全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲
全国初中数学竟赛辅导讲义修订(1)
数的整除（一）
内容提要：
如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.
能被7整除的数的特征：
①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）
能被11整除的数的特征：
①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除
如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）
例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。求x,y
解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3
例2己知五位数x 1234能被12整除， 求X 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，
当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位X 4能被4整除时，X ＝0，4，8 ∴X ＝8
例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，
但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行
调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 练习
１．分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）
①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296
987能被3整除，那么a=_______________
2．若四位数a
12X能被11整除，那么X＝__________-
3．若五位数34
35m能被25整除
4．当m=_________时，5
9610能被7整除
5．当n=__________时，n
6．能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________
7．能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 8．8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________
9．从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，
能被3整除但不是5的倍数的共______个。
10．由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？
1234能被15整除，试求A的值。
11．己知五位数A
12．求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。
13．在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿（1989年全国初中联赛题）
初中数学竞赛辅导资料（2）
倍数约数
内容提要
1．两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。
例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。
2．因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。
如0是7的倍数，7是0的约数。
3．整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，
例如5的倍数有±5，±10，……。
4．整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。
例如6的约数是±1，±2，±3，±6。
5．通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6．公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。
7．在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数
若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B 整除
例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除。
例题
例1 写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以
应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32。
其规律是：设A＝a b(a，b是质数,m，n是正整数)
那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1)
例如求360的正约数的个数
解：分解质因数：360＝23×32×5，360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）
例2 用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数
解：∵24＝23×3，90＝2×32×5
∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6 最小公倍数是23×32×5＝360，记作
[24,90]=360
例3 己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N
解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数
∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6 经检验1和2不合题意，∴N＝6，3 例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数
分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。
解：∵[10,9,8]=360,∴所以所求的数是359
练习2
1．12的正约数有_________,16的所有约数是_________________
2．分解质因数300＝_________,300的正约数的个数是_________
3．用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。
4．一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________
5．能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________
6．己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________
7．写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。答____
8．一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？
9．一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？
初中数学竞赛辅导资料（3）
质数 合数
内容提要
1．正整数的一种分类：1??
???
质数合数
质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。
合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。
2． 根椐质数定义可知
1) 质数只有1和本身两个正约数， 2) 质数中只有一个偶数2
如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2， 如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，3任何合数都可以分解为几个质数的积。
能写成几个质数的积的正整数就是合数。 例题
例1两个质数的和等于奇数a (a ≥5)。求这两个数
解：∵两个质数的和等于奇数，∴必有一个是2．所求的两个质数是2和a －2。 例2己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数 解：∵质数m 只含两个正约数1和m, 又∵（－1）（－m ）=m ，∴所求的两个整数是1和m 或者－1和－m.
例3己知三个质数a,b,c 它们的积等于30，求适合条件的a,b,c 的值 解：分解质因数：30＝2×3×5
适合条件的值共有： ???
??===53
2c b a ???
??===352c b a ?????===523c b a ?????===253c b a ?????===325c b a ??
?
??===235c b a 应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a,b,c,d 它们的积等于210,即
abcd=2×3×5×7那么适合条件的a ，b ，c ，d 值共有24组，试把它写出来。 例4试写出4个連续正整数，使它们个个都是合数。 解：（本题答案不是唯一的）
设N 是不大于5的所有质数的积，即N ＝2×3×5，
那么N ＋2，N ＋3，N ＋4，N ＋5就是适合条件的四个合数． 即32，33，34，35就是所求的一组数。
本题可推广到n 个。
令N 等于不大于n+1的所有质数的积，那么N ＋2，N ＋3，N ＋4，……N ＋(n+1)就是所求的合数。
练习3
1．小于100的质数共___个，它们是__________________________________
2．己知质数P 与奇数Q 的和是11，则P ＝＿＿，Q ＝＿＿ 3．己知两个素数的差是41，那么它们分别是＿＿＿＿＿ 4． 如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是＿＿＿ 如果两个整数的积等于73，那么它们是＿＿＿＿ 如果两个质数的积等于15，则它们是＿＿＿＿＿
5．两个质数x 和y ，己知 xy=91,那么x=______,y=______,或x=______,y=______.
6．三个质数a,b,c 它们的积等于1990. 那么 ??
?
