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小学数学教师招聘考试专业知识

数学教师招聘考试专业知识复习

一、复习要求（由于招考题目仅为高考知识，所以本内容以均为高考知识点）

1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；

2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；

3、理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；

4、理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系；

5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

二、学习指导

1、集合的概念：

（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；

（2）集合的分类：

①按元素个数分：有限集，无限集；

②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；

（3）集合的表示法：

①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N

={0，1，2，3，…}；②描述法。

2、两类关系：

（1）元素与集合的关系，用∈或?表示；

（2）集合与集合的关系，用?，≠?，=表示，当A?B时，称A是B的子集；当A≠?B时，称A是B的真子集。

3、集合运算

（1）交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，C

A=｛x|x∈U，且x?A｝，集合U表示全集；

（2）运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），C

U （A∩B）=（C

A）∪（C

B），

C U （A∪B）=（C

A）∩（C

B）等。

4、命题：

（1）命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；

（2）复合命题的形式：p且q，p或q，非p；

（3）复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。

（3）四种命题：记“若p则q”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。

5、充分条件与必要条件

（1）定义：对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件；

（2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合B，则当A?B时，p是q的充分条件。B?A时，q是p的充分条件。A=B时，p是q的充要条件；

（3）当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。

6、反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。

7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。三、典型例题

例1、已知集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=x+1，x ∈R}，求M ∩N 。

解题思路分析：

在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M 、N 均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。M={y|y=x 2+1，x ∈R}={y|y ≥1}，N={y|y=x+1，x ∈R}={y|y ∈R}

∴ M ∩N=M={y|y ≥1}

说明：实际上，从函数角度看，本题中的M ，N 分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x ∈A}应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x 2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例{y|y ≥1}={x|x ≥1}。

例2、已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B+{x|x 2-mx+2=0}，且A ∩B=B ，求实数m 范围。解题思路分析：

化简条件得A={1，2}，A ∩B=B ?B ?A

根据集合中元素个数集合B 分类讨论，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2} 当B=φ时，△=m 2-8<0 ∴ 22m 22<<- 当B={1}或{2}时，?

??=+-=+-=?02m 2402m 10

或，m 无解

当B={1，2}时，?

??=?=+221m

∴ m=3

综上所述，m=3或22m 22<<-

说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当B={1}或{2}时，不能遗漏△=0。

例3、用反证法证明：已知x 、y ∈R ，x+y ≥2，求证x 、y 中至少有一个大于1。解题思路分析：

假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y ≥2矛盾 ∴ 假设不成立

∴ x 、y 中至少有一个大于1

说明；反证法的理论依据是：欲证“若p 则q ”为真，先证“若p 则非q ”为假，因在条件p 下，q 与非q 是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p 则非q ”为假时，“若p 则q ”一定为真。

例4、若A 是B 的必要而不充分条件，C 是B 的充要条件，D 是C 的充分而不必要条件，判断D 是A 的什么条件。解题思路分析：

利用“?”、“?”符号分析各命题之间的关系 D ?C ?B ?A

∴ D ?A ，D 是A 的充分不必要条件

说明：符号“?”、“?”具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。例5、求直线：ax-y+b=0经过两直线 1：2x-2y-3=0和 2：3x-5y+1=0交点的充要条件。解题思路分析：

从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明。

由 ??

?=+-=--0

1y 5x 303y 2x 2得 1， 2交点P （411

,417）

∵ 过点P ∴ 0b 4

417a =+-?

