的平行四边形是 正方形 性质边 角对角线 判定边 角对角线 面积周长
图2 F E D C B A 图1 F E D C B A 3. （1）平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积. 如图1， ABCD S =BC· AE=CD·BF （2）同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等.如图2， ABCD S = BCFE S 4.三角形中位线定理 定义: 叫做三角形中位线（与中线的区分）; 定理: 作用:可以证明两条直线平行;线段的相等或倍分. 拓展:三角形共有三条中位线，并且它们将原三角形分割成四个 的 小三角形，其面积和周长分别为原三角形面积和周长的 和 ; （4）直角三角形的性质 定理: 直角三角形斜边上的中线
60? 60? A D C B F E 30? 60? 60? 5.正方形： （1）对角线：若正方形的边长为a，则对角线的长为2a; 正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离相等（3）面积：正方形的面积等于边长的平方; 等于两条对角线的乘积的一半. 周长相等的四边形中，正方形的面积最大. 6. ※梯形的中位线 （1）定义:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 （2）梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半. （3）梯形的面积S= 1 2 ×（上底+下底）×高=中位线×高 7.几种特殊四边形的对角线 ①矩形对角线交角为60?(120?)时,可得： 等边三角形和含30?角直角三角形（①图）②菱形有一个角为60?时, 可得：③正方形中可得： 含30?角的四个全等直角三角形四大四小等腰直角三角形 （②图）（③图） ④对角线互相垂直的梯形, ⑤对角线互相垂直的等腰梯形平移腰可得：双垂图可得：等腰直角三角形 （④图）（⑤图）
求解多边形最小外接圆
求解多边形外接圆 C语言实现 作者：乐思文 2011-5-17 班级：地信10901班
目录 1、问题概述 (2) 2、问题分析 (2) 3、流程划分及存储结构的选择 (3) 4、代码实现 (5) 5、测试样例及结果 (6)
1、问题概述 求解多边形外接圆，通常我们认为三边以上的图形称之为多边形。在数学中，我们有这样的说法：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。按照不同的标准，多边形可以分为正多边形和非正多边形、凸多边形及凹多边形等。 组成多边形的线段至少有3条，三角形是最简单的多边形。组成多边形的每一条线段叫做多边形的边;相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点；多边形相邻两边所成的角叫做多边形的内角；连接多边形的两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线。 多边形还可以分为正多边形和非正多边形。正多边形各边相等且各内角相等。 多边形也可以分为凸多边形及凹多边形，凸多边形又可称为平面多边形，凹多边形又称空间多边形。 当然，并不是所有的多边形都具有外接圆。要用程序解决这个问题，必须搞清楚怎样的多边形才有外接圆。 2、问题分析 n边形的内角和等于180°×（n-2）。 可逆用： n边形的边=（内角和÷180°）+2 ·过n边形一个顶点有（n-3）条对角线 ·n边形共有n×(n-3)÷２个对角线n边形过一 个顶点引出所有对角线后，把多边形分成n-2个三 角形 推论： 1.任意凸形多边形的外角和都等于360°。 2.多边形对角线的计算公式： n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3） 3.在平面内，各边相等，各内角也都相等的多边形叫做正多边形。两个条件必须同时满足 反例：矩形（各内角相等，各边不一定相等）；菱形（各边相等，各内角不一定
《四边形之间的关系》教学设计(精选3篇)
《四边形之间的关系》教学设计（精选3篇） 《四边形之间的关系》教学设计 作为一名默默奉献的教育工作者，时常要开展教学设计的准备工作，教学设计把教学各要素看成一个系统，分析教学问题和需求，确立解决的程序纲要，使教学效果最优化。你知道什么样的教学设计才能切实有效地帮助到我们吗？下面是收集整理的《四边形之间的关系》教学设计，仅供参考，希望能够帮助到大家。 《四边形之间的关系》教学设计1 一、教学内容：第34－36页四边形。 二、教学目标： 1．直观感知四边形，能区分和辨认四边形，知道四边形的特征。进一步认识长方形和正方形，知道它们的角都是直角。 2．通过画一画、找一找、拼一拼等活动，培养学生的观察比较和概括抽象的能力，发展空间想象能力。 3．通过情境图和生活中的事物进入课堂，感受生活中的四边形无处不在，进一步激发学生的学习兴趣。 三、教学重点：认识四边形的共同特点，分辨不同四边形的的不同之处。 四、教具、学具：例2的四边形组图每生一份、钉子板、投影仪、三角尺、剪刀、小棒等。 五、设计理念：在实际情景中丰富学生对四边形的认识，关注学
生的学习过程，培养学生动手能力以及合作与交流的能力，发展空间观念和创新意识；激发学生对数学学习的兴趣。 六、教学过程： 、出示主题图： 1、师：这是哪儿？在这幅图中你能发现哪些图形？ 2．师：大家真能干！在我们的校园中，同学们发现了这么多的图形，看来啊，图形在我们生活中无处不在。这节课我们来认识其中的一个图形──四边形，你们愿意和它成为好朋友吗？ 、初步感知，发现特征 1．师：同学们，你想像中的四边形应该是什么样的？ 2、师：四边形到底是什么样的图形呢？今天我们进一步来研究。看，数学王国里有这么多的图形。把你认为是四边形的涂上相同的颜色，同桌互相检查。请学生上台展示。 3．师：观察，我们找出的“四边形”有什么共同的特征吗？师根据学生的汇报，结合图形得出：像这样有四条直直的边围成，有四个角的图形就是四边形，教师板书。 师：看着这么多的四边形，现在你能说说到底什么样的图形是四边形？ 4．生活中我们见过许多四边形，现在又知道了四边形的特点，你能不能说一说生活中哪些物体表面的形状是四边形的。 、动手操作，互动交流