??===c b a
7． 能整除311＋513的最小质数是＿＿
8．己知两个质数A 和B 适合等式A ＋B ＝99，AB ＝M 。求M 及
B A ＋A
B
的值 9．试写出6个連续正整数，使它们个个都是合数。
10．具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？
11．求适合下列三个条件的最小整数：1)大于1 2)没有小于10的质因数 3)不是质数 12．某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，那么这个质数是＿＿＿
13，一个质数加上10或减去14都仍是质数，这个质数是＿＿。
初中数学竞赛辅导资料（4）
零的特性
内容提要
一零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数，是整数，是偶数。
1．零是表示具有相反意义的量的基准数。
例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高；收支衡可记作结存0元。
2．零是判定正、负数的界限。
若a ＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则a＞0
记作a＞0 ?a是正数读作a＞0等价于a是正数
b<0 ? b 是负数
c≥0 ?c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）
d≤0 ?d是非正数(即d不是正数，而是负数或0)
e≠0 ?e不是0（即e不是0，而是负数或正数）
3．在一切非负数中有一个最小值是0。
例如绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。
记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0；a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。3．在一切非正数中有一个最大值是0。
例如－|X|≤0，当X＝0时，－|X|值最大，是0，（∵X≠0时都是负数），
－（X－2）2≤0，当X＝2时，－（X－2）2的值最大，是0。
二零具有独特的运算性质
1．乘方：零的正整数次幂都是零。
2．除法：零除以任何不等于零的数都得零；零不能作除数。从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。
3．乘法：零乘以任何数都得零。即a×0＝0，反过来如果ab=0,那么a、b中至少有一个是0。
要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。
4．加法互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。即a、b互为相反数?a+b=0 5．减法两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定，
若a-b=0,则a=b; 若a-b＞0,则a＞b;若a-b＜0,则a＜b。
反过来也成立，当a=b时，a-b=0；当a>b时,a-b>0；当a 三在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。 例如近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米； 后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。 可用不等式表示其值范围如下： 1.55≤近似数1.6<1.65 1.595≤近似数1.60<1605 例题 例1 两个数相除，什么情况下商是1？是－1？ 答：两个数相等且不是0时，相除商是1；两数互为相反数且不是0时，相除商是－1。 例2 绝对值小于3的数有几个？它们的和是多少？为什么？ 答：绝对值小于3的数有无数多个，它们的和是0。因为绝对值小于3的数包括大于－3并且小于3的所有数，它们都以互为相反数成对出现，而互为相反数的两个数相加得零。 例3 要使下列等式成立X 、Y 应取什么值？为什么？ ①X （Y －1）＝0， ② ｜X －3｜＋（Y ＋2）2＝0 答：①根据任何数乘以0都得0，可知当X ＝0时，Y 可取任何数； 当Y ＝1时，X 取任何数等式X （Y －1）＝0都是能成立。 ②∵互为相反数相加得零，而｜X －3｜≥0，（Y ＋2）2≥0， ∴它们都必须是0，即X －3＝0且Y ＋2＝0，故当X ＝3且Y ＝－2时，等式｜X ｜ ＋（Y ＋2）2 ＝0成立。 练习4 1． 有理数a 和b 的大小如数轴所示: b 0 a 比较下列左边各数与0的大小（用＞、＜、＝号連接） 2a 0, －3b 0, a 1 0, －b 2 0， －a 2 0, －b 3 0, a+b 0, a －b 0, ab 0, (－2b)3 0, b a 0, b a - 0 2．a 表示有理数，下列四个式子，正确个数是几个？答：＿＿个。 ｜a|>a, a 2> －a 2, a>－a, a+1>a 3．x 表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？答：________句。 1）（x －2）2有最小值0，2）－｜x+3|有最大值0， 3）2－x 2有最大值2， 4）3＋｜x －1｜有最小3。 4．绝对值小于5的有理数有几个？它们的积等于多少？为什么？ 6． 要使下列等式成立，字母X 、Y 应取什么值？①X ＝0， ②X （X －3）＝0， ③｜X －1｜＋（Y ＋3）2＝0 7． 下列说法正确吗？为什么？ 1）a 的倒数是a 1； 2）方程（a －1）X ＝3的解是X ＝ 1 3 a 3）n 表示一切自然数，2n －1表示所有的正奇数；4）如果a>b, 那么m 2a>m 2b (a 、b 、m 都是有理数 ) 8． X 取什么值时，下列代数式的值是正数？ ① X （X －1） ② X （X ＋1）（X ＋2） 初中数学竞赛辅导资料（5） a n 的个位数 内容提要 1．整数a 的正整数次幂a n ,它的个位数字与a 的末位数的n 次幂的个位数字相同。 例如20023与23的个位数字都是8。 2．0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如57的个位数是5，620的个位数是6。 3． 其规律是：2的正整数次幂的个位数是按2、4、8、6四个数字循环出现， 即24k+1与21，24K ＋2与22，24K ＋3与23，24K ＋ 4与24的个位数是相同的（K 是正整数）。 3和7也有类似的性质。 4．4，8，9的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用4＝22，8 ＝23，9＝32转化为以2、3为底的幂。 5．综上所述，整数a 的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：a 4K ＋ m 与a m 的个位数相同(k,m 都是正整数。 例题 例1 20032003的个位数是多少？ 解：20032003与32003的个位数是相同的， ∵2003＝4×500＋3，∴32003与33的个位数是相同的，都是7，∴2003的个位数是7。 例2 试说明632000＋1472002的和能被10整除的理由 解：∵2000＝4×500，2002＝4×500＋2 ∴632000与34的个位数相同都是1，1472002与72的个位数相同都是9， ∴632000＋1472002的和个位数是0，∴632000＋1472002的和能被10整除。 例3 K 取什么正整数值时，3k ＋2k 是5的倍数？ 从表中可知，当K ＝1，3时，3＋2的个位数是5， ∵a m 与a 4n+m 的个位数相同（m,n 都是正整数，a 是整数）， ∴当K 为任何奇数时，3k ＋2k 是5的倍数。 练习5 1． 在括号里填写各幂的个位数（K 是正整数） 220的个位数是（）45的个位数是（）330的个位数是（）87的个位数是（）74K+1的个位数是（） 311＋79的个位数是（）216×314的个位数是（）32k-1＋72k-1的个位数是（）72k－32k的个位数是（）74k-1－64k-3的个位数是（）7710×3315×2220×5525的个位数是（） 2．