∴ 17a+4b=11

充分性：设a ，b 满足17a+4b=11 ∴ 4

1711b -=

代入方程：04

1711y ax =-+- 整理得：0)4

x (a )411y (=---

此方程表明，直线恒过两直线0417x ,0411y =-=-的交点（4

,417）而此点为 1与 2的交点 ∴ 充分性得证 ∴ 综上所述，命题为真

说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“?”，双向传输，同时证明充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，从必要性着手，再检验充分性。四、同步练习（一）选择题

1、设M={x|x 2+x+2=0}，a=lg(lg10)，则{a}与M 的关系是

A 、{a}=M

B 、M ≠?{a}

C 、{a}≠?M

D 、M ?{a}

2、已知全集U=R ，A={x|x-a|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A ∩B=φ，则a 的取值范围是 A 、[0，2] B 、（-2，2） C 、（0，2] D 、（0，2）

3、已知集合M={x|x=a 2-3a+2，a ∈R}，N={x|x=b 2-b ，b ∈R}，则M ，N 的关系是

A 、M ≠?N

B 、M ≠?N

C 、M=N

D 、不确定

4、设集合A={x|x ∈Z 且-10≤x ≤-1}，B={x|x ∈Z ，且|x|≤5}，则A ∪B 中的元素个数是

A 、11

B 、10

C 、16

D 、15 5、集合M={1，2，3，4，5}的子集是

A 、15

B 、16

C 、31

D 、32 6、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是 A 、所给命题为假 B 、它的逆否命题为真

C 、它的逆命题为真

D 、它的否命题为真 7、“α≠β”是cos α≠cos β”的

A 、充分不必要条件

B 、必要不充分条件

C 、充要条件

D 、既不充分也不必要条件

8、集合A={x|x=3k-2，k ∈Z}，B={y|y=3 +1， ∈Z}，S={y|y=6m+1，m ∈Z}之间的关系是

A 、S ≠?

B ≠?A B 、S=B ≠?A

C 、S ≠?B=A

D 、S ≠?B=A

9、方程mx 2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是 A 、0

C 、m<1

D 、m ≤1

10、已知p ：方程x 2+ax+b=0有且仅有整数解，q ：a ，b 是整数，则p 是q 的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件充要条件 D 、既不充分又不必要条件（二）填空题 11、

已知M={Z 24m |

m ∈-}，N={x|}N 2

x ∈+，则M ∩N=____空集______。 12、在100个学生中，有乒乓球爱好者60人，排球爱好者65人，则两者都爱好的人数最少是___25__人。最多__60_

人 13、关于x 的方程|x|-|x-1|=a 有解的充要条件是________________。

14、命题“若ab=0，则a 、b 中至少有一个为零”的逆否命题为_____真命题_______。

15、

非空集合p 满足下列两个条件：（1）p ≠?{1，2，3，4，5}，

（2）若元素a ∈p ，则6-a ∈p ，则集合p 个数是____7______。（三）解答题 16、设集合A={(x ，y)|y=ax+1}，B={(x ，y)|y=|x|}，若A ∩B 是单元素集合，求a 取值范围。

17、已知抛物线C ：y=-x 2+mx-1，点M （0，3），N （3，0），求抛物线C 与线段MN 有两个不同交点的充要条件。

18、设A={x|x 2+px+q=0}≠φ，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，若A ∩M=φ，A ∩N=A ，求p 、q 的值。

19、已知2

1x a 2+=，b=2-x ，c=x 2-x+1，用反证法证明：a 、b 、c 中至少有一个不小于1。

函数

一、复习要求

7、函数的定义及通性； 2、函数性质的运用。二、学习指导 1、函数的概念：

（1）映射：设非空数集A ，B ，若对集合A 中任一元素a ，在集合B 中有唯一元素b 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射，记为f ：A →B ，f 表示对应法则，b=f(a)。若A 中不同元素的象也不同，则称映射为单射，若B 中每一个元素都有原象与之对应，则称映射为满射。既是单射又是满射的映射称为一一映射。

（2）函数定义：函数就是定义在非空数集A ，B 上的映射，此时称数集A 为定义域，象集C={f(x)|x ∈A}为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素，从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。逆过来，值域也会限制定义域。

求函数定义域，通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。要熟记基本初等函数的定义域，通过四则运算构成的初等函数，其定义域是每个初等函数定义域的交集。复合函数定义域，不仅要考虑内函数的定义域，还要考虑到外函数

对应法则的要求。理解函数定义域，应紧密联系对应法则。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。

函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。其中解析式是最常见的表现形式。求已知类型函数解析式的方法是待定系数法，抽象函数的解析式常用换元法及凑合法。