《四边形之间的关系》教学设计
【教学内容】：教材第66页例4。 【教学目标】: 巩固平行四边形和梯形的概念及特征，探讨学过的几种四边形之间的关系，并会用集合图表示。 【重点难点】: 理解和掌握平行四边形、长方形、正方形之间的关系。 【教学过程】: 一、创设情境 1.我们认识了哪些四边形？ 2.这些图形各有什么特点？ 指名回答后，继续提问。 3.长方形和正方形可以看成是特殊的平行四边形吗？这些图形之间有什么样的关系呢？这就是我们要探讨的问题。 （板书课题：四边形之间的关系） 二、自主探究 1.出示例4。
根据学生前面的回答，出示几个不同的四边形。 2.探讨图形之间的关系。 师：同学们，每一个图形都有自己的特点，请你仔细观察一下，这几个图形之间又有什么联系呢？ 学生回答长方形、正方形和平行四边形的共同之处。 教师演示：一个平行四边形框，手拿它的两个对角拉动它，边拉边问是什么图形，继续拉到四个角变为直角的位置。问学生：现在是什么形状？ 师：有同学说是长方形，有同学说是平行四边形，那我们一起来看：平行四边形两组对边分别互相平行，现在这个图形的两组对边分别互相平行吗？ 师：它符合平行四边形的特点，它就是平行四边形，只不过它比起刚才的平行四边形特殊了一点，你知道它特殊在哪儿吗？ 学生回答出角的'特点，四个角都是直角。 师：这种特殊的平行四边形叫做长方形，现在你知道长方形和平行四边形的关系吗？ 长方形是特殊的平行四边形。 （用同样的方法让学生发现正方形和长方形之间的┕叵担┆
师：同学们通过观察、思考，理解了正方形、长方形、平行四边形、梯形之间的关系，我们能不能用一种形式清楚地表示出来呢？请大家想一想。 学生用各种形式表示：语言叙述、画图表示…… 师：大家一起来看（点击课件），我们就可以把四边形看成是一个大家庭，但其中不仅仅包括这四种图形，还有任意四边形。教师用集合图的形式表示这些图形之间的相互关系，你有什么问题吗？用语言叙述他们之间的关系。 课件出示： 3.巩固练习： 教材“练习十一”第8题。 判断，并说明理由。学生独立练习，指名回答，集体订正。 三、实践应用 1.教材“练习十一”第9题。 学生动手摆一摆，小组内互相说一说，重叠的部分是什么图形？有没有不同的意见？ 多摆几次，验证一下。 2.教材“练习十一”第10题。
四边形知识点总结
四边形知识点： 一、 关系结构图： 二、知识点讲解： 1．平行四边形的性质（重点）： ABCD 是平行四边形?????? ????. 54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等； （）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行； （ 2.平行四边形的判定（难点）： A B D O C
C D A B A B C D O . 3. 矩形的性质： 因为ABCD 是矩形??? ? ??.3; 2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ (4)是轴对称图形，它有两条对称轴． 4矩形的判定： 矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形； (2)有三个角是直角的四边形； (3)对角线相等的平行四边形； (4)对角线相等且互相平分的四边形． ?四边形ABCD 是矩形. 5. 菱形的性质： 因为ABCD 是菱形??? ? ??.321 角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等； （有通性；）具有平行四边形的所（ 6. 菱形的判定： ?? ? ?? +边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321?四边形四边形ABCD 是菱形. 7.正方形的性质： ABCD 是正方形??? ? ??.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角； ）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（ 8. 正方形的判定： ?? ? ?? ++++一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321?四边形ABCD 是正方形. A B D O C A D B C A D B C O C D B A O C D B A O
人教版-数学-四年级上册-《四边形之间的关系》参考教案
第5单元平行四边形和梯形 四边形之间的关系 【教学内容】：教材第66页例4。 【教学目标】: 巩固平行四边形和梯形的概念及特征，探讨学过的几种四边形之间的关系，并会用集合图表示。 【重点难点】: 理解和掌握平行四边形、长方形、正方形之间的关系。 【教学过程】: 一、创设情境 1.我们认识了哪些四边形？ 2.这些图形各有什么特点？ 指名回答后，继续提问。 3.长方形和正方形可以看成是特殊的平行四边形吗？这些图形之间有什么样的关系呢？这就是我们要探讨的问题。 （板书课题：四边形之间的关系） 二、自主探究 1.出示例4。 根据学生前面的回答，出示几个不同的四边形。 2.探讨图形之间的关系。 师：同学们，每一个图形都有自己的特点，请你仔细观察一下，这几个图形之间又有什么联系呢？