目前知道的最大素数是2216091－1，它的个位数是＿＿＿。 3．说明如下两个数都能被10整除的理由。①5353－3333②19871989－19931991 4．正整数m取什么值时，3m＋1是10的倍数？ 5．设n是正整数，试说明2 n＋7n+2能被5整除的理由。 6．若a4的个位数是5，那么整数a的个位数是＿＿＿ 若a4的个位数是1，那么整数a的个位数是＿＿＿ 若a4的个位数是6，那么整数a的个位数是＿＿＿ 若a2k-1的个位数是7，那么整数a的个位数是＿＿＿ 7．12+22+32+……+92的个位数是＿＿，12+22+32+……+192的个位数是＿＿，12+22+32+……+292的个位数是＿＿。 8. a,b,c是三个连续正整数，a2=14884,c2=15376,那么b2是（） （A）15116 （B）15129 （C）15144 （D）15321 初中数学竞赛辅导资料（6） 数学符号 内容提要 数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义，即当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义。 数学符号一般可分为： 1．元素符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用⊙和△表示园和三角形等。 2．关系符号：如等号，不等号，相似∽，全等≌，平行∥，垂直⊥等。 3．运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。 4．逻辑符号：略 5．约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数a 和b 中，如果a 除以b 的商的整数部份记作Z （ b a ），而它的余数记作R （b a ）， 那么Z （310）＝3，R （3 10）＝1；又如设[]x 表示不大于x 的最大整数，那么[]2.5＝5，[]2.5-＝－6，?? ? ???32＝0，[]3-＝－3。 正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义） 对题设中临时约定的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由具体到抽象，逐步加深理解。 在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆。 例题 例1 设[]Z 表示不大于Z 的最大整数，＜n>为正整数n 除以3的余数 计算： ①〔4.07〕＋〔－732 〕－〈13;〉＋〈2004〉 ②〈〔14.7〕〉＋〔2 34><〕。 解：①原式＝4＋（－3）－1＋0＝0 ②原式＝＜14＞＋〔2 1 〕＝2＋0＝2 例2 ①求19871988的个位数 ②说明19871989－19931991能被10整除的理由 解：设N （x ）表示整数x 的个位数， ① N （19871988）＝N （74× 497）＝N （74）＝1 ② ∵N （19871989）－N （19931991）＝N （74×497＋1）－N （34×497＋ 3）＝N （71）－N （33）＝7－7＝0 ∴19871989－19931991能被10整除 由于引入辅助符号，解答问题显得简要明瞭。 例3 定义一种符号★的运算规则为：a ★b=2a+b 试计算：①5★3 ②（1★7）★4 解：①5★3＝2×5＋3＝13 ②（2×1＋7）★4＝9★4＝2×9＋4＝22 例4 设a ※b=a(ab+7), 求等式3※x=2※(-8)中的x 解：由题设可知：等式3※x=2※(-8)就是3（3x ＋7）＝2〔2×（－8）＋7〕 ∴9x+21=－18 ∴x=－4 3 1 练习6 1．设Q ＜x >表示有理数x 的整数部分，那么Q ＜2.15＞＝______ Q ＜－12.3>=_______ Q<－0.03＞＝_______ Q ＜51＞＝________ 2．设｛n ｝表示不小于n 的最小整数，那么｛4.3｝＝___｛－2.3｝＝___ ｛－2｝＝___ ｛－0.3｝＋｛0.3｝＝___ 3．设〔m 〕表示不大于m 的最大整数 ① 若m=2 则〔m 〕=_____ ② 若n= －3.5则〔n 〕=_____ ③ 若－1＜Y ＜0则〔Y 〕＝_____ ④ 若7≤b<8 则〔b 〕＝_____ ⑤ 若〔x 〕=4 则＿＿≤x ＜＿＿ ⑥ 若 n ≤C 4．正整数a 和b 中，设a 除以b 的商的整数部分记作Z （b a ）余数记作R （b a ），a b 的个位数记作n （a b ）,写出下列各数的结果：① R(733)＋R(52)＝_____ ② Z(733)＋Z(52)＝_____ ③n(19891990)=_____ 5．设n ！表示自然数由1到n 的连乘积。例如5！＝1×2×3×4×5＝120。 计算：①120÷3! ② )! 35(!3! 5- 6．设= 2 2 11b a b a = a 1b 2－a 2b 1 计算：① 2 1 4 3＝ ② 1 1- 1-＝ 7．定义一种符号＃的运算法则为a ＃b= b a b a ++22 那么 ①3＃2＝______ ②2＃3＝______ ③（1＃2）＃3＝______ ④（－3）＃（1＃0）＝______ 8．a,b 都是正整数，设a ⊕b 表示从a 起b 个連续正整数的和。 例如2⊕3＝2＋3＋4；5⊕4＝5＋6＋7＋8。 己知：X ⊕5＝2005，求X 9． 设［x ］表示不大于x 数的最大整数且{}x ＝x －［x ］，求{ }{}ππ－＋ 10． 设［a ］表示不大于数a 的最大整数，例如［2］＝1，［－2］＝－2 那么，［3x+1］＝2x- 2 1 的所有的根的和是＿＿（1987年全国初中联赛题） 初中数学竞赛辅导资料（7） 用字母表示数 内容提要和例题 1． 用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来，从具体的数字 计算到用抽象的字母概括运算规律上，是一种飞跃。 2． 用字母表示数时，字母所取的值，应使代数式有意义，并使它所表示的实际问题有意义。 例如①写出数a 的倒数 ②用字母表示一切偶数 解：①当a ≠0时， a 的倒数是 a 1 ②设n 为整数， 2n 可表示所有偶数。 3． 命题中的字母，一般要注明取值范围，在没有说明的情况下，它表示所学过的数，并且能使题设有意义。 例1 化简：⑴｜x －3｜（x<3） ⑵| x+5| 解：⑴∵x<3,∴x －3<0， ∴｜x －3｜＝－（x －3）＝－x ＋3 ⑵当x ≥－5时，｜x ＋5｜＝x ＋5，当x <－5时，｜x ＋5｜＝－x －5（本题x 表 示所有学过的数） 例2己知十位上的数是a,个位数是b ,试写出这个两位数 解：这个两位数是10a+b (本题字母a 、b 的取值是默认题设有意义,即a 表示1到9的整数，b 表示0到9的整数) 4． 用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式时，一般左边作为题设，所用的字母是使左边代数式有意义的，所以只对变形到右边所增加的字母的取值加以说明。 例如用字母表示：①分数的基本性质 ②分数除法法则 解：①分数的基本性质是am bm a b = (m ≠0)，m a m b a b ÷÷= (m ≠0) a 作为左边的分母不另说明a ≠0， ② d c a b c d a b ?=÷(d ≠0) d 在左边是分子到了右边变分母，故另加说明。 5． 用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式，不仅可从左到右顺用，还可从右到左逆用；公式可以变形，变形时字母取值范围有变化时应加说明。例如： 乘法分配律，顺用a(b+c)=ab+ac, =?-)178********(8121724172- =17 12 逆用5a+5b=5(a+b), 6.25×3.14－5.25×3.14=3.14(6.25－5.25)=3.14 路程S=速度V ×时间T ， V= T S (T ≠0)， T=V S (V ≠0) 6． 用因果关系表示的性质、法则，一般不能逆用。 例如：加法的符号法则 如果a>0，b>0， 那么 a+b>0，不可逆 绝对值性质 如果a>0,那么|a|=a 也不可逆(若|a|=a 则a ≥0) 7． 