求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便。

在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题，它的一种典型处理方法就是建立函数解析式，借助于求函数值域的方法。

2、函数的通性

（1）奇偶性：函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如0)x (f )x (f =±-，

x (f )

x (f ±=-（f(x)≠0）。奇偶性的几何意义是两种特殊的图象对称。

函数的奇偶性是定义域上的普遍性质，定义式是定义域上的恒等式。利用奇偶性的运算性质可以简化判断奇偶性的步骤。

（2）单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。

判断函数单调性的方法：①定义法，即比差法；②图象法；③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）；④复合函数单调性判断法则。

函数单调性是单调区间上普遍成立的性质，是单调区间上恒成立的不等式。

函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。（3）周期性：周期性主要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段。

求周期的重要方法：①定义法；②公式法；③图象法；④利用重要结论：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a ≠b ，则T=2|a-b|。

（4）反函数：函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一，在求反函数之前首先要判断函数是否具备反函数，函数f(x)的反函数f -1(x)的性质与f(x)性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f -1(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。

设函数f(x)定义域为A ，值域为C ，则 f -1[f(x)]=x ，x ∈A f[f -1(x)]=x ，x ∈C 3、函数的图象

函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图象的工具作用。图象作法：①描点法；②图象变换。应掌握常见的图象变换。

4、本单常见的初等函数；一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。在具体的对应法则下理解函数的通性，掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要的函数模型。

对于抽象函数，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用赋值法（变量代换法）解题。联系到具体的函数模型可以简便地找到解题思路，及解题突破口。

应用题是函数性质运用的重要题型。审清题意，找准数量关系，把握好模型是解应用题的关键。 5、主要思想方法：数形结合，分类讨论，函数方程，化归等。三、典型例题例1、已知1

x 3

x 2)x (f -+=

，函数y=g(x)图象与y=f -1(x+1)的图象关于直线y=x 对称，求g(11)的值。分析：

利用数形对应的关系，可知y=g(x)是y=f -1(x+1)的反函数，从而化g(x)问题为已知f(x)。 ∵ y=f -1(x+1) ∴ x+1=f(y) ∴ x=f(y)-1

∴ y=f -1(x+1)的反函数为y=f(x)-1 即 g(x)=f(x)-1 ∴ g(11)=f(11)-1=2

评注：函数与反函数的关系是互为逆运算的关系，当f(x)存在反函数时，若b=f(a)，则a=f -1(b)。

例2、设f(x)是定义在（-∞，+∞）上的函数，对一切x ∈R 均有f(x)+f(x+2)=0，当-1

解题思路分析：利用化归思想解题 ∵ f(x)+f(x+2)=0 ∴ f(x)=-f(x+2) ∵ 该式对一切x ∈R 成立

∴ 以x-2代x 得：f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x) 当1

评注：在化归过程中，一方面要转化自变量到已知解析式的定义域，另一方面要保持对应的函数值有一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。

例3、已知g(x)=-x 2-3，f(x)是二次函数，当x ∈[-1，2]时，f(x) 的最小值，且f(x)+g(x)为奇函数，求f(x)解析式。

分析：

用待定系数法求f(x)解析式设f(x)=ax 2+bx+c （a ≠0）则f(x)+g(x)=(a-1)x 2+bx+c-3 由已知f(x)+g(x)为奇函数?

?=-=-03c 0

∴ ?

?==3c 1

a ∴ f(x)=x 2+bx+3

下面通过确定f(x)在[-1，2]上何时取最小值来确定b ，分类讨论。

4b 3)2b x ()x (f 22-++=，对称轴2

x -=

（1）当2

b -≥2，b ≤-4时，f(x)在[-1，2]上为减函数 ∴ 7b 2)2(f ))x (f (min +== ∴ 2b+7=1

∴ b=3（舍）

（2）当∈-2

b （-1，2），-4

b )2b (f ))x (f (2

min

+-=-=

∴ 134

b 2

=+- ∴ 22b ±=（舍负）

（3）当2

b -≤-1，b ≥2时，f(x)在[-1，2]上为增函数 ∴ (f(x)min =f(1)=4-b ∴ 4-b=1 ∴ b=3

∴ 3x 2x )x (f 2+-=，或3x 3x )x (f 3++=

评注：二次函数在闭区间上的最值通常对对称轴与区间的位置关系进行讨论，是求值域的基本题型之一。在已知最值结果的条件下，仍需讨论何时取得最小值。

例4、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；

（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R 上的增函数；

（4）若f(x)·f(2x-x 2

)>1，求x 的取值范围。分析：

（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2 ∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1