学生回答长方形、正方形和平行四边形的共同之处。 教师演示：一个平行四边形框，手拿它的两个对角拉动它，边拉边问是什么图形，继续拉到四个角变为直角的位置。问学生：现在是什么形状？ 师：有同学说是长方形，有同学说是平行四边形，那我们一起来看：平行四边形两组对边分别互相平行，现在这个图形的两组对边分别互相平行吗？ 师：它符合平行四边形的特点，它就是平行四边形，只不过它比起刚才的平行四边形特殊了一点，你知道它特殊在哪儿吗？ 学生回答出角的特点，四个角都是直角。 师：这种特殊的平行四边形叫做长方形，现在你知道长方形和平行四边形的关系吗？ 长方形是特殊的平行四边形。 （用同样的方法让学生发现正方形和长方形之间的关系） 师：同学们通过观察、思考，理解了正方形、长方形、平行四边形、梯形之间的关系，我们能不能用一种形式清楚地表示出来呢？请大家想一想。 学生用各种形式表示：语言叙述、画图表示…… 师：大家一起来看（点击课件），我们就可以把四边形看成是一个大家庭，但其中不仅仅包括这四种图形，还有任意四边形。教师用集合图的形式表示这些图形之间的相互关系，你有什么问题吗？用语言叙述他们之间的关系。
四边形知识点和题型归纳
四边形知识与题型总结 一.本章知识要求和结构 1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的内在关系. （1）演变关系图： （2）从属关系 平行四边形 （依据演变关系图，将四边形，平行四边形，梯形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，直角梯形填入下面的从属关系图中，其中每一个圆代表一种图形） 2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性
性质 边 角 对 角 线 对 称 性 判 定 边 角 对 角 线 面 积 周 长 3. （1）平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积.如图1， =BC·AE=CD·BF
（2）同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等.如图2， = 4.三角形中位线定理 定义: 叫做三角形中位线（与中线的 区分）; 定理: 作用:可以证明两条直线平行;线段的相等或倍分. 拓展:三角形共有三条中位线，并且它们将原三角形分割成四个 的小三角形，其面积和周长分别为原三角形面积和周长的 和 ; （4）直角三角形的性质 定理: 直角三角形斜边上的中线 5.正方形： （1）对角线：若正方形的边长为a，则对角线的长为; 正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离 相等 （3）面积：正方形的面积等于边长的平方; 等于两条对角线的乘积的 一半. 周长相等的四边形中， 正方形的面积最大. 6. ※梯形的中位线 （1）定义:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 （2）梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的 一半. （3）梯形的面积S=×（上底+下底）×高=中位线×高 7.几种特殊四边形的对角线 ① 矩形对角线交角为60(120)时,可得： 等边三角形和含30角直角三角形 （① 图） ② 菱形有一个角为60时, 可得： ③ 正方形中可得： 含30角的四个全等直角三角形 四大四小等腰直角三角 形 60
平行四边形思维导图
平行四边形与多边形主题单元教学设计主题单元标题平行四边形与多边形 作者姓名所属单位 联系地址联系电话 电子邮箱邮政编码 学科领域（在□内打2表示主属学科，打+表示相关学科） □思想品德 □音乐 □化学 □信息技术 □劳动与技术 口其他（请列出）：□语文 □美术口生物□科学 数学 □外语 □历史 口社区服务 □体育 □物理 □地理 □社会实践 适用年级七年级 所需时间共计8课时 主题单元学习概述 “平行四边形与多边形”主题单元结构包括“平行四边形的性质与判定”、“特殊平行 四边形的性质与判定及多边形的内角和与外角和”、“简单应用”三部分，这样安排的目的 主要是，学生对平行四边形比较熟悉，而身边的平行四边形也很多，这样容易让学生很快探索出平行四边形的性质与判定，利于下面的学习。然后利用多媒体和模型，逐渐把一个平行四边形进行变形，逐渐变成菱形、矩形、正方形，这样就能让学生知道后面这些特殊图形仍然是在平行四边形的基础上演变而来的，只是产生一定的小变化，只要找到变化之处，就是新的知识，从而，将这些内容紧密联系，层层递进，易于激发学生的学习兴趣也有利于帮助学生理解知识之间的联系，展示数学知识的整体性，对于多边形的内角和与外
角和的学习安排，主要是学生已经有了三角形和四边形的学习基础，由此设计了这节内容, 让学生去探索，方便后面课题的学习。专题三的简单应用学以致用的一个环节，平面图形的密铺会用到三角形及多边形的内角和，而且学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力。 主题单元规划思维导图（说明：将主题单元规划的思维导图导岀为jpeg文件后，粘贴在这里） 平行四边形和多边形 主题单元学习目标 知识技能： 1、掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的概念，了解他们之间的关系; 2、掌握平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定; a. 科■?_ X Jhi mi ■石! ■4*1 r-W> ] ni J?i - l-lMfr ■ m冷亠1 W? A 1 HJft-ditB T ntiut