有规律的计算，常可用字母表示其结果，或概括成公式。 例题 例1：正整数中不同的五位数共有几个？不同的n 位数呢？ 解：不同的五位数可从最大 五位数99999减去最小五位数10000前的所有正整数，即99999-9999=90000. 推广到n 位正整数，则要观察其规律 一位正整数,从1到9共9个， 记作9×1 二位正整数从10到99共90个， 记作9×10 三位正整数从100到999共900个， 记作9×102 四位正整数从1000到9999共9000个， 记作9×103 (指数3=4-1) …… …… ∴n 位正整数共9×10 n-1个 例2 _____________________________________________________ A C D E B 在线段AB 上加了3个点C 、D 、E 后，图中共有几条线段？ 加n 点呢？ 解：以A 为一端的线段有： AC 、AD 、AE 、AB 共4条 以C 为一端的线段有：(除CA 外) CD 、CE 、CB 共3条 以D 为一端的线段有：(除DC 、DA 外) DE 、DB 共2条 以E 为一端的线段有：(除ED 、EC 、EA 外) EB 共1条 共有线段1+2+3+4=10 (条) 注意：3个点时，是从1加到4， 因此 如果是n 个点，则共有线段1+2+3+……+n+1= n n 211++= 2 ) 2(+n n 条 练习7 1． 右边代数式中的字母应取什么值？ ① 2 4-x ②S 正方形=a 2 ③3的倍数3n 2．用字母表示：①一切奇数 ②所有正偶数 ③一个三位数 ④n 个a 相乘的结果 ⑤负数的绝对值是它的相反数. 3．写出：⑴ 从1开始，n 个自然数的和是______________________ ⑵ 从11开始到2n+1 連续奇数的和( n>5)是__________ ⑶ m 个球队进行单循环赛所需场数是_________________ 4．已知999=103－1, 9999=104－1, 那么各位数都是9的n 位数 n 9999 5． 计算112= 1112= (n ≤10时) n 21111=____________________ 6． 写出图中所有三角形并计算其个数，如果线段上有10个点呢？ 初中数学竞赛辅导资料（8） 抽屉原则 内容提要 1． 4个苹果放进3个抽屉，有一种必然的结果：至少有一个抽屉放进的苹果不少于2个（即 等于或多于2个）；如果7个苹果放进3个抽屉，那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于3个（即的等于或多于3个），这就是抽屉原则的例子。 2． 如果用{}n m 表示不小于n m 的最小整数，例如{}37＝3，{}236= 。那么抽屉原则可 定义为： m 个元素分成n 个集合（m 、n 为正整数m>n ）,则至少有一个集合里元素不少于{n m 个。 3． 根据{}n m 的定义，己知m 、n 可求{}n m ； 己知{}n m ，则可求n m 的范围，例如己知{n m ＝3，那么2＜n m ≤3； 己知{3x ＝2，则 1＜3 x ≤2，即3＜x ≤6，x 有最小整数值4。 例题 例1某校有学生2000人，问至少有几个学生生日是同一天？ 分析：我们把2000名学生看作是苹果，一年365天（闰年366天）看作是抽屉，即把m （2000）个元素，分成n(366)个集合，至少有一个集合的元素不少于{}n m 个 解：∵ =36620005 366 17 ∴{} 3662000＝6 答：至少有6名学生的生日是同一天 例2从1到10这十个自然数中，任意取出6个数，其中至少有两个是倍数关系，试说明这 是为什么。 解：我们把1到10的奇数及它们的倍数放在同一集合里，则可分为5个集合， 它们是：｛1，2，4，8，｝，｛3，6，｝，｛5，10｝，｛7｝，｛9｝。 ∵要在5个集合里取出6个数， ∴至少有两个是在同一集合，而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系。 （本题的关键是划分集合，想一想为什么9不能放在3和6的集合里）。 例3袋子中有黄、红、黑、白四种颜色的小球各6个,请你从袋中取出一些球，要求至少有3个颜色相同，那么至少应取出几个才有保证。 分析：我们可把4种球看成4个抽屉（4个集合），至少有3个球同颜色，看成是至少有一个抽屉不少于3个（有一个集合元素不少于3个）。 解：设至少应取出x 个，用｛4x ｝表示不小于4x 的最小整数，那么｛4 x ｝＝3， ∴2＜4 x ≤3， 即8＜x ≤12， 最小整数值是9。 答：至少要取出9个球，才能确保有三个同颜色。 例4等边三角形边长为2，在这三角形内部放入5个点，至少有2个点它们的距离小于1，试说明理由。 解：取等边三角形各边中点，并連成四个小三角形（如图）它们边长等于1， ∵5个点放入4个三角形， ∴至少有2个点放在同一个三角形内， 而同一个三角形内的2个点之间的距离必小于边长1。 练习8 1． 初一年新生从全县17个乡镇招收50名，则至少有＿人来自同一个乡镇。 2． 任取30个正整数分别除以7，那么它们的余数至少有＿＿个是相同的。 3． 在2003m 中，指数m 任意取10个正整数，那么这10个幂的个位数中相同的至少于＿＿个. 4． 暗室里放有四种不同规格的祙子各30只，为确保取出的祙子至少有1双（2只同规格为1双）那么至少要取几只？若要确保10双呢？ 5． 袋子里有黑、白球各一个,红、蓝、黄球各6个.请你拿出一些球,要确保至少有4个同颜色,那么最少要取几个? 6． 任意取11个正整数，至少有两个它们的差能被10整除，这是为什么？ 7． 右图有3行9列的方格，若用红、蓝两种颜色涂上，则至少有2列的涂色方式是一样的，试说明这是为什么。 8． 任意取3个正整数，其中必有两个数它们的平均数也是正整数。试说明理由。 9． 90粒糖果分给13个小孩，每人至少分1粒，不管怎样分，总有两人分得同样多，这是为什么？ 10．11个互不相同的正整数，它们都小于20，那么一定有两个是互质数。（最大公约数是1的两个正整数叫互质数） 11．任意6个人中，或者有3个人他们之间都互相认识，或者有3个人他们之间都互不相识，两者必居其一，这是为什么？ 初中数学竞赛辅导资料(9) 一元一次方程解的讨论 甲内容提要 1， 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的 解也叫做根。 例如：方程 2x ＋6＝0， x （x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解 分别是： x=－3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数，无解。 2， 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x= a b ； 当a=0且b ≠0时，无解； 当a=0且b ＝0时，有无数多解。（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立） 3, 求方程ax=b(a ≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a ｜b 时，方程有整数解； 当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解； 当a 、b 同号时，方程的解是正数。 综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b 乙例题 例1 a 取什么值时，方程a(a －2)x=4(a －2) ①有唯一的解？②无解？ ③有无数多解？④是正数解？ 解：①当a ≠0且a ≠2 时，方程有唯一的解，x= a 4 ②当a=0时，原方程就是0x= －8，无解； ③当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解 ④由①可知当a ≠0且a ≠2时，方程的解是x= a 4 ,∴只要a 与4同号， 即当a>0且a ≠2时，方程的解是正数。 例2 k 取什么整数值时，方程 ①k(x+1)=k －2（x －2）的解是整数？ ②（1－x ）k=6的解是负整数？ 解：①化为最简方程（k ＋2）x=4 当k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4时，方程的解是整数 ∴k=－1，－3，0，－4，2，－6时方程的解是整数。 ②化为最简方程kx=k －6， 当k ≠0时x= k k 6-=1－k 6 ， 只要k 能整除6, 即 k=±1，±2，±3，±6时，x 就是整数 当 k=1,2,3时，方程的解是负整数－5，－2，－1。 例3 己知方程a(x －2)=b(x+1)－2a 无解。问a 和b 应满足什么关系？ 解：原方程化为最简方程： (a －b)x=b ∵方程无解，∴a －b=0且b ≠0 ∴a 和b 应满足的关系是a=b ≠0。 例4 a 、b 取什么值时，方程（3x －2）a+（2x －3）b=8x －7有无数多解？ 解：原方程化为最简方程：（3a+2b －8）x=2a+3b －7， 根据 0x ＝0时，方程有无数多解，可知 当 ?? ?=-+=-+0 7320 823b a b a 时，原方程有无数多解。 解这个方程组得? ? ?==12 b a 答当a=2且b=1时，原方程有无数多解。 丙练习（9） 1, 根据方程的解的定义，写出下列方程的解： ① (x+1)=0, ②x 2=9, ③|x|=9， ④|x|=－3, ⑤3x+1=3x －1, ⑥x+2=2+x 2,关于x 的方程ax=x+2无解，那么a__________ 3,在方程a(a －3)x=a 中， 当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解； 当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。 4， k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数？ ① x= k 4 ②x=16-k ③x=k k 32+ ④x=123+-k k 5， k 取什么值时，方程x －k=6x 的解是 ①正数？ ②是非负数？ 6， m 取什么值时，方程3（m+x ）=2m －1的解 ①是零？ ②是正数？ 7， 己知方程 2 2 1463+= +-a x 的根是正数，那么a 、b 应满足什么关系？ 8， m 取什么整数值时，方程m m x 3 2 1)13(-=-的解是整数? 9， 己知方程ax x b 2 3 1)1(2=++有无数多解，求a 、b 的值。 初中数学竞赛辅导资料（10） 二元一次方程的整数解 甲内容提要 1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中， 若a,b 的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c 有整数解 显然a,b 互质时一定有整数解。 例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。 2， 二元一次方程整数解的求法： 若方程ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。k 叫做参变数。 方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解 解：x= 5111y -=y y y y 2515101--=-- (1) , 设k k y (5 1=-是整数） ，则y=1-5k (2) , 把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2 ∴原方程所有的整数解是???-=-=k y k x 512 11（k 是整数） 方法二，公式法： 设ax+by=c 有整数解???==00y y x x 则通解是? ??-=+=ak y y bk x x 00（x 0,y 0可用观察法） 3， 求二元一次方程的正整数解： ① 出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值 ② 用观察法直接写出。 例1求方程5x －9y=18整数解的能通解 解x= 53235310155918y y y y y -+ +=-++=+ 设k y =-5 3（k 为整数） ，y=3－5k, 代入得x=9－9k ∴原方程整数解是? ??-=-=k y k x 5399 （k 为整数） 又解：当x=o 时，y=－2， ∴方程有一个整数解? ? ?-==20 y x 它的通解是???--=-=k y y x 5290（k 为整数） 从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。 例2，求方程5x+6y=100的正整数解 解：x=5 2056100y y y --=-(1)， 设 k y =5 (k 为整数)，则y=5k,(2) 把（2）代入（1）得x=20-6k ， ∵?? ?>>00y x 解不等式组???>>-0 50 620k k 得0＜k< 6 20 ,k 的整数解是1，2，3， ∴正整数解是? ??==514y x ???==108y x ?? ?==152 y x 例3，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？ 解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得 3x+5y=38 （x,y 都是正整数） ∵x ＝1时，y=7，∴? ? ?==71 y x 是一个整数解 ∴通解是?? ?-=+=k y k x 3751（k 为整数） 解不等式组?? ?>->+0 37051k k 得解集是37 51<<-k ∴整数k=0，1，2 把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解?? ?==7 1 y x ???==46y x ?? ?==1 11 y x 答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。 ―――――－―――――――――――――――装――――――订――――――线――――――――――――――――――――――― 班级 姓名 学号 座位号 考场纪律：正常（ ） 不正常（ ） 初二数学培优竞赛题 1.已知△ABC,∠BAF=Rt ∠，∠D=75°，AB=AD,延长BA 作CE ⊥BA 交AB 于点E, ∠BAG=∠CAF （16分） (1)画出与△ABC 面积相等的三角形（要求与图中的任意一条边重合）（4分） (2)当∠D=80°时其余条件不变△ABC 还与你画的三角形面积相等吗？为什么？ 那么如果∠BAF=80°呢？（任选一个你画的三角形证明）（6分） (3)根据(2)(3)题你得出的结论说明在什么条件下才能使你画的三角形于与△ABC 的面积相同（6分） 2.已知直线y=x+3交x 于A ，y 于B ，直线y=-x+2,交x 于C ，y 于D,P 为AB 的中点，过点P,（4，0）两点画直线，交直线y=-x+2于Q （14分） (1)求A,B,C,D,P,Q 的坐标（3分） (2)求直线P,（4，0）的函数表达式（2分） (3)求∠BPQ 的度数（5分） (4)若直线AB 上有点K ，连结KQ ，当△PKQ 为等腰三角形时，求QK 的长以及△PKQ 的面积（4分） 3.已知函数y = -2*x + 3与函数y=ax+b 的夹角为30°（11分） （1）求a,b 的值（1分） （2）设函数y = -2*x + 3在第四象限交的第三个格点为P ，交y 于A 函数y=ax+b 交x 于B ，求ΔABP 的面积和周长（4分） （3）如果直线l 平行于直线y=ax+b ，并与x 轴交于点C,且点C 与点B 对称，求ΔCAP 的 专题10 最优化 例1. 4 提示：原式=1 12 - 62 -+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤≤1，则=22 +16+3y 2 =142 +4+3是开口向上，对称轴为7 1 -=x 的抛物线. 例3. 分三种情况讨论：①0≤a +?）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则?? ? ??=--=413 172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-， 4 13 ） 例4. （1） 121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（ x .