（2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ )

x (f 1)x (f =

- 由已知x>0时，f(x)>1>0 当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴ 0)

x (f 1

)x (f >-=

又x=0时，f(0)=1>0 ∴ 对任意x ∈R ，f(x)>0

（3）任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴

1)x x (f )x (f )x (f )

x (f )

x (f 121212>-=-?= ∴ f(x 2)>f(x 1) ∴ f(x)在R 上是增函数

（4） f(x)·f(2x-x 2)=f[x+(2x-x 2)]=f(-x 2+3x) 又1=f(0)，f(x)在R 上递增 ∴ 由f(3x-x 2)>f(0)得：3x-x 2>0

∴ 0

评注：根据f(a+b)=f(a)·f(b)是恒等式的特点，对a 、b 适当赋值。利用单调性的性质去掉符号“f ”得到关于x 的代数不等式，是处理抽象函数不等式的典型方法。

例5、已知lgx+lgy=2lg(x-2y)，求y

log 2

的值。分析：

在化对数式为代数式过程中，全面挖掘x 、y 满足的条件

由已知得???

??-=>->>2)

y 2x (xy 0y 2x 0y ,0x

∴ x=4y ，4y

= ∴ 44log y

log

例6、某工厂今年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份数x 的关系，模拟函数可选用y=ab x +c （其中a ，b ，c 为常数）或二次函数，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由。

分析：

设f(x)=px 2+qx+r （p ≠0）

则 ???

??=++==++==++=3.1r q 3p 9)3(f 1r q 2p 4)2(f 1r q p )1(f

∴ ??

??===7.0r 35.0q 05.0p

∴ f(4)=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3 设g(x)=ab x +c

则 ???

??=+==+==+=3.1c ab )3(g 2.1c ab )2(g 1c ab )1(g 3

∴ ??

??==-=4.1c 5.0b 8.0a

∴ g(4)=-0.8×0.54+1.4=1.35 ∵ |1.35-1.37|<|1.3-1.37|

∴ 选用y=-0.8×(0.5)x +1.4作为模拟函数较好。四、巩固练习（一）选择题

1、定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且在[-1，0]上单调递增，设a=f(3)，b=f(2)，c=f(2)，则a ，b ，c 大小关系是

A 、a>b>c

B 、a>c>b

C 、b>c>a

D 、c>b>a

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3 3、|x 1|)3

(y -=的单调减区间是

A 、（-∞，1）

B 、（1，+∞）

C 、（-∞，-1）∪（1，+∞）

D 、（-∞，+∞） 4、函数)12x 4x (log y 22

1+-=的值域为

A 、（-∞，3]

B 、（-∞，-3]

C 、（-3，+∞）

D 、（3，+∞） 5、函数y=log 2|ax-1|（a ≠b ）的图象的对称轴是直线x=2，则a 等于A A 、21

B 、2

1- C 、2 D 、-2

6、有长度为24的材料用一矩形场地，中间加两隔墙，要使矩形的面积最大，则隔壁的长度为

A 、 3

B 、4

C 、6

D 、12 （二）填空题

7、已知定义在R 的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，且当0≤x ≤1时，f(x)=x ，则)2

15(f =_____-1/2_____。

8、已知y=log a (2-x)是x 的增函数，了;则a 的取值范围是____o______。 9、函数f(x)定义域为[1，3]，则f(x 2+1)的定义域是_____o_____。 10、函数f(x)=x 2-bx+c 满足f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3，则f(b