当=4 3时，y 2 取得最大值1，a =1； 当21= x 或=1时，y 2取得最小值21，b =22.故a 2+b 2=2 3. (2) 如图，AB =8，设AC =，则BC =8- ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+x BF =AD =2. 10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x 当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ，有 22 4 ===DA EB CA BC , 从而=AC = 3831=AB .故原式取最小值时，=3 8. (3)如图， 原式= [] 22222 2 2)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（ 九年级讲义目录 专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题） （3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式. 人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程 （10）二元一次方程组解的讨论 【知识精读】 1． 二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2 12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当2 12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当 2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ??? ????--=--=12212 11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。 3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 【分类解析】 例1. 选择一组a,c 值使方程组???=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解 解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解 解比例得a=10, c=14。 ② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。 解得a=10, c ≠14。 ③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解， 即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。 例2. a 取什么值时，方程组? ??=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组 27 以形借数——借助图形思考 阅读与思考 数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面： 1．从给定的图形获取解题信息 数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能． 2．有意地画图辅助解题 图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解． 阅读与思考 【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住 其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同 形状的共有____________种。 （“五羊杯”竞赛试题） x y z则解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,, ≤≤，借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。 ++=。不妨设x y z 9 x y z 【例2】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为 ．．．．．．．．y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。根据图像进行一下探究： 信息读取 （1）甲、乙两地之间的距离为___________km。 （2）请解释图中点B的实际意义。 图像理解 （3）求慢车和快车的速度。 （4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。 问题解决 （5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。求第二列快车比第一列快车晚车发多少小时？ （江苏省南京市中考试题）解题思路：函数图像包含了两种不同层次的信息：有慢车行驶900km用了12h等可直接感知的浅层结构信息，也有在0～4小时之间以及稍后的一段时间内，快车和慢车的速度之和为定值和C点表示快车在某一时刻已到达终点等需要经过分析或运算才能获得的深层结构的信息。 奥数培训之趣味数学 生活中的数学： 1、诗仙李白豪放豁达，有斗酒诗百篇的美名，为唐代“饮中八仙”之一， 民间流传李白买酒歌谣，是一道有趣的数学问题：李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一抖，三遇店和花，喝完壶中酒。试问：酒壶中原有多少酒？ 解：设酒壶中原有酒x 斗，“三遇店和花”意思是李白三遇店，同时也三见花。 第一次见店又见花后，酒有：12-x ； 第二次见店又见花后，酒有：1-122）（ -x ； 第三次见店又见花后，喝完壶中酒，所以 依题意，得 ()[]0111222=---x 解方程，得 87= x 答：酒壶中原有酒8 7斗。 2、有甲乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍。”乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们的羊数就一样了”，求两个牧童各有多少只羊。 解：设甲有x 只羊，乙有y 只羊。依题意，得 ()? ??+=--=+11121y x y x 解方程组，得? ??==57y x 所以甲牧童有羊7只，乙牧童有5只。 3、一片牧场上的草长得一样快，已知60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完．那么，若在120天里将草吃完，则需要（ ）头牛 A 、16 B 、18 C 、20 D 、22 分析：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c ，根据60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完，列方程组，用其中一个未知数表示另一个未知数即可求解。 解：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c 。 根据题意，得 ???==???+=?+=?b c b a a c b a c b 120010606030242460解得， 则若在120天里将草吃完，则需要牛的头数是20120120=+b a c 。故选C 。 4、杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A ．一样多． B ．多了． C ．少了． D ．多少都可能． 解：设杯中原有水量为a ，依题意可得， 第二天杯中水量为a ×(1－10%)=0.9a ； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a ； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为199.01.19.01.19.0<=?=??a a 。 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C ． 5、 甲杯中盛有2m 毫升红墨水，乙杯中盛有m 毫升蓝墨水，从甲杯倒出a 毫升到乙杯里（0＜a ＜m ），搅匀后，又从乙杯倒出a 毫升到甲杯里，则这时( )。 A ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少． B ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多． C ．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同． D ．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定． 解：从甲杯倒出a 毫升红墨水到乙杯中以后： 乙杯中含红墨水的比例是a m a +， 乙杯中含蓝墨水的比例是 a m m +， 再从乙杯倒出a 毫升混合墨水到甲杯中以后： 乙杯中含有的红墨水的数量是毫升a m ma a m a a a +=+?- ① 专题 25 配方法 阅读与思考 把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧. 配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具. 配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有： 1、222 2()a ab b a b ±+=± 2、2 a b ±= 3、2222 222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 4、2 2 2 2221 [()()()]2 a b c ab bc ac a b b c a c ++---= -+-+- 配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于： (1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如2 a = 能 联想起配方法. (2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式. 例题与求解 【例1】 已知实数x ，y ，z 满足2 5,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____ (“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x ， y 的值. 【例2】 若实数a ，b ， c 满足222 9a b c ++= ，则代数式2 2 2 ()()()a b b c c a -+-+- 的 最大值是 ( ) A 、27 B 、18 C 、15 D 、12 (全国初中数学联赛试题) 解题思路：运用乘法公式 ，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式. 专题07 整式的加减 阅读与思考 整式的加减涉及许多概念，准确地把握这些概念并注意它们的区别与联系是解决有关问题的基础，概括起来就是要掌握好以下两点： 1．透彻理解“三式”和“四数”的概念 “三式”指的是单项式、多项式、整式；“四数”指的是单项式的系数、次数和多项式的系数、次数． 2．熟练掌握“两种排列”和“三个法则” “两种排列”指的是把一个多项式按某一字母的升幂或降幂排列，“三个法则”指的是去括号法则、添括号法则及合并同类项法则． 物以类聚，人以群分．我们把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次数也相同的单项式作为一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项．这样，使得整式大为简化，整式的加减实质就是合并同类项． 例题与求解 [例1]如果代数式ax5＋bx3＋cx－5，当x＝－2时的值是7，那么当x＝7时，该式的值是______． (江苏省竞赛试题) 解题思路：解题的困难在于变元个数多，将x两个值代入，从寻找两个多项式的联系入手． [例2]已知－1＜b＜0，0＜a＜1，那么在代数式a－b，a＋b，a＋b2，a2＋b中，对于任意a，b对应的代数式的值最大的是( ) A．a＋b B．a－b C．a＋b2D．a2＋b (“希望杯”初赛试题) 解题思路：采用赋值法，令a＝1 2 ，b＝－ 1 2 ，计算四个式子的值，从中找出值最大的 式子． [例3]已知x＝2，y＝－4时，代数式ax2＋1 2 by＋5＝1997，求当x＝－4，y＝－ 1 2 时， 代数式3ax－24by3＋4986的值． (北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：一般的想法是先求出a，b的值，这是不可能的．解本例的关键是：将给定的x，y值分别代入对应的代数式，寻找已知与待求式子之间的联系，整体代入求值．[例4]已知关于x的二次多项式a(x3－x2＋3x)＋b(2x2＋x)＋x3－5．当x＝2时的值为－17，求当x＝－2时，该多项式的值． (北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a，b的等式． [例5]一条公交线路上起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人．问从前6站上车而在终点下车的乘客有多少人？ 专题16 不等式（组） 阅读与思考 客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主要体现在： 1. 解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别；等式两边都乘（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性. 2. 解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分.通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”. 例题与求解 【例1】已知关于x 的不等式组?????<-+->-+x t x x x 2 35 35 2恰好有5个整数解，则t 的取值范围是（ ） A 、2116-<<-t B 、2116-<≤-t C 、2116-≤<-t D 、2 116-≤≤-t (2013 年全国初中数学竞赛广东省试题） 解题思路：把x 的解集用含t 的式子表示，根据题意，结合数轴分析t 的取值范围. 【例2】如果关于x 的不等式7 10 05)2(< >---x n m x n m 的解集为那么关于x 的不等式)0(≠>m n mx 的解集为 . （黑龙江省哈尔滨市竞赛试题） 解题思路：从已知条件出发，解关于x 的不等式，求出m ，n 的值或m ，n 的关系. 【例3】已知方程组?? ?=+=-6 2y mx y x 若方程组有非负整数解，求正整数m 的值. （天津市竞赛试题） 解题思路：解关于x ，y 的方程组，建立关于m 的不等式组，求出m 的取值范围. 【例4】已知三个非负数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，求m 的最大 值和最小值. （江苏省竞赛试题） 解题思路：本例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示m ，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m 的最大值与最小值. 初中数学竞赛专题1——整数的基本性质 1.（1，2）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#选择题） 【标准答案】1#0#1#4#A 三人中每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别是47，61，60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是 ( ) A. 28 B. 27 C. 26 D. 25 【分析】设三个人的年龄分别为X1，X2，X3，根据题意，则 +X2+2X3=47×2 ① X X2+X3+2X1=61×2 ② X3+X1+2X2=60×2 ③ 由①+②+③得X1+X2+X3=84，分别代入①②③得X1=38，X2=36，X3=10. 