)与f(c x

)的大小关系是__________。

11、已知f(x)=log 3x+3，x ∈[1，9]，则y=[f(x)]2

+f(x 2

)的最大值是__________。

12、已知A={y|y=x 2-4x+6，y ∈N}，B={y|y=-x 2-2x+18，y ∈N}，则A ∩B 中所有元素的和是____189______。 13、若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)=m φ(x)+ng(x)+2在（0，+∞）上有最大值，则f(x)在（-∞，0）上最小值为__________。

14、函数y=log 2(x 2+1)（x>0）的反函数是__o________。

15、求值：

c a c a

b c

a b

a x x 11x

11x

------+++

+++

++=__________。

（三）解答题 16、若函数c

x 1ax )x (f 2++=

的值域为[-1，5]，求a ，c 。

17、设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)

设f(x)=1

22a x

，x ∈R

（1）证明：对任意实数a ，f(x)在（-∞，+∞）上是增函数；（2）当f(x)为奇函数时，求a ；

（3）当f(x)为奇函数时，对于给定的正实数k ，解不等式k

1log )x (f 21+>-。 20、

设0

x 3

x log a

+-的定义域为[m ，n]，值[log a a(n-1)，log a a(m-1)]，

（1）求证：m>3；（2）求a 的取值范围。

数列

一、复习要求

4、等差数列及等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式及性质； 2、一般数列的通项及前n 项和计算。二、学习指导

1、数列，是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法则就是函数的对应法则，因此数列可以看作是一个特殊的函数，其特殊性在于：第一，定义域是正整数集或其子集；第二，值域是有顺序的，不能用集合符号表示。

研究数列，首先研究对应法则——通项公式：a n =f(n)，n ∈N +，要能合理地由数列前n 项写出通项公式，其次研究前n 项和公式S n ：S n =a 1+a 2+…a n ，由S n 定义，得到数列中的重要公式：??

?≥-==-2n S S 1n S a 1n n

n 。

一般数列的a n 及S n ,，除化归为等差数列及等比数列外，求S n 还有下列基本题型：列项相消法，错位相消法。 2、等差数列

（1）定义，{a n }为等差数列?a n+1-a n =d （常数），n ∈N +?2a n =a n-1+a n+1（n ≥2，n ∈N +）；（2）通项公式：a n =a n +(n-1)d ，a n =a m +(n-m)d ；前n 项和公式：2

)a a (n d 2)

1n (n na S n 11n +=

=；（3）性质：a n =an+b ，即a n 是n 的一次型函数，系数a 为等差数列的公差； S n =an 2+bn ，即S n 是n 的不含常数项的二次函数；

若{a n }，{b n }均为等差数列，则{a n ±n n },{∑=k

1i k a },{ka n +c}（k ，c 为常数）均为等差数列；

当m+n=p+q 时，a m +a n =a p +a q ，特例：a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…；当2n=p+q 时，2a n =a p +a q ；当n 为奇数时，S 2n-1=(2n-1)a n ；S 奇=21n +a 中，S 偶=2

n -a 中。 3、等比数列（1）定义：

n a a +=q （q 为常数，a n ≠0）；a n 2=a n-1a n+1（n ≥2，n ∈N +）；（2）通项公式：a n =a 1q n-1，a n =a m q n-m ;

前n 项和公式：??

??≠--=--==1q q 1q a a q 1)q 1(a 1q na S n 1n 11

n ；

（3）性质

当m+n=p+q 时，a m a n =a p a q ，特例：a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…，当2n=p+q 时，a n 2

=a p a q ，数列{ka n }，{∑=k

i i a }成等比数列。

4、等差、等比数列的应用

（1）基本量的思想：常设首项、公差及首项、公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等；（2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算；

（3）若{a n }为等差数列，则{n a a }为等比数列（a>0且a ≠1）；

若{a n }为正数等比数列，则{log a a n }为等差数列（a>0且a ≠1）。

三、典型例题

例1、已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，其中1k a ，2k a ，…，n k a 恰为等比数列，若k 1=1，k 2=5，k 3=17，求k 1+k 2+…