所以X1-X3=28. 【答案】A 【技巧】设未知数列方程（组）来解应用题是常用的方法. 2.（2，3）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#选择题） 【标准答案】2#0#1#4#B 三角形的三边长a、b、c都是整数，且[a，b，c]=60，（a，b) =4，(b，c)=3则a+b+c的最小值是 ( ) {注：[a，b，c]表示a、b、c的最小公倍数，（a，b）表示a，b的最大公约数} A．30 B．31 C．32 D. 33 【分析】因为（a，b）=4，所以a，b都是4的倍数.因为(b，c)=3，所以b，c都是3的倍数.从而a=4a1，b=12b1，c=3c1，a1、b1、c1都是正整数；又因为[a，b，c]=60，所以a，b，c中至少有一个被5整除，即a1、b1、c1中至少有一个被5整除.因为abc三个数的系数中，c的系数最小为3，所以只有当a1、b1 取最小时，三个数之和才最小，那么当a1= b1=1，c1=5时，a+b+c=4+1+15=31最小. 【答案】B 【技巧】根据最大公约数和最小公倍数的性质，用解析式表示未知数. 【易错点】若不注意三角形三边的关系（两边之和大于第三边）就容易出错. 专题24 相交线与平行线 阅读与思考 在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行. 当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键． 两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据． 1．平行线的判定 (1)同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行； (2)平行于同一直线的两条直线平行； (3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行． 2．平行线的性质 (1)过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行； (2)两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补； (3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直. 熟悉以下基本图形： 例题与求解 【例1】 (1) 如图①，AB ∥DE ，∠ABC ＝0 80，∠CDE ＝0 140，则∠BCD ＝__________. （安徽省中考试题） (2) 如图②，已知直线AB ∥CD ，∠C ＝0 115，∠A ＝0 25，则∠E ＝___________. （浙江省杭州市中考试题） 图② A 解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解. 【例2】如图，平行直线AB ，CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有( )． A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对 （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手． C D B 例2题图 例3题图 【例3】 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC //ED ，CE 是∠ACB 的平分线，求证：∠EDF ＝∠BDF . （天津市竞赛试题） 解题思路：综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质，由于图形复杂，因此，证明前注意分解图形． 【例4】 如图，已知AB ∥CD ，∠EAF ＝ 41∠EAB ，∠FCF ＝41∠ECD .求证：∠AFC ＝4 3 ∠AEC . （湖北省武汉市竞赛试题） D E C A B 图1 全国初中数学竟赛辅导讲义修订(2) 三角形的边角性质 内容提要 三角形边角性质主要的有： 1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线 段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其 他两边和。用式子表示如下： a,b,c 是△ABC 的边长b a c b a b a c a c b c b a +<-??? ????????>+>+>+?＜ 推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和 2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180 ；任意一个外角等于和它不相邻的两个 内角和。 推广到任意多边形：四边形内角和=2×180 ， 五边形内角和=3×180 六边形内角和=4×180 n 边形内角和=(n －2) 180 3. 边与角的关系 ① 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边； 大边对大角，大角对大边。 ② 在直角三角形中， △ABC 中∠C=Rt ∠2 22c b a =+?(勾股定理及逆定理) △ABC 中?? ??=∠∠=∠ 30A Rt C a ：b ：c=1：3：2 △ABC 中?? ??=∠∠=∠ 45A Rt C a ：b ：c=1：1：2 例题 例1.要使三条线段3a －1,4a+1,12－a 能组成一个三角形求a 的取值范围。 (1988年泉州市初二数 学双基赛题) 解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组 ?????+>-+-->-++->++-141312131214121413a a a a a a a a a 解得?? ???<->>51135.1a a ∴1.5 初中几何学霸内部秘籍系列1（学而思培优 竞赛） 模型 1 ：角平分线上的点向两边作垂线 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。 结论：PB=PA。 模型证明： ∵OP平分∠MON， ∴∠AOP=∠BOP； 又 PA⊥OM ，PB⊥ON， ∴∠OAP=∠OBP=90°； OP=OP； ∴RT△OAP≌RT△OBP, ∴PB=PA。 模型分析 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型， 为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的 突破口。 模型实例 （1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点 D 到直线 AB 的距离是_____； （2）如图②，∠1=∠2，∠3=∠4。 求证：AP 平分∠BAC。 解析：（1）由角平分线模型知，D到AB的距离等于DC=2 （2）如图分别做AB、BC、AC三边的高，由题意易得三边高相等， ∴AP 平分∠BAC 模型练习 1．如图，在四边形 ABCD 中，BC>AB，AD=DC，BD 平分∠ABC。 求证：∠BAD+∠BCD=180°。 证明：如图延长BA， 过D作DE、DF垂直BA延长线、BC于E、F两点， ∵BD 平分∠ABC ∴DE=DF, 又AD=DC ∴RT△DEA≌RT△DFC ∴∠DAE=∠BCD ∴∠BAD+∠BCD=180° 2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 的平分线 BP 交于点 P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。初二数学培优竞赛题
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