+k n 。解题思路分析：

从寻找新、旧数列的关系着手设{a n }首项为a 1，公差为d ∵ a 1，a 5，a 17成等比数列 ∴ a 52=a 1a 17

∴（a 1+4d ）2=a 1(a 1+16d) ∴ a 1=2d

设等比数列公比为q ，则3a d 4a a a q 1

n 15=+== 对n k a 项来说，

在等差数列中：1n n 1k a 2

k d )1k (a a n +=

-+= 在等比数列中：1n 11n 1k 3a q a a n --== ∴ 132k 1n n -?=-

∴ n )331(2)132()132()132(k k k 1n 1n 10n 21-+++=-?++-?+-?=++-- 1n 3n --=

注：本题把k 1+k 2+…+k n 看成是数列{k n }的求和问题，着重分析{k n }的通项公式。这是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法”。

例2、设数列{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75,T n 为数列{n

S n

}的前n 项和，求T n 。解题思路分析：

法一：利用基本元素分析法

设{a n }首项为a 1，公差为d ，则???

????

=?+==?+=75d 21415a 15S 7d 2

67a 7S 11517

∴ ?

?=-=1d 2

a 1 ∴ 2

)

1n (n 2S n -+-= ∴

52n 21n 2n S n -=-+-= 此式为n 的一次函数 ∴ {

S n

}为等差数列 ∴ n 4

a n 4

1T 2n -=

法二：{a n }为等差数列，设S n =An 2+Bn

∴ ?????=+?==+?=75B 1515A S 7

B 77A S 2

27 解之得：???

???

-==25B 21A ∴ n 2

5n 21

S 2n -=，下略

注：法二利用了等差数列前n 项和的性质

例3、正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且1a S 2n n +=，求：（1）数列{a n }的通项公式；（2）设1n n n a a 1b +=

，数列{b n }的前n 项的和为B n ，求证：B n 2

<. 解题思路分析：

（I ）涉及到a n 及S n 的递推关系，一般都用a n =S n -S n-1（n ≥2）消元化归。 ∵ 1a S 2n n += ∴ 4S n =(a n +1)2

∴ 4S n-1=(a n-1+1)2（n ≥2） ∴ 4(S n -S n-1)=(a n +1)2-(a n-1+1)2 ∴ 4a n =a n 2-a n-12+2a n -2a n-1 整理得：(a n-1+a n )(a n -a n-1-2)=0 ∵ a n >0 ∴ a n -a n-1=2

∴ {a n }为公差为2的等差数列在1a S 2n n +=中，令n=1，a 1=1 ∴ a n =2n-1 （II ）)1

n 21

1n 21(21)1n 2)(1n 2(1b n +--=+-=

∴ 2

a 2121)a 1a 1(21)]a 1a 1()a 1a 1()a 1a 1[(

21B 1n 1n 11n n 3221n <-=-=-++-+-=+++ 注：递推是学好数列的重要思想，例本题由4S n =(a n +1)2推出4S n-1=(a n-1+1)2，它其实就是函数中的变量代换法。在数列中一般用n-1，n+1等去代替n ，实际上也就是说已知条件中的递推关系是关于n 的恒等式，代换就是对n 赋值。

例4、等差数列{a n }中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33，且a 1-a m =18，求这个数列的通项公式。分析：

利用前奇数项和和与中项的关系令m=2n-1，n ∈N + 则 ???=-==-=-33a )1n (S 77

a )1n 2(S n n 1n 2偶

∴

1n 1n 2=

-- ∴ n=4 ∴ m=7 ∴ a n =11

∴ a 1+a m =2a n =22 又a 1-a m =18 ∴ a 1=20，a m =2 ∴ d=-3 ∴ a n =-3n+23

例5、设{a n }是等差数列，n a n )21

(b =，已知b 1+b 2+b 3=821，b 1b 2b 3=8

，求等差数列的通项a n 。解题思路分析： ∵ {a n }为等差数列 ∴ {b n }为等比数列从求解{b n }着手 ∵ b 1b 3=b 22 ∴ b 23=8

∴ b 2=2

∴ ???